04. COORDENADAS POLARES

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Teoria Exercícios
Introdução
Nos últimos capítulos você viu como calcular integrais
duplas sobre alguns tipos de regiões, limitadas por
retas, parábolas, hipérboles etc. Imagine, agora, a
seguinte integral:
Onde é o círculo . Como temos feito até
então, precisamos encontrar os intervalos de e de .
Porém, quando isolamos essas variáveis, temos:
O que, convenhamos, não são expressões muito
agradáveis se de trabalhar! Por isso, em geral, quando
temos regiões circulares, não utilizamos o sistema de
coordenadas retangulares, que chamamos de e .
Utilizamos um sistema que descreve essas curvas de
forma muito mais simples: as coordenadas polares.
Vamos fazer um gráfico da circunferência do nosso
exemplo:
Analisando a figura, vemos que esse círculo é definido
por todos os pontos que estão a uma distância da
04. COORDENADAS POLARES
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
Teoria Exercícios
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
origem do plano cartesiano, para qualquer ângulo .
Portanto, podemos descrever essa área assim:
 e 
Perceba que, se escolhemos um ponto qualquer do
plano, podemos defini-lo da mesma forma, basta
termos sua distância até a origem, que chamamos de ,
e o ângulo que faz com o eixo . Pronto, agora você
sabe o que são coordenadas polares! É exatamente essa
forma de localizar um ponto em função de e .
Mudança para coordenadas polares
Precisamos, agora, de uma forma geral para traduzir as
coordenadas retangulares para as polares ,
pois essa transição nem sempre será tão simples como
foi para o círculo. Em outras palavras, precisamos
escrever e em função de e . Vamos analisar
novamente a figura da circunferência:
Pelo triangulo retângulo da figura, vemos que:
 (cateto adjacente ao ângulo )
 (cateto oposto ao ângulo )
Essa relação vale para qualquer ponto que formos
escrever em coordenadas polares. Os diferenciais
passam a ser, então, e .
Como você em outros capítulos, sempre que mudamos
de coordenadas nas integrais duplas, precisamos
calcular o Jacobiano dessa transformação. Vamos fazer
isso:
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Portanto, sempre que fizermos uma substituição polar
em uma integral dupla, temos que escrever esse termo 
 ao lado do novo diferencial .
É muito importante que você se lembre desse
Jacobiano, para não precisar fazer contas
desnecessárias!
Exemplo: Calcule , onde é a região
limitada pelos círculos e , com
.
Passo 1: Essa região pode ser descrita como:
Graficamente, ela é representada assim:
Como nós temos duas circunferências limitando nossa
região, pensamos logo em coordenadas polares.
Passo 2: Como vamos usar as coordenadas polares,
precisamos descobrir os intervalos de integração de e
, certo? Assim como nós fazíamos com as outras
mudanças de variáveis.
Temos aqui variando entre e (entre a
circunferência vermelha e a azul) e entre e (uma
semicircunferência). Mas vamos supor que você não
tenha conseguido visualizar isso na figura, basta
substituir os valores da transformação polar nas
equações do enunciado que limitam a região:
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ter . Os valores que obedecem a essa
condição são: . Assim, o domínio pode ser
reescrito como:
Passo 3: Agora vamos montar a integral em
coordenadas polares, substituindo os valores de e :
Esse termo é o Jacobiano, não se esqueça dele!
Passo 4: A integração funciona da mesma forma que
temos feito até agora, vamos começar integrando em
relação a :
Passo 5: Aplicando a fórmula do arco duplo 
:
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Agora integramos em relação a :
Coordenadas elípticas
Certas vezes vamos encontrar regiões desse tipo:
Essa é uma elipse de coeficientes e . Se
você reparar, a equação se parece muito com a da
circunferência, a única diferença é que os coeficientes
de e de são diferentes entre si. Nesses casos,
utilizaremos um tipo de coordenadas muito
semelhante com as polares: as coordenadas elípticas.
O raciocínio é basicamente o mesmo!
Vamos usar as mesmas variáveis e , porém, com
uma substituição diferente. Repare que, nesse exemplo
acima, se fizermos:
Teremos:
Essa expressão representa, para as coordenadas,
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Ir para Exercícios Pular para Próximo Capítulo
polares uma circunferência, enquanto para as
elípticas, uma elipse. Para escrever as elipses dessa
forma (a mais simples possível), temos, portanto, que
fazer substituições com coeficientes diferentes.
Em outras palavras, você precisa buscar coeficientes
para ) e que, quando elevados ao
quadrado, “cancelem” os coeficientes de e da
elipse. Assim, poderemos agrupar e
a equação se transformará em . Portanto, se
escrevermos a elipse dessa forma:
A substituição que faremos será:
O Jacobiano será então:
Você só terá se escrever a elipse dessa forma,
com apenas o termo” ” depois do” ”. Caso contrário,
o raio será a raiz do termo depois do “ ”, como na
circunferência. É uma boa você escrever direto dessa
forma porque fica mais fácil fazer o desenho para
visualizar a região.
Certo, agora você já entendeu o que são as coordenadas
polares (e elípticas) e viu como trabalhar com elas, mas
resta a questão: quando usá-las? Em geral, você vai
pensar em usar esse tipo de coordenada em dois casos:Quando a região for circular/ elíptica (ou envolver ou
envolver uma circunferência/elipse);
Quando você encontrar muitos e , seja nas equações
que limitam a região ou na função que você vai integrar.
Beleza? Vamos para os exercícios agora!
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