AULA 5 - MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO

Prévia do material em texto

Física Júnior 1 
 
 
AULA 5 MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO 
 
O universo, e tudo que nele existe, está sempre em movimento. Um dos propósitos da Física é estudar o 
movimento dos corpos, a rapidez com que se movem ou a distância percorrida em um dado intervalo de 
tempo. Nesta aula, estudaremos a física básica do movimento nos casos em que o objeto está se movendo 
em linha rela. Este tipo de movimento é chamado de movimento unidimensional. Nesse estudo, faremos 
as seguintes exigências: 
 
 Supor que o movimento se dá ao longo de uma linha rela. A trajetória pode ser vertical, horizontal 
ou inclinada, mas deve ser retilínea. 
 Discutir apenas o movimento em si e suas mudanças, sem nos preocuparmos com as suas causas. 
 Supor que o corpo em movimento é uma partícula ou um corpo que se move como uma partícula, 
isto é, todas as partes do objeto se movem na mesma direção e com a mesma velocidade. Assim, 
podemos imaginar que o movimento de um corpo rígido deslizando em um escorrega é semelhante 
ao de uma partícula. Não podemos dizer o mesmo para uma bola rolando em uma mesa de sinuca. 
 
O estudo do movimento unidimensional será feito em dois momento. No primeiro momento 
abordaremos o movimento com velocidade constante, ou seja, sem aceleração. No segundo momento, 
estudaremos o movimento com aceleração constante e diferente de zero. 
 
1. MOVIMENTO SEM ACELERAÇÃO 
 
O movimento sem aceleração, também chamado movimento uniforme (MU), é o movimento onde a 
intensidade da velocidade permanece constante e não nula (𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0) no decorrer do tempo, 
de modo que o móvel percorra distâncias iguais em intervalos de tempos também iguais. 
Na definição apresentada, não foi feita nenhuma restrição à forma da trajetória. Portanto, o movimento 
pode ser uniforme independentemente do formato da trajetória. Veja os exemplos abaixo: 
 
Figura 1: Movimento Uniforme em formas diferentes de trajetórias. 
Como foi definido, no MU o móvel percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. 
 
 
Figura 2: Uma pedra lançada em uma região onde a gravidade é desprezível realiza um movimento uniforme. Observe que, em 
iguais intervalos de tempos, ela percorre distâncias iguais. 
 
O MU é uma situação difícil de ser observada no nosso dia-a-dia. Mas podemos citar como exemplo os 
movimentos nos elevadores e nos metrôs, depois da saída e antes da parada. 
Física Júnior 2 
 
 
 
Figura 3: Nos elevadores e nos metrôs, após uma fase inicial de aumento de velocidade e, antes da fase de desaceleração, ocorre o 
estágio em que o movimento uniforme. Isso é importante para não comprometer o bem-estar dos passageiros. 
 
O movimento uniforme de um paraquedista 
Quando um paraquedista salta de um avião, sua velocidade começa a crescer devido à atração da Terra 
(força gravitacional). Ao abrir o paraquedas, o ar oferece uma resistência ao movimento do 
paraquedista, e essa resistência vai se tornando mais intensa a medida que a velocidade escalar do 
paraquedista vai aumentando. Após certo tempo de queda, essa resistência se torna capaz de impedir 
que a atração da Terra continue aumentando a intensidade da velocidade durante a queda. A partir 
desse instante, o movimento do paraquedista passa a ser uniforme, e ele chega ao solo com velocidade 
de intensidade entre 6 m/s e 7 m/s, aproximadamente. Essa velocidade escalar constante é denominada 
velocidade terminal ou velocidade limite. É importante colocar que os paraquedistas usam técnicas de 
frenagem antes de tocar o solo. 
 
Figura 4: Paraquedista em salto com paraquedas aberto descendo com velocidade constante devido à resistência do ar. 
 
 
1.1 CARACTERISTICAS DO MOVIMENTO UNIFORME 
 
1) Possui aceleração escalar nula e velocidade de intensidade constante e não nula. 
 
𝑎 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0 
 
2) Percorrer distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. 
 
3) Por ser um movimento de velocidade constante em módulo, a velocidade escalar instantânea é 
igual a velocidade escalar média. 
𝑣 = 𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
 
 
4) A equação da posição em função do tempo 𝑥(𝑡) é do 1º grau em , e do tipo: 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣. 𝑡 
 
Física Júnior 3 
 
 
Demonstração da equação 
Sendo a velocidade média dada por , e igual a instantânea, 𝑣 = 𝑣𝑚. Para o instante 
inicial, 𝑡0 = 0, temos: 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥 − 𝑥0
𝑡 − 𝑡0
=
𝑥 − 𝑥0
𝑡
 ⇒ 𝑥 − 𝑥0 = 𝑣. 𝑡 ∴ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣. 𝑡 
 
5) Não possui funções temporais da velocidade e da aceleração, 𝑣(𝑡) e 𝑎(𝑡), já que a velocidade é 
constante (𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) devido a aceleração ser nula (𝑎 = 0). 
 
1.1.1 Mais Sobre a Velocidade Constante 
 
A partir da equação diferencial , para condição em que seja constante, temos: 
 
Para o intervalo de 𝑡 a 𝑡0 = 0, correspondente as posições 𝑥 e 𝑥0, que são os limites de integração. 
 
∴ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 
Esta é outra forma de demonstrar a equação 𝑥(𝑡), desta vez com cálculo diferencial e integral. 
 
1.2 VELOCIDADE RELATIVA 
 
Os conceitos que estudaremos agora só se aplicam a movimentos com velocidade constante. A 
velocidade relativa de um móvel A, em relação a outro B é definida como sendo a grandeza 𝑣𝐴𝐵 dada 
por: 
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 60 − 80 = −20
𝑘𝑚
ℎ
 
 
Para melhor compreensão da definição, tomemos dois carros A e B, percorrendo uma mesma trajetória 
retilínea, com velocidades constantes de intensidades, respectivamente iguais a, 𝑣𝐴 e 𝑣𝐵. 
 
Figura 5: Carros A e B se movendo para o mesmo sentido, sentido positivo do eixo 𝒙. 
A velocidade de B em reação a A é: 
 
E, a velocidade de A em relação a B é: 
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 60 − 80 = −20
𝑘𝑚
ℎ
 
Observe que: 𝑣𝐴𝐵 = −𝑣𝐵𝐴 
 
Física Júnior 4 
 
 
Como exemplo, vamos calcular as velocidades relativas entre os corpos A e B nos casos a, b, c e d 
indicados abaixo. 
 
