Apostila Matemática Enem Exato Vestibulares (Resumo+Questões)

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MATEMÁTICA – Prof. Valdivino 
 
SUMÁRIO - MATEMÁTICA 
 
1. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC).................................. 01 
 
2. RAZÃO E PROPORÇÃO...................................................................................................................... 08 
 
3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA....................................................................................... 17 
 
4. PORCENTAGEM.................................................................................................................................. 23 
 
5. JUROS SIMPLES................................................................................................................................. 25 
 
6. JUROS COMPOSTOS......................................................................................................................... 28 
 
7. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. APLICAÇÕES.................................................................................... 36 
 
8. CONJUNTOS....................................................................................................................................... 45 
 
9. FUNÇÃO DO 1° GRAU........................................................................................................................ 56 
 
10. FUNÇÃO QUADRÁTICA.................................................................................................................... 63 
 
11. FUNÇÃO EXPONENCIAL.................................................................................................................. 72 
 
12. LOGARITMOS.................................................................................................................................... 79 
 
13. ANÁLISE COMBINATÓRIA................................................................................................................ 87 
 
14. PROBABILIDADES............................................................................................................................ 96 
 
15. ESTATÍSTICA BÁSICA.................................................................................................................... 103 
 
16. ANÁLISE DE GRÁFICOS.................................................................................................................112 
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1. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
M.M.C DE NÚMEROS NATURAIS 
 
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denominamos de m.m.c ao menor número natural, diferente de 
zero, que seja múltiplo dos números dados. 
 
Exemplo: Encontre o m.m.c dos números 15 e 25. 
 
M(15) = {0,15,30,45,60,75,90,105,120,135,150,165,180,195,210,225, ...} 
 
M(25) = {0,25,50,75,100,125,150,175,200,225,250, ...} 
 
Dos múltiplos encontrados acima se verifica que {0,75,150,225, ...} são comuns aos dois conjuntos. Como o 
menor desses múltiplos comuns, diferente de zero, é 75, então, o m.m.c(15,25) = 75. 
 
Observação: 
 
Verifica-se que os múltiplos são obtidos de 75 em 75 unidades. Isso ocorre porque 75 é o m.m.c. Logo, 
 
1° múltiplo comum = zero 
2º múltiplo comum = 75 
3° múltiplo comum = 150 
4° múltiplo comum = 225 
E assim sucessivamente. 
 
 
OBTENÇÃO DO M.M.C 
 
1º caso: Obtenção do m.m.c através da decomposição simultânea 
 
Em alguns casos o método utilizado acima se torna trabalhoso. O m.m.c de dois ou mais números naturais pode 
ser encontrado através da decomposição simultânea dos números dados. 
 
Exemplo: Encontre o m.m.c dos números 120 e 84. 
 
8407.5.3.2)84,120(c.m.m
7
5
3
2
2
2
1,1
7,1
7,5
21,15
21,30
42,60
84,120
3 
 
 
O m.m.c (120,84) é obtido através do produto entre os fatores primos encontrados através da decomposição 
simultânea dos números 120 e 84. 
 
 
 
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2 
2º caso: Obtenção do m.m.c através da decomposição simples 
O m.m.c também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos números dados. 
 
Exemplo: Encontre o m.m.c dos números 120 e 84. 
 
 
5.3.2120
5
3
2
2
2
1
5
15
30
60
120
3
 
7.3.284
7
3
2
2
1
7
21
42
84
2
 
 
O m.m.c (120,84) é dado pela multiplicação dos fatores primos comuns e não comuns, com maior expoente 
possível. Logo, 
8407.5.3.2)84,120(c.m.m 3 
 
 
Observação: 
 
Nas decomposições acima se pode observar que 2 e 3 são fatores primos comuns e que 5 e 7 são fatores primos 
não comuns. 
 
 
MDC DE NÚMEROS NATURAIS 
 
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denominamos de m.d.c ao maior dos divisores comuns destes 
números. 
 
Exemplo: Encontre o m.d.c dos números 45 e 50. 
 
D(45) = {1,3,5,9,15,45} 
 
D(50) = {1,2,5,10,25,50} 
 
Dos divisores encontrados acima se verifica que {1,5} são divisores comuns aos dois conjuntos. Como o maior 
desses divisores é o número 5, então, o m.d.c (45,50) = 5. 
 
 
OBTENÇÃO DO M.D.C 
 
1º caso: Obtenção do m.d.c através da decomposição simples 
 
O m.d.c também pode ser obtido através da decomposição particular de cada um dos números dados. 
 
Exemplo: Encontre o m.d.c dos números 120 e 84. 
 
Como vimos anteriormente 
5.3.2120 3
 e 
7.3.284 2
. O m.d.c (120,84) é dado pela multiplicação dos fatores 
primos comuns, com menor expoente possível. Logo, 
123.2)84,120(c.d.m 2 
 
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3 
2º caso: Obtenção do m.d.c através do método das divisões sucessivas 
 
O método das divisões sucessivas será utilizado para obtenção do m.d.c de apenas dois números naturais. O 
método é utilizado da seguinte forma: 
 
1. Divide-se o maior número pelo menor. 
 
2. Divide-se o divisor pelo resto obtido na primeira divisão. 
 
3. Repete-se o mesmo procedimento até que se encontre um resto zero. 
 
4. O m.d.c será o divisor obtido quando se tem resto zero. 
 
5. Considere dois números naturais A e B, onde A é múltiplo de B. Neste caso, se pode afirmar que m.m.c(A,B) = A 
e, como B é divisor de A, o m.d.c (A,B) = B. 
 
6. Dados dois números naturais A e B se pode afirmar que: 
 
m.m.c (A,B) . m.d.c (A,B) = A.B. 
 
 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI 
 
Dois ou mais números naturais são primos entre si quando a decomposição desses números não apresentarem 
fatores primos comuns. 
 
Exemplo: Considere os números 45 e 14. Como 45 = 3
2
.5 e 14 = 2.7, os mesmos não apresentam fatores comuns 
e, portanto, são primos entre si. 
 
Observações: 
 
1. O m.d.c de dois ou mais números primos entre si é 1. 
 
2. O m.m.c de dois ou mais números primos entre si é o produto desses números. 
 
3. Dois números naturais consecutivos sempre serão primos entre si. 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Uma pessoa tem que tomar 3 remédios. O Alfa ela tem que tomar de 6 em 6 horas, o Beta de 4 em 4 horas e 
o Delta, de 8 em 8. Ela começou a tomar os três juntos às 14 horas. Quantas horas depois ele tomará todos os 
remédios juntos novamente e a que horas isso acontecerá? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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02) Os alunos do bairro em que Pedro mora adoram jogar futebol. No entanto, neste ano, Eles resolveram 
organizar um campeonato que envolvesse vários esportes. Foram formadas várias equipes que poderiam ser 
femininas ou masculinas, mas deveriam ter o mesmo número de elementos. Participaram dessa atividade 54 
rapazes e 72 garotas. Qual foi o número máximo de elementos de cada equipem considerando-se reservas e 
titulares?
03) Ao passear à noite com seus pais, Márcia percebeu que, em uma rua, o luminoso da drogaria piscava a cada 
3 segundos, o do supermercado a cada 5 segundos e o da papelaria a cada 7 segundos. Quando o carro parou no 
semáforo, a garota percebeu que os três luminosos estavam acesos juntos. Depois de quanto tempo eles voltaram 
a acender juntos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Fátima tem uma pequena confecção de uniformes. Uma empresa encomendou 75 uniformes para mecânicos, 
65 para atendentes, 80 para auxiliares de escritório e 100 para serviços gerais. Ela precisa embalar esses 
uniformes com o mesmo número máximo de peças, separadas por tipo. 
 
a) Cada embalagem terá que quantidade de uniforme? 
 
b) Qual é o total de embalagens? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) (PUC-MG) Um colecionador possui um número de moedas compreendidos entre 150 e 200. Agrupando essas 
moedas de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 36 em 36, sempre sobram 10 moedas. Quantas moedas têm o 
colecionador? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) Numa escola, a 1ª série tem 36 alunos e a 2ª série, 32. Para planejar uma competição será preciso organizar 
equipes com a mesma quantidade de alunos, sendo esta a maior possível. O número de alunos de cada equipe 
será, então: 
a) 8 
b) 4 
c) 9 
d) 12 
e) 10 
 
 
 
02) Para equipar uma repartição pública, 216 computadores e 168 impressoras serão distribuídos por várias salas. 
A distribuição será feita de tal modo que o maior número de salas sejam contempladas e que todas recebam a 
mesma quantidade de computadores e a mesma quantidade de impressoras, sem sobra de nenhum desses 
equipamentos. O número de impressoras que cada sala receberá é: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
 
03) Um comerciante pretende acomodar 600 latas de óleo de soja e 420 latas de óleo de milho em caixotes que 
deverão ter a mesma quantidade de latas, mas sem misturar os dois tipos de óleo em qualquer um dos caixotes. 
O menor número de caixotes que ele poderá usar é: 
a) 7 
b) 10 
c) 17 
d) 30 
e) 60 
 
 
 
04) Podemos dividir os alunos da 8ª série em grupos de 5, 8 ou 10 alunos, sem resto em nenhum dos casos. O 
menor número de alunos que esta turma pode ter é, então: 
a) 80 
b) 20 
c) 50 
d) 40 
 
 
 
05) O MMC entre dois números que são primos entre si: 
a) é o produto deles. 
b) é a soma destes dois números. 
c) é igual a 1. 
d) é o quociente deles. 
e) depende dos números. 
 
