Mecânica da Partícula_Aula_II

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Disciplina: 
Mecânica da Partícula(MP) 
Aula 2 – Movimento Variado 
Curso: Engenharia/Básico 
1º./2º. semestres 
prof. Gilberto F. de Lima 
 Se a VELOCIDADE de um objeto NÃO FOR CONSTANTE, teremos um movimento 
VARIADO. 
 
 A MEDIDA da variação de velocidade num dado intervalo de tempo é feita 
com a grandeza chamada ACELERAÇÃO MÉDIA (𝑎 ): 
𝑎 =
v𝑓 − v𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜
 
Aceleração Média =
Variação de Velocidade
Intervalo de Tempo
 
Unidade de medida: 
𝑚/𝑠
𝑠
 =
𝑚
𝑠. 𝑠
 =
𝑚
𝑠2
 = 𝑚/𝑠2 
Definições 
⟹ 𝑎 =
∆v
∆𝑡
 
 A aceleração média também pode ser positiva ou negativa. 
 
 Esses sinais mostram o sentido dela em relação ao eixo das posições, mas não 
indicam se a velocidade está aumentando ou diminuindo. 
 
 Aceleração negativa não significa necessariamente desaceleração. 
 
 Para sabermos o que ocorre com a velocidade devemos comparar o sinal da 
aceleração média com o da velocidade final. 
 
 Se a velocidade final e a aceleração média têm o mesmo sinal, então a 
velocidade está aumentando (acelerado); se tiverem sinais opostos, então a 
velocidade está diminuindo (retardado). 
ou Movimentos Acelerados 
e 
Movimentos Retardados ou 
𝑎 
vf 
𝑎 
vf 
𝑎 
vf 
𝑎 
S 
0 
vf 
 Para ficar completo, os movimentos variados podem ser agrupados da 
seguinte forma: 
Movimento Progressivo Acelerado 
Movimento Regressivo Acelerado 
Movimento Progressivo Retardado 
Movimento Regressivo Retardado 
vf 
𝑎 
vf 
𝑎 
vf 
𝑎 
vf 
𝑎 
0 
S 
 A ACELERAÇÃO é apenas uma medida da variação de velocidade num certo 
intervalo de tempo. 
 
 
 Ela NÃO É A CAUSA dessa variação; ela é apenas o indicador. 
 
 
 A causa da aceleração (variação da velocidade) é a FORÇA. 
 
 
 A direção e o sentido da aceleração indicam a direção e o sentido de 
atuação da Força. 
 
 
 O valor da aceleração será proporcional ao da Força. 
ATENÇÃO 
 Aceleração média É a aceleração REAL do movimento apenas no caso de a 
aceleração ser CONSTANTE (ao ): 
𝑎 = 𝑎𝑜 
 Um movimento com aceleração constante é chamado de Movimento 
Uniformemente Variado (MUV) ou, se sua trajetória também for retilínea, de 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). 
 Reagrupando os termos dessa expressão obtemos: 
v𝑓 = v𝑜 + 𝑎𝑜(𝑡𝑓 − 𝑡𝑜) 
 
 𝑎𝑜=
v𝑓 − v𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜
 
v = v𝑜 + 𝑎𝑜 (𝑡 − 𝑡𝑜) 
 Como a aceleração é constante em qualquer instante e para todas as 
velocidades, podemos escrever essa expressão simplesmente da seguinte forma: 
 Esta é a Equação Horária (ou Função Horária) da Velocidade do MUV ou do 
MRUV. 
Representações 
Gráficas do 
MUV 
ao > 0 (positiva) ao < 0 (negativa) 
a a 
ao 
ao 
v v 
vo 
vo vf 
vf 
to 
to 
to 
to 
tf 
tf 
tf 
tf 
t 
t t 
t 
0 
0 
0 0 
Área = base X altura 
Área = ao∙ (tf – to ) 
então, Área = ∆v 
Área = ao∙∆t 
Mas, ∆v = ao∙∆t 
 A Área sob o gráfico da 
Aceleração pelo Tempo 
fornece a Velocidade. 
a 
ao 
to tf 
t 0 
to tf 
v 
vo 
vf 
t 
φ 
φ 
∆v= vf – vo 
∆t = tf – to 
tan 𝜑 =
cateto oposto
cateto adjacente
 
tan𝜑 = 
∆v
∆𝑡
 
Mas, 
Então: tan φ = ao 
 A inclinação do gráfico (função) 
da Velocidade pelo Tempo, fornece a 
Aceleração. 
 𝑎𝑜 = 
∆v
∆𝑡
 
0 
tf 
v 
vo 
vf 
t 
to 
Área = ∆S 
 Área de um Trapézio 
 
𝐴 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ∙
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
∆𝑆 = v𝑓 + v𝑜 .
∆𝑡
2
 
v𝑓 = v𝑜 + 𝑎𝑜 ∙ ∆𝑡 Como: 
Então: ∆𝑆 = v𝑜 + 𝑎𝑜. ∆𝑡 + v𝑜 ∙
∆𝑡
2
 
 
 ∆𝑆 = 2v𝑜 + 𝑎𝑜. ∆𝑡 ∙
∆𝑡
2
 ⟹ ∆𝑆 = v𝑜 ∙ ∆𝑡 +
𝑎𝑜
2
∙ (∆𝑡)2 
0 
Abrindo esta expressão, teremos: 
𝑆𝑓 − 𝑆𝑜 = v𝑜 ∙ (𝑡𝑓 − 𝑡𝑜) +
𝑎𝑜
2
∙ (𝑡𝑓 − 𝑡𝑜)
2 
𝑆 = 𝑆𝑜 + v𝑜 ∙ (𝑡 − 𝑡𝑜) +
𝑎𝑜
2
∙ (𝑡 − 𝑡𝑜)
2 
 Esta é a Equação (ou Função) Horária da Posição do MRUV. 
∆𝑆 = v𝑜 ∙ ∆𝑡 +
𝑎𝑜
2
∙ (∆𝑡)2 
 A aceleração é constante, então podemos escrever essa expressão de 
forma a valer para qualquer instante e posição: 
ou 𝑆𝑓 = 𝑆𝑜 + v𝑜 ∙ (𝑡𝑓 − 𝑡𝑜) +
𝑎𝑜
2
∙ (𝑡𝑓 − 𝑡𝑜)
2 
Em construção