 
Como A e B se movem para o mesmo sentido da trajetória, suas 
velocidades são positivas, 𝑣𝐴 > 0 e 𝑣𝐵 > 0. Daí: 
 
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 10 − 5 = 5
𝑚
𝑠
 
 
 
Como A e B se movem em sentidos contrário ao da trajetória, 
suas velocidades são negativas, 𝑣𝐴 < 0 e 𝑣𝐵 < 0. Daí: 
 
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = −10 − (−5) = −5
𝑚
𝑠
 
 
 
Como A se move no sentido da trajetória, e B contrário, a 
velocidade de A é positiva e a de B negativa, 𝑣𝐴 > 0 e 𝑣𝐵 < 0. 
Daí: 
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 10 − (−5) = 15
𝑚
𝑠
 
 
 
Como A se move no sentido oposto ao da trajetória, e B no 
mesmo sentido, a velocidade de A é negativa e a de B positiva, 
𝑣𝐴 < 0 e 𝑣𝐵 > 0. Daí: 
 
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = −10 − 5 = −15
𝑚
𝑠
 
 
 
No entanto, o que nos importância é obter a velocidade escalar relativa (módulo da velocidade relativa) 
entre dois corpos A e B. Daí, usamos a seguinte regra prática. 
1 Se os móveis se movimentarem no mesmo sentido, a velocidade escalar relativa é dada pelo módulo 
da diferença das intensidades das velocidades de A e B. 
 
 
𝑣𝐴𝐵 = |𝑣𝐴 − 𝑣𝐵| 
 
2 Se os móveis se movimentarem em sentidos opostos, a velocidade escalar relativa é dada pelo 
módulo da soma das intensidades das velocidades escalares de A e B. 
 
 
𝑣𝐴𝐵 = |𝑣𝐴 + 𝑣𝐵| 
 
 
1.3 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MU E SUAS PROPRIEDADES 
 
A representação gráfica do movimento tem sua importância. Nesse tipo de descrição conseguimos 
observar características que, apenas com as equações, normalmente não conseguiríamos. 
 
Física Júnior 5 
 
 
1.3.1 Gráfico da Posição em Função do Tempo 
 
Como vimos anteriormente, a equação que descreve a posição 𝑥(𝑡) no movimento uniforme é da forma, 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡, ou seja, equação do 1° grau em t. Portanto, sua representação gráfica é um segmento de reta 
inclinado em relação aos eixos, podendo se enquadra nos seguintes casos: 
 
MOVIMENTO UNIFORME 
PROGRESSIVO (MUP) 
MOVIMENTO UNIFORME 
RETRÓGRADO (MUR) 
O movimento é a favor da trajetória. Neste caso, 
as posições aumentamcom o tempo, (𝑣 > 0). 
O movimento é a contrário a trajetória. Neste 
caso, as posições diminuem com o tempo, (𝑣 <
0). 
 
MUP com posição inicial negativa, 𝑥0 < 0. 
 
 
 
MUR com posição inicial negativa, 𝑥0 < 0. 
 
 
 
MUP com posição inicial nula, 𝑥0 = 0. 
 
 
 
MUR com posição inicial nula, 𝑥0 = 0. 
 
 
 
MUP com posição inicial positiva, 𝑥0 > 0. 
 
 
MUP com posição inicial positiva, 𝑥0 > 0. 
 
 
 
A ordenada em que a reta 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 corta o eixo x, representa o valor da posição inicial x0. A abscissa 
em que a reta 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 corta o eixo , representa o instante em que o móvel passa pela origem das 
posições 𝑥 = 0. 
 
1.3.1.1 Propriedade do gráfico 𝒙(𝒕) 
 
A velocidade escalar instantânea 𝑣 é numericamente igual a tangente do ângulo de inclinação 𝛼 da 
curva no gráfico 𝑥(𝑡). 
𝑣 = ±𝑡𝑔𝛼 
Considere o gráfico a baixo, figura 6, da posição 𝑥 em função do tempo 𝑡 de uma partícula em 
movimento uniforme. Para um intervalo de tempo ∆𝒕 considerado, se calcular a tangente da inclinação 
do gráfico determinaremos a velocidade escalar nesse intervalo de tempo. 
Física Júnior 6 
 
 
 
Gráfico 1: Gráfico 𝒙(𝒕), mostrando o ângulo 𝛼 e seus catetos. 
A região destacada no gráfico corresponde a um triângulo retângulo, cujo cateto oposto ao ângulo 
representa a variação da posição ∆𝑥, e o cateto adjacente, o intervalo de tempo ∆𝑡. Sendo a tangente do 
ângulo o quociente entre as medidas do seu cateto oposto e adjacente. 
𝑡𝑔𝛼 =
∆𝑥
∆𝑡
 
E sabendo que 𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 . Comparando, verificamos que: 
𝑣 = 𝑡𝑔𝛼 
Como a inclinação é constante, e a velocidade é dada pela tangente de , confirmamos que a velocidade 
é constante. 
 
EM SÍNTESE 
Reta Ascendente – Movimento Progressivo Reta Descendente – Movimento Retrógrado 
 
 
 
Como, 𝑥 > 𝑥0 ⇒ 𝑣 =
𝑥−𝑥0
𝑡−𝑡0
=
∆𝑥
∆𝑡
 ∴ 𝑣 = 𝑡𝑔𝛼 
 
 
 
 
Como, 𝑥 < 𝑥0 ⇒ 𝑣 =
𝑥−𝑥0
𝑡−𝑡0
= −
∆𝑥
∆𝑡
 ∴ 𝑣 = −𝑡𝑔𝛽 
 
 
1.3.2 Gráfico da Velocidade em Função do Tempo 
 
Como a velocidade de um móvel em MU é constante e diferente de zero, com o passar do tempo, o 
gráfico da velocidade em função do tempo 𝑣(𝑡) é uma reta paralela ao eixo dos tempos. De acordo com 
o sentido do movimento, o gráfico 𝑣(𝑡) pode ser: 
Movimento Uniforme Progressivo (MUP) Movimento Uniforme Retrógrado (MUR) 
 
Movimento no sentido da trajetória, 𝑣 > 0. 
 
 
 
 
Movimento contrário a trajetória, 𝑣 < 0. 
 
 
Física Júnior 7 
 
 
No repouso, a velocidade é constante e igual a 
zero, 𝑣 = 0. Nesse caso, temos um gráfico 𝑣(𝑡) 
igual ao que se encontra ao lado. 
 
 
 
 
1.3.2.1 Propriedade do gráfico 𝒗(𝒕) 
 
A variação da posição ∆𝑥 é numericamente igual área A abaixo da curva do gráfico 𝑣(𝑡), em um 
determinado intervalo de tempo. 
∆𝑥 = ±Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴) (5) 
 
Considere o gráfico da velocidade 𝑣 em função do tempo 𝑡, de uma partícula com velocidade constante. 
Tomando dois instantes quaisquer, 𝑡1 e 𝑡2, como indicados no gráfico e, calculando a área A delimitada 
por eles, determinaremos a variação da posição ∆𝑥 nesse intervalo de tempo. 
 