 
 
06) Sabendo-se que A = 2
x
 . 3
2
 . 5, B = 2
2x
 . 3
2
 . 5
2
 e que o MMC de A e B tem 45 divisores, qual é o valor de x? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
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07) Suponha que um cometa A atinja o ponto mais próximo da Terra em sua órbita a cada 20 anos; um cometa B 
a cada 30 anos e um cometa C a cada 75 anos. Se em 1985 os três estiveram, simultaneamente, o mais próximo 
possível da Terra, em que ano se dará a próxima ocorrência desse fato? 
a) 2280 
b) 2285 
c) 2290 
d) 2295 
e) 2300 
 
 
08) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 
40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo 
de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: 
a) 150 
b) 160 
c) 190 
d) 200 
e) 300 
 
 
09) Três campainhas tocam em intervalos regulares. A primeira a cada 20 segundos, a segunda a cada 24 
segundos e a terceira a cada 30 segundos. Se num dado instante, as três campainhas tocam ao mesmo tempo, 
depois de quantos segundos as campainhas irão tocar ao mesmo tempo novamente? 
 
 
 
 
 
 
 
10) Uma escola tem 360 alunos no turno da manhã e 288 alunos no turno da tarde. Para a realização de uma 
gincana. Deseja-se dividir esses alunos em grupos Cada alunos deve ter o mesmo número de alunos e esse 
número deve ser maior possível. Quantos alunos terá em cada grupo? Quantos grupos serão formados? 
 
 
 
 
 
 
 
11) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 
12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três algarismos do número total de fitas que 
ela possui é igual a: 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
 
12) (FUVEST-SP) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com frequências 
diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as 
luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente? 
a) 12 
b) 10 
c) 20 
d) 15 
e) 30 
 
 
 
 
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13) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, 
foram veiculados durante um tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de 
inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos os produtos, foi sempre a 
mesma, e a maior possível. 
 
Assim, o número total de comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a 
a) 32 
b) 30 
c) 24 
d) 18 
e) 16 
 
 
14) No almoxarifado de uma Unidade do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 caixas de lápis, cada qual 
com 12 unidades; 9 caixas de borrachas, cada qual com 8 unidades; 8 caixas de réguas, cada qual com 15 
unidades. Sabe-se que: 
a) todos os objetos contidos nas caixas acima relacionadas deverão ser divididos em pacotes e encaminhados a 
diferentes setores dessa Unidade; 
b) todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade de objetos; 
c) cada pacote deverá conter um único tipo de objeto. 
 
Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a serem distribuídos é um número compreendido entre: 
a) 10 e 20 
b) 20 e 30 
c) 30 e 40 
d) 40 e 50 
e) 50 e 60 
 
 
15) Considere dois grupos de agentes censitários, um deles com 66 agentes e o outro, com 72. Os dois grupos 
serão divididos em equipes de trabalho. Essas equipes deverão ter o mesmo número de agentes, sendo que 
todos os agentes de cada equipe devem ser originários do mesmo grupo. Desse modo, o número máximo de 
agentes por equipe será 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
 
 
16) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o 
terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de 
plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi 
a) 18/11/02 
b) 17/09/02 
c) 18/08/02 
d) 17/07/02 
e) 18/06/02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
B C C D A B B D 2 min 72 alunos; 9 grupos B A E B D D 
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2. RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
RAZÃO 
 
A razão entre os elementos A e B é dada pelo quociente 
B
A
, nesta ordem. 
 
O numerador A é chamado de antecedente e o denominador B consequente. 
 
Exemplos: 
1. Encontre a razão entre os números 0,5 e 0,333... . 
 
Razão = 
5,1
30
45
3
9
10
5
9
3
10
5
...333,0
5,0

 
Observação: 
0,5 = 5/10 
0,333... = 3/9 
 
 
2. Encontre a razão inversa entre os números 20% e 3. 
 
Razão inversa = 
15
2
30
2,0
3
%20
3

 
 
Observação: 
- No caso da razão inversa devemos inverter a ordem dada. 
- O produto entre as razões inversas 
B
A
 e 
A
B
 é igual a 1. 
Produto = 
B
A
 . 
A
B
 = 1 
 
Ou seja, o produto entre duas razões inversas é sempre igual a 1. 
 
ESCALA 
 
A Escala trata-se de uma razão que relaciona uma medida irreal com a sua correspondente
medida real. Por 
exemplo, quando dizemos que um mapa foi construído na escala 1/1000, estamos informando que cada unidade 
medida no mapa corresponde na realidade 1000 vezes àquele valor. A Escala serve para relacionar outros 
elementos assim como as medidas da planta de uma casa, maquete de um avião, maquete de um estádio de 
futebol, entre outros. 
 
 
aloCompriment
IrrealoCompriment
Escala
Re
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE AULA - RAZÃO 
 
01) Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da área construída para a área 
livre é: 
a) 6/5 
b) 3/5 
c) 4/5 
d) 1/10 
e) 2/5 
 
 
 
02) A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi representado por um segmento de 3 
cm é: 
a) 1 : 10.000 
b) 1 : 2.000 
c) 1 : 3.000 
d) 1 : 6.000 
e) 1 : 4.000 
 
 
 
03) A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de, aproximadamente, 400 km. Um carro levou 5 
horas para percorrer esse trajeto. Determine sua a velocidade média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Se uma região de 300 km² tem 15000 habitantes, então a densidade demográfica dessa região é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROPORÇÃO 
 
A Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. A mesma pode ser classificada como: 
 
Proporção simples 
Neste caso a igualdade acontece somente entre duas razões. 
 
D
C
B
A
 
 
 A, B, C e D são, respectivamente, o 1°, 2°, 3° e 4° termos da proporção. 
 A e C são os antecedentes da proporção (numeradores). 
 B e D são os consequentes da proporção (denominadores) 
 A e D são os extremos da proporção 
 B e C são os meios da proporção 
 
Proporção simples contínua 
Uma proporção simples é considerada contínua quando seus meios forem iguais. 
 
C
B
B
A
 
 
Proporção múltipla 
Neste caso a igualdade acontece entre três ou mais razões. 
 
...
F
E
D
C
B
A

 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA - PROPORÇÃO 
 
01) Calcular dois números positivos na proporção de 2 para 5 sabendo que a diferença do maior para o menor é 
42. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Na proporção múltipla x/3 = y/5 = z/6, determinar os valores de x, de y e de z sabendo que x + y + z = 112. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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03) (Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, 
por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros 
utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT). 
 
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que 
gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 
a) 24 litros 
b) 36 litros 
c) 40 litros 
d) 42 litros 
e) 50 litros 
 
 
 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
Em problemas que tratam de divisão proporcional faremos o uso de sucessões diretas ou inversamente 
proporcionais. 
 
Considere que as duas sucessões 
)x...,,x,x,x( n321
 e 
)y...,,y,y,y( n321
 sejam diretamente proporcionais. Neste 
caso, pode-se afirmar que: 
k
y
x
...
y
x
y
x
y
x
n
n
3
3
2
2
1
1 
(constante de proporcionalidade) 
 
Considere que as duas sucessões 
)x...,,x,x,x( n321
 e 
)y...,,y,y,y( n321
 sejam inversamente proporcionais. Neste 
caso, pode-se afirmar que: 
ky.x...y.xy.xy.x nn332211 
(constante de proporcionalidade). 
 
