Potências

Prévia do material em texto

Sistemas de Transmissão de
Potência
Design de Máquinas
Centro Universitário da Fundação Educacional Inaciana Pe Sabóia de Medeiros
(FEI)
53 pag.
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
https://www.docsity.com/pt/ai/?utm_source=cta&utm_medium=document&utm_campaign=AIQR
3 - 1 
 
 
Capítulo 3 
Sistemas de Transmissão de Potência 
 
Um dos principais objetivos dos sistemas mecânicos é a transmissão e conversão de 
potência. A primeira parte deste capítulo tem como objetivo o estudo dos processos específicos 
através dos quais a energia é convertida, armazenada e transmitida através dos sistemas 
mecânicos enquanto a segunda parte foca principalmente nos sistemas de transmissão 
convencionais e epicicloidais. Tais sistemas tem adquirido importância devido ao seu alto 
rendimento e desempenho. 
 
3.1 Introdução e Conceitos Fundamentais 
 
De maneira geral, a energia existe sob variadas formas, mas para os sistemas encontrados 
em engenharia, estas formas são: nuclear, química, mecânica, térmica, fluida e eletromagnética. 
Este capítulo trata principalmente dos sistemas mecânicos do ponto de vista da conversão e da 
transmissão de energia. 
Como exemplo inicial das transmissões e conversões de potência em um sistema mecânico 
cita-se a geração de potência por uma usina termoelétrica. Inicia-se com a energia química 
armazenada originalmente em combustíveis fósseis, a qual é convertida em energia térmica pela 
queima na caldeira. Através da passagem de um líquido pela tubulação da caldeira, a energia 
térmica é convertida em energia fluída pela evaporação desse líquido e aumento da pressão na 
tubulação. Em seguida a energia fluida é convertida em energia mecânica pela passagem do vapor 
superaquecido em uma turbina, a qual aciona um gerador elétrico. No gerador, a energia mecânica 
é convertida em energia elétrica pelo movimento rotativo de um imã móvel em um campo magnético. 
A energia elétrica é, então, transportada por linhas de transmissão até residências e fábricas onde, 
finalmente, é reconvertida em algumas das formas anteriores para o uso apropriado. 
Vê-se, portanto, que a energia pode ser convertida, transmitida e reconvertida segundo 
todas as formas anteriores. Em sistemas mecânicos é comum a utilização de diversos mecanismos 
e máquinas que fazem uso de movimentos lineares e rotativos. A transmissão de energia fluida se 
faz através de tubulações, bombas e acumuladores, enquanto que em sistemas elétricos utilizam-
se linhas de transmissão, ondas magnéticas, etc. 
 
3.1.1 Conversão e transmissão de energia 
 
 O conceito de potência é definido como a taxa instantânea de transmissão de energia E que 
um determinado processo fornece ou requer, ou seja, P = Ė. Por processo entende-se aqui qualquer 
conversão ou transmissão de energia onde a variável tempo é implícita. No entanto, considerando 
as formas de energia descritas anteriormente, é comum que o conceito de potência seja descrito 
através da variação de dois parâmetros. Um desses parâmetros indica a capacidade ou potencial 
de realizar ou consumir trabalho, sendo chamado de parâmetro potencial. O outro indica o fluxo ou 
passagem da energia pelo sistema, sendo chamado de parâmetro dinâmico. Por convenção, o 
parâmetro potencial é sempre escrito através de letras maiúsculas e o dinâmico através de letras 
minúsculas. 
Por exemplo, é comum caracterizar o comportamento de saída de motores elétricos 
rotativos, turbinas e motores a combustão interna através do torque no eixo de saída em função da 
velocidade angular, ou seja T(ω), sendo torque o parâmetro potencial – com capacidade latente de 
realizar trabalho – e a velocidade o parâmetro dinâmico – no sentido de taxa de transformação. A 
tabela 3.1 apresenta os parâmetros mais utilizados para a caracterização da potência. 
Define-se, portanto, um conversor de energia como qualquer equipamento ou processo cujo 
objetivo principal é alterar a forma da energia transmitida. Por exemplo a conversão de energia 
elétrica em mecânica em um motor CA ou a conversão do movimento rotativo em linear em um fuso 
de esferas. Os equipamentos que podem operar nos dois sentidos de conversão ou transmissão 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 2 
 
são chamados reversíveis, enquanto os que tem apenas uma direção de operação são chamados 
irreversíveis. As condições de reversibilidade ou irreversibilidade de um determinado equipamento 
dependem tanto de suas características físicas quanto da natureza do processo. 
 
processo potencial dinâmico 
mecânico (linear) força (F) velocidade linear (v) 
mecânico (rot) torque (T) velocidade angular (ω) 
elétrico voltagem (U) corrente elétrica (i) 
fluido pressão (P) vazão (q) 
térmico temperatura (T) fluxo de calor (qT) 
 
Tabela 3.1: parâmetros potencial e dinâmico 
 
A conversão entre as diversas formas de energia se faz através de vários equipamentos 
diferentes. A terminologia utilizada para tais equipamentos está indicada na figura 3.1. 
Por outro lado, a transmissão de potência utiliza equipamentos cujo objetivo não é mudar a 
forma, mas parâmetros específicos da energia sendo transmitida. É o caso, por exemplo, de 
trocadores de calor em sistemas térmicos, transformadores e linhas de transmissão em sistemas 
elétricos, caixas de engrenagens em sistemas mecânicos e tubulações em sistemas fluidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1: conversões típicas de energia em sistemas mecânicos. 
 
 Neste ponto é interessante lembrar o papel que a segunda lei da termodinâmica 
desempenha nos processos de conversão de energia. Observa-se experimentalmente em qualquer 
processo de conversão ou transmissão que uma parte da energia sendo transmitida é dissipada 
(usualmente sob a forma de calor), indicando a existência de certo grau de irreversibilidade. Tal 
irreversibilidade é característica inerente do processo e, na maior parte das vezes, do seu ponto de 
operação. É o caso dos motores à combustão, turbinas a vapor, geradores elétricos e bombas. Por 
outro lado, alguns sistemas de transmissão têm seu rendimento praticamente constante para uma 
ampla faixa de operação. É o caso das caixas de transmissão por engrenagens, motores elétricos 
CA e transformadores elétricos. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 3 
 
Em sistemas termodinâmicos o grau de irreversibilidade é geralmente caracterizado através 
da propriedade física entropia, mas em sistemas mecânicos complexos que envolvem múltiplos 
fenômenos e/ou transformações, a irreversibilidade é melhor caracterizada através do fator de 
rendimento η característico do conversor ou processo, onde 0 ≤ ηonde P1 e P2 são as potências fornecidas às buchas, ou seja: 
 Pmηrol3 ηeng2 ηcor = P1ηfuso + P2ηcrtηrolηfuso 
 
Assume-se que o peso do veículo seja igualmente dividido entre os fusos, de onde segue que 
R1 = R2 = mg onde m é metade da massa do veículo e g é a aceleração da gravidade. Consideranto 
que P1 = P2 = mgvbucha e Pm = Tmωm , a equação de potências pode ser reescrita como: 
 Tmωmηrol3 ηeng2 ηcor = F. vbuchaηfuso + F. vbuchaηcrtηrolηfuso, 
 
onde vbucha é também a velocidade de subida do veículo. Relacionando agora a rotação ωm do motor 
com a velocidade da bucha: 
 ωfuso = ωmi1i2i3 onde ωfuso = 2π. vbuchaz. p → ωm = 2π. vbucha . i1 i2 i3z. p 
 
onde i1, i2 e i3 são, respectivamente, as relações de transmissão dos pares 1-2, 3-4 e 5-6. Dessa 
forma, substituindo a equação acima na equação de continuidade, obtém-se a equação para o 
torque exigido do motor em termos da demanda: 
 Tm = z. p2π. i1 i2 i3. ηrol3 ηeng2 ηcor ( R1ηfuso + R2ηcrtηrolηfuso) 
ou seja: 
 Tm = 2 . 0,0052π . 2 . 4,5 . 2 . 0,993 . 0,982 . 0,985 (1300 . 9,80,52 + 1300 . 9,80,96 . 0,99 . 0,52) = 4,84 Nm 
 
Substituindo o valor de Tm na equação do motor e resolvendo para ωm obtém-se o ponto de 
equilíbrio do sistema: 
 T(ω) = 7,1 − 2x10−4ω2 = 4,84 Nm 
 
resolvendo para ωm > 0 tem-se ωm = 106,3 rad/s ou nmotor = 1015 rpm. A velocidade de subida do 
veículo é calculada utilizando a equação para ωm, ou seja, 
 ωm = 2π. vbucha . i1 i2 i3z. p → 106,3 = 2π. vbucha . 2 . 4,5 . 2 2 . 0,005 , vbucha = 0,0094 m/s = 0,56 m/min 
 
 A potência consumida pelo motor no ponto de equilíbrio é calculada como: 
 Pmotor = ω. T(ω) = 106,3 . (7,1 − 2x10−4106,32) = 514,5 W = 0,7 hp 
 
 Finalmente, uma vez que este sistema possui múltiplas entradas/saídas, é mais conveniente 
calcular o rendimento total através de: 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 29 
 
ηtotal = ∑Psaída∑Pentrada = R1v + R2vPmotor = 1300 . 9,8 . 0,0094 + 1300 . 9,8 . 0,0094514,5 = 0,47 
 
o que representa um rendimento moderadamente baixo. As perdas no conjunto são influenciadas 
principalmente pelo baixo rendimento dos fusos trapezoidais. Essas perdas e, portanto, a própria 
posição do ponto de equilíbrio, podem ser alteradas, aumentando ou diminuindo o número de 
entradas do parafuso. Deixa-se a cargo do leitor refazer os cálculos para o caso de um fuso com 
três entradas4. 
 
3.2.3 Exemplo: sistema em paralelo com conversores de energia 
A figura a seguir ilustra um sistema mecânico que utiliza duas bombas centrífugas idênticas ligadas 
em série. Para garantir a mesma rotação nos rotores das bombas foi proposta a utilização de apenas 
um único motor de acionamento através de uma transmissão mecânica. 
 
São fornecidas curvas para a saída e eficiência das 
bombas individuais assim como a curva de saída do 
motor trifásico para certa tensão de alimentação. A 
curva do sistema a partir do ponto D é indicada como 
R(q), desprezando-se a perda de pressão entre os 
trechos C e D da tubulação. Os rendimentos dos 
elementos da transmissão mecânica são ηrol=0,99 e 
ηeng=0,98. Despreza-se a perda de potência nos 
acoplamentos. 
O objetivo deste exemplo é a determinação do ponto 
de operação do sistema levando-se em conta as 
perdas na transmissão mecânica. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Inicia-se a solução pela determinação da curva de demanda do sistema vista pelo motor. Como as 
bombas são iguais e estão ligadas em série a vazão das duas é a mesma e a pressão no ponto D 
do sistema de bombeamento é obtida somando-se as pressões de cada bomba. Com isso obtém-
se, a partir das curvas individuais, a curva da associação para as três rotações fornecidas (na 
verdade multiplica-se a pressão de saída de cada bomba por dois, já que as bombas são iguais). 
Tais curvas são indicadas, na figura a seguir pelas linhas tracejadas. 
Os pontos de intersecção entre a curva R(q) e as curvas do sistema de bombeamento representam 
os possíveis pontos de equilíbrio para as três rotações, indicados pelas letras A, B e C. 
Para o ponto A, referente à rotação de 40 rps, obtém-se q=16,3 m3/h e P=91,8 mca. Pelo gráfico de 
rendimento da bomba, com a vazão de 16,3 m3/h obtém-se um rendimento η=0,62 para este ponto. 
 
4
 Nesse caso, ηfuso = 0,62, Tm = 4,06 Nm e vbucha = 0,98 m/s 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 30 
 
Para o ponto B, referente à rotação de 50 rps obtém-se q= 30,7 m3/h, P=100,7 mca e η=0,74 e, para 
o ponto C, q=40,5 m3/h, P=109,4 mca e η=0,81. 
 
