AVALIAÇÃO P1 - QUESTÕES

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
Curso de Engenharia Elétrica
Avaliação P1 27/10/2020
Dados de Identi�cação
Disciplina: Cálculo II
Professor: Je�erson dos Santos e Silva
Aluno(a):
Matrícula:
NOTA
OBSERVAÇÕES GERAIS
� Escolha somente quatro questões para resolver. No �nal da prova, certi�que-se que
consta quatro questões resolvidas. Provas com mais de quatro questões resolvidas ou
parcialmente resolvidas terão somente as quatro primeiras questões corrigidas.
� Transcreva a caneta a sua prova (preta ou azul)
� Não existe a necessidade de imprimir essa prova, pode resolver numa folha a parte, iden-
ti�cando o seu nome, matricula e as questões escolhidas.
� A prova terá duração de duas aulas com 30 minutos de tolerância para o escaneamento
e envio na aba atividade do Classroom.
� Apos essa tolerância a entrega será considerada com atraso e recusada pelo professor.
� Boa Prova!
1. Seja a função
f(x, y) = y sin
(
x2y
x2 + y2
)
se (x, y) 6= (0, 0), e f(0, 0) = 1
a) (1,5 pontos) Calcule o limite
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y).
b) (1,0 ponto) Veri�que se f é contínua em (0, 0).
2. A equação diferencial parcial, unidimensional, da condução do calor, é
∂u
∂t
= k2
∂2u
∂x2
Essa equação diferencial descreve o �uxo de calor em um corpo sólido. E uma aplicação
mais recente é a que descreve dissipação de calor gerado pelo atrito em voos espaciais
na re-entrada na atmosfera terrestre. O parâmetro k é uma constante de condutividade
térmica do material.
a) (1,5 pontos) Mostre que se f for uma função de x satisfazendo a equação
f ′′(x) + λ2f(x) = 0
e g for uma função de t satisfazendo a equação
g′(t) + k2λg(t) = 0,
então a função u(x, t) = f(x)g(t) é solução da equação da onda, onde k e λ são
constantes.
b) (1,0 ponto) Mostre que u(x, t) = sin(π + µx)e−k
2λt é solução da equação da onda.
3. Seja a função
f(x, y) = x2 + xy + sin(xy)
a) (1,0 ponto) Calcule o vetor gradiente da f .
b) (1,0 ponto) Calcule a derivada direcional da f , no ponto (1, 2) segundo um vetor
unitário dado pela direção (2π)/3.
c) (0,5 ponto) Calcule a taxa de variação máxima no ponto (1, 2).
4. A temperatura em um ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius.
a) (1,0 ponto) Uma lesma rasteja, de modo que sua posição após t segundos é dada
por
x(t) =
√
1 + t e y(t) =
6 + t
2
,
onde x e y são medidos em centímetros. A função da temperatura satisfaz Tx(2, 3) =
4 e Ty(2, 3) = 3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho da lesma depois
de três segundos?
b) (1,5 ponto) Suponha que a lesma rasteja sobre um caminho γ(t) = (t, y(t)), com y
diferenciável em relação a t, onde a temperatura seja constante, isto é, T (x(t), y(t)) =
k. Seja (1, 5) um ponto do caminho γ percorrido pela lesma tal que Tx(1, 5) = −6
e Ty(1, 5) =
√
2. Calcule o valor de y′(5) e encontre a equação da reta tangente a
curva descrita no caminho γ no ponto (1, 5).
5. Sejam f uma função diferenciável em x e y, g uma função diferenciável em r e s. Considere
a seguinte tabela de valores abaixo
Com base nessa tabela responda os itens a seguir:
a) (1,25 pontos) Se g(r, s) = f(er + sin(s), er + cos(s)), calcule o valor de
∂g
∂r
(0, 0)× ∂g
∂s
(0, 0)
b) (1,25 pontos) Se g(r, s) = f(2r − s, s2 − 4r), calcule o valor de
∂g
∂r
(1, 2)− ∂g
∂s
(1, 2)
6. a) (2,0 pontos) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da
função
f(x, y) = 4 + x3 + y3 − 3xy
caso existam.
b) (0,5 ponto) Mostre que
f(x, y) = x2 + 4y2 − 4xy + 2
possui um número in�nito de pontos críticos. Conclua que esses pontos críticos são
mínimos locais mesmo ocorrendo
fxxfyy − f 2
xy = 0.
"O tamanho dos seus sonhos deve sempre exceder a sua capacidade de alcançá-los. Se os seus
sonhos não te assustam, eles não são grandes o su�ciente."
(Ellen Johnson-Sirleaf)