EXERCÍCIOS DE AULA – DIVISÃO DIRETAMENTE PROPORCIONAL 
 
01) Dividir o número 72 em três partes diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Dois jovens formaram uma sociedade, entrando o primeiro com R$ 4000,00 e o segundo com R$ 3000,00. Ao 
final de um ano, registrou-se um lucro de R$ 2100,00. Quanto do lucro cabe a cada sócio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
03) Três pessoas formaram uma sociedade entrando, cada uma delas, com o mesmo capital. A primeira ficou na 
sociedade 6 meses, a segunda permaneceu por 8 meses e a terceira, por 10 meses. Que parte do lucro de R$ 
1200,00 caberá a cada um dos três sócios? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA – DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
 
01) Dividir o número 72 em três partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um prêmio de R$ 
3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas cometidas em todo o campeonato. 
Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles respectivamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE AULA – DIVISÃO MISTA 
 
01) Dividir o número 720 em três partes que devem ser, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 1, 2 e 3 e 
também a 2, 3 e 4, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Dividir o número 147 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4 e, ao 
mesmo tempo, inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 5, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Três sócios lucraram, juntos, R$ 38000,00. O primeiro investiu R$ 5000,00 durante 1 ano, o segundo investiu 
R$ 4000,00 durante 6 meses e o terceiro investiu R$ 6000,00 durante 5 meses. Que parte do lucro cabe a cada 
um dos três sócios? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) Certa quantia foi dividida entre 3 pessoas em partes inversamente proporcionais ás sua idade, ou seja 20, 25 
e 32 anos. Se a pessoa mais nova recebeu R$ 200.000,00, então a mais velha recebeu: 
a) 180.000,00 
b) 160.000,00 
c) 128.000,00 
d) 125.000,00 
e) 120.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14 
02) Um pai deixou para seus filhos uma herança no valor de 5.500,00 para ser dividida entre eles na razão direta 
do número de dependentes de cada um. Sabendo-se que o primeiro herdeiro tem 2 dependentes, o segundo 3 e o 
terceiro 5, coube na partilha ao primeiro herdeiro a quantia de: 
a) 1.000,00 
b) 1.100,00 
c) 1.200,00 
d) 1.300,00 
e) 1.650,00 
 
 
 
03) Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões proporcionais ao número de carros que 
vendem. Se, em uma semana, o gerente pagou um total de 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 e 
9 carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu? 
a) 993,60 
b) 808,00 
c) 679,00 
d) 587,10 
e) 891,00 
 
 
 
04) Três técnicos arquivaram um total de 382 processos, em parte inversamente proporcionais as suas 
respectivas idade: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições é correto afirmar que o número de processos arquivados 
pelo mais velho foi. 
a) 112 
b) 126 
c) 144 
d) 152 
e) 164 
 
 
 
05) Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 840 
formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus tempos de serviços no tribunal, respectivamente 
6, 10 e 12 anos. O número de formulário que Bruno deverá conferir é: 
a) 250 
b) 240 
c) 300 
d) 320 
e) 200 
 
 
 
06) Uma gratificação deverá ser dividida entre dois funcionários de uma empresa, em partes que são ao mesmo 
tempo são inversamente proporcionais as suas respectivas idades e diretamente proporcionais
aos respectivos 
tempos de serviços na empresa, sabe-se também que X, tem 24 anos, trabalha há 5 anos na empresa, e Y, tem 
32 anos, e trabalha há 12 anos, se Y receber 1.800,00 o valor da gratificação é: 
a) 2.500,00 
b) 2.650,00 
c) 2.780,00 
d) 2.800,00 
e) 2.950,00 
 
 
 
 
 
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15 
07) Um pai distribui 345 bombons entre seus 3 filhos Bruna, Carlos e Rafael, em partes diretamente proporcionais 
a 1, 2, 3 e inversamente a 2, 3, 4. Então qual a quantidade de bombons que Bruna recebeu a menos que Carlos. 
a) 135 
b) 120 
c) 90 
d) 15 
e) 30 
 
 
 
08) Maria deu a seu dois filhos 162,00 em moedas de 0,50 e 0,25. Ela dividiu o dinheiro em partes diretamente 
proporcionais a idade de cada filho, que tem respectivamente 12 e 15 anos. Considerando que o filho mais jovem 
fico com todas as moedas de 0,25, quantas moedas de 0,50 Maria deu a seu filho mais velho. 
a) 180 
b) 160 
c) 90 
d) 72 
e) 60 
 
 
 
09) Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos matriculados em um curso e o número de 
alunos não concluintes desse curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os 
alunos concluintes desse curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de 
alunos matriculados nesse curso é 
a) 180. 
b) 260. 
c) 490. 
d) 520. 
e) 630. 
 
 
 
10) Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o número de pessoas que 
tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa 
padaria, e supondo que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de pessoas que tomarão 
café puro será: 
a) 72. 
b) 86. 
c) 94. 
d) 105. 
e) 112. 
 
 
 
11) Em uma concessionária de veículos, a razão entre o número de carros vermelhos e o número de carros 
prateados vendidos durante uma semana foi de 3/11. Sabendo-se que nessa semana o número de carros 
vendidos (somente vermelhos e prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa venda, o número de carros 
prateados superou o número de carros vermelhos em 
a) 96. 
b) 112. 
c) 123. 
d) 132. 
e) 138. 
 
 
 
 
 
 
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16 
12) Paulo acertou 75 questões da prova objetiva do último simulado. Sabendo-se que a razão entre o número de 
questões que Paulo acertou e o número de questões que ele respondeu de forma incorreta é de 15 para 2, e que 
5 questões não foram respondidas por falta de tempo, pode-se afirmar que o número total de questões desse 
teste era 
a) 110. 
b) 105. 
c) 100. 
d) 95. 
e) 90. 
 
 
 
13) Em uma sala de aula, a razão entre meninos e meninas é de 3 para 7, nesta ordem. Em agosto, entraram 
mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de colégio e isso fez com que a razão entre meninos e 
meninas agora fosse de 3 para 5. O número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou 
a ser de 
a) 28. 
b) 30. 
c) 32. 
d) 34. 
e) 38. 
 
 
 
14) Um pintor comprou 20 litros de uma tinta que vem de fábrica em uma concentração de um parte de água para 
quatro partes de tinta pura. Necessitando diluí-la ainda mais, o pintor resolve acrescentar certa quantidade de 
água à tinta que comprou de modo a obter uma mistura na proporção de uma parte de água para duas partes de 
tinta pura. Quantos litros de água o pintor deverá juntar à tinta que comprou para conseguir a nova proporção 
desejada? 
a) 6 litros 
b) 5 litros 
c) 4 litros 
d) 3 litros 
e) 2 litros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
D B A A B D E A E A A E C C 
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17 
3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
A regra de três é um método utilizado na resolução de problemas que tratam de grandezas direta ou inversamente 
proporcionais. 
 
Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra aumenta ou, 
diminuindo uma delas a outra diminui, na mesma proporção. 
 
Exemplo: Se dobrarmos o valor da distância a ser percorrida por um móvel, o valor do tempo também irá dobrar. Logo, 
distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais. 
 
Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas a outra diminui na 
mesma proporção ou, vice-versa. 
 
Exemplo: Se dobrarmos a velocidade de um móvel, o valor do tempo será dividido por dois. Logo, velocidade e 
tempo são grandezas inversamente proporcionais. 
 
 
A regra de três pode ser classificada como simples ou composta. 
 
A regra de três simples é utilizada na resolução de problemas que tratam de apenas duas grandezas direta ou 
inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: Uma máquina produz 600 peças em 20 minutos. Quantas peças essa máquina produzirá em 50 
minutos? 
50
20
tempo
x
600
peças 
 
Observação: 
As grandezas peças e tempo são diretamente proporcionais. Assim, a proporção que soluciona a regra e três é dada 
por: 
 
50
20
x
600

 ou 
20
50
600
x

 
Que resulta em x = 1500 peças. 
 
 
A regra de três composta é utilizada na resolução de problemas que tratam de três ou mais grandezas direta ou 
inversamente proporcionais. 
 