 
 
Equacionando a transmissão de potência entre as bombas e o motor, tem-se (no SI): 
 Tmotor ωmotor = P1. q1η1 ηrol ηeng + P2. q2η2 ηrol ηeng 
 
Onde os sub-índices 1 e 2 referem-se ao número da bomba. Na equação acima deve-se ter o 
cuidado de representar as pressões nas bombas individuais como a metade da pressão total 
Aplicando a equação acima para as diversas rotações obtém-se os pontos da curva de carga: 
 
Para nmotor = 40 rps = 251,3 rad/s: Tmotor . 251,3 = 91,8/2 . 9800 . 16,3/36000,62 . 0,99 . 0,98 + 91,8/2 . 9800 . 16,3/36000,62 . 0,99 . 0,98 → Tmotor = 26,945 Nm 
 
Para nmotor = 50 rps = 314,2 rad/s: 
 Tmotor . 314,2 = 100,7/2 . 9800 . 30,7/36000,74 . 0,99 . 0,98 + 100,7/2 . 9800 . 30,7/36000,74 . 0,99 . 0,98 → Tmotor = 37,31 Nm 
 
Para nmotor = 60 rps = 377 rad/s: 
 Tmotor . 377 = 109,4/2 . 9800 . 40,5/36000,81 . 0,99 . 0,98 + 109,4/2 . 9800 . 40,5/36000,81 . 0,99 . 0,98 → Tmotor = 40,71 Nm 
 
Tais pontos estão mostrados na figura abaixo. A curva 
que passa pelos pontos A, B e C representa a curva de 
demanda vista agora pelo motor. O ponto de 
intersecção da curva de demanda do sistema com a 
curva de performance do motor indica o ponto de 
equilíbrio real do motor, ocorrendo com Tmotor = 31,8 Nm 
e nmotor = 43,4 rps. A potência fornecida é de 8,67 kW. 
Para a determinação da vazão fornecida, retorna-se às 
curvas da associação de bombas, desta vez com a 
rotação imposta de 43,4 rps. O ponto de intersecção 
indica a vazão e a pressão na saída do sistema de 
bombeamento, ou seja, q=21,3 m3/h e P = 94,4 mca. 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 31 
 
Pode-se calcular, finalmente, o rendimento global do sistema de forma similar ao exemplo anterior: 
 ηtotal = ∑Potsaída∑Potentrada = P. qPotmotor = 94,4 . 9800 . 21,3/36008670 = 0,631 
 
É importante lembrar que a maioria das aplicações práticas que envolvem sistemas de 
bombeamento utilizam motores trifásicos NEMA A ou B, cuja característica principal é manter a 
rotação aproximadamente constante para uma ampla faixa de torques. Nesse caso não seriam 
necessárias as curvas das bombas para várias rotações e a solução do problema seria 
consideravelmente mais simples. Este tópico, presente na maioria dos catálogos de bombas, é 
discutido no exercício proposto (numero ?). 
 
 
3.3 Sistemas de transmissão epicicloidal (planetários) 
 
 As transmissões planetárias têm como características principais o alto rendimento e a 
possibilidade de alcançar relações de transmissão maiores que aquelas obtidas com engrenagens 
de eixos fixos. Além disso, tais sistemas tendem a ser mais compactos devido à divisão de carga 
entre os elementos da transmissão. Entretanto, o custo de tais sistemas é maior que os das 
transmissõesconvencionais. Em primeiro lugar os requisitos de fabricação, principalmente as 
tolerâncias geométricas, de forma e de posição, são muito mais exigentes. Em segundo, os 
materiais empregados e os custos de fabricação dos diversos elementos tendem a ser mais caros. 
 O termo epiciclo foi primeiro utilizado pelos gregos Ptolomeu e Apolônio de Perga para 
descrever o movimento dos planetas e da lua (Hanson, 1960). De fato, já por volta de 150 AC, 
matemáticos gregos já utilizavam a teoria do movimento epicicloidal no famoso mecanismo de 
Antikytera (Edmunds, 2011). A figura 3.29 descreve o modelo astronômico criado por Ptolomeu e a 
sua contraparte atual. Nesse modelo, Ω representa a rotação do ponto B ao redor de A, ω a rotação 
de P ao redor de B e o epiciclo representa a trajetória do ponto P. 
 
 
 
Figura 3.29: Modelo astronômico criado por Ptolomeu e a contraparte atual 
 
3.3.1 Definições 
 
 O estudo cinemático de um trem epicicloidal começa com a definição dos elementos que o 
constituem. A identificação do papel dos diversos elementos do trem permitirá o estudo de sistemas 
muito mais complexos que aquele mostrado na figura 3.29, chamado doravante de planetário 
básico. Um sistema epicicloidal ou planetário é construído a partir dos seguintes elementos: 
 
a) satélites: são as engrenagens cujo eixo não é fixo, isto é, os eixos das engrenagens satélites 
sofrem translação curvilínea. Na figura 3.29 o satélite é representado pela engrenagem S. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 32 
 
Embora haja três engrenagens satélites, só existe necessidade de indicar o movimento de 
uma delas, visto que o movimento das outras é idêntico. 
 
b) planetas: são as engrenagens cujo eixo não translada e que estão engrenadas a satélites. 
De acordo com essa definição, as engrenagens R e T na figura 3.29 são planetas. Em alguns 
textos, como por exemplo em Shigley (2003) ou Norton (1998) faz-se uma distinção entre 
engrenagem “solar”, representada pelo planeta T e anular, representada por R. Essa 
distinção, entretanto, só se aplica ao planetário básico da figura 3.29 e, por essa razão, será 
descartada no presente texto. 
 
c) braços: são os elementos que, ao girar, provocam a translação nos eixos das satélites. O 
elemento “braço” pode, inclusive, ser constituído por uma outra engrenagem, dependendo 
do sistema. Na figura, o braço é representado pela peça D. É importante notar que, para 
ocorrer o movimento epicicloidal nos satélites, é necessário que a rotação do braço seja 
independente das rotações dos planetas. 
 
d) engrenagens comuns: são as engrenagens cujo eixo não translada e que não se 
encontram engrenadas com nenhum satélite. 
 
e) caminho, percurso engrenado ou cadeia cinemática: define-se o caminho de um trem 
epicicloidal como uma sequência de elementos ligados através de vínculos cinemáticos 
criados a partir das relações de transmissão. Para definir o caminho deve-se seguir as regras 
abaixo: 
 
i. todo caminho deve ser iniciado em uma engrenagem com eixo fixo, preferencialmente 
em um planeta 
ii. as sequências A → B ou B → A só devem fazer parte do caminho se os elementos A e 
B estiverem ligados por vínculos cinemáticos, isto é, estiverem engrenados. 
iii. o caminho deve prosseguir até que todos os planetas do trem façam parte dele ou que 
não seja possível continuar devido à ausência de engrenamento. 
iv. caminhos que contém os mesmos elementos mas em uma ordem diversa são 
equivalentes. 
v. ao final do caminho indica-se os braços dos satélites contidos nele. 
Por exemplo, no trem básico da figura 3.29, os caminhos R→S→T, br D ou T→S→R, br D 
representam, ambos, caminhos possíveis equivalentes. 
 
f) número de estágios: o número de caminhos independentes necessários para conter todos 
os planetas define o número de estágios do trem epiciploidal. 
 
Para exemplificar a aplicação dessas definições, considera-se os trens epicicloidais 
mostrados na figura 3.30. Nestas figuras, os rolamentos indicam eixos impossibilitados de 
transladar. No primeiro trem, as engrenagens B e C são os satélites devido ao movimento circular 
da peça G ao redor do seu próprio eixo. Nota-se que a rotação de G é independente da de D e E 
uma vez que o seu eixo é montado com folga no furo feito em D e E (indicado pela presença das 
linhas pontilhadas). As engrenagens A e D são os planetas pois estão engrenadas com os satélites 
B e C e são impossibilitadas de transladar. E e F não estão engrenadas com satélites, sendo 
portanto engrenagens comuns. 
Para traçar os caminhos deste trem, deve-se iniciar por um planeta – por exemplo a 
engrenagem A. De A passa-se para B devido ao engrenamento. É importante observar que, pelas 
definições acima, não se pode passar de B para C pelo fato de B e C não estarem engrenadas 
(ainda que a rotação de B seja igual a C). Dessa forma, o caminho finaliza no satélite B. Como não 
foram incluídos todos os planetas, outro caminho deve ser construído. Iniciando-se em D, então, 
passa-se para C, onde este caminho finaliza pela ausência de demais engrenamentos. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 33 
 
Dessa forma, vê-se que são necessários dois caminhos para passar por todos os planetas, o 
que indica a existência de dois estágios neste trem. Estes caminhos são representados como: 
 caminho 1: A → B, br G caminho 2: D → C, br G 
 
 
 
Figura 3.30: Trens epicicloidais 
 
 Para o segundo trem, os satélites são as engrenagens E e F devido à presença da rotação 
da peça curva. Percebe-se que a rotação dessa peça é a mesma da engrenagem A (braço). O 
satélite E está engrenado ao planeta G e o satélite F está engrenado ao planeta H. As engrenagens 
A, B, C e D são comuns. Nota-se que a engrenagem A é tanto comum, relativa ao par AB quanto 
braço, relativa aos satélites E e F. Os caminhos para este trem são: 
 caminho 1: G → E, br A caminho 2: F → H, br A 
 
o que indica a existência de dois estágios para esse trem. 
 
 
3.3.2 Sistemas de coordenadas girantes 
 
 Sistemas de transmissão planetária são exemplos de movimento relativo. Dessa forma, em 
um determinado caminho são necessários dois sistemas de coordenadas para descrever 
adequadamente o movimento de todas as engrenagens existentes: 
 
a) sistema de coordenada fixo: externo ao trem e alinhado com o eixo de rotação do braço. 
Neste sistema são medidas rotações absolutas das engrenagens. 
 
b) sistema de coordenadas móvel: este sistema também deve ser alinhado com o eixo de 
rotação do braço. A rigor o sistema de coordenadas móvel pode ter rotação arbitrária, mas 
é mais fácil analisar a transmissão se o sistema móvel for solidário ao braço o tempo todo. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 34 
 
 
 
Figura 3.31: Sistemas de coordenadas 
 
 Dessa forma, através das equações do movimento relativo, as rotações no sistema fixo e no 
sistema móvel são dadas por: 
 n⃗ abs = n⃗ rel + n⃗ arr (3.29) 
 
onde n⃗ abs é a rotação absoluta de um elemento, medida no sistema de coordenadas fixo, n⃗ rel é a 
rotação relativa do elemento no sistema móvel e n⃗ arr = n⃗ braço é a rotação do sistema girante, 
também chamada de rotação de arrasto, pois o braço “arrasta”o satélite quando gira. 
 No caso de epicicloidais planos, onde o eixo de rotação dos diversos elementos é colinear, 
a equação 3.29 pode ser escrita levando-se em conta o sentido de rotação (horária ou anti-horária) 
dos diversos elementos. É o caso, por exemplo, das transmissões que utilizam engrenagens 
cilíndricas retas ou helicoidais, tal como o primeiro trem da figura 3.30. No caso de trens com 
engrenagens cônicas, os vetores rotação na equação 3.29 não são colineares e, dessa forma, as 
rotações na equação 3.29 não podem ser somadas ou subtraídas como se fossem colineares. 
 
 
3.3.3 Método Tabelar 
 
O método tabelar, tal como descrito por Mabie e Ocvirk (1987) foi adaptado nesse texto para 
os casos em que a rotação do sistema móvel coincide com a rotação do braço, o que permite 
considerável simplificação no procedimento sem perda de generalidade. O método pressupõe a 
criação de uma tabela onde as linhas representam as diferentes rotações na equação 3.29. As 
colunas representam os diversos elementos da cadeia cinemática (caminho). O método requer a 
criação de uma tabela para cada caminho independente. 
Para ilustrar o estudo de trens planetários pelo método tabelar inicia-se com a análise do 
trem epicicloidal básico da figura 3.29, composto apenas por engrenagens cilíndricas. 
No presente caso, adota-se o caminho R→S→T, br D. A tabela 3.4 a seguir ilustra o lay-out 
básico do método para o caminho escolhido. 
 
