Somativa 2 Matemática Computacional

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1) Utilizando a série de dados: 2, 7, 8 e 15, comprove as seguintes propriedades 
da média aritmética. Σ(x - x̅) = 0 
 
a) A soma dos desvios em torno da média é zero. 
b) Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os 
valores da série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma 
quantidade. 
 
Sugestão: utilize, por exemplo, a quantidade 3, calcule a nova média e verifique que 
esta segunda média supera a primeira em três unidades. 
 
R: 
2 
7 
8 
15 
 
A média: É igual ao valor dos dados dividido pela quantidade. 
 
2 + 7 + 8 + 15 = 32 
 = 8 
32
4
 
 = 8 𝑥
 
Desvío: 
 
 x - 𝑥
2 2 - 8 -6 
7 7 - 8 -1 
8 8 - 8 0 
15 15 - 85 7 
 
a) A soma dos desvios em torno da média é zero. 
R: Sim. 
 (x - ) = -6 + (-1) + 0 + 7 = 0 𝑥
 
2 
 
 
 
 
b) Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os valores da 
série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade. 
 
R: 
 
Nova série: 
Cada número original + 3 → 5, 10, 11, 18 
Nova média: 
= 11 
44
4
A média anterior era 8. Agora é 11 → aumentou exatamente 3 unidades. 
 
Comprovado: Somando 3 a todos os elementos, a média também aumenta 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2) Em uma turma de 40 estudantes, foi pedido que escolhessem um 
número da seguinte relação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, obtendo-se o 
seguinte resultado: 
 
8-0-2-3-3-5-7-7-7-9-8-4-1-9-6-6-6-8-3-3-7-7-6-0-1-3-3-3-7-7-6-5-5-1-2-5-2-5-3-2. 
 
A partir da distribuição de frequência, determine: 
a) A média aritmética. 
b) Qual foi o número mais escolhido? O que ele representa? 
c) A mediana. 
 x quantidade 
0 2 
1 3 
2 4 
3 8 
4 1 
5 5 
6 5 
7 7 
8 3 
9 2 
= 185 /40 Me 
0,0,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,5. 5,5 .5,5,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9 
 
R: 
a) Media : 185/40 = 4,62 
b) Número mais escolhido: É o número 3, e representa a moda. 
O número 3 foi escolhido 8 vezes. 
c) Mediana: Como é um número par de dados(40), no meio temos 2 números que 
somamos e dividimos por 2. Sendo: 5 + 5 = 10, e então 10 / 2 = 5, 5 é a Mediana. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
3) Sabendo que o coeficiente de variação de uma medida relativa, utilizada 
para comparar em termos relativos o grau de concentração em torno da média 
de séries distintas sendo definido pela razão entre o desvio padrão e a média: 
 
 
Para efeitos práticos, considera-se que o coeficiente de variação maior do que 50% 
representa alto índice de dispersão; logo, pequena representatividade da média e 
valores menores do que 50%. A média será tanto mais representativa do fato 
quanto menor for o valor de seu coeficiente de variação. 
Em uma empresa de tecnologia, o salário médio dos homens é R$ 4.000,00, com 
desvio-padrão R$ 1.500,00, e o salário médio das mulheres é em média R$ 3.000,00, 
com desvio-padrão R$ 1.200,00. Determine qual salário tem maior dispersão 
relativa e faça a conclusão do resultado. 
 
Usamos: 
 
 x 100 𝐶𝑣 = 𝐷𝑒𝑠𝑣í𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 
𝑀é𝑑𝑖𝑎
 
R: 
Salários dos Homens: 
Desvio padrão: 1.500,00 
Média: 4.000 
Dividimos o desvío padrão, pela média, e o valor devolvido, multiplicamos por 
100. 
 