Gráfico 9: Gráfico 𝒗(𝒕), mostrando a área. 
Observe que a região destacada no gráfico corresponde a um retângulo, cuja base representa o intervalo 
de tempo ∆𝑡, entre 𝑡1 e 𝑡2 e, a altura a velocidade escalar 𝑣. Calculando essa área, produto de sua base 
∆𝑡 pela altura 𝑣, temos: 
𝐴 = 𝑣.∆𝑡 
Sendo 𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 ⇒ ∆𝑥 = 𝑣. ∆𝑡, comparando verificamos que: 
∆𝑥 = 𝐴 
 
EM SÍNTESE 
Movimento Progressivo Movimento Retrógrado 
 
𝑣 > 0 ⇒ ∆𝑥 > 0 ⇒ 𝐴 > 0 
 
 
 
 
𝑣 < 0 ⇒ ∆𝑥 < 0 ⇒ 𝐴 < 0 
 
 
 
 
 
Física Júnior 8 
 
 
2. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 
O movimento com aceleração constante, denominado movimento uniformemente variado (MUV), é o 
movimento onde a aceleração é constante e não nula, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0. Assim, a velocidade sofre 
variações iguais em intervalos de tempos também iguais. 
É comum encontrar movimentos com aceleração constante ou quase constante. Como exemplo, 
podemos apontar os automóveis durante a frenagem e corpos que caem na vizinhança da superfície 
terrestre. 
Analisando o gráfico 𝑣(𝑡), de três móveis A, B e C, mostrado na figura. Podemos perceber que: 
 
Figura 1: Gráfico 𝒗(𝒕) para três móveis A, B e C. 
O móvel A possui velocidade constante e igual a 10 m/s. Logo, seu movimento é uniforme e sua 
aceleração escalar é nula. Já os móveis B e C possuem velocidades variáveis com o tempo. Então, suas 
acelerações não são nulas. Entretanto, existe uma grande diferença entre os dois: 
 A velocidade de B sofre variações iguais em iguais intervalos de tempo. Ela varia 5 𝑚⁄𝑠 a cada 
segundo, o que significa que a aceleração é constante e igual a 5 𝑚⁄𝑠2. Portanto, o movimento de B 
é uniformemente variado. 
 
 A velocidade de C não sofre variações iguais em iguais intervalos de tempo. De 0 a 2s sua velocidade 
varia 5 𝑚⁄𝑠; de 2s a 4s varia, aproximadamente, 2,5 𝑚⁄𝑠; de 4s a 6s, varia novamente, 
aproximadamente, 2,5𝑚⁄𝑠; de 6 s a 8s varia 5 𝑚⁄𝑠; e nos últimos dois segundos, de 8s a 10s, varia 15 
𝑚⁄𝑠. Isso significa que sua aceleração é variável e, portanto, o movimento não é uniformemente 
variado. 
 
A velocidade de um móvel pode variar de duas formas distintas, aumentando ou diminuindo sua 
intensidade com o tempo. Por exemplo: 
 Na decolagem, um avião aumenta sua velocidade até possuir a intensidade propícia para que o avião 
possa decolar. Neste caso, dizemos que o movimento é acelerado. 
 
 Na frenagem, ao avistar um semáforo fechado (vermelho), um automóvel diminui sua velocidade 
até parar. Neste caso, dizemos que o movimento é retardado. 
 
2.1 CARACTERÍSTICAS DO MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO 
1) Possui aceleração escalar constante e não nula, e velocidade escalar variando uniformemente com o 
tempo. 
 
Física Júnior 9 
 
 
𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0 ⇒ 𝑣 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 
 
2) Aceleração escalar instantânea igual a aceleração escalar média. 
 
𝑎 = 𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
 
 
3) A velocidade escalar média pode ser determinada por: , ou pela média aritmética entre as 
velocidades. Para velocidade final e inicial 𝑣0, . Logo: 
 
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑣 + 𝑣0
2
 
 
Demonstração da equação 
A partir do gráfico 𝑣(𝑡), e usado a propriedade ∆𝑥 = Á𝑟𝑒𝑎 temos: 
 
Sendo a figura um trapézio, ∆𝑥 = Á𝑟𝑒𝑎 ⇒ ∆𝑥 =
(𝑣+𝑣0).∆𝑡
2
 ∴
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑣+𝑣0
2
 
 
5) A equação 𝑣(𝑡) é do 1° grau em t, e do tipo: 
 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 
Demonstração da equação 
Sendo a aceleração média dada por , e igual a instantânea, 𝑎 = 𝑎𝑚, já que é constante. Para o 
instante inicial, 𝑡0 = 0 temos: 
 
 
 
6) A equação 𝑥(𝑡) é do 2º grau em 𝑡, e do tipo: 
 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0. 𝑡 +
1
2
𝑎. 𝑡2 
 
Demonstração da equação 
Sabendo que no movimento de aceleração constante a velocidade escalar média 𝒗𝒎 pode ser obtida 
pela média aritmética das velocidades, em 𝑡0 = 0 temos: 
 
Física Júnior 10 
 
 
 
 
 
Sendo 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, substituindo em 𝑣, temos: 
 
𝑥 − 𝑥0 =
(𝑣0 + 𝑎. 𝑡). 𝑡 + 𝑣0. 𝑡
2
=
𝑣0. 𝑡 + 𝑎. 𝑡
2 + 𝑣0. 𝑡
2
=
2. 𝑣0. 𝑡 + 𝑎𝑡
2
2
=
2. 𝑣0. 𝑡
2
+
𝑎𝑡2
2
 
 
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0. 𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 ∴ 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0. 𝑡 +
𝑎𝑡2
2
 
 
 
5) Existe uma equação que relaciona a velocidade em função da posição 𝑣(𝑥), chamada de equação de 
Torricelli. 
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑥 
 
Demonstração da equação 
Sendo 𝑎, a intensidade da aceleração da partícula, constante e diferente de zero (𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0) 
e, sabendo que neste tipo de movimento as funções 𝑣(𝑡) e 𝑥(𝑡) são: 
 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 (𝐼) e 
 
Isolamos o tempo na equação (I), substituído em (II). 
 