 → caminho 
 R S T D 
narr 
nrel 
nabs 
 
Tabela 3.4: análise do trem epicicloidal básico 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 35 
 
 Para o preenchimento da tabela, inicia-se pela linha inferior. Sejam nR a rotação absoluta da 
engrenagem R, nS a rotação absoluta da engrenagem S e assim por diante. Dessa forma: 
 
 → caminho 
 R S T D 
narr 
nrel 
nabs nR nS nT nD 
 
Tabela 3.5: substituição das rotações absolutas 
 
Uma vez que o sistema de coordenadas girante é solidário ao braço, substitui-se narr = nD. 
Portanto: 
 
 → caminho 
 R S T D 
narr nD nD nD nD 
nrel 
nabs nR nS nT nD 
 
Tabela 3.6: rotação do sistema móvel 
 
 O próximo passo corresponde à determinação das rotações no sistema de coordenadas 
girante. Sejam nrel R a rotação relativa da engrenagem R, nrel S a rotação relativa de S e assim por 
diante. Uma vez que o sistema móvel é solidário ao braço, segue imediatamente que nrel D = 0. 
 Para a rotação relativa de R, aplica-se a equação 3.29 lembrando que os vetores n⃗ R, n⃗ D e n⃗ rel R são colineares. Assim, ao invés de escrever a equação na forma vetorial: 
 n⃗ R = n⃗ rel R + n⃗ D 
 
pode-se escrever, simplesmente: 
 nR = nrel R + nD → nrel R = nR − nD 
 
 Substituindo-se estes resultados na tabela obtém-se: 
 
 → caminho 
 R S T D 
narr nD nD nD nD 
nrel nR − nD 0 
nabs nR nS nT nD 
 
Tabela 3.7: rotações relativas de R e D 
 
 Para a determinação das demais velocidades relativas, verifica-se pela tabela acima que, 
segundo o sistema de coordenadas relativo, o braço D não gira. Portanto, segundo esse sistema 
de coordenadas, as velocidades lineares relativas nos pontos de contato devem ser iguais. Em 
outras palavras, com o braço D parado não existe deslizamento relativo entre as engrenagens no 
ponto de contato. Dessa forma, pode-se escrever: 
 ZSnrel S = +ZRnrel R → nrel S = +ZRZS nrel R = +ZRZS (nR − nD) (3.30) 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 36 
 
O sinal + se faz necessário na equação 3.30 para indicar que, , as rotações relativas de S e D 
ocorrem no mesmo sentido no sistema de coordenadas girante devido ao engrenamento interno. 
Analogamente, conhecendo-se a rotação relativa de S se determina a rotação relativa de T: 
 ZTnrel T = −ZSnrel S → nrel T = − ZSZT nrel S = − ZSZT [+ ZRZS (nR − nD)] = −ZRZT (nR − nD) (3.31) 
 
Nesse caso usa-se o sinal − na relação de transmissão entre T e S pois as rodas T e S giram em 
sentidos opostos devido ao engrenamento externo. A figura abaixo ilustra os sentidos das rotações 
relativas de R, S e T quando o sistema móvel acompanha o braço. 
 
 
 
Figura 3.32: Sentido das velocidades relativas no planetário básico 
 
 Substituindo-se as equações 3.30 e 3.31 na tabela de rotações chega-se a: 
 
 → caminho 
 R S T D 
narr nD nD nD nD 
nrel nR − nD +ZRZS (nR − nD) −ZRZT (nR − nD) 0 
nabs nR nS nT nD 
 
Tabela 3.8: tabela completa de rotações 
 
 As equações para as engrenagens S e T são obtidas pela aplicação da equação 3.29 às 
várias colunas da tabela 3.8, ou seja: 
 nS = nrel S + narr → nS = +ZRZS (nR − nD) + nD (3.32) 
nT = nrel T + narr → nT = −ZRZT (nR − nD) + nD (3.33) 
 
A aplicação da equação 3.29 aos elementos R e D resulta nas seguintes equações triviais: 
 nR = nrel R + narr → nR = (nR − nD) + nD nD = nrel D + narr → nD = 0 + nD 
 
Portanto, doravante as equações para o início do caminho (também chamado de referência) e o 
elemento braço não serão apresentadas. Se, ao invés disso, fosse escolhido o caminho inverso, 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 37 
 
isto é, T → S → R, br D, as equações resultantes seriam combinações lineares das equações 3.32 
e 3.33. Deixa-se a cargo do leitor demonstrar tal propriedade. 
 Observa-se, ainda, que as equações 3.32 e 3.33 são funções das rotações absolutas dos 
quatro elementos que compõe o caminho, ou seja, nR, nS, nT e nD. Dessa forma, duas dessas 
rotações devem ser conhecidas para que as outras duas possam ser calculadas através das 
equações 3.32 e 3.33. 
 
 
 3.3.4 Exemplo de Aplicação do Método Tabelar a um Trem com Engrenagens Cilíndricas 
 
No sistema de transmissão ao lado, o número de 
dentes (Z) das diversas engrenagens é dado pelo 
número entre parênteses. Determinar a rotação de 
todos os elementos sabendo que a rotação da 
engrenagem A é nA = +1200 rpm. 
 
SOLUÇÃO: 
Inicia-se o exemplo pela identificação do papel dos 
elementos que compõe o trem. Quando a 
engrenagem B gira, o eixo das engrenagens D e E 
é forçado a girar ao redor dos eixos de C e F. Dessa 
forma, tem-se: 
D e E: satélites 
C e F: planetas 
braço: B 
engrenagens comuns: A e B 
caminhos: C → D, br B e F → E, br B 
 
As tabelas de rotações para os dois caminhos são calculadas conforme os passos delineados 
anteriormente.
 
 caminho C → D, br B caminho F → E, br B 
 C D B F E B 
narr nB nB nB narr nB nB nB 
nrel nC − nB + ZCZD (nC − nB) 0 nrel nF − nB − ZFZE (nF − nB) 0 
 nabs nC nD nB nabs nF nE nB 
 
As relações de transmissão entre as engrenagens C, D, F e E são calculadas como: 
 ZDnrel D = +ZCnrel C → nrel D = + ZCZD nrel C = + ZCZD (nC − nB) 
ZEnrel E = −ZFnrel F → nrel E = − ZFZE nrel F = −ZFZE (nF − nB) 
 
onde o sinal + refere-se ao engrenamento interno entre C e D e o sinal – ao engrenamento interno 
entre F e E. As equações para as rotações absolutas de D e E são dadas pela aplicação sucessiva 
da equação 3.29. As equações para C, F e B (triviais) não são apresentadas. 
 nD = nrel D + narr → nD = + ZCZD (nC − nB) +nB 
nE = nrel E + narr → nE = −ZFZE (nF − nB) + nB 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 38 
 
Além das equações, a solução do problema requer a aplicação das condições de contorno: 
 (i) nB = −ZAZB nA = −1842 . 1200 = −514,29 rpm 
 (ii) nC = 0 
 (iii) nD = nE 
 
A condição (i) transfere a rotação de entrada nA para o braço B. Nessa equação é necessário utilizar 
o sinal − devido ao engrenamento externo entre A e B5. A condição (ii) aplica a condição de apoio 
rígido ao planeta C. A condição (iii) reproduz o vínculo rígido existente entre as engrenagens D e E. 
Aplicando a condição (iii): 
 nD = nE → + ZCZD (nC − nB) + nB = − ZFZE (nF − nB) + nB 
 
e substituindo os valores de nC e nB obtém-se: 
 +9025 [0 − (−514,29)] − 514,29 = −6017 [nF − (−514,29)] − 514,29 → nF = −10,29 rpm 
 
As rotações de D ou E podem ser calculadas diretamente através das equações para o trem: 
 nD = + ZCZD (nC − nB) + nB = +9025 [0 − (−514,29)] − 514,29 = −1337,15 rpm 
 
onde o sinal negativo é interpretado como contrário à referência adotada (engrenagem A). A relação 
de transmissão total para o trem é calculada através das rotações de entrada e saída: 
 itotal = nentradansaída = 1200−10,29 = −116,6 
 
Finalmente, o sinal negativo da relação de transmissão total índica que a rotação de saída é oposta 
à de entrada. Tal sinal pode sem omitido nas aplicações de transmissão de potência onde a entrada 
e a saída já estão especificadas no fluxo de potência e no cálculo dos rendimentos. 
 
 
 3.3.5 Sistemas Epicicloidais com Engrenagens Cônicas 
 
 Trens planetários que usam engrenagens cônicas tem aplicações industriais muito 
importantes. O mecanismo diferencial automotivo, inventado por Onesíforo Pecqueur6 e utilizado 
no trem de força de praticamente todos automóveis, é um trem planetário que faz uso de 
engrenagens cônicas de dentes retos. 
 A principal diferença entre os epicicloidais de dentes retos e os cônicos é que, nesses, o 
vetor rotação das diversas engrenagens não é mais colinear. Dessa forma a utilização da forma 
vetorial da equação 3.29 apresenta certas dificuldades que serão resolvidas aqui através do estudo 
das velocidades relativas dos diversos elementos do caminho. 
A figura 3.33 ilustra um mecanismo planetário com engrenagens cônicas. Este mecanismo 
é análogo aquele da figura 3.29, razão pela qual as letras indicativas dos elementos serão mantidas. 
Observa-se que a peça D, ao girar provoca translação curvilínea no eixo de S e que os elementos 
 
5 O sinal nas relações de transmissão deve ser utilizado mesmo nas transmissões que não fazem parte dos 
caminhos dos planetários. 
6
 Onesíforo era o chefe de oficina do Conservatório de Artes e Ofícios de Paris em 1827 quando inventou o 
diferencial automotivo 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 39 
 
R e T não podem sofrer translação, seja pela coaxialidade com R ou pelos mancais mostrados. 
Dessa forma a engrenagem S é o satélite do trem, enquanto que R e T são os planetas. A peça D, 
responsável pela translação de S é o braço. A cadeia cinemática pode se iniciar por R ou T. 
Adotando a referência em R obtém-se: 
 
Satélite: S 
Planetas: R e T 
Braço: D 
Caminho: R → S → T, br D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.33: Planetário cônico básico 
 
 A aplicação do método tabelar segue, inicialmente, os passos delineados no item anterior: 
 
 → caminho 
 R S T D 
narr nD nD nD nD 
nrel nR − nD 0 
nabs nR nS nT nD 
 
Tabela 3.9: rotações da referência e do braço 
 
Após essa etapa procede-se à determinação das velocidades relativas de S e T. Embora R 
e S não tem vetores rotação colineares, pode-se escrever, no sistema de coordenadas rotativo: 
 ZS |nrel S| = ZR |nrel R| 
ou nrel S = xZR ZS nrel R = xZR ZS (nR − nD) 
 
com x = ± 1. De forma análoga, para a relação de transmissão entre S e T: 
 ZT |nrel T| = ZS |nrel S| → nrel T = yZS ZT nrel S = x y ZR ZT (nR − nD) 
 
onde y = ± 1. Completando a tabela de rotações: 
 
 → caminho 
 R S T D 
narr nD nD nD nD 
nrel nR − nD x ZR ZS (nR − nD) x y ZR ZT (nR − nD) 0 
nabs nR nS nT nD 
 
Tabela 3.10: rotações da referência e do braço 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 40 
 
 As equações não-triviais para a cadeia cinemática R→S→T, br D são: 
 nS = nrel S + narr → nS = x ZRZS (nR − nD) + nD (3.34) 
nT = nrel T + narr → nT = x y ZRZT (nR − nD) + nD (3.35) 
 
e, nesse caso, além da determinação das rotações dos elementos da cadeia cinemática deve-se 
determinar as variáveis desconhecidas x e y, representando os sinais utilizados nas relações de 
transmissão. A figura a seguir ilustra os sentidos das rotações relativas quando o sistema móvel 
acompanha o braço. 
 
 
 
Figura 3.34: Sentido das velocidades relativas de R, S e T 
 
 Analisando as rotações relativas dos diversos elementos verifica-se, através da transmissão 
de velocidades, que as rotações relativas dos planetas R e T são colineares e opostas. Assim, 
quando nrel R for positiva, então nrel T será negativa e vice-versa. Dessa forma, comparando-se as 
expressões para essas velocidades, conclui-se que x.y = -1 uma vez que as relações ZR/ZS e ZR/ZT 
são, ambas, positivas. 
 Outra propriedade necessária para a determinação dos sinais x e y vem da análise da 
velocidade absoluta do satélite S, dada pela equação 3.34. Uma vez determinadas as rotações nD 
e nR, esta equação tem duas soluções possíveis, sendo uma para x = +1 e outra para x= -1. Para 
determinar qual rotação é, de fato, verdadeira, faz-se uso da regra a seguir. 
 A figura 3.35 ilustra a vista superior do satélite e dos planetas. Uma vez que o satélite é um 
corpo rígido cujo vetor de rotação é perpendicular ao plano ilustrado na figura, a localização do seu 
centro instantâneo de rotação (CIR) pode ser determinada a partir dos vetores velocidade vR e vT, 
os quais representam as velocidades tangenciais dos planetas, Isso ocorre porque, no ponto de 
engrenamento entre os planetas e o satélite, as velocidades tangenciais absolutas dos elementos 
em contato deve ser igual, a fim de prevenir deslizamento entre as partes. 
A distância L entre o CIR e o ponto C, representando o centro geométrico do satélite, é 
inversamente proporcional à rotação absoluta do satélite. Se a posição do CIR tende ao infinito, isto 
é, se vR e vT são paralelos e de mesmo sentido, então o satélite sofre translação curvilínea ao redor 
do eixo dos planetas mas não sofre rotação ao redor de si mesmo. 
 Na primeira situação ilustrada na figura 3.35 vê-se a circunstância em que os vetores vR e 
vT tem o mesmo sentido. Nesse caso o CIR localiza-se afastado do ponto C e, portanto, a rotação 
do satélite é lenta. Na segunda situação inverte-se a rotação de uma das velocidades sem alterar 
seu módulo (no caso, vT) e, em consequência, o CIR se desloca para uma posição mais próxima 
do ponto C, fazendo com que o satélite gire mais rápido. Dessa forma pode-se estabelecer a 
seguinte regra: se os planetas giram para o mesmo lado (figura A, quando vR e vT tem o mesmo 
sentido) então a rotação do satélite será lenta. Se os planetas girarem para ladosopostos (figura C, 
quando vR e vT tem sentidos opostos), então a rotação do satélite será rápida. 
 Nos casos em que só houver um planeta na cadeia cinemática ou quando um dos planetas 
não rotacionar (figura B), a análise é feita comparando-se a rotação do planeta girante com o braço. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 41 
 
 
 
Figura 3.35: determinação do centro instantâneo de rotação do satélite 
 
Sistemas combinados pelo mesmo sistema de coordenadas relativos: 
 
Os trens epicicloidais da figura 3.36 representam sistemas planetários cuja análise requer a 
formulação de dois caminhos, indicados por G → E, br A e H → F, br A. A diferença entre os dois 
está no posicionamento do planeta H em relação ao satélite F. Na figura estão representadas 
também as rotações relativas dos diversos elementos. Nota-se que a rotação relativa do planeta H 
muda de sentido, dependendo da posição do planeta em relação ao seu satélite. 
A análise do trem requer a construção de duas tabelas separadas. Como os caminhos são 
idênticos para os dois trens, as tabelas também são as mesmas. 
 