Exemplo: Um circo é armado por 15 homens que trabalham 10 horas por dia, durante 3 dias. Em quanto tempo 
armariam esse circo, 10 homens que trabalhassem 9 horas por dia? 
 
x
3
dias
9
10
dia/horas
10
15
enshom 
 
 
Observações: 
1. A grandeza dias é inversamente proporcional a horas/dia. 
 
2. A grandeza dias é inversamente proporcional a homens. 
 
 
 
 
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18 
Assim, a proporção que soluciona a regra de três é dada por: 
 
9
10
10
15
3

x
 ou 
10
9
15
103

x
 
 
Que resulta em x = 5 dias 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA – REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
01) Um automóvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Em 180 dias 24 operários constroem uma casa. Quantos operários serão necessários para fazer uma casa 
igual em 120 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA – REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
01) Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calças. Em quantos dias 12 costureiras poderão fazer 600 
calças iguais às primeiras? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvão. Se essa for aumentada para 20 
mineiros, em quanto tempo eles poderão extrair 7 toneladas de carvão? 
a) 42 dias 
b) 43 dias 
c) 44 dias 
d) 45 dias 
e) 46 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
03) Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessários 
para pintar o mesmo prédio? 
a) 8 dias 
b) 7 dias 
c) 6 dias 
d) 5 dias 
e) 4 dias 
 
 
 
04) Um navio tinha víveres para uma viagem de 15 dias. Três dias após o início da viagem, contudo, o capitão do 
navio recebe a notícia de que o mau tempo previsto para o resto da viagem deve atrasá-la em mais 4 dias. Para 
quanto terá de ser reduzida a ração de cada tripulante? 
a) para ¾ da quantidade original 
b) para 1/2da quantidade original 
c) para ¼ da quantidade original 
d) para 3/5 da quantidade original 
e) para 2/5 da quantidade original 
 
 
 
 
05) Uma turma de 15 operários pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias, entretanto, fizeram 
somente 1/3 da obra. Com quantos operários a turma original deverá ser reforçada para que a obra
seja concluída 
no tempo fixado? 
a) 35 
b) 36 
c) 37 
d) 38 
e) 39 
 
 
 
 
06) Uma certa quantidade de açúcar foi adquirida para que fosse consumida por 20 pessoas, em 6 dias, numa 
colônia de férias. Contudo, 5 dessas pessoas decidiram não comparecer. Mantendo-se o mesmo consumo diário 
por pessoa, essa quantidade de açúcar será consumida em quantos dias? 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
 
 
 
07) (UNICAMP) Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto um segunda torneira gasta 18 minutos 
para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos, ao 
fim desse tempo fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x + 3 minutos. 
Calcule o tempo gasto para encher o tanque. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) (UFPA) Cinco bordadeiras fazem 3/8 de uma toalha em 16 dias. Para acabar a toalha elas levarão: 
a) 30 dias. 
b) 28 dias e 12 h. 
c) 26 dias e 16 h. 
d) 18,7 dias. 
 
 
 
02) (UFMG) Uma empresa tem 750empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o 
almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já 
adquiridas seria suficientes para um número de dias igual a: 
a) 10. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 18. 
 
 
 
03) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número 
de funcionários necessários para que essa empresa produza6000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, 
é: 
a) 10. 
b) 14. 
c) 16. 
d) 18. 
e) 20 
 
 
 
04) (UMC – SP) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, 
esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá: 
a) 68 litros. 
b) 70 litros. 
c) 75 litros. 
d) 80 litros. 
 
 
 
05) (Vunesp) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o 
prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado: 
a) 2 horas a menos por dia. 
b) 2 horas a mais por dia. 
c) 3 horas a menos por dia. 
d) 3 horas a mais por dia. 
e) 4 horas a mais por dia. 
 
 
 
06) (UFSM – RS) Uma ponte é feita em 120dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado 
para 24, o número de dias necessários para a construção da mesma ponte será: 
a) 100. 
b) 128. 
c) 80. 
d) 60. 
e) 50 
 
 
 
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21 
07) (Fuvest – SP) Um nadador, disputando aprova de 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros 
em 3 minutos e 51segundos. Se este nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, 
completará a prova em: 
a) 4 minutos e 51 segundos. 
b) 5 minutos e 8 segundos. 
c) 5 minutos e 49 segundos. 
d) 6 minutos e 3 segundos. 
e) 6 minutos e 10 segundos. 
 
 
 
08) (Unifor–CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1.000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas 
impressoras produziriam 2.000 desses panfletos? 
a) 1 hora e 50 minutos. 
b) 2 horas. 
c) 2 horas e 30 minutos. 
d) 2 horas e 40 minutos. 
 
 
 
09) (EPCAR – MG) Um grupo A de 6pedreiros e 8 ajudantes executou 4/5de uma obra em 12 dias, trabalhando 6 
horas por dia. Por motivo de férias, o grupo A foi substituído por um grupo B de 8 pedreiros e 2 ajudantes que 
trabalhou 5 horas por dia para terminar a obra. Sabendo-se que a produção de 2 ajudantes equivale, sempre, à 
produção de 1 pedreiro e que não houve ausência de nenhum componente dos grupos de trabalho em nenhum 
dos dias, é correto afirmar que o grupo B: 
 
a) ao substituir o grupo A, acarretou um atraso de 1 dia no tempo em que a obra teria ficado pronta, caso a 
mesma tivesse sido concluída pelo grupo A. 
b) terminou a obra no tempo t > 5 dias. 
c) gastaria mais de 21 dias se tivesse executado a obra inteira. 
d) teria executado a parte feita pelo grupo A em menos de 15 dias. 
 
 
 
10) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se 
operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o 
número de peças produzidas seria de: 
a) 1000 
b) 2000 
c) 4000 
d) 5000 
e) 8000 
 
 
 
11) (Enem) Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam 
créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da 
pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos 
parques. Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta 
custa 9 200 tíquetes. Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, 
gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é 
a) 153. 
b) 460. 
c) 1 218. 
d) 1 380. 
e) 3 066. 
 
 
 
 
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22 
12) (Enem) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na 
bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. 
Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é 
de 
a) 12 kg. 
b) 16 kg. 
c) 24 kg. 
d) 36 kg. 
e) 75 kg. 
 
 
 
13) (Enem) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua 
localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento 
Global) com longitude de 124°3’0” a leste do Meridiano de Greenwich. 
 
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado) 
 
A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é 
a) 124,02°. 
b) 124,05°. 
c) 124,20°. 
d) 124,30°. 
e) 124,50°. 
 
 
 
14) (Enem) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não 
perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias 
trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos 
alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da 
campanha. 
 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final 
do prazo estipulado seria de 
a) 920 kg. 
b) 800 kg. 
c) 720 kg. 
d) 600 kg. 
e) 570 kg. 
 
 
 
15) (Enem) Determinada Estação trata cerca de 30.000 litros de água por segundo. Para evitar riscos de fluorose, 
a concentração máxima de fluoretos nessa água não deve exceder a cerca de 1,5 miligrama por litro de água. A 
quantidade máxima dessa espécie química que pode ser utilizada com segurança, no volume de água tratada em 
uma hora, nessa Estação, é: 
a) 1,5 kg. 
b) 4,5 kg. 
c) 96 kg. 
d) 124 kg. 
e) 162 kg. 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
C C C B A C B D A C D A B A E 
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23 
4. PORCENTAGEM 
 
A porcentagem assim como a razão é uma relação entre dois valores. 
 