 
E resolvendo, temos: 
 
𝑥 − 𝑥0 =
(𝑣. 𝑣0 − 𝑣0
2)
𝑎
+
1
2
. 𝑎 (
𝑣2 − 2. 𝑣. 𝑣0 + 𝑣0
2
𝑎2
) =
(𝑣. 𝑣0 − 𝑣0
2)
𝑎
+
(𝑣2 − 2. 𝑣. 𝑣0 + 𝑣0
2)
2. 𝑎∆𝑥 =
2(𝑣. 𝑣0 − 𝑣0
2) + (𝑣2 − 2. 𝑣. 𝑣0 + 𝑣0
2)
2. 𝑎
=
2. 𝑣. 𝑣0 − 2. 𝑣0
2 + 𝑣2 − 2. 𝑣. 𝑣0 + 𝑣0
2
2. 𝑎
=
−2. 𝑣0
2 + 𝑣2
2. 𝑎
 
 
∆𝑥 =
−2. 𝑣0
2 + 𝑣2
2. 𝑎
 ⇒ −2. 𝑣0
2 + 𝑣2 = 2. 𝑎. ∆𝑥 ∴ 𝑣2 = 𝑣0
2 + 2. 𝑎. ∆𝑥 
 
 
2.1.1 Mais Sobre a Aceleração Constante 
 
A partir da equação diferencial 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 , para condição de 𝑎 constante, temos: 
Física Júnior 11 
 
 
 
 
Para o intervalo de 𝑡 a 𝑡0 = 0, correspondente as velocidade 𝑣 a 𝑣0, que são os limites de integração. 
 
 
∴ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 
 
Seguindo o mesmo princípio, a partir da equação diferencial 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
, para 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 e 𝑎 constante, 
obtemos: 
 
 
 
Para o intervalo de 𝑡 a 𝑡0 = 0, correspondente as posições 𝑥 e 𝑥0, que são os limites de integração. 
 
 
 
2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MUV E SUAS PROPRIEDADES 
 
2.2.1 Gráfico da Posição em Função do Tempo 
 
A equação da posição 𝑥(𝑡) no movimento com aceleração constante é da forma, 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2, 
isto é, do 2° grau em 𝑡. Logo, sua representação gráfica é uma parábola onde a concavidade é definida 
pelo sinal da aceleração. 
 
Aceleração Positiva 𝒂 > 𝟎 
Concavidade voltada para cima 
Aceleração Negativa 𝒂 < 𝟎 
Concavidade voltada para baixo 
Do lado esquerdo do ponto Q, vértice da parábola, o 
movimento é retrógrado (𝑣 < 0) e retardado (𝑣. 𝑎 <
0). A direita de Q, o movimento é progressivo (𝑣 > 0) 
e acelerado (𝑣. 𝑎 > 0). 
 
Do lado esquerdo do ponto Q, vértice da parábola, o 
movimento é progressivo (𝑣 > 0) e retardado (𝑣. 𝑎 <
0). A direita de Q, o movimento é retrógrado (𝑣 < 0) 
e acelerado (𝑣. 𝑎 > 0). 
 
Física Júnior 12 
 
 
 
 
 
O ponto onde a parábola toca o eixo da ordenada 𝑥, determina a posição inicial 𝑥0 do movimento no 
instante t0 = 0. 
Os pontos onde a parábola toca o eixo da abscissa 𝑡, determinam os instantes em que o móvel passa pela 
origem das posições 𝑥 = 0. 
No instante correspondente ao vértice Q da parábola, a velocidade escalar é nula 𝑣 = 0, instante em que 
ocorre inversão do movimento. 
O gráfico 𝑥(𝑡), pode possuir 𝑥0 < 0 , 𝑥0 = 0 e 𝑥0 > 0, conforme ilustrado no quadro abaixo. 
 
Aceleração Positiva 𝒂 > 𝟎 Aceleração Negativa 𝒂 < 𝟎 
 
 
 
 
 
2.2.1.1 Propriedade gráfica 
 
Considere o gráfico 𝑥(𝑡) de uma partícula em MUV. Sejam e 𝑥′ as posições nos instantes e 𝑡′, 
respectivamente. A velocidade média é dada por , que é o coeficiente angular da reta secante. 
 
Gráfico: Reta secante nas posições 𝒙 e 𝒙′ nos instantes 𝒕 
e 𝒕′ no gráfico 𝒙(𝒕). 
𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
= 𝑡𝑔𝛼 
Física Júnior 13 
 
 
Para determinar a velocidade instantânea 𝑣, no instante 𝑡, deve-se fazer 𝑡′ aproximar-se de t. Deste modo, 
a reta secante vai se deslocando e, no limite, quando 𝑡′ tender a 𝑡, passa-se a ter uma reta tangente a 
curva em 𝑡. 
 
 
 
 
Gráfico: Reta tangente a curva no instante 𝒕. 
 
O coeficiente angular, 𝑡𝑔𝜃, dessa reta tangente, 
fornece a velocidade 𝑣, no instante . 
Matematicamente esse coeficiente angular é a 
derivada da posição em relação tempo, 
calculada no instante . 
 
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
Portanto, como visto anteriormente, a tangente de 
inclinação do gráfico 𝑥(𝑡) é numericamente igual 
a velocidade instantânea. 
 
 
 
2.2.2 Gráfico da Velocidade em Função do Tempo 
 
A equação da velocidade 𝑣(𝑡) do movimento com aceleração constante é 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, do 1° grau em . 
Sendo assim, seu gráfico é uma reta inclinada, onde a inclinação é definida pelo sinal da aceleração. 
 
Aceleração Positiva 𝒂 > 𝟎 
Reta Crescente 
Aceleração Negativa 𝒂 < 𝟎 
Reta Decrescente 
A esquerda de 𝑣 = 0, o movimento é retrógrado 
(𝑣 < 0) e retardado (𝑣. 𝑐 < 0). E a direita 
progressivo (𝑣 > 0) e acelerado (𝑣. 𝑎 > 0). 
 
 
 
A esquerda de 𝑣 = 0, o movimento é progressivo 
(𝑣 > 0) e retardado (𝑣. 𝑐 < 0). E a direita 
retrógrado (𝑣 < 0) e acelerado (𝑣. 𝑎 > 0). 
 
 
 
Figura: Gráfico 𝒗(𝒕), classificação do movimento antes e depois da mudança de sentido. 
 
 
 
 
Física Júnior 14 
 
 
2.2.2.1 Propriedades Gráfica 
1° propriedade: A aceleração escalar instantânea é numericamente igual a tangente do ângulo de 
inclinação 𝛼 do gráfico 𝑣(𝑡). 
𝑎 = ±𝑡𝑔𝛼 
 
Considere o gráfico 𝑣(𝑡) do movimento com aceleração constante. Para um intervalo de tempo ∆𝑡 
considerado, calculando a tangente da inclinação 𝛼 do gráfico, determina-se a aceleração instantânea 𝑎 
nesse intervalo de tempo. 
 