 
 
Figura 3.36: caminhos diferentes com o mesmo sistema de coordenadas girante 
 
 caminho G → E, br A caminho H → F, br A 
 G E A H F A 
narr nA nA nA narr nA nA nA 
nrel nG − nA x. ZGZE (nG − nA) 0 nrel nH − nA y. ZHZF (nH − nA) 0 
 nabs nG nE nA nabs nH nF nA 
 
Tabela 3.11: rotações para os epicicloidais da figura 3.36 
 
Desprezando as equações triviais para os planetas e para o braço, as equações que 
representam os trens são dadas por: 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 42 
 
nE = nrel E + narr → nE = x ZGZE (nG − nA) + nA (3.36) 
nF = nrel F + narr → nF = y ZHZF (nH − nA) + nA (3.37) 
 
 Embora os satélites E e F fazem parte de caminhos diferentes, as suas rotações relativas 
são iguais. Isso pode ser visto igualando-se as rotações absolutas de E e F das equações acima 
(visto que estão rigidamente ligados) e cancelando o termo nA comum, ou seja: 
 
 nrel E = nrel F → x ZGZE (nG − nA) = y ZHZF (nH − nA) (3.38) 
 
A solução desta equação pressupõe a uma relação formal entre os sinais desconhecidos x e y. No 
entanto, de forma distinta da equação 3.3.5 onde essa relação veio da comparação da rotação 
relativa do segundo planeta com a do primeiro, agora não existe um segundo planeta. No entanto, 
no primeiro trem da figura 3.36 vê-se que as rotações relativas de E e F tem sentidos opostos 
enquanto no segundo trem elas são no mesmo sentido. 
 Sendo assim, para a solução da equação 3.38 impõe-se: 
 
a) para o primeiro trem: nrel E/nrel F = -1 → x.y = -1 
b) para o segundo trem: nrel E/nrel F = +1 → x.y = +1 
 
Finalmente, para encerrar este tópico, é importante notar que a comparação das rotações relativas 
dos satélites só é possível pois tais rotações são referenciadas no mesmo sistema de coordenadas 
girantes, isto é, os satélites têm o mesmo braço. 
 
 
3.3.5 Exemplo de Trens Epicicloidais com Engrenagens cônicas 
 
A figura a seguir ilustra o funcionamento do diferencial automotivo de um veículo de passeio. O trem 
diferencial permite o acionamento das rodas trativas do veículo de forma independente pelo motor. 
Este veículo em particular tem bitola de 1600 mm, utiliza rodas de diâmetro 600 mm possui as 
relações ZB/ZA = 3,5 e ZC/ZE = 1,5. Considere e ZC = ZD. Pede-se determinar: 
 
a) a rotação da engrenagem A e a rotação relativa dos satélites quando o veículo trafega em 
linha reta a 50 Km/h 
b) a rotação do eixo de A e a rotação relativa dos satélites quando o veículo faz uma curva de 
raio 20 m a 50 Km/h conforme a figura 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 43 
 
SOLUÇÃO: 
Na figura anterior, as engrenagens C e D transmitem movimento às rodas dos semieixos e2 e e3 
através das seções ranhurada dos eixos. A engrenagem cônica B recebe o movimento através da 
engrenagem A, a qual é acionada pela junta universal H7. A engrenagem E tem seu eixo ligado ao 
movimento da engrenagem B através das garras G. No entanto a engrenagem E pode girar de 
maneira independente da B pois o pino F é montado com folga no seu assento. Dessa forma, ao 
girar, a engrenagem B fornece movimento de translação ao eixo da engrenagem E, a qual aciona 
as engrenagens C e D, fazendo as rodas do veículo girar. 
No trem diferencial automotivo, a engrenagem E é um satélite8, as engrenagens C e D são os 
planetas e a engrenagem B é o braço do trem, visto que sua rotação fornece translação à 
engrenagem satélite E. As engrenagens A e B são comuns pois não estão engrenadas ao satélite. 
Dessa forma, escolhendo-se o caminho C → E → D, br B , a tabela de rotações para o trem é: 
 
 → caminho 
 C E D B 
narr nB nB nB nB 
nrel nC − nB x ZC ZE (nC − nB) x y ZC ZD (nC − nB) 0 
nabs nC nE nD nB 
 
 
Como as rotações relativas de C e D ocorrem em sentidos opostos, impõe-se x.y =-1. Substituindo-
se as relações ZB/ZA e ZC/ZE, as equações para as engrenagens E e D são: 
 nE = nrel E + narr → nE = 1,5x(nC − nB) + nB nD = nrel D + narr → nD = −(nC − nB) + nB 
 
as quais serão resolvidas quando o veículo se desloca em linha reta e em curva. 
 
a) Veiculo se deslocando em linha reta: 
Para o veículo se deslocando em linha reta a 50 Km/h, as rotações dos planetas C e D são: 
 ωC = ωD = vveículorpneu = 50/3,60,62/2 = 44,8 rad/s → nC = nD = 427,8 rpm 
 
Dessa forma, utilizando a equação para nD, determina-se a rotação do braço B: 
 nD = −(nC − nB) + nB → 427,8 = −(427,8 − nB) + nB , ou seja: nB = 427,8 rpm 
 
e a rotação da engrenagem A é obtida através da relação de transmissão entre A e B. Aqui omite-
se o sinal da relação pois o objetivo é obter apenas a rotação absoluta de A: 
 nA = ZBZA nB = 3,5 nB = 1497,3 rpm 
 
Para a rotação do satélite, observa-se que os planetas C e D giram, ambos, para o mesmo sentido. 
Dessa forma a rotação do satélite deve ser lenta. Resolvendo a equação para nE para x=+1 e para 
x=-1 obtém-se: 
 
7 Em 1527, o matemático italiano Girolamo Cardano foi uma das primeiras pessoas a sugerir o uso de juntas 
universais uso para transmitir potência mecânica, 
8 Na verdade, é comum a existência de dois ou quatro satélites, o que permite dividir a potência de 
acionamento entre eles ao mesmo tempo em que evita-se o desbalanceamento. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 44 
 
𝑥 = +1 → nE = 1,5 (+1)(427,8 − 427,8) + 427,8 = +427,8 rpm 
 𝑥 = −1 → nE = 1,5 (−1)(427,8 − 427,8) + 427,8 = +427,8 rpm 
 
Nesse caso as rotações “lenta” e “rápida” são iguais por não dependerem do sinal x. Isso ocorre 
porque a rotação relativa do satélite é nula para x=+1 ou para x=-1: 
 nrel E = xZC ZE (nC − nB) = (±1)1,5 (427,8 − 427,8) = 0 . 
 
Em outras palavras, quando o carro anda em linha reta as rotações dos planetas C e D sãoiguais 
e, portanto, o eixo F do satélite E não gira relativamente ao planeta B. 
 
B) Veiculo se deslocando em curva de raio 20m a 50 Km/h: 
Para o veículo se deslocando em curva, as rotações dos planetas C e D não são iguais. A roda 
ligada à engrenagem D pelo eixo e3 girará mais devagar por estar do lado interno da curva e a roda 
ligada à engrenagem C girará mais rápido. Uma vez que a variação de velocidades ao longo do 
raio da curva é linear, essas velocidades podem ser obtidas de acordo com a figura abaixo. 
 
Onde vC e vD são as velocidades das rodas ligadas, 
respectivamente, aos planetas C e D e P é o centro 
da curva. Dessa forma: 
 vC = 20 + 0,820 . 50 = 52 Km/h 
 vD = 20 − 0,820 . 50 = 48 Km/h 
 
 
As rotações dos planetas C e D são, portanto: 
 ωC = vveículorpneu = 52/3,60,62/2 = 46,6 rad/s → nC = +444,9 rpm 
 ωD = vveículorpneu = 48/3,60,62/2 = 43 rad/s → nC = +410,7 rpm 
 
A rotação do braço B é obtida como no item anterior: 
 nD = −(nC − nB) + nB → 410,7 = −(444,9 − nB) + nB , ou seja: nB = 427,8 rpm 
 
e a rotação da engrenagem A é obtida através da relação de transmissão entre A e B: 
 nA = ZBZA nB = 3,5 nB = 1497,3 rpm 
 
Nesse caso, entretanto, a velocidade relativa do satélite não será mais nula. Calculando-se a 
velocidade absoluta do satélite obtém-se: 
 𝑥 = +1 → nE = 1,5 (+1)(444,9 − 427,8) + 427,8 = +453,45 rpm 
 𝑥 = −1 → nE = 1,5 (−1)(444,9 − 427,8) + 427,8 = +402,15 rpm 
 
Adota-se a velocidade “lenta” devido aos planetas girarem para o mesmo. Portanto: 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 45 
 
nE = +402,15 rpm → x = −1 e y = +1 
 
Finalmente, a rotação relativa do satélite é obtida inserindo-se x = −1 na equação para nrel E : 
 nrel E = xZC ZE (nC − nB) = (−1)1,5 (444,9 − 427,8) = −25,65 rpm . 
 
É interessante observar que, no mecanismo diferencial automotivo, a diferença entre as rotações 
das rodas é compensada pelo aumento da rotação relativa do satélite. 
 
