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Teoria Exercícios NESSE CAPÍTULO VOCÊ TAMBÉM PODE: Ver em Vídeo Definição Imagine uma superfície qualquer parametrizada por , queremos definir a integral de superfície de uma função sobre . Da mesma forma que fizemos para calcular áreas de superfícies, vamos dividir o domínio de em retângulos e, assim, dividir a superfície em retalhos correspondentes . 14. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE - CASO ESCALAR � X 1 �2 " � � � %& � %& HOME LIVROS RESOLVIDOS PLANOS JUNTE-SE A NÓS FALE CONOSCO Voltar CÁLCULO 3 Guia Provas 1. O Que São Integrais Duplas 2. Integrais Duplas Sobre Regiões Gerais 3. Mudança de Variáveis 4. Coordenadas Polares 5. Integrais Triplas 6. Coordenadas Cilíndricas 7. Coordenadas Esféricas 8. Integrais de Linha - Caso Escalar 9. Integrais de Linha - Caso Vetorial 10. Teorema de Green 11. Campos Conservativos 12. Parametrização de Superfícies 13. Áreas de Superfícies 14. Integrais de Superfície - Caso Escalar Para cada um desses retalhos, calculamos o valor da função em um ponto pertencente a e multiplicamos pela área do retalho. Somando esses valores, encontramos a Soma de Riemann: Fazendo as divisões e tender a infinito, reduzimos o tamanho desses retalhos e chegamos à definição da integral de superfície que buscamos: Mas como calcular essa integral? Nós não sabemos integral em uma superfície qualquer , certo? Só sabemos integrar em uma área plana, do plano , por exemplo. " � %& � %& ∆� %& " ∆� %�� ) � &�� * � %& � %& ) * � %& " � �� � � MJN ) �*¥Ì � %�� ) � � 45 Caso Escalar Teoria Exercícios 15. Integrais de Superfície - Caso Vetorial 16. Teorema de Stokes 17. Teorema de Gauss Como já vimos no cálculo de áreas de superfícies, podemos aproximar o valor de pela área de um plano tangente: Onde e são as derivadas parciais de . Sendo assim, podemos dizer que: O que é o mesmo que: Portanto, para calcular a integral em uma superfície, nós temos primeiro que parametrizá-la. Em seguida, calculamos o módulo produto das derivadas parciais ∆� %& ∆ Ù ] g ]� ∆ 1 ∆ 2� %& . 1 . 2 . 1 . 2 X 1 �2 " � �� � � MJN ) �*¥Ì � %�� ) � " � � "�X 1� � � � � � " � � "�X 1� � � � � � Ï ¼ ¼ Ï . Então, nós escrevemos a integral dupla na variável da parametrização, lembrando de escrever (a função a ser integrada) em função de e e lembrando também que a área de integração vem do domínio da parametrização. Daí, é só calcular. Agora vamos olhar de novo para essa fórmula que encontramos Perceba que, quando temos , temos: Exatamente a definição que vimos para área de superfície, lembra? Vimos algo muito parecido para as integrais de linha. Denifimos o seguinte: g Ï Ï ¼X ¼1 ¼X ¼2 Ï Ï " 1 2 � " � � "�X 1� � � � � � " X 1 �2 � � � � 1 �2� � � � � � Ï Ï� � � Se fizermos , temos comprimento do arco , veja: Repare que o termo é o “diferencial de comprimento” nas integrais de linha, assim como é o “diferencial de área”, nas integrais de superfície. Nesse sentido, as integrais de linha são bastante parecidas com as de superfície! Observação: Para o caso particular em que é dada por sua equação explícita , a integral de superfície é dada por: " � � " U 0 � � � � � � Ï Ï " U 0 � � � � � �0� 0� � � � � � Ï Ï U � Ï Ï �0� 0 Ï Ï U � Ï Ï 1 �2 1 2 Ï Ï� � Ï Ï � 6 � $ 4 �5 � Pois teremos Mas se você não se lembrar dessa fórmula, pode calcular pela fórmula geral também, ok? Agora vamos ver um exemplo, para você entender melhor! Exemplo: Considere a superfície do paraboloide contida no interior do cilindro e a função . Calcule . Passo 1: Parametrizar Como a superfície está na sua forma explicita, vamos parametrizá-la como " 4 �5 �$ 4 �5 � � � � g � Ï Ï Ï ¼X ¼1 ¼X ¼2 Ï Ï Ï � � � ÃÃÃÃà � � 6 � �4 � 5 � � Þ �4 � 5 � " 4 5 6 � �4 � 5 � " �� � � � X 4 5 � �4 �5 � � 4 � 5 e utilizar a fórmula que acabamos de ver para calcular a integral. Como temos o cilindro limitando o domínio de Passo 2: Calcular e Você também pode usar a fórmula geral aqui, sem problemas. Talvez isso dê um pouco de trabalho apenas, já sabemos que Passo 3: Montar a integral Temos a fórmula � � � � 4 5 ]� � Þ4 � 5 � ¼$ ¼4 ¼$ ¼5 � �4 ¼$ ¼4 � �5 ¼$ ¼5 " � � "�X 1 �2� � � � � � g � Ï Ï ¼X ¼1 ¼X ¼2 Ï Ï � � � ¼ ¼ ÃÃÃÃÃà � Substituindo os valores que temos: Onde Passo 4: Agora vamos fazer a substituição polar, pois nosso domínio é um círculo e temos termos quadráticos na integral. Faremos: O domínio passa a ser , (o interior do círculo de raio ).Temos, então, " � � " 4 �5� � � � � � " � � � �� � � � � � 4 � " � � � � � � � � � � 4 � � � � 4 5 ]� � Þ4 � 5 � � 4 � . DPT J 5 � .�/!*�J ]� ] � . � Þ . Þ � � Þ J Þ �R � Passo 5: Vamos fazer, agora, a substituição , dessa forma, temos apenas dentro da raiz. Temos, então � �/! J �� �R � � � � . � * � � � �R � � � � . � � � �. � à ÃÃÃÃà � �� � � � � 1. � 1 �. � 1 à � � . . � 1 � � �� �R � � �� � 1 à � � 1 Ê � 1 à � �� � �R � � �� � 1 Ê � � �� � �R � Ã1 � � � � � � � 1 � � �� � �R � � g ��� � �� ÃÃ Ê Ir para Exercícios Pular para Próximo Capítulo Passo 6: Integrando em relação a , temos: Show? O raciocínio que você vai seguir vai ser sempre basicamente o mesmo, a parte mais chata talvez seja parametrizar as superfícies, mas isso você pega na prática. Vamos para os exercícios agora! � � �� � �R � � g ��� � �� ÃÃ Ê � � � � �R � ��� � ��� ÃÃ Ê �� J � � �J ��� � ��� ÃÃ Ê ��� Î Î Î �R � �R ��� � ��� ÃÃ Ê �� Políticas de Privacidade Termos de Uso Time Planos Procon RJ
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