 
Gráfico 3: Inclinação no gráfico 𝒗(𝒕). 
Observe que a região destacada no gráfico corresponde a um triângulo retângulo, cujo cateto oposto ao 
ângulo 𝛼 representa a variação da velocidade ∆𝑣, e o cateto adjacente o intervalo de tempo ∆𝑡. Sabendo 
que a tangente do ângulo de um triângulo retângulo é determinada pelo quociente entre a medida do 
cateto oposto pela medida do cateto adjacente, para o gráfico acima temos: 
 
𝑡𝑔𝛼 =
∆𝑣
∆𝑡
 
 
Como 𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
, de modo geral: 
𝑎 = ±𝑡𝑔𝛼 
 
 Pela definição, podemos concluímos que, a aceleração escalar instantânea é constante para esse tipo de 
gráfico, já que ela é numericamente igual a tangente da inclinação 𝛼 e esta é constante. 
 
2° propriedade: A variação da posição ∆𝑥 é numericamente igual área A abaixo da curva do gráfico 
𝑣(𝑡) em um determinado intervalo de tempo ∆𝑡. 
 
∆𝑥 = ±Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴) 
 
Foi a partir desta propriedade que mostramos que a velocidade escalar média 𝑣𝑚, entre os instantes 𝑡1 e 
𝑡2, é a média aritmética entre as velocidades escalares 𝑣1 e 𝑣2, no movimento em que a aceleração é 
constante. 
 
Tomemos dois instantes quaisquer, 𝑡1 e 𝑡2, e calcularmos a área A que eles delimitam: 
 
 
Gráfico : Área A no gráfico 𝒗(𝒕). 
 
Física Júnior 15 
 
 
Como a área do gráfico abaixo da curva delimitada pelos instantes 𝑡1 e 𝑡2 é um trapézio, temos: 
 
, 
 
 
 
Nota. Quando o gráfico 𝒗(𝒕) apresentar inversão no sentido do movimento, deveremos ter cuidado ao 
calcularmos o deslocamento e a distância percorrida, já que são conceitos distintos. Como exemplo, 
vamos obter o deslocamento e da distância percorrida a partir do gráfico abaixo. 
 
 
Gráfico 5: Áreas 𝑨𝟏 > 𝟎 e 𝑨𝟐 < 𝟎. 
 
Áreas formadas acima do eixo 𝑡 são positivas, e abaixo, negativas, logo 𝐴1 > 0 e 𝐴2 < 0. 
 
Cálculo da distância percorrida 𝒅𝒑 
 
Para calcular a distância percorrida 𝑑𝑝 pelo gráfico 𝑣(𝑡), somamos todas as áreas formadas, 
independentemente delas serem positivas ou negativas. 
 
𝑑𝑝 = |𝐴1| + |𝐴2| 
 
Cálculo do deslocamento ∆𝒙 
 
Para calcular o deslocamento pelo gráfico 𝒗(𝒕), é importante determinar e distinguir as áreas em 
negativas e as positivas. 
∆𝑥 = 𝐴1 − 𝐴2 
 
2.2.3 Gráfico da Aceleração em Função do Tempo 
 
Como no MUV a aceleração é constante e não nula, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ≠ 0, o gráfico 𝑎(𝑡) é uma reta 
paralela ao eixo das abscissas . 
 
Aceleração Positiva 𝒂 > 𝟎 
Reta paralela e acima do eixo 𝒕 
Aceleração Negativa 𝒂 < 𝟎 
Reta paralela e abaixo do eixo 𝒕 
 
 
 
 
Física Júnior 16 
 
 
 
 
2.2.3.1 Propriedade Gráfica 
 
A variação da velocidade ∆𝑣 é numericamente igual área A abaixo da curva do gráfico 𝑎(𝑡) em um 
determinado intervalo de tempo ∆𝑡. 
∆𝑣 = ±Á𝑟𝑒𝑎(𝐴) 
 
Considere o gráfico 𝑎(𝑡). Se escolhermos dois instantes quaisquer 𝑡1 e 𝑡2, como indicados no gráfico e 
calcularmos a área A que eles delimitam, determinaremos a variação da velocidade ∆𝑣 nesse intervalo 
de tempo. 
 
Gráfico 6: Área A no gráfico 𝒂(𝒕). 
Observe que a região destacada no gráfico corresponde a um retângulo, cuja base representa o intervalo 
de tempo ∆𝑡 entre 𝑡1 e 𝑡2, e a altura a aceleração instantânea 𝑎. 
 
Sabendo que a área de um retângulo é determinada pelo produto das medidas entre sua base e sua altura, 
para o gráfico acima: 
 
𝐴 = ∆𝑡.𝑎 
 
Como 𝑎 =
∆𝑣
∆𝑡
 ⇒ ∆𝑣 = 𝑎. ∆𝑡, e comparando temos que ∆𝑣 = 𝐴. De modo geral.∆𝑣 = ±𝐴 
 
Áreas abaixo do eixo 𝑡 serão negativas, o que resulta em uma variação de velocidade negativa ∆𝑣 < 0. 
 
O ponto onde a reta toca o eixo da ordenada 𝑣, determina a velocidade inicial 𝑣0 do movimento. 
 
O ponto onde a reta toca o eixo das abscissas 𝑡, determina o instante em que a velocidade é nula 𝑣 = 0. 
Ponto de inversão do movimento. 
 
O gráfico 𝑣(𝑡), pode possuir 𝑣0 < 0, 𝑣0 = 0 e 𝑣0 > 0, conforme mostrado no quadro abaixo. 
 
Aceleração Positiva 𝒂 > 𝟎 Aceleração Negativa 𝒂 < 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
3. MOVIMENTO VERTICAL SEM RESISTÊNCIA 
 
Física Júnior 17 
 
 
Neta secção estudaremos o movimento de corpos na vertical, sob a ação exclusiva da gravidade terrestre, 
desprezando a resistência ar, mediante três situações distintas: a queda livre, o lançamento vertical para 
cima e o lançamento vertical para baixo. Nesta situação, todos os corpos, independentes de suas 
dimensões, formas ou composição, caem com a mesma aceleração, a gravidade terrestre �⃗�. Por mais que 
o valor da gravidade na superfície da Terra seja considerada constantes em muitos exemplos, ele varia 
com a altitude e com a densidade do local da crosta terrestre. 
 