 
3.3.6 Exemplo: O Multiplicador Humpage9 
 
O multiplicador Humpage faz uso de dois trens epicicloidais encadeados pelo mesmo braço A. No 
multiplicador, a entrada é feita pela engrenagem E e a saída pode ser obtida em A ou C. No presente 
problema deve-se determinar as saídas em A e C para uma entrada em E de +10 rpm. Considere 
ZB = 41, ZC = 20, ZD = 48, ZE = 30, ZF = 36 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Inicialmente os elementos do trem são classificados. As rodas cônicas D e F transladam ao redor 
do eixo de A à medida em que esta peça gira. Ao mesmo tempo D está simultaneamente engrenado 
a B e C enquanto que F engrena em E. Portanto D e F são os satélites do trem enquanto que B, E 
e C são os planetas. A peça A, responsável pelo movimento planetário de D e F é o braço do 
mecanismo. Os caminhos adotados são B → D → C, br A e E → F, br A. 
É importante observar que, no mecanismo Humpage, só existe um sistema de coordenadas móvel 
uma vez que um único braço é responsável pela translação dos dois satélites. As tabelas de 
rotações seguem, inicialmente, o procedimento do item 3.3.3 : 
 
 caminho B → D → C, br A caminho E → F, br A 
 B D C A E F A 
narr nA nA nA nA narr nA nA nA 
nrel nB − nA 
 
 
 0 nrel nE − nA 0 
 nabs nB nD nC nA nabs nE nF nA 
 
A transmissão de rotações relativas dos demais elementos segue o procedimento do item 3.3.5 uma 
vez que essas rotações não são colineares com as rotações das referências em B e E: 
 
9 Thomas Humpage, Patente US 628469A de 30/12/1897 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 46 
 
 nrel D = xZB ZD nrel B = xZB ZD (nB − nA) 
 nrel C = yZD ZC nrel D = x y ZB ZC (nB − nA) 
 nrel F = tZE ZF nrel E = tZE ZF (nE − nA) 
 
 
Onde x, y e t representam os sinais desconhecidos das relações de transmissão. Analisando o 
sentido das rotações relativas, verifica-se que nrel C ocorre no sentido oposto que nrel B e que nrel E 
ocorre no mesmo sentido que nrel B . Em outras palavras, (𝑛𝐵 − 𝑛𝐴) deve ter o mesmo sinal que (𝑛𝐸 − 𝑛𝐴) e sinal contrário a nrel C . Dessa forma substitui-se x.y = -1 e x.t = +1, ou seja x = t. Além 
disso o vínculo entre D e F impõe que nD = nF. Obtém-se, portanto, as tabelas de rotações 
completas: 
 
 caminho B → D → C, br A caminho E → F, br A 
 B D C A E F A 
narr nA nA nA nA narr nA nA nA 
nrel nB − nA x ZB ZD (nB − nA) −ZB ZC (nB − nA) 0 nrel nE − nA x ZE ZF (nE − nA) 0 
 nabs nB nD nC nA nabs nE nF nA 
 
Desprezando as equações triviais para A, B e E, as equações para as engrenagens D, C e F são: 
 nD = nrel D + narr → nD = xZB ZD (nB − nA) + nA nC = nrel C + narr → nC = −ZB ZC (nB − nA) + nA nF = nrel F + narr → nF = xZE ZF (nE − nA) + nA 
 
Igualando as equações para nD e nF devido à conexão rígida entre os satélites tem-se: 
 x ZB ZD (nB − nA) + nA = xZE ZF (nE − nA) + nA → 41 48 (0 − nA) = 30 36 (10 − nA) 
 
obtendo-se nA = +400 rpm. Utilizando, em seguida, a equação para nC obtém-se: 
 nC = −ZB ZC (nB − nA) + nA = −41 20 (0 − 400) + 400 = +1220 rpm 
 
Para a determinação dos sinais das relações de transmissão retorna-se à equação para nD e 
substitui-se x=+1 e x=-1 . 
 para x = +1: nD = ZB ZD (nB − nA) + nA = 41 48 (0 − 400) + 400 = +58,33 rpm 
para x = −1: nD = −ZB ZD (nB − nA) + nA = −41 48 (0 − 400) + 400 = +741,67 rpm 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 47 
 
 
Para a determinação das rotações dos satélites, compara-se a rotação absoluta dos planetas para 
cada caminho. Para o satélite D utiliza-se o caminho B → D → C, br A. Como a rotação absoluta 
de B é zero, utiliza-se para a comparação a rotação do braço ao invés da rotação de B. Para o braço 
tem-se nA = +400 rpm e para o planeta C tem-se nC = +1220 rpm. Uma vez que ambos giram para 
o mesmo lado10 a rotação do satélite é lenta. Dessa forma, nD = +58,33 rpm, x = +1, y = -1 e t = +1. 
Como verificação adicional vê-se que as rotações relativas dos planetas estão de acordo com os 
sentidos determinados anteriormente, ou seja: 
 nrel B = nB − nA = 0 − 400 = −400 rpm nrel C = −ZB ZC (nB − nA) = −41 20 (0 − 400) = +820 rpm nrel E = nE − nA = 10 − 400 = −390 rpm 
 
Nota-se que a determinação do sentido das velocidades relativas depende sempre do caminho 
escolhido. Em outras palavras, se, ao invés de ter-se escolhido a referência em B fosse escolhida 
a referência em C, então a relação que deveria ser empregada entre x e t seria oposta àquela 
escolhida anteriormente, ou seja, x.t = -1. 
 
 
3.3.7 Potência e rendimento em trens epicicloidais 
 
O estudo da transmissão de potência em trens epicicloidais requer, como primeiro passo, a 
análise cinemática descrita nos itens anteriores. O objetivo desta análise inicial é determinar a 
distribuição de velocidades e torques através do mecanismo. A figura 3.37 ilustra a vista lateral do 
epicicloidal básico, onde A e B são planetas, C é o satélite e M denota o braço. 
 
 
Figura 3.37: planetário básico utilizado no cálculo do rendimento 
 
Para este estudo considera-se a transmissão de potência em um determinado caminho 
adota-se a convenção do torque ativo. Em outras palavras, nos elementos movidos o torque e a 
rotação atuam no mesmo sentido, enquanto que nos elementos motores, o torque atua em sentido 
contrário ao darotação. Na entrada do sistema, portanto, o sinal da potência é negativo enquanto 
que na saída a potência tem sinal positivo. 
Além da convenção dos sinais da potência e do torque, na presente análise fez-se uso das 
seguintes hipóteses: 
 
 
10 O sentido de rotação de um elemento é dado pelo sinal da resp.ectiva rotação 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 48 
 
a) em regime permanente, a soma dos torques atuando nos satélites é zero, 
b) em regime permanente, a soma dos torques ativos e reativos em um trem epicicloidal é zero, 
c) as perdas em um trem epicicloidal estão associadas principalmente ao movimento relativo entre 
os elementos do trem. 
 
A primeira hipótese se justifica considerando-se que o satélite é montado com folga no seu 
respectivo eixo, de modo que a sua rotação é independente da rotação do braço. Sendo assim, uma 
vez que o satélite não transmite torque, a soma de todos os outros torques aplicados ao satélite 
deve ser nula. A segunda hipótese é justificada considerando-se o equilíbrio estático do trem 
epicicloidal. Dessa forma, considerando-se a figura 3.37: 
 
a) TC = 0 
b) TA + TB + TC + TM = 0 
 
Para demonstrar a terceira hipótese faz-se uso da equação da conservação de energia e 
das hipóteses anteriores. Considera-se, inicialmente, a tabela de rotações para o trem da figura 
3.37 utilizando para isso o caminho A → C → B e o braço M. Observa-se que, desta vez, é mais 
conveniente substituir a rotação n em rpm pela velocidade angular ω. 
 
 caminho A → C → B, br M 
= 
 caminho A → C → B, br M 
 A C B M A C B M 
narr ωM ωM ωM ωM narr nM nM nM nM 
 nrel ωrel A ωrel C ωrel B ωrel M nrel nA − nM −ZAZC (nA − nM) −ZAZB (nA − nM) 0 
 nabs ωA ωC ωB ωM nabs nA nC nB nM 
Tabela 3.12: rotações para o epicicloidal básico 
 
Observa-se que, nesse caso, as rotações relativas dos elementos C e B não foram 
colocadas em função da rotação relativa da engrenagem A conforme o procedimento do método 
tabelar. Aplicando a equação de conservação da energia para o caminho A → C → B, br M e 
somando as potências referentes aos elementos do caminho com a potência dissipada PD tem-se: 
 Ptotal = TAnA + TBnB + TCnC + TMnM + PD = 0. (3.39) 
 
As rotações absolutas na equação acima são expressas em termos das rotações relativas e da 
rotação do sistema móvel, de acordo com a equação 3.29. Lembrando que TC = 0, tem-se: 
 TA(nM + nrel A) + TB(nM + nrel B) + TM(nM + nrel M) + PD = 0 (3.40) 
 
ou seja: 
 
 (TA + TB + TM)nm + TAnrel A + TBnrel B + TMnrel M + PD = 0 (3.41) 
 
Utilizando na equação 3.41 a hipótese (b), verifica-se que a potência dissipara PD é função 
apenas da velocidade relativa entre as engrenagens. Lembrando ainda que o sistema rotativo e o 
braço giram na mesma velocidade impõe-se, necessariamente, que nrel M = 0. Dessa forma: 
 TAnrel A + TBnrel B + PD = 0 (3.42) 
 
 A potência obtida pela multiplicação entre o torque e a rotação relativa dos elementos é 
conhecida em sistemas epicicloidais como potência de rolamento ou potência virtual e indicada 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 49 
 
como Prol (LIMA, 1980). Desprezando-se a perda por atrito nos mancais, a potência dissipada é 
calculada, então, através da equação 3.1 em função da potência de rolamento na entrada do 
caminho. Entretanto, uma vez que o sentido da rotação relativa dos elementos A e B pode não 
coincidir com a rotação real, utiliza-se na equação para PD acima a potência cujo sentido do torque 
for inverso ao sentido da rotação relativa, de acordo com a convenção do torque ativo. Em outras 
palavras, PD é sempre calculada a partir da potência de rolamento na entrada no trem. A verificação 
do sentido do torque pode ser feita da seguinte maneira: 
 
a) Entrada de rolamento em A: 
 
Se Prol A = Tanrel A 0 ⇒ PD = (1 − ηBA)TBnrel B 
 
Onde ηBA é o rendimento da transmissão quando o braço M estiver fixo e a potência de 
rolamento fluir de B para A. Dessa forma, a equação 3.42 pode ser reescrita como: 
 TAnrel A + TBnrel B + (1 − ηBA)TBnrel B = 0 (3.46) 
 
Ou seja, TBTA = −nrel Anrel B . ηBA−1 = −i0. ηBA−1 (3.47) 
 
 Lembrando que o trecho entre A e B representa um sistema de perdas em série tem-se, 
segundo o item 3.2.1, que ηAB = ηBA = η. Dessa forma, as expressões 3.44 e 3.47 podem ser 
colocadas sob a forma geral: 
 TB = −i0. ηWTA (3.48) 
 
onde o expoente w indica se o fluxo da potência de rolamento entra ou sai pela engrenagem A. Na 
prática o expoente w pode ser obtido a partir da seguinte expressão: 
 w = − Prol A|Prol A| = − Tanrel A|Tanrel A| = ±1 (3.49) 
 
onde, para w = 1, o fluxo da potência de rolamento segue de A para B e, para w = -1, atua no sentido 
inverso. As equações 3.48 e 3.49 podem ser utilizadas para calcular o rendimento do trem 
epicicloidal básico sujeito a diversas condições de contorno. Substituindo a equação 3.48 na 
hipótese (b) e lembrando que TC = 0 obtém-se: 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 50 
 
TM = −(1 + i0ηW)TA (3.50) 
 
Através da hipótese (b) e da relação entre TA e TB obtém-se: 
 ηe = TMnMTAnA = −TA(1 + i0ηw)TA nA nM⁄ = − i0ηw + 1iAM (3.51) 
 
onde iAM é a relação de transmissão entre a roda A e o braço M. Pela a equação 3.45, com nB = 0, 
 i0 = nA − nMnB − nM = nM − nAnM = 1 − nAnM = 1 − iAM (3.52) 
ou seja: 
 ηe = −(1 − iAM) ηw + 1iAM = (iAM − 1) ηw − 1iAM (3.53) 
 
Pode-se generalizar a equação 3.1 para um sistema com múltiplas entradas e saídas, o 
rendimento ηe de um trem epicicloidal pode ser escrito como: 
 ηe = ∑Psaída∑Pentrada = ∑Pentrada − PD∑Pentrada (3.50) 
 
onde a potência dissipada PD é calculada em termos da potência de rolamento. 
Como exemplo inicial da aplicação do método, considera-se o caso onde a roda A é motriz 
com rotação nA e a roda B é estacionária. Nesse caso a potência de saída se dá pelo braço M com 
rotaçãonM, que pode estar no sentido da rotação nA ou contrária a esta. Assim: 
 ηe = ∑Psaída∑Pentrada = TMnMTAnA 
 
 Através da hipótese (b) e da relação entre TA e TB obtém-se: 
 ηe = TMnMTAnA = −(TA + TB)nMTAnA = −TA(1 + i0ηw)TA nA nM⁄ = i0ηw − 1iAM (3.51) 
 
onde iAM é a relação de transmissão entre a roda A e o braço M. Pela a equação 3.45, com nB = 0, 
 i0 = nA − nMnB − nM = nA − nMnM = nAnM − 1 = iAM − 1 (3.52) 
ou seja: 
 ηe = (iAM − 1) ηw − 1iAM = ηw − 1 + ηwiAM (3.53) 
 
3.3.8 Exemplo 
O braço M do trem epicicloidal da figura 3.37 foi ligado a 
um motor elétrico que, em certa situação, fornece 4,5 hp 
a 1200 rpm. Deseja-se determinar o rendimento, a 
rotação de saída e a potência útil na saída do trem 
quando nB = 0, ZA = 25 e ZB = 135. 
Considere ηENG = 0,97. 
 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 51 
 
 
SOLUÇÃO: 
Inicialmente procede-se a uma análise cinemática a fim de se terminar as diversas velocidades 
relativas do trem. Utilizando o caminho A→C→B, br M obtém-se as seguintes equações para os 
elementos C e B do trem: 
 nC = nM − ZAZC (nA − nM) nB = nM − ZAZB (nA − nM) 
 