 1500
4000 = 0, 37
0,37 x 100 = 37,5 
 
= 37,5 % 𝐶𝑣 
 
Salários das Mulheres: 
Desvio padrão: 1.200,00 
Média: 3.000,00 
 = 0,4 1200
3000
0,4 x 100 = 40 
 
 𝐶𝑣 = 40%
5 
 
Conclusão: 
O coeficiente de variação das mulheres (40%) é maior do que o dos homens 
(37,5%). Isso significa que os salários das mulheres têm maior dispersão relativa 
em relação à média, ou seja, são mais "espalhados". 
Ainda assim, ambos os valores estão abaixo de 50%, indicando que a média é 
representativa em ambos os casos, mas mais representativa para os homens. 
Os salários das mulheres apresentam maior heterogeneidade em relação à 
média do que os dos homens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
4) Determine a probabilidade de se obter pelo menos uma vez o número da 
face voltada para cima 4, ao ser lançado um dado: 
a) 10 vezes. 
b) “n” vezes. 
 
a) Se for lançado 10 vezes: 
R: Vou usar o método de probabilidade complementar, usando a regla de Laplace. 
Calculamos apenas uma coisa simples: Que o 4 nunca sai, e só nos resta 1, este 
problema seria um evento. É um evento onde queremos vários ou um resultado 
possível. 
 
Seguindo a regla de Laplace que diz que a probabilidade é: 
 = 𝑃 𝑎( ) 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
 
Identificamos o nosso espaço amostral (Características do Dado) 
Espaço amostral do dado: S = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 
A probabilidade de não sair o número 4 em um único lançamento é: 
 
P(não 4) = Aqui estamos dividindo 5 entre 6, deixando um espaço para o 
5
6( )
número 4, caso contrário seria 6/6 e não faria sentido para este exercício. 
 
Portanto, a probabilidade de não sair o número 4 em nenhum dos 10 lançamentos 
é: 
Aqui estamos dividindo a possibilidade de não obter um 4 elevado a 10. (Que é o 
número de vezes que o dado é lançado) (5/6)¹⁰ 
¹⁰= 0,1615 
5
6( )
 
Logo, a probabilidade de sair pelo menos uma vez o número 4 em 10 
lançamentos é: 
Restei 1 (Possibilidade de ser 4), do resultado da possibilidade de não sair 4 em 10 
vezes. 
P(4) = 1 - (P não 4) = ¹⁰ 5
6( )
= 1 - 0,1615 = 0,8385 ou 83,85% 
 
A possibilidade de sair um 4 em 10 lançamentos de dado é: 83,85% 
 
 
 
7 
 
1. Eu dividi 5 por 6 para encontrar a probabilidade de não tirar um 4: 
 = 0,8333 
5
6
2. Elevei esse número à décima potência: 
 10 
 0,8333 = 0,1615 
 
3. Subtraí isso de 1 para obter a probabilidade desejada: 
4. 1−0,1615 = 0,8385 
 
 
 
b) “n” vezes. 
A probabilidade de não sair o número 4 em nenhum dos n lançamentos é: 
 
 5
6( )𝑛
 
Portanto, a probabilidade de sair pelo menos uma vez o número 4 em 
lançamentos é: 
 
P = -1 5
6( )𝑛
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
5) Com auxílio da tabela z (abaixo), confirme, passo a passo, se a área 
sombreada na figura corresponde ao valor indicado. 
 
 
TABELA Z : 
Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 
0.0 0.5000 0.504
0 
0.508
0 
0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 
 
A tabela Z, também chamada de tabela de distribuição normal padrão, nos diz a 
probabilidade cumulativa da esquerda para um certo valor z em uma curva em 
forma de sino (distribuição normal). A probabilidade acumulada é a área sob a 
curva da extremidade esquerda (menos infinito) até um valor que você indica. 
A tabela está organizada da seguinte forma: 
● Linhas: Parte inteira + primeira casa decimal (por exemplo, 1,5) 
● Colunas: Segunda casa decimal (por exemplo, 0,00, 0,01, ..., 0,09) 
 
Para buscar o Z que é 1.645: Vamos até a fila 1.6, na coluna .05 o valor que 
achamos é 0.9505, isso quer dizer que: 
 𝑃 𝑍1,64 + 0,005): 
Procurando z = 1,64, coluna 0,005, temos: 
P(Z