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CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Ícaro Igor Castro de Martins Barros FONTES SENOIDAIS São fontes que produzem uma tensão (fonte de tensão senoidal) ou uma corrente (fonte de corrente senoidal) que variam senoidalmente com o tempo. As fontes podem ser expressas utilizando uma função seno ou cosseno, porém apesar de funcionarem igualmente bem, não podem ser utilizadas simultaneamente. � � = �� cos �� + ∅ f = 1 � [��] ω = 2�� �� 2� � [��� �⁄ ] FONTES SENOIDAIS As tensões senoidais podem apresentar defasamentos angulares, os quais são indicados pelo ângulo ϕ, conhecido também como ângulo de fase. Para valores positivos de ϕ, a função senoidal se desloca para a esquerda, ou seja, a função senoidal encontra-se adiantada quando comparada com a função original. Para valores negativos de ϕ, a função senoidal se desloca para a direita, ou seja, a função senoidal encontra-se atrasada quando comparada com a função original VALOR EFICAZ O valor eficaz, ou rms (root mean square) de uma função periódica é definido como a raiz quadrada do valor médio da função ao quadrado. � � = �� cos �� + ∅ ���� = 1 � � �� � cos� �� + ∅ �� ���� �� = �� 2 EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma tensão senoidal é dada pela expressão � � = 300 cos 120�� + 30° , responda: a)Qual o período da tensão em milissegundos? b) Qual a frequência em hertz? c) Qual é a magnitude de � em t = 2,778 ms? d) Qual é o valor rms de �? Resp.: a) 16,667 ms b) 60 Hz c) 0 V d) 212,13 V CONCEITO DE FASORES Para o circuito abaixo qual o valor da corrente fornecida pela fonte, para uma tensão senoidal �� � = �� cos �� + ∅ L �� �� + Ri = �� cos �� + ∅ i = −�� �� + ���� cos ∅ − � ��(� �)�⁄ + �� �� + ���� cos �� + ∅ − � Sendo θ definido como o ângulo cuja tangente é ωL/R CONCEITO DE FASORES É um número complexo que contém as informações de amplitude e ângulo de fase de uma função senoidal, sendo fundamentado na identidade de Euler, que relaciona a função exponencial com a função trigonométrica. �±�� = cos θ ± � ��� � � � = �� cos �� + ∅ = ��ℜ � �(����) = ℜ ��� ������ � = ��� �� = �{�� cos �� + ∅ } CONCEITO DE FASORES FORMA POLAR � = ��� �� = ��∠∅ FORMA RETANGULAR � = �� cos ∅ + � �� sen ∅ EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a transformada fasorial de cada função trigonométrica: a) � � = 170 cos 377� + 40° V b) � � = 10 sen 1000� + 20° A c) � � = [5 cos(�� + 36,87°) + 10 cos �� − 53,13° ] A d) � � = [300 cos 20.000�� + 45° − 100 sen 20.000�� + 30° ] mV Resp.: a) ���∠ − ��° V b) ��∠ − ��° A c) ��, ��∠ − ��, ��° A d) ���, ��∠��, ��° mV CONCEITO DE FASORES Para o circuito abaixo qual o valor da corrente fornecida pela fonte, para uma tensão senoidal �� � = �� cos �� + ∅ L �� �� + Ri = �� cos �� + ∅ ��� = ℜ ��� ������ ℜ ������ ������ + ℜ ���� ������ = ℜ ��� �����∅ ℜ (��� + �)��� ������ = ℜ ��� �����∅ ��� �� = ��� �∅ (��� + �) CONCEITO DE FASORES ELEMENTOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Para realizar a análise de circuitos no domínio da frequência é necessário conhecer a relação entre a tensão fasorial e a corrente fasorial nos terminais dos elementos passivos (resistor, capacitor e indutor). Para uma corrente � � = �� cos �� + � , as relações das tensões fasoriais e das correntes fasoriais serão: RESISTOR � � = �. [�� cos �� + � ] � = �. ��� �� � = �. ��∠� � = �. � ELEMENTOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA INDUTOR � � = � �� �� = −���� sen �� + � � � = −���� cos �� + � − 90° � = −��. �� � �(����°) � = −��. �� � �������° � = ���. �� � �� � = ���. � Sendo �� = ��, � = ���. � → ��∠90°. �� ∠� � = ��. �� ∠(� + 90°) �����°= �����°− ������°= −� ELEMENTOS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA �����°= �����°− ������°= −� � � = −� CAPACITOR � � = � �� �� = −���� sen �� + � � � = −���� cos �� + � − 90° � = −��. �� � �(����°) � = −��. �� � �������° � = ���. �� � �� � = ���. � � = 1 ��� . � Sendo � ��⁄ = ��, � = 1 ��� . � → 1 �� ∠ − 90°. �� ∠� � = 1 �� . �� ∠(� − 90°) IMPEDÂNCIA E REATÂNCIA RESISTOR � = �. � INDUTOR � = ���. � CAPACITOR � = 1 ��� . � IMPEDÂNCIA � = �. � A impedância (Z) é a razão entre o fasor tensão de um elemento do circuito e seu fasor corrente. E embora seja um número complexo, não se trata de um fasor. A parte imaginária de uma impedância é chamado de reatância. IMPEDÂNCIA E REATÂNCIA ELEMENTO IMPEDÂNCIA REATÂNCIA RESISTOR � --- INDUTOR ��� �� CAPACITOR −� 1 �C − 1 �C EXERCÍCIO RESOLVIDO A corrente no indutor de 20 mH é � � = 10 cos 10000� + 30° ��. Calcule a) a reatância do indutor; b) a impedância do indutor; c)a tensão fasorial V e d) a expressão de regime permanente para � � . Resp.: a) ��� Ω b) ���� Ω c) �∠���° V d) � ��� (������ + ���°) V EXERCÍCIO RESOLVIDO A tensão no capacitor de 5μF é � � = 30 cos 4000� + 25° �. Calcule a) a reatância do capacitor; b) a impedância do capacitor; c)a corrente fasorial I e d) a expressão de regime permanente para i � . Resp.: a) −�� Ω b) −��� Ω c) �, �∠���° V d) �, � ��� (����� + ���°) A LEI DE KIRCHHOFF PARA TENSÕES (LKT) A soma algébrica das tensões em qualquer malha do circuito é sempre nula �� + �� + ⋯ + �� = 0 MESMA RELAÇÃO DAS MALHAS DE CORRENTE CONTÍNUA LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES (LKC) A soma algébrica das correntes em um nó qualquer é sempre nula, ou seja, a soma das correntes que saem do nó é igual a soma das correntes que entram no nó. �� + �� + ⋯ + �� = 0 MESMA RELAÇÃO DOS NÓS DE CORRENTE CONTÍNUA ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS Em Série: As impedâncias são percorridas pela mesma corrente, porém são submetidos a potenciais elétricos diferentes. Em Paralelo: As impedâncias são submetidas ao mesmo potencial elétrico, porém são percorridos por correntes diferentes. EXERCÍCIO RESOLVIDO Um resistor de 90 Ω, um indutor de 32 mH e um capacitor de 5 μF estão ligados em série aos terminais de uma fonte de tensão senoidal, como a figura abaixo. A expressão de regime permanente para a fontes de tensão é �� � = 750 cos (5000� + 30°) �. a) Construa o circuito equivalente no domínio da frequência. b) Calcule a corrente de regime permanente i pelo método fasorial. Resp.: � = �∠ − ��, ��° A ou � = � ��� (����� − ��, ��°) EXERCÍCIO RESOLVIDO Usando os valores de resistência e indutância do circuito anterior, sendo �� = 125∠ − 60° V e � =5.000 rad/s. Determine: a) O valor da capacitância que gera uma corrente de saída de regime permanente i com um ângulo de fase de -105º. b) A amplitude da corrente de saída de regime permanente i. Resp.: a) 2,68 μF b) 0,982 A EXERCÍCIO PROPOSTO A fonte de corrente senoidal no circuito mostrado abaixo produz a corrente �� = 8 cos 200.000� �. a) Determine o circuito equivalente no domínio da frequência.. b) Calcule as expressões de regime permanente para v, i1, i2 e i3. � = �� ��� ���. ���� − ��, ��° V �� = � ��� ���. ���� − ��, ��° A �� = � ��� ���. ���� − ��° A �� = � ��� ���. ���� + ��, ��º A EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nilsson – 8ª Edição 9.1, 9.2, 9.5a-g, 9.9, 9.11, 9.12, 9.15, 9.22, 9.23, 9.26, 9.27, 9.29, 9.35, 9.40 a 9.42, 9.51 a 9.54, 9.57, 9.60, 9.61, 9.71,
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