Utilizando a equação para nB obtém-se: 
 nB = nM − ZAZB (nA − nM) → 0 = nM − 25135 (1200 − nM) → nM = +187,5 rpm 
 
A relação de transmissão entre a entrada e a saída do trem é iAM = nA/nM = 6,4. Calcula-se em 
seguida as velocidades relativas dos diversos elementos ao longo da cadeia cinemática: 
 nrel A = nA − nM = 1200 − 187,5 = 1012,5 rpm nrel B = nB − nM = 0 − 187,5 = −187,5 rpm 
 
Adotando a referência na roda A motriz, utiliza-se PA= -5 hp e o torque TA com sinal negativo (em 
sentido contrário à rotação nA) segundo a convenção do torque ativo. Além disso, uma vez que nM 
é positivo, o torque TM na saída do redutor também será positivo. 
O valor do expoente w é obtido a partir da equação 3.49: 
 w = − Tanrel A|Tanrel A| = − (−29,6 ). 1200|(−29,6 ). 1200| = +1 
 
indicando que a potência de rolamento flui no sentido de A para B. Nesse caso, o rendimento de 
base η é calculado através da transmissão em série entre A e B, ou seja, η = ηeng2 = 0,941. O 
rendimento do trem é calculado através da fórmula 3.53: 
 ηe = ηw − 1 + ηwiAM = 0,941 − 1 + 0,9416,4 = 0,638 
 
O torque TA é calculado a partir da rotação imposta pelo motor de acionamento: 
 TA = PA2π60 nA = (−5) . 7452π60 . 1200 = −29,6 Nm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 52 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
HEIWOOD, J, ‘Internal Combus.tion Engine Fundamentals’, 1a ed, McGraw-Hill Education, New 
York, 2011. 
.. 
SANTOS, SL, ‘Bombas e Instalações Hidráulicas’, 1ª ed, Livros Técnicos e Científicos, Rio de 
Janeiro, RJ, 2010.. 
 
NICOLA TESLA, NY. Alternating Motor. US Patent 555.190, United States Patent Office, 1896 
 
RUDENKO, N. ‘Máquinas de Elevação e Transporte’, 1a ed, Livros Técnicos e Científicos Ed Ltda, 
Rio de Janeiro, 1976. 
 
JOHNSON, W, Helicopter Theory, 1st ed, Dover Publications, 1994 
 
LINO, T, MATSUMARA, S, HOUJOH, H , HACHIYA, T, ‘Calculation of the behavior of oil churning 
and its loss in a gearbox by a moving particle method’, Proceedings of the International Conference 
on Power Transmission, CRC Press/Balkema, London, UK. 
 
NIEMANN, G , WINTER, H. ‘Maschinenelemente: Schraubrad-, Kegelrad-, Schnecken-, Ketten-, 
Riemen-, Reibradgetriebe, Kupplungen, Bremsen, Freiläufe’ Springer Verlag, Berlin Heidelberg, vol. 
3, 2nd edition, 1983. 
 
FLETCHER, HAG, BAMBOROUGH, J. ‘Effect of Oil Viscosity and Supply Conditions on Efficiency 
of Spur Gearing’, National Engineering Laboratory Report No. 138, East Kilbride Glasgow, Crown, 
1964. 
 
YADA, T., ‘Relation of Frictional Loss of Gear to Speed and Torque’. Bull. JSME, vol. 16, no. 95, 
Maio, 1973. 
 
OHLENDORF, H. RICHTER, W. ‘Spur Gearings-Friction, Damage and Heating’, W. Richter, ed., 
Friedrick Vieweg and Son, Braunschweig, 1964 (em alemão). 
 
HANSON, N.R., ‘The Mathematical Power of Epicyclical Astronomy’, Isis, vol. 51, no. 2, Junho, 1960, 
pp. 150-158 
 
EDMUNDS, M.G., ‘An Initial Assessment of the Accuracy of the Gear Trains in the Antikythera 
Mechanism’, Journal for the History of Astronomy, vol. 42, no. 3, pp. 307-320, 2011. 
 
SHIGLEY, J.E., UICKER, J., PENNOCK, G.R., Theory of Machines and Mechanisms, Oxford 
University Press, New York, 2003 
 
NORTON, R.L., Machine Design: an integrated approach, Prentice-Hall, New Jersey, 1998. 
 
MABIE, H.H., OCVIRK, F.W, Mechanisms and Dynamics of Machinery, 2nd ed., John Wiley and 
Sons, New York, 1987. 
LIMA, C.S., ‘Trens de Engrenagens Planetárias: Análise, Síntese e Aplicação em Veículo Híbrido’. 
Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia de Campinas, 
Universidade de Campinas, p.29-42. 
 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 53 
 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark- engrenagens, correias e correntes - e no segundo caso tem-se, por exemplo, as perdas 
que ocorrem ao longo de uma tubulação quando utilizada para mover um fluido ou as linhas de 
transmissão elétrica que conectam as usinas geradoras às subestações. 
 
3.1.2 Caracterização dos conversores de energia 
 
 Conversores ou transmissores operam transformando parâmetros de entrada em 
parâmetros de saída. O fator de rendimento η é definido como a relação entre a potência de entrada 
no processo e a potência resultante na saída, ou seja: 
 
 η = PSPe e PD = (1 − η). Pe (3.1) 
 
 
 
onde PS é a potência na saída do conversor, Pe a potência na entrada e Pd a potência dissipada, 
geralmente na forma de calor, durante o processo. 
 Em conversores e transmissores é comum a existência de diversos tipos de perdas ou 
irreversibilidades ocorrendo simultaneamente. Por exemplo, um motor elétrico CA opera 
convertendo voltagem U e corrente i em torque T e rotação n. Pode-se citar, entre as 
irreversibilidades deste processo, o atrito nos mancais e nas escovas (se houver), efeito joule no 
primário e no secundário, ondas sonoras que se propagam pelo ambiente, vibração, deformação 
elástica do eixo sob torção, correntes parasitas nas bobinas, etc. Este processo é representado pelo 
diagrama de blocos da figura 3.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2: parâmetros de entrada/saída. 
 
Da definição de rendimento e do balanço de energia obtém-se: 
 η = PsPe = U. iT. ω e ΔT. qT = U. i − T.ω = (1 − η)U. i (3.2) 
 
e a entropia total ΔS associada ao processo é obtida através de: 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 4 
 
 ΔS = qT = PDΔT = (1 − η)U. iΔT (3.3) 
 
Neste caso optou-se por representar a rotação de saída através da velocidade angular ω e 
a temperatura ΔT pela escala absoluta de Kelvin, para que as equações 3.2 e 3.3 sejam escritas 
diretamente no S.I. Em outras situações pode ser mais vantajoso expressar a velocidade de giro 
em rpm (rotações por minuto) ou rps (rotações por segundo). 
O comportamento dos conversores e transmissores é representado em um gráfico com o 
parâmetro potencial nas ordenadas e o parâmetro dinâmico nas abscissas. Quando os parâmetros 
de saída são considerados, os conversores podem ser agrupados em três grupos distintos, cujo 
comportamento típico pode ser visto na figura 3.3. 
 
 
 
Figura 3.3: comportamento típico dos conversores. 
 
tipo 1: conversores autônomos ou auto-induzidos 
São assim denominados os conversores cujo movimento gera as próprias condições para o 
seu funcionamento. É o caso dos motores a combustão interna, turbinas a gás e geradores indutivos 
com a bobina principal em série. A característica principal dos conversores autônomos é que o 
parâmetro potencial é nulo quando o conversor está parado, isto é, não existe “esforço inicial” para 
fazer o conversor iniciar. O conversor só se torna autônomo a partir de um certo ponto, indicado 
pela coordenada (a,A) na figura 3.3. No caso dos motores a combustão interna e turbinas a gás 
usa-se um motor de arranque para ultrapassar esse limite. 
Nos motores de combustão interna o torque e o rendimento variam acentuadamente com a 
rotação. Em baixas rotações o torque na saída é baixo devido à dificuldade em misturar 
adequadamente ar e combustível e ao tempo de abertura e fechamento das válvulas, que é 
geralmente calculado para rotações mais elevadas. Após o ponto de máximo, o torque diminui 
devido ao crescimento das perdas por atrito e à dificuldade da mistura ar-combustível em preencher 
completamente o cilindro (Heywood, 2011). 
A figura 3.4 representa o comportamento aproximado de um motor de combustão interna 
turbo-alimentado. Na figura TV e ωV são os parâmetros na saída do virabrequim, TC e ωC são os 
parâmetros de entrada do compressor e TS e ωS são os parâmetros de saída da caixa de 
transmissão. Alguns elementos, tais como bomba de combustível e alternador não estão 
representados. 
A figura 3.5 representa o modelo aproximado de uma turbina a gás no chamado ciclo 
Brayton. As variáveis Pcb e qcb representam a pressão e a vazão de saída da câmara de combustão, 
os quais são convertidos em torque e rotação pela turbina. Uma parte deste torque, representada 
por TC é utilizado para acionar o compressor na rotação ωC e o torque restante, representado por 
TS representa o torque de saída da turbina. 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4: esquema do funcionamento aproximado de um motor à combustão turbo-alimentado 
 
 
 
 
 
Figura 3.5: esquema de uma turbina a gás em ciclo Brayton 
 
tipo 2: conversores de deslizamento 
A característica dos conversores do tipo 2 é a diminuição gradativa do parâmetro potencial 
à medida em que o parâmetro dinâmico aumenta, indicando que existe algum tipo de 
“escorregamento” interno ao sistema. É o caso de compressores e bombas centrífugas, que 
funcionam pela ação de um rotor. Também é o caso de muitos tipos de motores elétricos AC e DC. 
 
Em bombas e compressores centrífugos a função do 
rotor é gerar pressão através da aceleração centrípeta 
imposta ao fluido pelo giro do rotor. A forma da caixa da 
bomba é chamada de voluta e seu propósito é 
recuperar a pressão que porventura possa ser extraída 
de algum excesso de velocidade imposta ao fluido pelo 
rotor. Portanto, devido à ação centrífuga do rotor, é 
costume descrever a curva característica de uma 
bomba através de uma equação parabólica do tipo: 
 P(q) = P0 − c1. q2 
 
onde P0 é a pressão medida na saída com a válvula 
fechada e c1.q2 é a perda de pressão devida à vazão na 
saída da bomba. 
 
 
Uma vez que P0 representa a pressão devida ao efeito centrífugo do rotor, ela é proporcional ao 
quadrado da rotação do rotor. Portanto: 
 P(q) = c2. ω2 − c1. q2 (3.4) 
 
onde c1 e c2 são constantes, geralmente obtidas experimentalmente (SANTOS, 2007). 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 6 
 
Outro exemplo deste tipo de conversor são os motores elétricos indutivos (figura 3.6, uma 
das patentes originais de N. Tesla). Estes motores possuem duas partes principais: estator e rotor. 
No estator estão localizadas bobinas fixas que geram campos magnéticos variáveis pela passagem 
de uma corrente elétrica alternada (Lei de Lenz). No rotor está localizado outro imã cujos pólos 
procuram se alinhar com o campo magnético girante produzido no estator. Ao tentar se alinhar, o 
imã do rotor provoca a rotação deste através da força eletromotriz – f.e.m. Uma característica deste 
tipo de motor é que f.e.m. produzida no rotor é proporcional à corrente elétrica que circula no estator 
e o número de espiras nas boninas do estator. 
 
 
 
Quando a corrente elétrica é ligada, a defasagem – daí o nome motores assíncronos – entre 
os campos magnéticos do rotor e do estator tende a diminuir à medida que o rotor ganha velocidade 
e, consequentemente, a f.e.m. aplicada no rotor diminui. Quando um torque externo é aplicado no 
eixo do rotor, a rotação diminuiprovocando um maior deslizamento entre os campos magnéticos, o 
que aumenta a f.e.m. e a corrente no estator (também chamado de primário). 
 
tipo 3: conversores lineares 
Os conversores do tipo 3 se diferenciam dos demais devido à relação linear entre os 
parâmetros potencial e dinâmico. Exemplos deste tipo de conversor incluem bombas e motores 
hidráulicos de deslocamento positivo, motores elétricos de imãs permanentes e geradores elétricos 
DC com excitação independente no estator e no rotor. No caso de bombas de deslocamento 
positivo, o objetivo principal é o aumento de pressão no fluído, já que o aumento da vazão é anulado 
devido à quase incompressibilidade do líquido sendo bombeado. A figura 3.7 indica um diagrama 
do funcionamento de uma bomba deste tipo. 
 
