14. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE - CASO ESCALAR

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Teoria Exercícios
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Definição
Imagine uma superfície
 qualquer
parametrizada por 
, queremos
definir a integral de
superfície de uma
função sobre .
Da mesma forma que
fizemos para calcular
áreas de superfícies,
vamos dividir o
domínio de em
retângulos e, assim,
dividir a superfície em
retalhos
correspondentes .
14. INTEGRAIS
DE SUPERFÍCIE -
CASO ESCALAR
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
Para cada um desses
retalhos, calculamos o
valor da função em
um ponto 
pertencente a e
multiplicamos pela
área do retalho.
Somando esses valores,
encontramos a Soma
de Riemann:
Fazendo as divisões 
e tender a infinito,
reduzimos o tamanho
desses retalhos e
chegamos à definição
da integral de
superfície que
buscamos:
Mas como calcular essa
integral? Nós não
sabemos integral em
uma superfície
qualquer , certo? Só
sabemos integrar em
uma área plana, do
plano , por exemplo.
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Caso Escalar
Teoria Exercícios
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
Como já vimos no
cálculo de áreas de
superfícies, podemos
aproximar o valor de 
pela área de um
plano tangente:
Onde e são as
derivadas parciais de 
. Sendo assim,
podemos dizer que:
O que é o mesmo que:
Portanto, para calcular
a integral em uma
superfície, nós temos
primeiro que
parametrizá-la. Em
seguida, calculamos o
módulo produto das
derivadas parciais 
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. Então, nós
escrevemos a integral
dupla na variável da
parametrização,
lembrando de escrever 
 (a função a ser
integrada) em função
de e e lembrando
também que a área de
integração vem do
domínio da
parametrização. Daí, é
só calcular.
Agora vamos olhar de
novo para essa fórmula
que encontramos
Perceba que, quando
temos ,
temos:
Exatamente a definição
que vimos para área de
superfície, lembra?
Vimos algo muito
parecido para as
integrais de linha.
Denifimos o seguinte:
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Se fizermos 
, temos
comprimento do arco 
, veja:
Repare que o termo 
 é o
“diferencial de
comprimento” nas
integrais de linha,
assim como 
 é o
“diferencial de área”,
nas integrais de
superfície. Nesse
sentido, as integrais de
linha são bastante
parecidas com as de
superfície!
Observação: Para o
caso particular em que 
 é dada por sua
equação explícita 
, a integral
de superfície é dada
por:
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Pois teremos
Mas se você não se
lembrar dessa fórmula,
pode calcular pela
fórmula geral também,
ok?
Agora vamos ver um
exemplo, para você
entender melhor!
Exemplo: Considere a
superfície do
paraboloide 
 contida no
interior do cilindro 
 e a função
.
Calcule .
Passo 1: Parametrizar 
Como a superfície está
na sua forma explicita,
vamos parametrizá-la
como
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e utilizar a fórmula que
acabamos de ver para
calcular a integral.
Como temos o cilindro
limitando o domínio de
Passo 2: Calcular e 
Você também pode
usar a fórmula geral 
aqui, sem problemas.
Talvez isso dê um
pouco de trabalho
apenas, já sabemos que
Passo 3: Montar a
integral
Temos a fórmula
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Substituindo os valores
que temos:
Onde 
Passo 4: Agora vamos
fazer a substituição
polar, pois nosso
domínio é um
círculo e temos termos
quadráticos na
integral. Faremos:
O domínio passa a ser 
, 
(o interior do círculo de
raio ).Temos, então,
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Passo 5: Vamos fazer,
agora, a substituição 
, dessa
forma, temos apenas 
dentro da raiz. Temos,
então
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Capítulo
Passo 6: Integrando em
relação a , temos:
Show? O raciocínio que
você vai seguir vai ser
sempre basicamente o
mesmo, a parte mais
chata talvez seja
parametrizar as
superfícies, mas isso
você pega na prática.
Vamos para os
exercícios agora!
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