Por exemplo, considere uma pessoa que recebe um salário de R$ 1000,00 e solicita um vale de R$ 90,00 na 
empresa onde trabalha. O percentual do salário solicitado pelo funcionário pode ser obtido pela razão entre o valor 
do vale e o valor total do seu salário. Assim: 
 
%909,0
100
9
00,1000
00,90
salário
vale

 
Observações: 
 
1. No exemplo dado 9% é a taxa percentual. 
2. A fração 
100
9
 é chamada de fração equivalente à taxa percentual de 9%. 
3. O número decimal 0,09 é chamado
de taxa unitária equivalente à taxa percentual de 9%. 
4. Toda taxa percentual pode ser escrita na forma de fração centesimal: 
100
X
%X 
 
5. Toda taxa milesimal pode ser escrita na forma de fração milesimal: 
1000
X
%X 0 
 
6. A taxa de 9% equivale à taxa de 
0%90
. 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA - PORCENTAGEM 
 
01) O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Serviço) é um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual 
o empregador é obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econômica Federal o valor de 8% do salário 
bruto do funcionário. Esse dinheiro deverá ser sacado pelo funcionário na ocorrência de demissão sem justa 
causa. Determine o valor do depósito efetuado pelo empregador, calculado o FGTS sobre um salário bruto de R$ 
1.200,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se uma 
valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar 
que o total da dívida dessa empresa, em reais, 
a) aumenta 8% 
b) aumenta 4,4% 
c) aumenta 1,6% 
d) diminui 1,4% 
e) diminui 7,6% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
03) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 
44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de 
custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. 
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? 
a) 10% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 36% 
 
 
 
04) (FUVEST) 95% da massa de uma melancia de 10 kg é constituída por água. A fruta é submetida a um 
processo de desidratação (que elimina apenas a água ) até que a participação da água na massa da melancia se 
reduza a 90%. A massa da melancia após o processo de desidratação será igual a: 
a) 5/9 kg 
b) 9/5 kg 
c) 5 kg 
d) 9 kg 
e) 9,5 kg 
 
 
 
 
05) (Fuvest) Barnabé tinha um salário de X reais em janeiro do ano passado. Recebeu aumento de 80% em maio 
e 80% em novembro. Depois disso, seu salário passou para 
a) 2,56X 
b) 1,6X 
c) X+160 
d) 2,6X 
e) 3,24X 
 
 
 
 
06) Na vitrine de uma loja lê-se: 
PRODUTO X 
Preço à vista: R$ 100 ou em duas parcelas mensais de: R$ 60,00 a primeira no ato e a segunda em 30 dias. 
Qual a taxa mensal de juros cobrada nesta oferta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
5. JUROS SIMPLES 
São os juros calculados pela capitalização simples. Nesse regime de capitalização, os juros são iguais em cada 
período e determinado pelo produto entre o capital e a taxa. 
 
CÁLCULO DO JURO E DO MONTANTE 
 
Considere um capital C aplicado durante n períodos a uma taxa i em cada período. Em um período, os juros 
correspondem a C.i (produto entre o capital e taxa), em n períodos teremos: 
 
 
 
 
C: capital ou principal 
i: taxa 
n: prazo da aplicação 
j: juro ou rendimento 
 
O capital acumulado (montante) é dado por M = C+J. Como J = C.i.n, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O capital tem crescimento linear em função do tempo, como mostrado no gráfico a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
Para um mesmo capital e prazo, duas taxas são consideradas equivalentes quando produzirem juros iguais. 
 
As taxas equivalentes são proporcionais aos respectivos prazos a que se referem. 
 
Como exemplos podemos citar: 
 
1% a.m. é equivalente a 12% a.a., pois um ano possui 12 meses. 
9% a.t. é equivalente a 3% a.m., pois um trimestre possui três meses. 
 
Exemplo 1: Encontrar a taxa anual equivalente a 10% a.q (ao quadrimestre), considerando a capitalização 
simples. 
 
meses12i
meses4%10
a 

 
n 
C 
M 
, onde: J = C.i.n 
M = C + J 
M = C + C.i.n 
M = C(1+ i.n) 
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26 
Resolvendo a regra de três obtemos: 
 
4ia = 120 
ia= 120/4 
ia = 30% a.a (ao ano) 
 
 
Veja que podemos fazer uso de uma regra de três simples, porém, podemos fazer direto, usando apenas uma 
multiplicação ia = 10% . 3 = 30% a.a, pois o ano possui 3 quadrimestres. 
 
 
JURO EXATO E JURO COMERCIAL 
 
O juro exato é obtido quando consideramos o mês com sua quantidade real de dias. Neste caso usamos o ano 
civil de 365 dias, ou 366 dias se o ano é bissexto. 
 
O juro comercial ou ordinário é obtido quando consideramos o mês com 30 dias. Neste caso usamos o ano 
comercial de 360 dias 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA – JUROS SIMPLES 
 
01) Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00, rende em um ano e meio, aplicado à taxa de 
6%a.a.? 
a) R$ 700,00 
b) R$ 1.000,00 
c) R$ 1,600,00 
d) R$ 600,00 
e) R$ 900,00 
 
 
 
 
02) João colocou metade de seu capital a juros simples pelo prazo de 6 meses e o restante, nas mesmas 
condições, pelo período de 4 meses. Sabendo-se que ao final das aplicações os montantes eram de R$ 117.000 e 
R$ 108.000, respectivamente, o capital inicial do capitalista era de: 
a) R$ 150.000 
b) R$ 160.000 
c) R$ 170.000 
d) R$ 180.000 
e) R$ 200.000 
 
 
 
 
03) Dois capitais foram investidos a juros simples em uma mesma data: um, no valor de R$ 6.250,00 foi aplicado à 
taxa de 2% a.m. e outro, no valor de R$6.000,00, à taxa de 2,5% a.m. Os montantes produzidos por esses capitais 
serão iguais ao completar-se um período de: 
a) 1 ano e 3 meses 
b) 1 ano 
c) 10 meses 
d) 8 meses 
e) 6 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE AULA – MONTANTE SIMPLES 
 
01) Calcule o montante produzido por capital de R$ 5.000,00, aplicado durante 3 meses a uma taxa de 15% a.m? 
a) R$ 7.500,00 
b) R$ 4.300,00 
c) R$ 3.000,00 
d) R$ 5.000,00 
e) R$ 7.250,00 
 
 
 
 
 
 
02) Qual o capital que em dois anos, à taxa de 5% a.a., produz um montante de R$ 6.600,00? 
a) R$ 5.400,00 
b) R$ 6.000,00 
c) R$ 4.200,00 
d) R$ 5.200,00 
e) R$ 6.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. JUROS COMPOSTOS 
 
No regime de capitalização composta, os juros calculados em um período se acumulam ao montante do início do 
período e esse novo montante é base de cálculo para os rendimentos no período seguinte. Isso é equivalente a 
dizer que a taxa, em cada período, incide sobre o valor acumulado do período anterior. 
 
CÁLCULO DO JURO E DO MONTANTE 
 
Considerando um capital C, aplicado a uma taxa de juros i, em cada período, após n períodos, o montante a juros 
compostos é dado por: 
 
 
 
 
 
O valor do juro é dado por J = M – C. Como o valor do montante é M = C(1 + i)
n
, podemos escrever que: 
 
]1)1[(
)1(



n
n
iCJ
CiCJ
CMJ
 
 
Obs: 
 
1. O fator (1+i)
n
 é chamado fator de acumulação de capital. 
2. O capital tem crescimento exponencial em função do tempo. 
 
 
 
Assim como no juro simples temos: 
 
C: capital ou principal 
i: taxa 
n: prazo da aplicação 
j: juro ou rendimento 
 
TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
A taxa nominal é a taxa cujo período não coincide com o período da capitalização. 
 
A taxa efetiva é a taxa cujo período coincide com o período da capitalização. 
 
Na resolução dos problemas deve-se usar sempre a taxa efetiva. Para efetivar uma taxa nominal usaremos a 
proporção. 
 
Exemplos: 
 
12% a.a. com capitalização mensal é uma taxa nominal; 
1% a.m. com capitalização
mensal é uma taxa efetiva. 
 
M = C(1+i)n 
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EXERCÍCIOS DE AULA – JURO COMPOSTO 
 
01) Fernando empresta o capital inicial de R$ 4000,00 (quatro mil reais) para Pedro cobrando juros compostos de 
4% ao mês. Pedro prometeu pagar tudo após 5 meses. Qual será o valor que ele terá que pagar? (Dado: (1,04)
5
 
=1,2165) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Determine o capital que aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% am produz um montante 
que excede em R$ 500,00 ao montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a 
juros simples de 4% am. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) (ENEM) Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os 
resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir. 
 
