Fundamentos de Eletricidade e Magnetismo- Tópico 2

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CAMPO ELÉTRICO 
 
 
 
 
 
 
 
Hugo de León Carvalho Cedro 
 
 
 
 Campo elétrico 
 
2 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula Campo elétrico. A partir dos conceitos de carga elétrica 
e força elétrica, vamos desenvolver a teoria do campo elétrico. A matemática 
utilizada para tal envolverá o conceito de vetores e algumas integrais, variando de 
integrais simples a integrais complexamos, nas quais utilizaremos tabelas 
auxiliares para resolução. Também vamos abordar o conceito de distribuição 
discreta de cargas, o que envolverá a relação entre cargas puntiformes, em 
seguida, a distribuição contínua de cargas, que envolverá uma quantidade grande 
de somatórios de cargas elétricas, nos direcionando ao cálculo integral. 
 
INTRODUÇÃO 
 A apresentação das cargas elétricas pode ocorrer de forma unidimensional, 
bidimensional ou tridimensional, em cada um desses arranjos haverá uma interação entre 
essas cargas, nessas interações, forças elétricas estão atuando. Assim, cada carga exerce 
uma força elétrica sobre as demais, independente da ação desta força (atração ou 
repulsão). A partir deste ponto vamos analisar como uma distribuição de cargas exerce 
forças sobre determinado ponto a partir de duas perspectivas, na primeira temos uma 
distribuição discreta de cargas elétricas que atua sobre determinado ponto do espaço, na 
segunda, vamos analisar uma distribuição contínua de cargas elétricas e utilizar o conceito 
de densidade de carga elétrica para determinar o campo elétrico em um ponto no espaço. 
Nas duas situações vamos perceber que o campo elétrico é um campo vetorial, assim, o 
modo de tratamento matemático do campo elétrico será semelhante ao realizado para as 
forças elétricas. 
 
CAMPO ELÉTRICO 
 A definição de campo elétrico está diretamente relacionada ao conceito de força 
elétrica, para entender o que é um campo elétrico, vamos analisar uma distribuição 
discreta de cargas no plano. 
 Para essa distribuição de cargas, temos as cargas q1, q2, q3 ... qN, cada uma dessas 
cargas exerce uma força elétrica com ação de atração ou repulsão sobre as demais, mas 
neste ponto queremos analisar especificamente a força que é exercida sobre determinado 
ponto no plano. 
 Assim, introduzimos uma nova carga q0, vamos analisar as forças que atuam sobre 
essa carga, para isto utilizamos a equação 2.1. 
 Campo elétrico 
 
3 
�⃗�0 = �⃗�01 + �⃗�02 + �⃗�03 + �⃗�04 + ⋯ + �⃗�0𝑁 
(2. 1) 
 
A solução dessa equação é: 
 
�⃗�0 = 𝐾
𝑞1𝑞0
𝑟01
2
�̂�01 + 𝐾
𝑞0𝑞2
𝑟02
2
�̂�02 + 𝐾
𝑞0𝑞3
𝑟03
2
�̂�03 + 𝐾
𝑞0𝑞4
𝑟04
2
�̂�04 + ⋯ + 𝐾
𝑞0𝑞𝑁
𝑟0𝑁
2
�̂�0𝑁 
(2. 2) 
 É fácil perceber que alguns fatores são comuns, vamos reunir esses fatores e 
utilizar a expressão para a constante eletrostática que possui a permissividade elétrica no 
denominador. 
�⃗�0 =
𝑞0
4𝜋0
(∑
𝑞𝑘
𝑟0𝑘
2
�̂�0𝑘
𝑁
1
) 
(2. 3) 
 A equação 2.3 nos fornece uma versão compacta para o cálculo da força elétrica 
que atua sobre a carga 𝑞0. Dividindo os dois lados por 𝑞0, obtemos 2.4: 
 