3.1 QUEDA LIVRE 
 
Na queda livre o corpo é solto, ou seja, sua velocidade inicial é nula 𝑣0 = 0 . Galileu Galilei, físico, 
matemático, astrônomo e filósofo italiano, estudou corretamente, pela primeira vez a queda livre dos 
corpos. Ele concluiu, que todos os corpos em queda livre têm a mesma aceleração independente de 
sua massa. Esta aceleração foi denominada aceleração da gravidade e, nas proximidades da Terra, é 
suposta constante e com intensidade de, aproximadamente, 𝒈 = 𝟗, 𝟖 𝒎⁄𝒔𝟐. Na queda livre a trajetória é 
retilínea e seu movimento é uniformemente variado, neste caso, a aceleração escalar do corpo é constante 
e igual a 𝒂 = +𝒈, se a trajetória for orientada para baixo, ou 𝒂 = −𝒈 se for orientada para cima. 
 
 
Figura 2: A trajetória adota para o movimento indica o sinal da aceleração da gravidade. 
3.1.1 Equações da Queda Livre 
 
Considere um corpo sendo solto de um local de altura acima do solo terrestre. A medida que o corpo 
desce, a partir da posição inicial 𝑦0 = 0, no instante 𝑡0 = 0, sua velocidade aumenta uniformemente com 
o tempo (movimento acelerado), devido a aceleração (𝑎 = 𝑔) ser constante, até chegar ao solo com 
intensidade máxima 
 
 
Figura 3: Corpo solto de uma altura y acima do solo terrestre. 
Analisando a figura, sabendo que o movimento é uniformemente variado e desprezando a resistência 
do ar, determinaremos as equações 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) e 𝑣(𝑥). 
 
A função 𝑥(𝑡) é do tipo . Sendo 𝑥 = 𝑦, 𝑥0 = 𝑦0 = 0, 𝑣0 = 0 𝑒 𝑎 = 𝑔, temos: 
 
 
 
A função 𝑣(𝑡) é do tipo 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡. Sendo 𝑣0 = 0 𝑒 𝑎 = 𝑔. 
 
𝑣 = 0 + 𝑔𝑡 ∴ 𝑣 = 𝑔𝑡 
Física Júnior 18 
 
 
 
A função 𝑣(𝑥) é do tipo . Sendo 𝑣0 = 0, 𝑎 = 𝑔 e ∆𝑥 = ∆𝑦. 
 
𝑣2 = 0 + 2𝑔∆𝑦 ∴ 𝑣2 = 2𝑔∆𝑦 
 
3.2 LANÇAMENTO VERTICAL PARA BAIXO 
 
No lançamento vertical para baixo, o corpo é arremessado, sendo assim, o início deste movimento 
apresenta velocidade inicial não nula, 𝑣0 ≠ 0. 
 
3.2.1 Equações do Lançamento Vertical Para Baixo 
 
Considere um corpo sendo lançado para baixo, de um local de altura 𝑦 acima do solo terrestre, com uma 
velocidade inicial 𝑣0. 
 
 
Figura 4: Corpo lançado para baixo a partir de uma altura y acima do solo terrestre. 
Análoga a queda livre, a medida que o corpo desce, a partir da posição inicial 𝑦0 = 0, no instante 𝑡0 = 0, 
sua velocidade também aumenta uniformemente com o tempo, devido a aceleração (𝑎 = 𝑔) ser 
constante, até chegar ao solo com intensidade máxima. Analisando a figura, sabendo que o movimento 
é uniformemente variado e desprezando a resistência do ar, determinaremos as equações 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) e 
𝑣(𝑥). 
 
A função 𝑥(𝑡) é do tipo . Sendo 𝑥 = 𝑦, 𝑥0 = 𝑦0 = 0, 𝑣0 ≠ 0 𝑒 𝑎 = 𝑔, temos: 
 
 
 
A função 𝑣(𝑡) é do tipo 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡. Sendo 𝑣0 ≠ 0 𝑒 𝑎 = 𝑔. 
 
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡 ∴ 𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡 
 
A função 𝑣(𝑥), é do tipo 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑥. Sendo 𝑣0 ≠ 0, 𝑎 = 𝑔 e ∆𝑥 = ∆𝑦. 
 
𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑔∆𝑦 ∴ 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑔∆𝑦 
 
3.3 LAÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA 
 
No lançamento vertical para cima o corpo é arremessado. Logo, ele sobe a partir de uma velocidade 
inicial, 𝑣0 ≠ 0. 
 
3.3.1 Equações do Lançamento Vertical Para Cima 
 
Física Júnior 19 
 
 
Considere um corpo sendo lançado verticalmente para cima, com uma velocidade inicial 𝑣0 a partir do 
solto terrestre. O corpo sobe até uma altura 𝑦, onde inverte o sentido do seu movimento, e retorna ao 
solo. 
 
Figura 5: Corpo lançado para cima a partir do solo terrestre até uma altura y. 
Durante a subida, a partir da posição inicial 𝑦0 = 0 no solo, no instante 𝑡0 = 0, sua velocidade diminui 
uniformemente com o tempo (movimento retardado), enquanto na descida, aumenta (movimento 
acelerado), devido a aceleração ser constante (𝑎 = 𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒), até chegar ao solo com velocidade 
de intensidade igual ao da velocidade inicial, porém com sinais contrários (𝑣 = −𝑣0). O tempo de subida 
𝑡𝑠 e o tempo de descida 𝑡𝑑 são iguais e, em cada posição do movimento, as velocidades, na subida e na 
descida, têm a mesma intensidade, mas com sinais opostos. 
 
Sabendo que o movimento é uniformemente variado, orientando a trajetória para cima (a aceleração será 
negativa, 𝑎 =−𝑔, tanto na subida quando na descida, pois ela é contrária a orientação), e desprezando a 
resistência do ar, determinaremos as equações 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) e 𝑣(𝑥). 
 
A função 𝑥(𝑡) é do tipo . Sendo 𝑥 = 𝑦, 𝑥0 = 𝑦0 = 0, 𝑣0 ≠ 0 𝑒 𝑎 = −𝑔, temos: 
 
 
 
A função 𝑣(𝑡) é do tipo 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡. Sendo 𝑣0 ≠ 0 𝑒 𝑎 = −𝑔. 
 
𝑣 = 𝑣0 + (−𝑔)𝑡 ∴ 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡 
 
A função 𝑣(𝑥), é do tipo 𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑥. Sendo 𝑣0 ≠ 0, 𝑎 = −𝑔 e ∆𝑥 = ∆𝑦. 
 
