Calculo 1-b UFRGS

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MAT 0102 – Ca´lculo IB 2014/2
Lista de Exerc´ıcios 4
Exerc´ıcios
1. Calcule a derivada da func¸a˜o dada, usando as regras de derivac¸a˜o:
a)f(x) =
(
x2 − 9
)√
x b)f(x) =
(
2x3 + 9x2 − 1
)12
c)f(x) =
x4 − 5
x2 + 1
d)f(x) =
1
(x3 + 2x)5
e)f(x) =
(
x3 + 3x2
)
(2x+ 5)9 f)f(x) =
√
2x+ 1
x2 + 4
Observac¸a˜o: Ao lado temos o
gra´fico da func¸a˜o f e de sua reta
tangente no ponto de abscissa a.
Para valores de x pro´ximos de a,
temos que
f(x)− f(a) ≈ f ′(a) (x− a) .
Em particular, para x = a + 1,
temos
f(a+ 1)− f(a) ≈ f ′(a).
xa
f ′(a)(x− a) f(x)− f(a)
b
b
b
b b
b
y
x
2. E´ de se esperar que as vendas em uma loja de departamentos diminuam em janeiro, passada a
temporada de final de ano.
Estima-se que, para o dia x de janeiro, as vendas sejam de S(x) = 3 +
9
(x+ 1)2
mil do´lares.
Calcule S(2) e S ′(2) e interprete os resultados.
Calcule S(10) e S ′(10) e use estes dados para obter uma estimativa do total de vendas em 11
de janeiro. Compare sua a estimativa com o valor exato das vendas em 11 de janeiro.
3. Seja R(x) a receita (em milhares de do´lares) gerada pela produc¸a˜o de x unidades de uma certa
mercadoria.
Sabendo que R(4) = 7 e que R′(4) = −0, 5, deˆ uma estimativa da variac¸a˜o que sofre a receita
quando o n´ıvel de produc¸a˜o aumenta de 4 para 5 unidades.
Deˆ uma estimativa para a receita gerada pela produc¸a˜o de 5 unidades.
Supondo que o custo (em milhares de do´lares) para produzir x unidades seja dado por
C(x) = x+
4
x+ 1
, havera´ lucro com a produc¸a˜o de 5 unidades?
4. Em cada item, determine os intervalos nos quais a func¸a˜o e´ crescente e aqueles nos quais e´
decrescente.
a)f(x) = x2 + 6x− 11 b)f(x) = x3 − 27x c)f(x) = 4
x
− x
4
d)f(x) =
(
x2 + 2
)1/2
e)f(x) =
x+ 1
2x+ 3
f)f(x) = x4 − 4x3