�⃗�0
𝑞0
=
1
4𝜋0
(∑
𝑞𝑘
𝑟0𝑘
2
�̂�0𝑘
𝑁
1
) 
(2. 4) 
 Agora nos aproximamos da definição de campo elétrico, observe que o lado 
direito da equação 2.4 não depende da carga q0, é uma situação na qual estamos 
analisando as forças que atuam no local onde estava a carga q0, mas sem a presença desta 
carga, em outras palavras, estamos analisando o somatório das forças que atuam em um 
ponto no espaço. Perceba que a análise ainda é vetorial, desta forma, podemos tratar do 
plano ou do espaço, pois 2.4 está compactado na forma vetorial, comportando a dimensão 
necessária para o desenvolvimento da solução que desejamos encontrar. 
 Outra característica interessante da situação apresentada por 2.4 é que se 
colocarmos uma carga qx, diferente de q0, conseguimos calcular a força que atua sobre 
essa carga do mesmo modo que poderíamos calcular as forças sobre q0. 
 É fácil perceber que as forças elétricas que calculamos se modificam em cada 
ponto do espaço, devido ao arranjo estático das cargas, então, como a força eletrostática 
que atua sobre determinado ponto é um vetor, existe um campo vetorial de forças devido 
a essa distribuição de cargas. 
 O campo elétrico é um vetor que nos permite identificar o módulo da força elétrica 
por unidade de carga, é uma propriedade em um ponto do espaço criada por um objeto 
carregado. Retomando o lado esquerdo da equação 2.4 e realizando a análise dimensional, 
temos: 
 Campo elétrico 
 
4 
�⃗�0
𝑞0
=
1
4𝜋0
(∑
𝑞𝑘
𝑟0𝑘
2
�̂�0𝑘
𝑁
1
) = [
𝑁
𝐶
] 
(2. 5) 
 Com a definição de campo elétrico, podemos escrever formalmente sua definição 
matemática, utilizando 2.5, como segue: 
�⃗�0
𝑞0
= �⃗⃗�(𝑟) 
(2. 6) 
 
 A equação 2.6 mostra a definição matemática de campo elétrico, percebam que 
temos o símbolo E para o campo elétrico, com uma seta, indicando que o campo elétrico 
é um vetor, o que faz sentido visto que o cálculo do campo elétrico é realizado com o 
vetor força elétrica. 
 Outro detalhe importante que podemos identificar é o subscrito “r”, este indica 
que o campo elétrico é função de r, sabemos que “r” indica um ponto no espaço, através 
de suas coordenadas cartesianas. Portanto, o vetor campo elétrico no espaço possui três 
componentes escritas em função dos vetores unitários correspondentes aos eixos 
ortogonais. 
 Fique atento para as unidades de medida de cada termo da equação 2.6, temos a 
força medida em Newton (N) e a carga em Coulomb (C), portanto a unidade de medida 
do campo elétrico é N/C, como apresentado na equação 2.5. 
 Observe que a carga q0 utilizada para calcular o campo elétrico em determinado 
ponto do espaço, não deve possuir um valor que interfira na medida, ou que perturbe a 
distribuição de cargas, por este motivo em uma definição mais formal dizemos que q0 é 
uma carga puntiforme infinitesimal e 𝑞0 → 0. 
 Quando estamos interessados unicamente na intensidade do campo elétrico 
gerado pelas cargas, podemos simplificar a expressão 2.5 da seguinte forma: 
𝐸 =
1
4𝜋0
|𝑞|
𝑟2
 
(2. 7) 
 Para finalizar nossa formulação conceitual do campo elétrico, observe que a partir 
das equações 2.5 e 2.6, de acordo com as informações que possuímos podemos calcular 
a força elétrica utilizando 2.7: 
�⃗�0 = 𝑞0. �⃗⃗�(𝑟) 
(2. 8) 
 