 
Figura 3.6: patente original de um motor elétrico de N. 
Tesla (1896) e a contrapartida atual de um motor de 
indução comercial (Fonte: The Tesla Institute) 
 
Figura 3.7: bomba de engrenagens de 
deslocamento positivo 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 7 
 
 Em uma bomba deste tipo, bolsões discretos de fluido são impulsionados através das 
engrenagens (ou lóbulos), daí o nome deslocamento positivo, não importando a diferença de 
pressão entre a entrada e a saída. Assim, se a válvula da figura 3.7 estiver fechada, o resultado 
seria, teoricamente, um valor infinito para a pressão de saída, razão pela qual se utilizam válvulas 
de alívio (não indicadas na figura). Assumindo que ocorrem pequenos fluxos reversos entre as 
engrenagens e que tais fluxos sejam proporcionais ao aumento de pressão de entrada, o fluxo na 
saída é dado em função da velocidade angular ω da bomba por: 
 q = c3. ω − c4. P → P(q) = c3. ω − qc4 (3.5) 
 
onde c3 e c4 representam constantes características. O comportamento de uma bomba de 
deslocamento positivo pode ser representado pela curva 3, com a pressão como parâmetro 
potencial e a vazão como parâmetro dinâmico. 
 Outro exemplo deste tipo de conversor são os motores elétricos DC com excitação 
independente no rotor e no estator, representado na figura 3.8. Neste tipo de motor, o campo elétrico 
gerado na bobina de campo LC é produzido pela aplicação da voltagem independente VC. No 
entanto, assim que o rotor começa a girar, surge a f.e.m. conta-induzida na armadura EA que deve 
ser equilibrada pela aplicação da voltagem externa VA. Portanto, para o circuito do induzido: 
 VA = EA + iA. RA com EA = c5. iC. ω (3.6) 
 
onde iC é a corrente de campo e ω é a velocidade angular do rotor. O torque aplicado no eixo do 
rotor depende da corrente de campo iC, a qual pode ser controlada pela posição do reostato RC e 
da corrente na armadura iA. Dessa forma: 
 T = c5. iA. iC → VA = c5. iC. ω + T.RAc5. iC (3.7) 
 
onde c5 é uma constante que depende dos detalhes construtivos do motor. Isolando o torque T: 
 T(n) = c5. VA. iC − (c5. iC)2. ωRA (3.8) 
 
cujo comportamento também pode ser representado pela curva 3, já que T varia linearmente com 
ω. Uma vez que a resistência RA é pequena, a equação 3.8 prediz um alto torque de partida e uma 
grande inclinação negativa da curva T(ω). Devido ao elevado torque inicial, é comum encontrar esse 
tipo de motor no acionamento de máquinas com alta inércia. 
Outro exemplo são os motores DC de imãs permanentes (PMDC). De maneira distinta do 
motor com excitação independente, o fluxo magnético entre o rotor e o estator é produzido por imãs 
permanentes fixados no estator. Recentemente imãs de terras raras passaram a ser utilizados tanto 
no rotor como no estator, permitindo a geração de fluxos magnéticos muito maiores que os 
tradicionais imãs de ferrita, o que permite torques maiores. A figura 3.8 ilustra os componentes 
básicos deste tipo de motor e indica o torque e a rotação fornecidos pelo motor. 
 Para o circuito da armadura, considerando regime permanente, a tensão externa aplicada 
deve equilibrar a força contra-eletromotriz no rotor e a queda de voltagem na armadura, portanto: 
 
 VA = EA + iA. RA onde Ea = c6 ia ω (3.9) 
 
onde c6 é uma constante de proporcionalidade. O torque produzido no rotor é proporcional à 
corrente na armadura ia e ao fluxo magnético permanente Φ, ou seja, T=c6 Φ ia. Dessa forma a 
equação 3.9 pode ser reescrita em termos de torque e rotação como: 
 T = VA c6 ΦRA − c6 2 ia Φ ω = Tp − c7 ω (3.10) 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 8 
 
a qual representa uma relação linear entre T e ω. Nessa equação TP é o torque de partida e c7 é o 
coeficiente angular da reta T(ω). A rotação máxima de um PMDC é obtida fazendo T = 0 na equação 
3.8. 
 
 
 
Figura 3.8: motores DC com excitação independente e de imãs permanentes 
 
 3.1.3 Ponto de equilíbrio e curva de demanda 
 
 Para definir o conceito de ponto de equilíbrio de um sistema dinâmico considera-se 
inicialmente o sistema propulsor de um automóvel a combustão interna onde TR e n são, 
respectivamente, o torque disponível e a rotação do eixo das rodas de tração, dada em rpm. As 
curvas características representadas em vermelho na figura 3.10 indicam a variação de TR(n) 
considerando três posições de abertura da válvula de admissão. 
Considerando o movimento ao longo de uma via reta e horizontal, quanto maior a velocidade, 
maior a resistência ao movimento, causada principalmente pelo arrasto aerodinâmico e ao atrito de 
rolagem das rodas. Em consequência disso, admite-se a existência de uma relação funcional entre 
a força resistiva encontrada pelo veículo e o parâmetro dinâmico de saída (velocidade linear). 
Conhecendo-se o diâmetro das rotas do veículo, tanto a velocidade linear quanto a força 
resistiva podem ser representadas em termos da rotação das rodas nR e do torque resistivo R(nR) 
aplicado às rodas de tração. Esta relação, conhecida como curva de demanda, é plotada na figura 
3.10 para duas configurações do veículo e indicadas como R1(n) e R2(n). A curva de demanda 
intercepta o eixo das abcissas no torque TS, conhecido como resistência estática ou inicial. 
 
 
 
Figura 3.9 Comportamento aproximado do trem de força de um automóvel 
 
Os pontos A, B e C onde TR(n) = R1(n), ou seja, nos pontos onde a curva de torque disponível 
intercepta a curva de demanda são conhecidos como pontos de equilíbrio. Na figura são 
identificados três pontos de equilíbrio, indicados pelas rotações nA, nB e nC, dependendo da 
porcentagem de abertura da válvula de admissão. 
Um ponto importante a considerar na determinação do ponto de equilíbrio é que uma 
mudança nas características do sistema, por exemplo, tornar o veículo mais aerodinâmico, altera a 
sua curva de demanda (por exemplo, para a curva R2), deslocando os pontos de equilíbrio. Nesse 
caso observa-se um aumento nas rotações de equilíbrio do sistema para uma mesma abertura da 
válvula de admissão de combustível. Por outro lado, uma mudança na resistência estática como, 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark3 - 9 
 
por exemplo, fazer o veículo subir uma rampa, desloca a curva de demanda ao longo dos eixos das 
ordenadas, por exemplo de R1(n) para R1
’(n), diminuindo a velocidade do veículo ou aumentando o 
torque necessário para uma dada velocidade. 
 
 
 
 Figura 3.10: Pontos de equilíbrio do sistema de propulsão 
 Outro ponto importante é a estabilidade ou natureza do equilíbrio. De fato, quando um 
sistema dinâmico atinge o ponto de equilíbrio, é importante para o engenheiro determinar se tal 
condição é estável quando ocorre uma perturbação nas condições de operação. Sistemas que 
operam em pontos de equilíbrio instáveis podem divergir facilmente destes pontos e assumir 
configurações inesperadas para as quais não foram projetados. Quando dois ou mais conversores 
operam em paralelo, a operação em pontos instáveis pode levar a divisões de carga desigual entre 
eles, particularmente quando a igualdade nas condições de operação não é forçada rigidamente. 
 Para exemplificar este aspecto imagina-se, por exemplo, um motor rotativo que fornece 
potência para acionar uma carga e opera nas vizinhanças de um certo ponto de equilíbrio, onde 
T(ω) = R(ω). Sendo T(ω) a curva de torque do motor e R(ω) a curva de resistência ou de demanda. 
Através das equações da dinâmica, tem-se: 
 T − R = Jm dωdt (3.11) 
 
onde Jm é o momento de inércia da carga visto pelo motor rotativo e ω(t) a velocidade angular. 
Considera-se agora uma variação Δω na rotação do motor com consequentes varações ΔT e ΔR 
nos torques do motor e da carga, respectivamente. Dessa forma a equação 3.11 é alterada para: 
 (T + ∆T) − (R + ∆R) = Jm d(ω + ∆ω)dt (3.12) 
 
 Substituindo a equação 3.11 em 3.12 obtém-se: 
 ∆T − ∆R = Jm d(∆ω)dt (3.13) 
 
e considerando que T e R são funções de ω apenas, ΔT e ΔR podem ser obtidos pela expansão de 
T(ω) e R(ω) em termos das suas respectivas séries de potência. Desprezando-se os termos de 
segunda ordem e acima, a equação 3.13 se torna: 
 ∂T∂ω∆ω − ∂R∂ω∆ω = Jm d(∆ω)dt (3.14) 
ou: c8 . ∆ω = Jm d(∆ω)dt com c8 = dTdω − dRdω (3.15) 
 
Integrando, então, os dois termos da equação 3.15 obtém-se: 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 10 
 
∆ω = c9. ec8 tJm (3.16) 
 
onde c9 é uma constante de integração. No caso em que c8 T,ω , a flutuação Δω 
irá diminuir ao longo do tempo e o sistema retornará gradualmente ao ponto de equilíbrio. Por outro 
lado, no caso em que c8 > 0, o sistema irá se afastar da posição equilíbrio e assumir um novo ponto 
de equilíbrio, se houver. Sendo assim, quando o motor é ligado à carga, a condição de estabilidade 
de operação em termos de torque e rotação é dada por: 
 equilíbrio estável ⇔ T(ω) = R(ω) com ∂R∂ω > ∂T∂ω (3.17) 
 
 A figura 3.11 ilustra o comportamento de dois conversores distintos T1(ω) e T2(ω) para uma 
mesma carga R(ω), sendo o conversor 1 auto induzido com a curva T1(ω) existindo a partir de ω1 e 
o conversor 2 de deslizamento. O gráfico indica três possíveis pontos de equilíbrio. Calculando 
graficamente a constante C através da inclinação da reta tangente nos pontos de equilíbrio verifica-
se que os pontos 2 e 3 são estáveis pois C2 > 0 e C3 > 0 enquanto o ponto 1 é instável pois C1 C2 > 0. 
 
 
 
Figura 3.11: Pontos de equilíbrio estáveis e instáveis 
 
Para finalizar este tópico, é importante ressaltar que a condição de estabilidade descrita pela 
equação 3.17 pode também ser aplicada para outros parâmetros potenciais e dinâmicos. Por 
exemplo, considerando-se o bombeamento de um certo fluido através de uma tubulação por meio 
de uma bomba centrífuga. 
 
3.1.4 Forma geral da curva de demanda R 
 
De maneira geral as curvas de demanda impostas à saída de conversores ou transmissores 
podem se dar de duas formas distintas: 
a) pela exigência direta de energia a ser utilizada em algum processo, como é o caso do veículo 
do exemplo anterior, onde o torque e a rotação impostos pelo trem de força são convertidos 
em força trativa e velocidade linear ou 
b) na forma da demanda necessária para o acionamento de outro conversor de energia. É o 
caso, por exemplo, do acionamento de uma bomba hidráulica a partir da potência fornecida 
por um motor AC ou DC. 
 
Em se tratando de sistemas mecânicos, as forças de atrito têm influência fundamental na 
determinação das curvas de demanda de muitos processos físicos ocorrendo em regime estável. 
No caso de atrito viscoso faz-se uma analogia com a relação entre a pressão necessária para 
impulsionar um fluído ao longo de uma tubulação. Pode ser demonstrado que, ao longo de um tubo 
reto e horizontal, a relação entre a queda de pressão P e a vazão q é dada por: 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 11 
 
P = c9 qm (3.18) 
 
onde c9 é um coeficiente que depende da viscosidade, densidade e parâmetros da tubulação. No 
caso de regime laminar a constante m é igual à unidade, mas, à medida em que a vazão aumenta, 
ocorre a mudança para regime turbulento e, em consequência o valor de m aumenta ao mesmo 
tempo em c9 diminui. No caso de atrito seco, o esforço resistivo é praticamente independente da 
velocidade. 
 Para ilustrar o efeito da sobreposição desses mecanismos na curva de demanda, considera-
se as curvas de torque de acionamento de uma bomba centrífuga, indicada como R1(n) e de um 
laminador de chapas, indicada como R2(n), plotadas na figura 3.12. 
A curva da bomba mostra, inicialmente, o efeito da transição que ocorre em baixas rotações 
entre os regimes laminar e turbulento. Após a transição o comportamento da curva é dado pela 
equação 3.18. A medida em que a rotação aumenta o efeito de atrito viscoso na tubulação em meio 
turbulento aumenta devido à circulação de fluido. Na curva do laminador, entretanto, ocorrem 
simultaneamente dois fatores distintos: inicialmente ocorre um leve aumento devido aos efeitos de 
atrito viscoso `pela lubrificação das suas partes móveis. Dieter (1976) admite o torque nesta região 
como aproximadamente constante e definido apenas pelas variáveis do processo de laminação. 
Para altas velocidades, a taxa de deformação imposta às chapas das aumenta, exigindo um torque 
ainda maior para o acionamento dos cilindros. Tal fenômeno é similar à influência da viscosidade 
na curva da bomba. A interpretação dos fenômenos envolvidos na curva de demanda dá ao 
engenheiro um entendimento muito melhor sobre a natureza dos processos envolvidos durante a 
transmissão de potência. 
 