 
 
Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estava com hiperglicemia. Sua taxa de 
glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele 
conseguiu reduzir sua taxa 30% e na segunda etapa em 10%. Ao calcular sua taxa de glicose após as duas 
reduções, o paciente verificou que estava na categoria de 
a) hipoglicemia. 
b) normal. 
c) pré-diabetes. 
d) diabetes melito 
e) diperglimia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
02) (Enem) Em março de 2010, o Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) 
reajustou os valores de bolsas de estudo concedidas a alunos de iniciação científica, que passaram a receber RS 
360,00 mensais, um aumento de 20% com relação ao que era pago até então. O órgão concedia 29 mil bolsas de 
iniciação científica até 2009, e esse número aumentou em 48% em 2010. 
O Globo. 11 mar. 2010 
 
Caso o CNPq decidisse não aumentar o valor dos pagamentos aos bolsistas, utilizando o montante destinado a tal 
aumento para incrementar ainda mais o número de bolsas de iniciação científica no país, quantas bolsas a mais 
que em 2009, aproximadamente, poderiam ser oferecidas em 2010? 
a) 5,8 mil 
b) 13,9 mil 
c) 22,5 mil 
d) 51,5 mil 
e) 94,4 mil 
 
 
 
 
03) Num congresso de psicólogos estão presentes 1000 profissionais, entre homens e mulheres. Destes, 30 % 
fumam. De todas as mulheres, 60 % fumam, e de todos os homens, 20 % também fumam. O número de mulheres 
que não fuma é: 
a) 150 
b) 100 
c) 200 
d) 250 
e) 300 
 
 
 
 
 
04) (VUNESP) Os dados publicados na revista Veja de 12/4/2000 mostram que, de cada 100 pessoas com o 
ensino médio, apenas 54 conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm ensino 
médio, o número provável de pessoas do grupo, com o ensino médio, que, de acordo com os dados da pesquisa 
irão conseguir emprego, é: 
a) 375 
b) 405 
c) 450 
d) 750 
e) 1620 
 
 
 
 
 
05) Numa sala de 80 alunos a porcentagem de meninos é 40%. Se colocarmos mais 20 meninos na sala, a 
porcentagem de meninos passará a ser de: 
a) 44% 
b) 48% 
c) 50% 
d) 52% 
e) 65% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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06) (Enem) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios 
avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 
10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, 
vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 
ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera 
aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é 
o maior número admissível de doses para esse paciente? 
a) 3 doses. 
b) 4 doses. 
c) 6 doses. 
d) 8 doses. 
e) 10 doses. 
 
 
 
 
 
07) (PUC-SP) Uma certa mercadoria que custava R$ 12,50, teve um aumento, passando a custar R$ 14,50. A 
taxa de reajuste sobre o preço antigo é de: 
a) 2,0% 
b) 20,0% 
c) 12,5 % 
d) 11,6 % 
e) 16 % 
 
 
 
 
 
08) (Enem) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de 
R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque 
especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 
25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de 
R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse 
necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. 
 
A opção que dá a João o menor gasto seria 
a) renegociar suas dívidas com o banco. 
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. 
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. 
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de 
crédito. 
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque 
especial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
09) (Enem) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de 
adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 
4% do volume da mistura final seja formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa 
medida estimula a demanda de biodiesel, bem como possibilita a redução da importação de diesel de petróleo. 
 
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br.Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado). 
 
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodiesel ao diesel, serão consumidos 925 milhões de litros de 
biodiesel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final 
diesel/biodiesel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodiesel com a adição de 
3%? 
a) 27,75 milhões de litros. 
b) 37,00 milhões de litros. 
c) 231,25 milhões de litros. 
d) 693,75 milhões de litros. 
e) 888,00 milhões de litros. 
 
 
 
 
 
10) (UFPA) Uma fábrica produz suco de laranja diluindo concentrado de suco de laranja em água. Tendo 
produzido 10.000 litros de suco de laranja com (uma proporção de) 25% de água, e vendido 3.000 litros, necessita 
produzir, para uma encomenda urgente, 10.000 litros de suco de laranja com (uma proporção de) 20% de água. 
 
As quantidades de concentrado de suco de laranja e de água que devem ser adicionadas aos 7.000 litros de suco 
restantes para obter os 10.000 litros encomendados são: 
a) 2.800 litros de concentrado de suco de laranja e 200 litros de água. 
b) 2.750 litros de concentrado de suco de laranja e 250 litros de água. 
c) 2.700 litros de concentrado de suco de laranja e 300 litros de água. 
d) 2.650 litros de concentrado de suco de laranja e 350 litros de água. 
e) 2.600 litros de concentrado de suco de laranja e 400 litros de água. 
 
 
 
 
 
11) (UFMG) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, já incluídos R$ 120,00 
correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o 
pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não 
haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que 
Francisco pagou por esse pacote de viagem 
a) R$ 3 672,00. 
b) R$ 3 780,00. 
c) R$ 3 792,00. 
d) R$ 3 900,00. 
 
 
 
 
12) (UFMG) Após se fazer
uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino 
aumentou de 60 para 84 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de 30% para 24%. 
Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que o número de mulheres que frequentam esse clube, 
após a promoção, teve um aumento de 
a) 76%. 
b) 81%. 
c) 85%. 
d) 90%. 
 
 
 
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33 
13) (UDESC) No final do primeiro semestre deste ano, 40 acadêmicos participaram de uma pesquisa que 
objetivou analisar a frequência com que estes utilizaram o atendimento extraclasse do professor e/ou do monitor 
de uma determinada disciplina. Obteve-se o seguinte resultado: 20% dos acadêmicos procuraram atendimento 
tanto do professor quanto do monitor; 30% dos acadêmicos procuraram somente o atendimento do monitor; 15% 
dos acadêmicos não opinaram e 4 acadêmicos não procuraram atendimento do professor nem do monitor. Então 
o número de acadêmicos que procurou o atendimento somente do professor é igual a: 
a) 24 
b) 18 
c) 8 
d) 10 
e) 20 
 
 
 
 
 
14) Uma banana sem casca tem cerca de 70% de água e o restante de matéria sólida (que não se perde no 
processo de secagem). Na produção de banana-passa, a secagem deve ser feita em estufa, com circulação de ar 
aquecido a 65 graus entre bandejas, onde as bananas são acomodadas uma ao lado da outra, em fileiras. O 
tempo de secagem é de aproximadamente 24 horas para atingir o ponto de passa com 20% de umidade (isto é, o 
ponto em que a água represente 20% da massa total). Qual porcentagem a massa de banana-passa obtida 
representa em relação à massa total inicial de fruta? 
 
(Use, se necessário, que: 1 litro de água = 1 quilograma de água). 
 
a) 25%. 
b) 27,5%. 
c) 37,5%. 
d) 40%. 
e) 55,5%. 
 
 
 
 
 
15) (UFPR) Numa empresa de transportes, um encarregado recebe R$ 400,00 a mais que um carregador, porém 
cada encarregado recebe apenas 75% do salário de um supervisor de cargas. Sabendo que a empresa possui 2 
supervisores de cargas, 6 encarregados e 40 carregadores e que a soma dos salários de todos esses funcionários 
é R$ 57.000,00, qual é o salário de um encarregado? 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 1.800,00 
c) R$ 1.500,00 
d) R$ 1.250,00 
e) R$ 1.100,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34 
16) (Enem) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma 
aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: 
poupança e CDB (Certificado de Depósito Bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro: 
 
 
 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é: 
a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80 
b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56 
c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38 
d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21 
e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87 
 
 
 
 
 
17) (Enem) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de 
pagamento: 
 
Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55 000,00; 
 
Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais uma prestação de R$ 26000,00 para dali a 
6 meses. 
 
Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20 000,00, mais uma prestação de R$ 20000,00, para dali a 6 
meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da data da compra. 
 
Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando 
R$ 39 000,00. Opção 5: Pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60000,00. 
 
Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até 
um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida 
que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. 
Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais 
vantajoso financeiramente escolher a opção 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
18) (Enem) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas 
três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme 
descritas: 
 
Investimento A: 3 % ao mês 
 
Investimento B: 36 % ao ano 
 
Investimento C: 18 % ao semestre 
 
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas 
aproximações para a análise das rentabilidades: 
 
 
 
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá 
a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36 %. 
b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39 % 
c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos 
investimentos B e C. 
d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36 % é maior que as rentabilidades de 3 % do investimento 
A e de 18 % do investimento C. 
e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39 % ao é maior que a rentabilidade de 36 % ao ano dos 
investimentos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
D C B B D B E E D B C D D C C D D C 
 
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36 
7. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES. APLICAÇÕES 
 
Neste ponto estudaremos as formas de resolução das equações e inequações do 1º grau, sistema de equações 
de duas variáveis do 1º grau e a resolução das equações do 2º grau. 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Damos o nome de equação do 1° grau a toda expressão escrita na forma a x + b = 0. 
 