𝑣2 = 𝑣02 + 2(−𝑔)∆𝑦 ∴ 𝑣2 = 𝑣02 − 2𝑔∆𝑦 
 
3.3.2 Casos Específicos 
 
Vamos usar as equações para o cálculo de alguns casos específicos bastante comuns em problemas 
 
 Cálculo do tempo de subida - No ponto mais alto da trajetória 𝑣 = 0 e 𝑡 = 𝑡𝑠. Logo: 
 
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡 ⇒ 0 = 𝑣0 − 𝑔𝑡𝑠 ⇒ 𝑔𝑡𝑠 = 𝑣0 
 
 Velocidade escalar de retorno ao solo - Como voltou ao mesmo local de onde saiu, ∆𝑦 = 0. 
Logo: 
𝑣2 = 𝑣02 − 2𝑔∆𝑦 ⇒ 𝑣2 = 𝑣02 − 2𝑔. 0 ∴ 𝑣2 = 𝑣02 ⇒ 𝑣 = −𝑣0 
 
 Cálculo do tempo de descida - Na descida até o solo 𝑣0 = 0, 𝑣 = −𝑣0 e 𝑡 = 𝑡𝑑. Logo: 
 
Física Júnior 20 
 
 
 
 
Observe que o tempo de subida é igual ao de descida 𝑡𝑠 = 𝑡𝑑, quando ao mesmo nível. 
 
 Cálculo da altura máxima - Na altura máxima 𝑣 = 0 e ∆𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥. Logo: 
 
 
 
NOTAS: 
Para uma mesma posição, o tempo de subida 𝑡𝑠 e o tempo de descida 𝑡d são iguais, 𝑡𝑠 = 𝑡𝑑. 
No ponto mais alto da trajetória o corpo inverte o sentido do seu movimento, portanto, a velocidade 
nesse ponto é nula (𝑣 = 0). 
Na subida o movimento é retardado e na descida acelerado. 
A velocidade de retorno ao solo 𝑣 tem o mesmo módulo da velocidade inicial 𝑣0, porém sinais 
contrários. 
 
EXERCICIO DE APLICAÇÃO 
 
Movimento sem aceleração - MU 
01. Um trem de carga de 200 m de comprimento, movendo-se com velocidade escalar constante de 72 
km/h, em trajetória retilínea, gasta 0,50 minutos para atravessar completamente um túnel. Qual o 
comprimento do túnel? 
 
02. Dois móveis A e B percorrem uma mesma trajetória retilínea com movimentos uniformes e 
velocidades com intensidades respectivamente iguais a 2,0 m/s e 1,0 m/s e sentidos indicados na 
figura. No instante t0, o móvel A está posicionado em A0 e o móvel B em B0. Adotando o ponto 0 
como origem dos posições e o instante t0 como origem dos tempos, determine: (a) As equações da 
posição para os movimentos de A e B. (b) A distância entre os móveis A e B noinstante t1 = 10 s. 
 
 
 
03. Duas partículas A e B, ambas com movimento uniforme, percorrem uma mesma trajetória retilínea. 
Na origem dos tempos, as partículas ocupam as posições A0 e B0, indicadas na trajetória, conforme 
a figura a seguir. As partículas A e B se movem no mesmo sentido, com velocidades escalares 
respectivamente iguais a . Determine: (a) Em que posição da trajetória 
ocorrerá o encontro dos móveis? (b) Em que instantes a distância entre os dois móveis será de 50 
m? 
 
 
04. Um atirador aponta para um alvo e dispara um projétil. Este sai da arma com velocidade de 300 
𝑚⁄𝑠. O impacto do projétil no alvo é ouvido pelo atirador 3,2 𝑠 após o disparo. Sendo de 340𝑚⁄𝑠 
a velocidade de propagação do som no ar, calcule a distância do atirador ao alvo. 
 
Física Júnior 21 
 
 
05. Um rapaz e uma moça saem de suas casas uma ao encontro do outro, caminhando sempre com 
velocidades constantes, respectivamente iguais a, 3,5 km/h e 1,5 km/h. Estando a 100 m da moça, 
em linha reta, o rapaz, ao avistá-la, aciona o seu cronômetro, travando-o apenas no instante em que 
os dois se encontram. Qual o intervalo de tempo, em minutos, registrado pelo cronômetro? 
 
06. Três veículos, A, B e C, trafegam num mesmo sentido, sobre uma pista retilínea, com velocidades 
constantes. Num determinado instante, C vem à frente, a 80 m de B, e este, 60 m à frente de A. O 
veículo A leva 6,0 s para ultrapassar o veículo B e, 1,0 s após, encontra-se ultrapassando veículo C. 
Determine, em m/s, a velocidade de B em relação C. 
 
07. Há um serviço de ônibus entre as cidades de Cajazeiras e Patos, distantes 180 km uma da outra. A 
cada hora um ônibus sai da primeira para segunda cidade, trafegando com velocidade constantes de 
módulo 60 km/h. Se você viajar de automóvel com velocidade constante de módulo 60 km/h, haverá 
cruzamento com os ônibus que vem sentido contrário. Qual o intervalo de tempo entre dois 
cruzamentos sucessivos? 
 
08. Uma partícula descreve um movimento uniforme cuja função horária é 𝑥 = −2 + 5𝑡, para 𝑥 em 
metros e 𝑡 em segundos. Neste caso, classifique o movimento quanto a velocidade. 
 
09. A posição de uma partícula varia em função do tempo, de acordo com o gráfico. Determine: (a) A 
posição inicial do movimento. (b) O que acontece no intervalo de tempo de 0 a 2 s? (c) Os instantes 
em que o móvel passa pela origem das posições. (d) A velocidade escalar nos instantes 4 s e 9 s. 
 
 
 
10. Um automóvel faz uma viagem em 6 h e sua velocidade escalar varia em função do tempo, 
aproximadamente como mostra o gráfico. Qual a velocidade média do automóvel na viagem? 
 
 
 
Movimento com aceleração constante – MUV 
11. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2 no instante do ataque. Se um carro, partindo do 
repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto tempo atingiria a velocidade de 180 
km/h? 
 
12. Um avião jumbo precisa atingir uma velocidade de 360 km/h para decolar. Supondo que a aceleração 
da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8 km, qual o valor mínimo desta aceleração em 
m/s2? 
 
Física Júnior 22 
 
 
13. Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante de 2 
m/s2. No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de 10 m/s, ultrapassa o 
automóvel. Determine: (a) a que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão? (b) 
Qual a velocidade do carro nesse instante? 
 
14. Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a 72 km/h 
e o outro a 144 km/h. Quando estão a 950 m um do outro, os maquinistas se avistam e aplicam os 
freios. Determine se haverá colisão, sabendo-se que a desaceleração em cada um dos trens é de 1,0 
m/s2. 
 
15. A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo 𝑥, partindo da origem das posições, é 
dada, por: 𝑣 = 6𝑡2 − 2𝑡3, no SI. Determine, para o instante 2 s, (a) a posição, (b) a velocidade e (c) 
a aceleração da partícula. (d) Qual é a velocidade máxima alcançada pela partícula? 
 