 Campo elétrico 
 
5 
LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 
 Cada carga elétrica, na presença de uma carga de prova, gera uma força 
eletrostática no espaço que atrai ou repele outra carga, quando analisamos essas forças 
elétricas ao longo de vários pontos do espaço, estamos identificando a direção e sentido 
do campo elétrico nessa região, sua representação visual é dada pelas linhas de campo 
elétrico. 
 Essas linhas, são a junção dos vetores campo elétrico em cada ponto do espaço, 
algumas características importantes são levantadas com experimentos simples. Se 
colocarmos uma esfera com carga negativa próxima a uma carga de prova positiva, 
percebemos que a carga de prova positiva será atraída para o centro da esfera carregada 
com carga negativa. 
 Se trocarmos a carga de prova, para uma carga negativa, percebemos que a carga 
de prova negativa será repelida pela esfera com carga negativa, o que ocorre pela presença 
de uma força elétrica. 
 Com essas informações podemos perceber que o vetor campo elétrico tem a 
direção que passa pelo centro da esfera carregada, mas possui um sentido específico que 
aponta para o centro da esfera com carga negativa. Assim, são informações importantes 
sobre as linhas de campo elétrico: 
• O vetor campo elétrico é tangente às linhas de campo; 
• A concentração das linhas está diretamente relacionada a intensidade do campo 
elétrico; 
• Linhas de campo afastadas indicam um campo de menor intensidade; 
• Linhas de campo concentradas indicam um campo de maior intensidade; 
• As linhas de campose afastam das cargas positivas; 
• As linhas de campo se aproximam das cargas negativas; 
• As linhas de campo não se cruzam; 
 Da última característica, percebemos que se duas cargas de mesmo sinal se 
encontram próximas, suas linhas de campo não se interceptam, mas fazem uma curva de 
modo que cada uma toma direção diferente da outra. Observe essas imagens no capítulo 
relativo ao campo elétrico no livro Física III, Sears e Zemansky: Eletromagnetismo. 
 Uma característica muito importante de uma partícula carregada em um campo 
elétrico é a direção e sentido do seu movimento em relação a direção e sentido do campo 
elétrico. Vimos que uma carga de prova positiva se aproxima de uma esfera com carga 
 Campo elétrico 
 
6 
negativa, caso a carga de prova seja negativa ela se afasta. Lembrando que o sentido das 
linhas de campo em relação a cargas positivas é entrando nas cargas, ou se aproximando 
delas, percebemos que as cargas positivas “caminham” na direção e sentido do campo 
elétrico, já as cargas negativas “caminham” na mesma direção das linhas de campo, mas 
em sentido oposto. 
 
 
CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE CARGAS 
 Vamos começar analisando o caso mais simples possível no qual a nossa 
distribuição de cargas possui apenas uma carga, desta forma com N=1, esta carga 
puntiforme se localiza na origem, então temos o vetor 𝑟1 = (0 ,0), perceba que temos uma 
notação vetorial para o plano onde x=0 e y=0. Do mesmo modo poderíamos analisar o 
vetor como 𝑟1 = (0 ,0 ,0) no espaço, acrescentando z=0, pois a partícula se encontra na 
origem. 
 Agora podemos calcular, incialmente de forma algébrica, o campo elétrico que 
atua em ponto r do espaço devido à presença de uma carga q1. Utilizando 2.6 obtemos: 
�⃗⃗�(𝑟) =
1
4𝜋0
𝑞1
𝑟1𝑟
2
�̂�1𝑟 
 O vetor unitário �̂�1𝑟 indica o vetor posição que parte da carga q1 e vai até o ponto 
r, com coordenadas x e y, escrevemos �̂�1𝑟 desta forma: 
�̂�1𝑟 =
𝑟𝑟 − 𝑟1
|𝑟𝑟 − 𝑟1|
 
 Substituindo na expressão para o campo elétrico, temos: 
�⃗⃗�(𝑟) =
1
4𝜋0
𝑞1
(|𝑟𝑟 − 𝑟1|)2
𝑟𝑟 − 𝑟1
|𝑟𝑟 − 𝑟1|
 