Observações: 
1. a e b são números reais que damos o nome de coeficientes; 
2. a 

0 é a condição de existência da equação; 
3. b é chamado de coeficiente independente da equação; 
4. x é a incógnita real; 
5. Para resolvermos uma equação do 1º grau devemos isolar a incógnita x. O valor obtido para x é chamado de 
raiz da equação, solução da equação ou número que satisfaz a equação. 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Damos o nome de inequação a toda sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade
);;;( 
. 
A mesma é considerada do 1º grau se for escrita na forma a x + b < 0, ou com qualquer outro sinal de 
desigualdade. 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Damos o nome de equação do 2° grau a toda expressão escrita na forma 
02  cbxax
. 
 
Observações: 
1. a, b e c são números reais que damos o nome de coeficientes; 
2. a 

0 é a condição de existência da equação; 
3. c é o termo independente da equação; 
4. x é a incógnita real; 
5. Para resolvermos uma equação do 2º grau podemos usar a Equação de Básckara: 
 
a
b
x
2


, onde 
acb 42 
 
 
O valor obtido para x é chamado de raiz da equação, solução da equação ou número que satisfaz a equação. 
 
A classificação da equação ou inequação é feita de acordo com o expoente da incógnita. 
 
Exemplos: 
 
1. A igualdade 
063 x
 trata-se de uma equação do 1º grau. 
2. A desigualdade 
063 x
 trata-se de uma inequação do 1º grau. 
3. A igualdade 
063 2 x
 trata-se de uma equação do 2º grau. 
 
 
 
 
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37 
NOTAÇÃO DE INTERVALO 
 
O intervalo numérico encontrado como solução de uma inequação pode ser descrito de várias maneiras. Abaixo 
citamos um exemplo
dos possíveis tipos de representação de uma inequação. 
 
 2x/xV 
 ou 
   2;ou2; 
 
 
Observações: 
 
1. Será usado 
   ;ou;
 para intervalos abertos nas duas extremidades; 
 
2. Será usado 
   ;ou;
 quando o intervalo for fechado à esquerda e aberto à direita; 
 
3. Será usado 
   ;ou;
 quando o intervalo for aberto à esquerda e fechado à direita; 
 
4. Será usado 
 ;
 para intervalos fechados; 
 
5. Nas extremidades em que ocorre o infinito a notação usada será a aberta; 
 
6. A notação usada será aberta quando o número que está na extremidade do intervalo não pertencer à solução 
da inequação. 
 
7. A notação usada será fechada quando o número que está na extremidade do intervalo pertencer à solução da 
inequação. 
 
8. A descrição da solução da inequação ainda poderá ser feita através da reta numérica, como veremos nos 
exercícios dados abaixo. 
 
EXERCÍCIOS DE AULA – PROBLEMAS DE EQUAÇÃO DE 1° E 2° GRAUS 
 
01) Um aluno, para se desfazer de sua biblioteca, deu a metade dos seus livros a um amigo, um quarto do resto a 
outro e ainda lhe sobraram 6 livros. Quantos livros possuía? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Robson gastou tudo o que tinha no bolso durante as compras em 5 lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais 
do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto tinha inicialmente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38 
03) (Enem) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada 
e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia 
primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. 
 
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). 
 
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o 
primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. 
Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no 
primeiro salto teria de estar entre 
a) 4,0 m e 5,0 m. 
b) 5,0 m e 6,0 m. 
c) 6,0 m e 7,0 m. 
d) 7,0 m e 8,0 m. 
e) 8,0 m e 9,0 m. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA – PROBLEMAS DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU 
 
01) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas entre sócios e 
não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$1400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que 
o preço do ingresso foi de R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse o valor, o número de sócios presentes 
ao show é: 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 140 
e) 160 
 
 
 
 
 
 
02) Dois produtos químicos P e Q dão usados em um laboratório. Cada 1 g (grama) do produto P custa R$ 0,03 e 
cada 1 g do produto Q custa R$ 0,05. Se 100g de uma mistura dos dois produtos custam R$ 3,60, a quantidade 
do produto P contida nesta mistura é : 
a) 70g 
b) 65g 
c) 60g 
d) 50g 
e) 30g 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39 
EXERCÍCIOS DE AULA – PROBLEMAS DE SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 
01) (UNIRIO) Marta vai se casar e N amigas suas resolveram comprar-lhe um presente no valor de R$ 300,00, 
cada uma delas contribuindo com a quantia de X reais. Na hora da compra, entretanto, uma delas desistiu de 
participar e as outras tiveram, cada uma, um acréscimo de R$15,00 na quota inicialmente prevista. Assim, a 
afirmação correta é: 
a) N=4 
b) X=R$ 60,00 
c) X=R$ 45,00 
d) X=R$ 50,00 
e) N=6 
 
 
 
 
 
02) (UFPE) Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor de 
Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divisão, 
cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a 
percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente? 
a) 85% 
b) 65% 
c) 60% 
d) 80% 
e) 75% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Duas torneiras enchem um reservatório em 15 horas. Sabendo-se que a torneira menor gata 16 horas a mais 
do que a torneira maior para encher o mesmo reservatório, calcular o tempo da torneira menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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40 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
01) (UFMG) Pai e filho, com 100 fichas cada um, começaram um jogo. O pai passava 6 fichas ao filho a cada 
partida que perdia e recebia 4 fichas quando ganhava. Depois de 20 partidas, o número de fichas do filho era três 
vezes a do pai. Quantas partidas o filho ganhou? 
a) 10 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 14 
 
 
 
 
 
 
02) (UFV-MG) Vicente levou três dias para pintar um muro. No primeiro dia, pintou 1/3 do comprimento do muro, 
no segundo dia, 3/4 do que faltava para ser pintado e no terceiro dia encerrou sua tarefa, pintando os 22 metros 
restantes. 
Qual o comprimento do muro? 
a) 142 m 
b) 164 m 
c) 132 m 
d) 152 m 
e) 144 m 
 
 
 
03) (UFRJ) Clarissa é uma típica consumidora de shopping. Seu pai lhe deu uma certa importância em dinheiro, 
para que comprasse algumas coisas. Ao passar por uma sapataria, encantou-se com um tênis e pagou por ele 1/5 
do que recebeu. Em seguida, entrou numa loja de roupas e comprou uma calça, pagando com 1/4 do que lhe 
restou. Clarissa ficou ainda com R$ 120,00. Pergunta-se: qual foi a quantia que Clarissa recebeu de seu pai? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) (Vunesp) Uma estrada foi percorrida por um ciclista em dois dias. No primeiro dia percorreu 0,35 da estrada 
pela manhã, 1/5 à tarde e 15/100 à noite. A parte da estrada que deixou para percorrer no dia seguinte foi de: 
a) 0,7 
b) 0,3 
c) 0,35 
d) 2/10 
e) 75/100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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41 
05) (Pucsp) Um feirante compra maçãs ao preço de R$0,75 para cada duas unidades e as vende ao preço de 
R$3,00 para cada seis unidades. O número de maçãs que deverá vender para obter um lucro de R$50,00 é: 
a) 40. 
b) 52. 
c) 400. 
d) 520. 
e) 600. 
 
 
 
 
 
06) (Ufc) Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário de seu marido e solicitou a um Buffet que 
fizesse 7 salgadinhos de um certo tipo para cada convidado. No dia da recepção, ao receber os salgadinhos, 
notou que havia 2 a mais do que o encomendado. Por outro lado, compareceram à recepção 3 convidados a mais 
do que o esperado. A dona da casa resolveu o imprevisto, distribuindo exatamente 6 salgadinhos para cada 
convidado presente. Com base nessas informações, assinale a opção que contém o número de salgadinhos 
preparados pelo buffet. 
a) 108. 
b) 114. 
c) 120. 
d) 126. 
e) 132. 
 