16. O gráfico representa a velocidade escalar de uma 
partícula que, descreve uma trajetória retilínea, e função 
do tempo. No intervalo de tempo de 0 a T, a partícula 
inverte o sentido de seu movimento: 
a) Nenhuma vez 
b) Uma vez 
c) Duas vezes 
d) Três vezes 
e) Quatro vezes. 
 
17. (UELON-PR) O gráfico representa a velocidade escalar de uma partícula, em 
função do tempo. A aceleração escalar da partícula, em m/s2, é igual a: 
a) 0,5 
b) 4,0 
c) 8,0 
d) 12 
e) 16 
 
18. O gráfico representa a posição em função do tempo para um móvel que se desloca com aceleração 
constante. Classifique o movimento para: a) 0 ≤ 𝑡 < 𝑡1 e b) 𝑡 > 𝑡1. 
 
19. O gráfico a seguir representa a velocidade de um atleta, que descreve uma trajetória retilínea e 
orientada, em função do tempo. No gráfico destacamos três secções distintas, indicadas por I (0 < 
𝑡 < 𝑡1), II (𝑡1 < 𝑡 < 𝑡2) e III (𝑡2 < 𝑡 < 𝑡3). Qual os tipos de movimento nas secções I, II e III? 
 
 
Física Júnior 23 
 
 
20. O gráfico representa a posição 𝑥 em função do tempo 𝑡 para o movimento de um corpo, em trajetória 
retilínea. Os trechos AO e BC são retilíneos e os trechos curvos são arcos de parábola com vértices 
em B e C e eixos de simetria paralelos a eixo das posições. Construa o gráfico da velocidade escalar 
em função do tempo e classifique o movimento em cada trecho. 
 
 
21. O gráfico a seguir representa a velocidade de um atleta olímpico, em função da coordenada de 
posição, na corrida de 100 m rasos em uma trajetória suposta retilínea. Nos primeiros 30 m de 
percurso o movimento é com aceleração constante e, nos 70 m restantes, o movimento é uniforme. 
Qual o tempo total de percurso dos 100 m, com precisão de centésimos de segundo? 
 
 
22. A figura refere-se ao diagrama 𝒙(𝒕) de uma partícula que descreve um movimento com aceleração 
constante, partindo do repouso no instante t = 0. No intervalo de 10 s a 15 s, qual foi o deslocamento 
sofrido pela partícula? 
 
23. No livreto fornecido pelo fabricante de um automóvel há a informação de que ele vai do repouso a 
108 km/h (30 m/s) em 10 s e que sua velocidade escalar varia, em função do tempo, de acordo com 
gráfico. Suponha que você queria fazer esse mesmo caro passar do repouso a 30 m/s também em 10 
s, mas com aceleração constante. (a) Calcule qual deve ser essa aceleração escalar. (b) Compare as 
distância d e d’ percorridas pelo carro nos dois casos, verificando se a distância d’ percorrida com 
aceleração escalar constante é maior, menor ou igual à distância d percorrida na situação 
representada pelo gráfico. 
 
 
24. Uma partícula possui velocidade igual a 2,0 m/s, no instante t0 = 0 e percorre uma trajetória retilínea. 
Sabe-se que a aceleração da partícula varia, em relação ao tempo, de acordo com o gráfico. Qual a 
distância percorrida pela partícula, entre os instantes t0 = 0 e t1 = 6,0 s? 
Física Júnior 24 
 
 
 
25. Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700 m acima da superfície da Terra. Se 
desconsiderarmos a resistência do ar, com que velocidade, em km/h, as gotas de chuva atingiriam o 
solo? Seria seguro caminhar ao ar livre num temporal? 
 
26. Uma chave inglesa cai de uma construção e atinge o solo com velocidade de 30,0 m/s. (a) De que 
altura caiu a bola? (b) Que tempo levou para cair? 
 
27. Um objeto é largado de uma ponte 45 m acima da água. O objeto cai dentro de um barco que se 
desloca com velocidade constante e estava a 12 m do ponto de impacto no instante em que o objeto 
foi solto. Qual a velocidade do barco? 
 
28. Uma bola lançada verticalmente para baixo de um altura de 58,8 m com velocidade inicial de 20, 5 
m/s. (a) Qual sua velocidade exatamente antes de atingir o solo? (b) Que tempo ela necessita para 
atingir o solo? (c) Se a bola fosse jogada verticalmente para cima, da mesma altura e com a mesma 
velocidade inicial, quaisseriam as repostas aos item (a) e (b)? 
 
29. Um foguete é lançado do repouso, de uma base submarina, situada 125 m abaixo da superfície da 
água. Ele se move verticalmente para cima, com aceleração desconhecida mas suposta constante 
(efeitos combinados de seus motores, da gravidade da Terra, do empuxo e da resistência da água) e 
alcança a superfície após 2,15 s. Quando ele rompe a superfície seus motores são automaticamente 
desligados (para tornar mais difícil a detecção) e continua a subir. Qual a altura máxima que ele 
alcança acima da superfície da água? (Ignore quaisquer efeitos da superfície). 
 
RESPOSTAS 
01 400 m 
02 (a) 𝑥𝐴 = 2 + 2. 𝑡 e 𝑥𝐵 = −1 − 1. 𝑡 ; (b) 33 m 
03 (a) 5 s ; (b) 2,5 s e 7,5 s 
04 510 m 
05 20 s 
06 10 𝑚 𝑠⁄ 
07 2h 
08 𝑣 = 5 𝑚 𝑠⁄ > 0 , Progressivo 
09 (a) -10 m ; (b) Repouso ; (c) 4 s e 9 s ; (e) 9 m/s e 3,33 m/s, respectivamente. 
10 40 km/h 
11 1 s 
12 2,78 m/s2 
13 (a) 100 m ; (b) 200 m/s 
14 Haverá colisão, pois a soma das distâncias percorridas por cada trem é (1000 m) maior que 950 m. 
15 (a) 8 m ; (b) 8 m/s ; (c) 0 ; (d) -32 m/s 
16 C 
17 A 
18 (a) Retrógrado e Retardado ; (b) Progressivo e Acelerado 
19 Progressivo e acelerado, uniforme e progressivo, progressivo e retardado. 
20 De 0 a A: MU Progressivo; De A a B: Progressivo e Retardado; De B a C: Repouso; De C a D: Progressivo e 
Acelerado. 
21 10,83 s 
22 250 m 
23 (a) 3 m/s2 ; (b) d’ < d 
24 42 m 
Física Júnior 25 
 
 
25 663,8 km/h, não é seguro pois a velocidade das gostas são muito altas, podendo causar lesões. 
26 (a) 1,5 m, (b) 0,55 s 
27 4 m/s 
28 (a) 39,95 m/s, (b) 1,945 s, (c) 39,9 m/s e 6,04 s 
29 2704 m