 Vale destacar que 𝑟1𝑟 é um valor escalar, por isto é dado pelo módulo |𝑟𝑟 − 𝑟1|, 
existe um modo específico para calcular este módulo, dado por 2.8: 
|𝑟𝑟 − 𝑟1| = √(𝑟𝑟𝑥 − 𝑟1𝑥)2 + (𝑟𝑟𝑦 − 𝑟1𝑦)
2
 
(2. 9) 
 Voltando ao nosso problema inicial e unidimensional, temos uma carga elétrica 
q1 localizada na origem e queremos calcular o campo elétrico em um ponto r sobre o eixo 
x, desta forma as coordenadas em x e y para a partícula q1 são nulas, assim como a 
coordenada y do ponto r. Observe na figura 1. 
 
 Campo elétrico 
 
7 
Figura 1: Carga q1 e ponto r. 
 
Fonte: Cedro (2022) 
 
 Substituindo esses valores na expressão para o campo elétrico, encontramos: 
�⃗⃗�(𝑟) =
1
4𝜋0
𝑞1
𝑟𝑟𝑥
2
𝑟𝑟𝑥
𝑟𝑟𝑥
=
1
4𝜋0
𝑞1𝑟𝑟𝑥
𝑟𝑟𝑥
3
 
 Observe que nesta situação podemos utilizar diretamente a expressão 2.7, vamos 
realizar o cálculo considerando que a carga q1=4𝜋0, vamos primeiro utilizar a expressão 
acima, em seguida a 2.7, obtemos o mesmo resultado como segue: 
�⃗⃗�(𝑟) =
1
4𝜋0
𝑞1
(|𝑟𝑟 − 𝑟1|)2
𝑟𝑟 − 𝑟1
|𝑟𝑟 − 𝑟1|
 
=
1
4𝜋0
𝑞1
(|𝑟𝑟 − 𝑟1|)2
𝑟𝑟 − 𝑟1
√(𝑟𝑟𝑥 − 𝑟1𝑥)2 + (𝑟𝑟𝑦 − 𝑟1𝑦)
2
 
=
1
4𝜋0
4𝜋0
(|𝑟𝑟 − 𝑟1|)2
(3 , 0) − (0 , 0)
√(3 − 0)2 + (0 − 0)2
=
1
(|𝑟𝑟 − 𝑟1|)2
3
3
 
=
1
(√(3 − 0)2 + (0 − 0)2)2
=
1
9
 
𝑁
𝐶
 
 Com 2.7 temos: 
𝐸 =
1
4𝜋0
|𝑞|
𝑟2
=
1
4𝜋0
4𝜋0
32
=
1
9
 
𝑁
𝐶
 
 Perceba que temos o módulo do campo elétrico em r=3, gerado por uma carga 
positiva. Só conseguimos utilizar de forma simples a equação 2.7 por se tratar de uma 
situação unidimensional com uma carga. Lembre-se que o campo elétrico é um vetor, em 
outras situações será necessário analisar o sinal do vetor no ponto em questão. 
 Tente resolver o mesmo exercício colocando uma carga q2=4𝜋0 na posição x=6, 
mantendo a carga q1=4𝜋0 na origem. Você deve encontrar como resposta E=0. Em 
seguida troque o sinal das duas cargas positivas (deixe-as negativas), você também deve 
encontrar como resposta E=0. 
 Campo elétrico 
 
8 
 Agora, mantenha q1=4𝜋0 na origem, utilize q2=−4𝜋0 na posição x=6, lembre-
se que o vetor campo elétrico se aproxima de cargas negativas e se afasta de cargas 
positivas (o sinal é dado pelo sentido do vetor), o cálculo do campo elétrico no ponto r 
nos dá o valor 2/9 N/C, invertendo o sinal das cargas você deve encontrar -2/9 N/C. 
 A resolução das situações mencionadas indica o entendimento dos conceitos 
apresentados. 
 Para finalizar esta parte, vamos analisar uma situação bidimensional, como 
mostrado na figura 2. Temos 3 cargas puntiformes dispostas em torno da origem, com 
q1=4𝜋0, q2=−8𝜋0 e q3=−4𝜋0. Vamos calcular o campo elétrico gerado no ponto A. 
 