 
 
 
 
 
07) (Pucsp) Para publicar certo livro, há um investimento inicial de R$200000,00 e, depois, um gasto de R$5,00 
por exemplar. Calculando-se o custo por exemplar, numa tiragem de 4000 exemplares e numa tiragem de 16000 
exemplares, obtém-se, respectivamente, 
a) R$ 55,00 e R$ 22,00 
b) R$ 55,00 e R$ 13,75 
c) R$ 105,00 e R$ 30,00 
d) R$ 55,00 e R$ 17,50 
e) R$ 105,00 e R$ 26,25 
 
 
 
 
 
 
08) (Mackenzie) Num exercício de tiro ao alvo, o número de acertos de uma pessoa A foi 40% maior do que B. Se 
A e B acertaram juntas 720 tiros, então o número de acertos de B foi: 
a) 380. 
b) 320. 
c) 300. 
d) 220. 
e) 280. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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42 
09) (Fei) O acionista de uma empresa vendeu, no início de janeiro, 1/3 das ações que possuía. No início de 
fevereiro 1/3 das ações que restaram após a venda feita em janeiro. Repetiu o mesmo procedimento em março, 
abril, maio e junho,
quando após a venda possuía 256 ações. Quantas ações vendeu no início de abril? 
a) 128 
b) 384 
c) 576 
d) 288 
e) 192 
 
 
 
 
 
10) (Uerj) "HÁ MAIS TRUQUES ENTRE O PEIXE E A BALANÇA DO QUE IMAGINA O CONSUMIDOR..." 
 
Com balanças mais antigas (aquelas que utilizam duas bandejas), muitas vezes o peso é oco, ou seja, marca 
500g, mas pode pesar somente 300g, por exemplo. 
 
 
(Adaptado de O Dia, 28/08/98) 
 
Uma balança de dois pratos é usada para medir 2,5kg de peixe, da seguinte forma: em um prato está o peixe, no 
outro um peso de 2kg e mais um peso de 500g. O peixe contém, em suas vísceras, um pedaço de chumbo de 
200g. O peso de 500g, por ser oco, tem na verdade 300g. Se 1kg desse peixe custa R$12,60, o consumidor 
pagará, na realidade, por kg, o preço de: 
a) R$ 14,60 
b) R$ 15,00 
c) R$ 15,50 
d) R$ 16,00 
 
 
 
 
 
11) (Pucmg) Para cobrir eventuais despesas durante uma excursão, os estudantes A e B receberam quantias 
iguais. Ao final da excursão, A tinha 1/7 do total recebido e B, 1/8 do total recebido, ficando com R$2,00 a menos 
que A. O valor que cada estudante recebeu, em reais, é: 
a) 112 
b) 134 
c) 168 
d) 180 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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43 
12) (UEL-PR) Uma turma de torcedores de um time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do 
time para a torcida. Contataram com um fabricante que deu o seguinte orçamento: 
 
• arte-final mais serigrafia: R$ 90,00, independentemente do número de camisetas; 
• camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$ 6,50 por camiseta. 
 
Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja de R$ 7,00? 
a) 18 
b) 36 
c) 60 
d) 180 
e) 200 
 
 
 
 
 
13) (Ufpe) Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor de 
Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divisão, 
cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a 
percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente? 
a) 85% 
b) 65% 
c) 60% 
d) 80% 
e) 75% 
 
 
 
 
 
 
14) (Ufsj) Deseja-se dividir igualmente 1.200 reais entre algumas pessoas. Se três dessas pessoas desistirem de 
suas partes, fazem com que cada uma das demais receba, além do que receberia normalmente, um adicional de 
90 reais. 
Nessas circunstâncias, é CORRETO afirmar que 
a) se apenas duas pessoas desistissem do dinheiro, cada uma das demais receberia 60 reais. 
b) com a desistência das três pessoas, cada uma das demais recebeu 150 reais. 
c) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre oito pessoas. 
d) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre cinco pessoas. 
 
 
 
 
 
15) Sérgio está fazendo um regime alimentar. Numa conversa com seu amigo Olavo, este lhe perguntou: “Com 
quantos quilogramas você está agora?”. Como os dois são professores de matemática, Sérgio lhe respondeu com 
o desafio: “A minha massa atual é um número que, diminuído de sete vezes a sua raiz quadrada dá como 
resultado o número 44”. Assinale a alternativa que apresenta a massa atual do Prof. Sérgio, em quilogramas. 
a) 100 
b) 110 
c) 115 
d) 121 
e) 125 
 
 
 
 
 
 
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44 
16) (Ufpr) Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um 
certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, 
baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em 
dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido 
em dezembro era de: 
a) R$ 55,00. 
b) R$ 60,00. 
c) R$ 65,00. 
d) R$ 70,00. 
e) R$ 75,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) (Ueg) O dono de uma lanchonete comprou uma certa quantidade de sanduíches naturais por 
R$ 180,00
 e 
vendeu todos, exceto seis, com um lucro de 
R$ 2,00
 por sanduíche. Com o total recebido, ele comprou 30 
sanduíches a mais que na compra anterior, pagando o mesmo preço por sanduíche. Nessas condições, o preço 
de custo de cada sanduíche foi de: 
a) 
R$ 6,00 
b) 
R$ 5,00
 
c) 
R$ 3,00 
d) 
R$ 2,00
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
D C R$ 200,00 B C B D C D B A D D C D B C 
 
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45 
8. CONJUNTOS 
 
No estudo que iniciaremos agora vamos abordar intuitivamente as noções sobre teoria dos conjuntos, conjuntos 
numéricos e reta real. Chamaremos conjuntos de toda coleção, lista, etc. de números, pessoas, objetos, que 
apresentem alguma característica em comum. 
 
Um elemento pertence a um conjunto se ele possui características a ser analisada. O conceito de pertencer é um 
conceito primitivo. 
 
 
 
 
 
DIAGRAMA DE VENN 
 
É a representação de um conjunto através de uma linha poligonal fechada. Os elementos que pertencem ao 
conjunto ficam dentro da região primitiva pela linha. Os elementos que não pertencem ao conjunto ficam fora 
dessa região. 
 
Exemplo: 
 
 x 

 A 
 y 

 A. 
 
CONJUNTO VAZIO 
 
É um conjunto que não apresenta elementos. É representado por Ø ou { }. 
 
 
CONJUNTO UNIVERSO 
 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que podem ser utilizados em um determinado estudo. 
 
SUBCONJUNTO 
 
Dizemos que A é um subconjunto de B ou, A está contido em B, se todos os elementos de A forem elementos de 
B. 
 x 

 A → x 

 B 
 A 

 B lê-se “A está contido em B”. 
 Todo A é B. 
 
Propriedades: Dado um conjunto A, temos: 
 Ø 

 A. 
 A 

 A 
 A 

 B e 

 D, então A 

 D. 
 
 
x 

 A: lê-se “x pertence ao conjunto A” 
x 

 A: lê-se “x não pertence ao conjunto A” 
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46 
NÚMERO DE SUBCONJUNTO 
 
Para o conjunto A = {a, b, c} seus subconjuntos são: 
 Com zero elemento: Ø 
 Com 1 elementos: {a}, {b}, {c} 
 Com 2 elementos: {a, b}, {a, c}, {b, c} 
 Com 3 elementos: {a, b, c} 
 
Observe que ilustrado as possibilidades e efetuando a contagem, temos 8 subconjuntos. 
 
Para um conjunto com n elementos temos 2
n
 subconjuntos. 
 
n(P(A)) = 2
n 
 
n(P(A)) = 2
n 
= número das partes de A ou número de subconjuntos de A. 
 
UNIÃO DE CONJUNTOS 
 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por elementos que pertencem a A ou pertencem a B. 
 
x 

 A

B ↔ x 

 A ou x 

 B 
 
Podemos representar a união por: 
 
 
 
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS 
 
A intersecção entre conjuntos A e B é o conjunto formado por elementos que pertencem a A e pertencem a B. 
 
x 

 A 

B ↔ x 

 A ou x 

 B 
 
Podemos representar a intersecção por: 
 
 
 
DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS 
 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por elementos que pertencem a A mas não pertencem 
a B. 
 
X 

 A - B ↔ x 

 A ou x 

 B 
 
 
 
 
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47 
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO 
 
Se A 

 B representa a união entre conjuntos A e B e n (A 

 B) representa o número de elementos da união, 
então: 
 
n(A 

 B) = n(A) + n(B) – n(A 

 B) 
 
 n(A): número de elementos de A. 
 n(B): número de elementos de B. 
 n(A 

 B): número de elementos comuns a A e B. 
 
Exemplos: 
 
1. Numa classe de 50 alunos, 12 jogam vôlei e 17