Lista de Exercícios 1

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Lista de Exerc´ıcios 1: Matrizes e Sistemas
Lineares
Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Matema´tica
MTM5512 - Geometria Anal´ıtica
1. Determine os valores de x, y e z que tornam verdadeira a igualdade[
y + x 2
3 4
]
=
[
1 2
x− y z3
]
.
2. Determine o(s) valor(es) de x que torna(m) verdadeira a igualdade[
x2 − 3x 0
x2 − 6x 1
]
=
[
2x− 6 0
−x2 − 4 1
]
.
3. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade[
x2 + 5x x2
y2 − 5y y2 − 5
]
=
[
−6 3− 2x
0 4y
]
.
4. Determine os valores de a, b, c e d que tornam verdadeira a igualdade[
a + 2b 2a− b
2c + d c− d
]
=
[
4 −2
4 −3
]
.
5. Sabendo que a matriz A =
 1 x + 2y z − 44 5 5
3z + 6 3x− y 0
 e´ sime´trica, determine os
valores de x, y e z.
6. Sabendo que a matriz A =
 x + y y −52 2z + w 89
3z + w −89 0
 e´ antissime´trica, determine os
valores de x, y, z e w.
1
7. Considere as matrizes
A =
[
2 3 8
4 −1 −6
]
, B =
[
5 −7 −9
0 4 1
]
e C =
[
0 9 8
1 4 6
]
.
Calcule:
(a) A + B;
(b) B + C;
(c) A− C;
(d) C − A;
(e) 4A− 3B + 5C;
(f) 2B − 3A− 6C;
(g) Encontre a matriz X tal que X = 4C + 2A− 6B;
(h) (A− C)t + Bt.
8. Considere as matrizes
A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
 , B =
[
1 3 −5 −7
6 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
,
D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3
 , E =
 −2 1 41 0 3
−2 2 −1
 ,
F =
 3 0 00 −2 0
0 0 4
 e I =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 .
Calcule:
(a) AB;
(b) BA;
(c) (BA)C;
(d) B(AC) (compare com o item (c));
(e) BtAt (compare com o item (a));
(f) CtAtBt (compare com os itens (c) e (d));
2
(g) C2;
(h) C3;
(i) C4 (aqui, voceˆ pode calcular fazendo CC3, C3C ou C2C2);
(j) EF (note que F e´ diagonal e compare o resultado com a matriz E);
(k) FE (note que F e´ diagonal e compare o resultado com a matriz E);
(l) EI (note que I e´ a matriz identidade e compare o resultado com a matriz E);
(m) IE (note que I e´ a matriz identidade e compare o resultado com a matriz E);
(n) BAC − C2 + 3(BA)t.
9. Considere as matrizes
A = [ 3 ], B =
[
1 2
4 −3
]
, C =
 −3 2 12 −4 1
−2 −3 0
 ,
D =
 −1 0 12 5 −7
−2 3 2
 e E =

2 3 −3 −2
0 −1 1 4
3 2 −1 0
0 2 −2 −4
 .
Calcule:
(a) det(A);
(b) det(B);
(c) det(C);
(d) det(D);
(e) det(E);
(f) det(CD) (compare com os itens (c) e (d));
(g) det(DC) (compare com os itens (c) e (d));
(h) det(Ct) (compare com o item (c));
(i) det(4B) (compare com o item (b));
(j) det(−2B) (compare com o item (b));
(k) det(−3C) (compare com o item (c));
(l) det(C + D) (verifique se ha´ alguma relac¸a˜o com os itens (c) e (d)).
10. Calcule o determinante das matrizes abaixo fazendo uso do exerc´ıcio anterior e/ou
das propriedades do determinante:
3
(a) F =
[
5 10
4 −3
]
;
(b) G =
[
5 10
−8 6
]
;
(c) H =
 −6 4 24 −8 2
−4 −6 0
;
(d) I =

10 9
√
7 2
10 17 23 2
10 −3 15 2
10 21 −2
3
2
;
(e) J =

3 2 −1 0
0 −1 1 4
2 3 −3 −2
0 2 −2 −4
;
(f) K =
 −1 2 42 −3 −8
−3 5 12
;
(g) L =

2 3 0 −2
−1 0 0 3
3 −3 0 9
1 −1 0 3
;
(h) M =
 −3 2 10 −83 53
−2 −3 0
;
(i) N =

−1 3 7 9
0 −3 2 0
0 0 4 −5
0 0 0 2
;
(j) O =

3 0 0 0
−2 −1 0 0
5 −4 0 0
4 0 3 −10
;
(k) P =

2 0 0 0
0 −3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −2
.
4
11. Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo.
(a) A = [ −5 ];
(b) B =
[
−2 4
1 5
]
;
(c) C =
[
1 3
−2 −6
]
.
12. Considerando as matrizes do exerc´ıcio anterior, calcule:
(a) AA−1;
(b) BB−1;
(c) B−1B;
(d) det(B);
(e) det(B−1) (compare com o item (d));
(f) det(C).
13. Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma forma escalonada, encontre os
pivoˆs e determine o posto. Para as matrizes que forem quadradas, calcule o deter-
minante.
(a) A =
 1 2 −1−2 −3 2
1 4 5
;
(b) B =