Figura 2: Distrivuição de cargas no plano. 
 
Fonte: Cedro (2022) 
 A carga 1 possui o campo apontando para fora, as cargas 2 e 3 possuem um campo 
elétrico que aponta na direção delas, assim podemos desenhar o campo como na figura 3. 
 
Figura 3: Campo elétrico gerado pelas cargas. 
 
Fonte: Cedro (2022) 
 Atenção para a posição das setas do vetor campo elétrico, este ponto é 
fundamental para resolução da questão. Percebemos que cada vetor campo elétrico possui 
duas componentes devido a suas projeções em x e em y. 
 Campo elétrico 
 
9 
 Para não utilizar expressões extremamente carregadas, podemos realizar os 
cálculos para cada componente separadamente. Observe que o ângulo que cada vetor 
realiza com a horizontal é de π/4. De forma simples podemos calcular as componentes 
horizontais utilizando o vetor unitário que será igual ao cosseno do ângulo formado, para 
a componente y, de modo semelhante, porém será utilizado o seno do ângulo. 
 Vamos decompor os vetores na origem, como na figura 4. 
 
Figura 4: Decomposição do vetor campo elétrico. 
 
Fonte: Cedro (2022) 
 Observe que E1 e E3 estão sobrepostos, o que significa que podem ser somados. 
E2 possui o dobro do tamanho de E1 e de E3. Vemos que o sinal de E2 é positivo, e dos 
demais negativo, na verdade não é necessário realizar nenhum cálculo pois visualmente 
é perceptível que a soma desses vetores campo elétrico é nula, já que E2 é o dobro de E1, 
E1=E3, somando E1+E3, temos o valor de E2 com sinal oposto. Mas vamos realizar esse 
cálculo para comprovar. 
𝐸𝑦 =
1
4𝜋0
|𝑞|
𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝐸𝑦 =
1
4𝜋0
∑
|𝑞|
𝑟2
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
 
𝐸𝑦 =
1
4𝜋0
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
(
𝑞2 − 𝑞1 − 𝑞3
𝑟2
) 
𝐸𝑦 =
1
4𝜋0
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
(
8𝜋0 − 4𝜋0 − 4𝜋0
𝑟2
) = 0 
 Campo elétrico 
 
10 
 De modo semelhante vamos calcular a componente x, a diferença reside nos 
sinais, realize o desenho dos vetores de modo semelhante a figura 4 (mas na horizontal). 
𝐸𝑥 =
1
4𝜋0
|𝑞|
𝑟2
𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝐸𝑥 =
1
4𝜋0
∑
|𝑞|
𝑟2
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
 
𝐸𝑥 =
1
4𝜋0
𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
(
𝑞2 + 𝑞1 + 𝑞3
𝑟2
) 
𝐸𝑥 =
1
4𝜋0
𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
(
8𝜋0 + 4𝜋0 + 4𝜋0
√8
2 ) 
𝐸𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
(
4
8
) =
√2
2
.
1
2
=
√2
4
 
𝑁
𝐶
 
 
CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGAS 
 Para finalizar, vamos tratar das distribuições contínuas de carga. Quando 
pensamos em uma distribuição contínua, é importante entender que estamos tratando de 
um número muito grande de cargas, tanto que se queremos resolver os problemas 
expostos até aqui para este tipo de situação seria necessário realizar milhões de cálculos. 
 Assim, surge naturalmente o conceito da distribuição contínua de cargas sobre um 
corpo. Perceba que a principal diferença entre a distribuição discreta e a contínua reside 
no fato que distribuições discretas possuem cargas pontuais que podem ser diferenciadas, 
nas distribuições contínuas o número de cargas é imenso em uma região do espaço. 
 Analisando um corpo com volume V, a distribuição de cargassobre esse volume 
pode ocorrer de forma uniforme (regular) ou não. Se olhamos para um pequeno elemento 
de volume, infinitesimal dV, que possui no seu interior uma quantidade de carga 
infinitesimal dq, é possível determinar a quantidade de carga no volume V se conhecemos 
uma função ρ(V) que descreve a forma matemática da distribuição de cargas no interior 
desse volume. O que nos leva a: 
𝑑𝑞 = ρ(V). dV 
(2. 10) 
 De modo semelhante ao cálculo da massa específica, podemos definir para as 
cargas em uma distribuição contínua a densidade de carga. Esta densidade de carga pode 
ser distribuída sobre um volume, sendo chamada de densidade volumétrica de carga, 
como segue: 
 Campo elétrico 
 
11 
𝑑𝑞
𝑑𝑉
= ρ 
(2. 11) 
 Quando distribuída sobre uma superfície, recebe o nome de densidade superficial 
de carga, e toma a forma: 
𝑑𝑞
𝑑𝐴
= σ 
(2. 12) 
 Quando distribuída sobre uma linha, recebe o nome de densidade linear de carga, 
e toma a forma: 
𝑑𝑞
𝑑𝑙
= γ 
(2. 13) 
 
 Assim, para realizar o cálculo do campo elétrico de uma distribuição contínua de 
cargas, utilizamos o elemento de carga infinitesimal dq, desta forma encontramos 
contribuições dE do campo elétrico em determinado ponto devido a uma distribuição de 
cargas, como segue: 
𝑑�⃗⃗�(𝑟) =
1
4𝜋0
𝑑𝑞1
𝑟1𝑟
2
�̂�1𝑟 
 Concluímos então que: 
�⃗⃗�(𝑟) = ∫ 𝑑�⃗⃗�(𝑟) 
 Considerando uma distribuição contínua de cargas sobre um volume V, 
substituindo dq, o processo nos leva a forma final: 
�⃗⃗�(𝑟) = ∫
1
4𝜋0
𝜌𝑑𝑉
𝑟1𝑟
2
�̂�1𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Campo elétrico 
 
12 
 
 
RESUMO 
 
Nesta aula você aprendeu o conceito de campo elétrico, que podemos considerar 
como o principal resultado desta aula. Percebemos que é possível aplicar os 
conceitos de campo elétrico para calcular a força elétrica exercida sobre uma carga 
se conhecemos o campo elétrico que atua neste ponto. Em seguida definimos 
diversas características do campo vetorial que forma as linhas de campo elétrico, 
que permitem determinar a direção de movimento de partículas carregadas 
colocadas sobre essas linhas, assim como a determinação da carga elétrica de 
partículas de acordo com o seu movimento. Tratamos os conceitos de distribuição 
de cargas, definindo uma distribuição discreta de cargas como a distribuição que 
possui cargas puntiformes diferenciáveis, que permitem um cálculo mais simples 
do campo elétrico, assim como o conceito de distribuição contínua de cargas, 
utilizando o infinitesimal dq para o cálculo da densidade de cargas que permite 
determinar o campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas. 
 
 
 
 
 
 Campo elétrico 
 
13 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
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Curitiba: Intersaberes, 2017. 
 
 
MACIEL, E. B. Fundamentos da física. Curitiba: Intersaberes, 2021. 
 
 
NOTAROS, B. M. Eletromagnetismo. São Paulo: Pearson education do Brasil, 2012. 
 
 
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RAMOS, A. Eletromagnetismo. São Paulo: Blucher, 2016. 
 
 
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eletricidade e magnetismo. São Paulo: Blucher, 2018. 
 
 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III: Eletromagnetismo, Sears e Zemansky: 
Eletromagnetismo. 12. Ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009.