2 1 3 4
3 2 4 5
2 2 1 0
−2 1 3 1
;
(c) C =

1 3 −4 0 −2
2 5 5 −2 1
−1 0 3 1 2
−3 −8 −1 2 2
1 −1 3 2 1
;
(d) D =
[
−2 3 1 4
1 2 −1 −1
]
;
(e) E =
[
−1 −2 3 6 1
]
;
5
(f) F =

−2
1
3
0
−4
;
(g) G =

1 −2
2 −3
−4 −2
5 0
;
(h) H =

1 2 1 2
−1 3 2 0
3 2 −1 4
2 1 4 0
;
(i) I =
 0 2 20 1 1
0 0 0
;
(j) J =

0 0 2 1
1 2 3 4
−2 −4 0 1
1 3 −1 2
.
14. Calcule o valor de k para que a matriz A =
[
2 3
6 k
]
na˜o tenha inversa.
15. Utilize o me´todo de Gauss-Jordan para encontrar, se existir, a inversa das matrizes
abaixo.
(a) A =
[
3 5
1 2
]
;
(b) B =
 2 2 23 4 7
1 2 5
;
(c) C =
 1 0 −22 −2 −2
−3 0 2
;
(d) D =
 1 2 22 −3 −1
4 1 3
;
6
(e) E =
 1 2 12 3 −1
−1 −1 1
;
(f) F =
 2 −3 −5−1 2 3
1 −1 −1
 (compare com o item (e));
(g) G =

−2 −1 0 2
3 1 −2 −2
−4 −1 2 3
3 1 −1 −2
.
16. Para cada um dos sistemas lineares abaixo, encontre as matrizes A e b do sistema
e resolva cada um dos sistemas por dois me´todos: me´todo da matriz inversa e regra
de Cramer.
(a)
{
3x + 5y = 4
x + 2y = −2
(b)

x + 2y + z = 1
2x + 3y − z = 2
−x − y + z = 3
(c)

2x − 3y − 5z = −19
−x + 2y + 3z = 12
x − y − z = −4
(compare com o item (b)).
Dica: Note que as matrizes dos coeficientes associadas aos sistemas lineares acima
sa˜o algumas das matrizes do exerc´ıcio anterior.
17. Suponha que A, B e C sejam matrizes quadradas invers´ıveis de mesma dimensa˜o e
conhecidas. Nos itens abaixo, determine (em func¸a˜o de A, B e C) a matriz X que
satisfaz a igualdade.
(a) 2X + A = B;
(b) AX = B;
(c) XA = B;
(d) AXC = B;
(e) AX = AB;
(f) AX = BA;
(g) AX − 3CX = B (aqui, suponha que a matriz A− 3C seja invers´ıvel);
(h) 3AX tCt = B.
7
18. Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, A˜ e b do
sistema, (ii) escalone a matriz A˜, (iii) determine as varia´veis livres e as varia´veis
dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver soluc¸a˜o).
(a)

x + 2y − z = 0
2x + 3y + z = 5
x + y + 2z = 4
(b)

x + y − z = −1
2x + y − z = 1
3x + y + 2z = 5
4x + 2y + z = 4
(c)

x − y + z + w = 4
2x − y − z = −3
x − 2y + w = 1
5x + z − w = 5
(d)

x − 3y + 2z = 1
x + y − z = 1
3x − 5y + 3z = 3
(e)

x + 2y − z = 2
2x − 3y + z = 0
4x + y − z = 4
(f)

x + 2y = 2
3x − y = 6
4x + y = 3
(g)

x + y + z − w = 3
2x + 3y − z + w = 1
−x + y − z − 2w = −1
x + 2y + 2z + w = 6
(h)

x + y + z − w = 2
2x − y − z − w = −1
x − 2y − 2z = −3
3x − 3y − 3z − w = −4
(i)
{
2x − y + 3z − w = 2
x − 3y − 2z + 2w = 4
(j)
{
x − 3y + 5z = 4
(k)
{
−3x + 5z + 4w = 1
8
19. Determine o(s) valor(es) de a para o(s) qual(is) o sistema
x + y + 2z = a
+ 2y + (a + 1)z = 2
2x + 3y + (4 + a)z = 3a + 1
e´ imposs´ıvel.
20. Determine os valores de a e b que tornam o sistema
x + ay + bz = 3
2x + (2a + 1)y + (2b + a)z = b + 6
x + (a + 2)y + (3a + b)z = 3b + 3
(a) imposs´ıvel;
(b) poss´ıvel e indeterminado;
(c) poss´ıvel e determinado.
21. Estabelec¸a a condic¸a˜o que deve ser satisfeita pelos termos independentes dos siste-
mas lineares dados abaixo para que os sistemas sejam poss´ıveis.
(a)

4x + 12y + 8z = a
2x + 5y + 3z = b
− 4y − 4z = c
(b)

x + y − z = a
−x + 2z = b
y + z = c
22. Resolva os exerc´ıcios 4, 5, 6, 7, 9 e 10 das pa´ginas 155 e 156 do livro “Matrizes e
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares”, 2a edic¸a˜o revisada, de Nilo Kuhlkamp.
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