 
 
Figura 3.12: Curvas de demanda de uma bomba centrífuga e de um laminador 
 
 
3.1.6 Arranjo em série de conversores e transmissores 
 
 Para se entender como as características de diversos conversores e transmissores afetam 
o processo de transmissão de energia, considera-se o exemplo de uma transmissão hidrostática 
acionada por um motor à combustão. Uma transmissão hidrostática é formada por uma bomba de 
deslocamentopositivo que aciona um motor hidráulico. 
Motores hidráulicos operam convertendo pressão e vazão na entrada em torque e rotação 
na saída, trabalhando de maneira inversa a de uma bomba de engrenagens como a da figura 3.7. 
A característica de uma transmissão hidrostática é a operação com baixas vazões e altas pressões, 
daí não ser costume a utilização de bombas centrífugas, que são utilizadas em condições de altas 
vazões e baixas pressões. 
Esta é uma situação comum encontrada em muitas máquinas autônomas, tais como tratores 
e escavadeiras. Os parâmetros de entrada e saída dos diversos elementos estão ilustrados na figura 
3.13. A pressão P e a vazão q entre a bomba e o motor hidráulico correspondem aos valores 
líquidos, uma vez que estes componentes geralmente operam em circuitos fechados com pressões 
diferentes na entrada e na saída. A irreversibilidade dos conversores é representada através dos 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 12 
 
respectivos fatores de rendimento η, expressos como funções do parâmetro dinâmico na entrada 
ou na saída do conversor. 
 
 
 
 Figura 3.13: sistema de transmissão hidrostática 
 
 São fornecidas curvas de demanda para duas configurações distintas de saída, indicadas 
por R1 e R2. O objetivo deste exemplo é relacionar os parâmetros de saída do motor hidráulico (T2, 
ω2) com a posição s da válvula de admissão do motor à combustão. As curvas do motor hidráulico 
são fornecidas para três possíveis pressões, com P1do motor de acordo com a equação 3.23. No primeiro gráfico, as linhas inclinadas 
correspondem à variação de F(v) para diferentes valores da relação de transmissão, com i1+ 1,03n2 + 57,64n 
 
O ponto de máximo da função P1(n) com n2 > 0 é obtido através do cálculo elementar. Ou seja: 
 maxP1(n) → dP1dn = 0 , ou seja: − 20,34n2 + 2,06n + 57,64 = 0 
 
cuja raiz, para n > 0, é n1 = 1,735 rps. A potência máxima fornecida pelo cata-vento é obtida 
substituindo-se este valor na equação para P1(n), resultando Pmax = 67,7 Nm.rps = 425,3 W. 
 
Para se determinar a relação de transmissão do redutor, iguala-se a potência de saída do cata-
vento à potência de entrada do gerador, uma vez que se está desprezando as perdas. Assim: 
 (75. n22). n2 = 67,7 → n23 = 0,90 , ou seja n2 = 0,966 rps 
 
Portanto, a relação de transmissão do redutor será: 
 i = n1n2 = 1,7350,966 = 1,8 
 
Para se plotar a curva de demanda do gerador vista pelo cata-vento é necessário transmitir o torque 
T2 através do redutor. Considerando mais uma vez um sistema ideal, tem-se a relação: 
 T2T1G = i → T1G = T2i = 75. n221,8 = 41,67. n22 = 41,67. (n11,8)2
 
ou seja: T1G = 12,86. n12 
 
Mostra-se. na figura 3.22, a curva de torque disponível na saída do cata-vento e a curva de demanda 
do gerador vista pelo cata-vento. No encontro dessas curvas identifica-se o ponto de operação, que 
ocorre no ponto de máxima potência, conforme se verifica pelo ponto de tangência da hipérbole 
característica. A equação da hipérbole é dada pela equação 3.23 com Pmax = 67,7 Nm.rps. 
 
 
 
Figura 3.22: solução gráfica do exemplo anterior, indicando a curva do conversor T1(n), a curva de 
demanda do gerador T1G e a hipérbole indicadora do ponto de máxima potência 
 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 19 
 
 
3.1.6 Influência do rendimento no ponto de operação 
 
 Em um típico sistema de transmissão mecânica existem muitas formas da energia ser 
dissipada: atrito nos mancais e em engrenagens, estiramento e deslizamento de correias, 
propagação sonora, vibração, etc. Para se determinar as fontes de perda de uma transmissão deve-
se, em primeiro lugar, seguir o fluxo de potência através da transmissão, uma vez que a potência 
dissipada na transmissão é, em geral, proporcional à quantidade de energia transmitida. 
 No sistema de elevação visto anteriormente, as principais fontes de perda são o atrito nos 
mancais de rolamento, perdas no contato dos dentes do par engrenado, estiramento do cabo e 
atrito do mesmo ao se enrolar no tambor. Considerando que essas perdas são representadas na 
figura abaixo pelos respectivos coeficientes de rendimento, é possível se determinar a relação entre 
a potência Pm disponível no eixo do motor e a potência Ps disponível para a elevação da carga. 
 
 
 Através da definição de rendimento, a relação entre a potência entregue pelo motor e a 
consumida no levantamento da carga é dada por: 
 Ps = Pm. ηeng. ηrol. ηtamb , com: Ps = Mgv e Pm = T1n1 
 
onde n1 é a rotação do motor em rpm, ηeng é o rendimento do par engrenado, ηrol é o rendimento 
dos mancais e ηtamb é o rendimento combinado do cabo e tambor. Para esse último, uma discussão 
completa da potência perdida e do rendimento em sistemas de elevação pode ser encontrada em 
Rudenko (1976). Isolando T1 obtém-se: T1 = M g ri. ηeng. ηrol. ηtamb 
 
 Neste caso, como ηSegundo Niemann (1995) a potência perdida por agitação pode ser 
desprezada na maioria das análises e só deve ser levada em conta em casos de submersão 
completa da engrenagem motora e altas viscosidades, como é o caso daquelas encontradas em 
graxas e óleos viscosos a baixas temperaturas (Lino et ali, 2017). 
 A perda por atrito no contato dente a dente é do tipo misto, isto é, a existência da lubrificação 
não consegue separar completamente as superfícies dos dentes em contato, onde ocorre tanto o 
deslizamento quanto o rolamento. Alguns autores, como Buckingham (2011) e Merrit (1972) 
apresentam resultados bastante detalhados, mas restritos a poucos casos de interessante. Por 
exemplo, Buckingham (2011) considera a variação da força de atrito ao longo da lateral do dente, 
mas seus resultados são restritos aos casos em que o grau de recobrimento ε é unitário e são 
utilizadas engrenagens sem correção fabricadas em aço endurecido. 
 Para a maioria das situações, a seguinte expressão para o cálculo de L1 é considerada 
consistente com os resultados experimentais (Niemann e Winter, 1983): 
 L1 = μ𝑒 πz1 (1 ± 1i) (1 − ε + ε12 + ε22) (3.27) 
 
onde z1 é o número de dentes do pinhão, μe é o coeficiente de atrito equivalente, i é a relação de 
transmissão e ε1 e ε2 são as componentes do grau de recobrimento no plano normal, indicado como 
ε= ε1 + ε2. O sinal positivo é utilizado em engrenagens externas enquanto o sinal negativo é utilizado 
em engrenagens internas. 
Quanto à determinação do coeficiente de atrito equivalente μe, diversos resultados 
experimentais conduzidos em engrenagens cilíndricas retas externas, entre eles Fletcher e 
Bamborough (1964), Yada (1973) e Ohlendorf e Richter (1964), indicam a existência de uma 
pequena variação de L1 com a velocidade tangencial do pinhão. Por exemplo, no estudo de Fletcher 
e Bamborough, o valor de μe variou de 0,10 para vt=2m/s até 0,14 para vt=15,2m/s enquanto que 
em Yada obteve-se μe=0,09 para vt=2m/s até 0,14 para vt=8,1m/s. Nesses estudos, o rendimento η 
variou entre 0,997 até 0,985. Com base nesses resultados experimentais, recomenda-se adotar o 
coeficiente de atrito na equação 3.27 conforme a tabela abaixo. Para engrenagens epicicloidais, 
deve-se utilizar a velocidade relativa do par. 
 
velocidade tangencial (m/s) μe 
0 a 8,0 0,09 
acima de 8,0 0,14 
Tabela 3.3: valores do coeficiente de atrito equivalente para a equação 3.27 
 
Um caso interessante da aplicação da equação 3.26 é a influência da correção de perfil no 
rendimento dos pares engrenados. Por exemplo, para z1=25, z2=43, m=5 mm e μe=0,09 obtém-se 
pela equação 3.27, L1= 1,3% para a correção com x1 = 0,33 e x2=0,17 e L1= 1,6% para as 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 22 
 
engrenagens sem correção evidenciando um pequeno ganho em termos de rendimento para o caso 
de engrenagens corrigidas. 
A equação 3.27 também pode ser usada para o cálculo do rendimento em engrenagens de 
dentes helicoidais, cônicas retas ou zerol. No primeiro caso substitui-se o número de dentes do 
pinhão z1 por z1/cos3(β), onde β é o ângulo de inclinação do dente no plano primitivo, restringindo 
esses resultados aos casos em que ambas as engrenagens estão posicionadas no mesmo plano. 
No segundo caso, válido apenas para cônicas de dentes retos substitui-se z1 por z1/sen(δ1), onde 
δ1 é o ângulo do cone primitivo do pinhão. 
 
3.1.8 Rendimento em transmissões por correias e CVT´s 
 
 Em se tratando de correias e CVT´s, diferentes fenômenos contribuem para a perda de 
potência na transmissão, sendo os principais a relaxação da correia ao passar pela polia motora e 
a dissipação viscoelástica entre os lados tracionado e frouxo da correia. Fatores secundários 
incluem o atrito entre a correia e a polia, particularmente efetivo no caso de correias trapezoidais, o 
efeito do dobramento da correia ao redor das polias e o desalinhamento das polias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 23 
 
3.2 Sistemas de transmissão mecânica 
 
 É comum classificar as transmissões utilizadas em sistemas mecânicos como hidráulicas ou 
mecânicas. Nas transmissões hidráulicas são utilizados conversores de torque, motores e bombas 
hidráulicas de deslocamento positivo cujo objetivo é converter a pressão e a vazão de um sistema 
de bombeamento em rotação e torque na saída do sistema. Nas transmissões mecânicas são 
utilizados trens de engrenagens, correias, correntes, fusos roscados, fusos de esfera, etc. Uma vez 
que o foco da disciplina de projeto de máquinas está nas transmissões mecânicas, serão estudadas 
principalmente as do segundo tipo. 
 As transmissões puramente mecânicas, por sua vez, podem, ainda, ser divididas em 
continuamente variáveis ou transmissões discretas. No primeiro caso tem-se, por exemplo, as 
transmissões usadas em máquinas operatrizes CNC e em automóveis híbridos e elétricos. Essas 
transmissões utilizam principalmente variadores de frequência cujo propósito é alterar a frequência 
de rotação dos motores elétricos de maneira digital e aproximadamente contínua. No segundo caso 
têm-se as transmissões utilizadas em caixas de câmbio manual utilizadas em automóveis. máquinas 
de elevação e em máquinas operatrizes convencionais. 
 
3.2.1 Classificação dos sistemas de transmissão 
 
 Os sistemas mecânicos de transmissão de potência podem ser classificados em sistemas 
em série, paralelo ou combinados. Também é importante classificá-los quanto ao número de 
entradas e saídas e quais parâmetros são utilizados para caracterizar cada conversor. 
 
Sistemas em série: 
São assim classificados os sistemas de transmissão em que a energia percorre um único 
caminho entre a entrada e a saída. O sistema de elevação utilizado nos exemplos anteriores é um 
exemplo de um sistema em série. Outro exemplo é o sistema de acionamento do misturador da 
figura abaixo. Esse sistema utiliza um motor trifásico, um estágio de transmissão através de correia 
trapezoidal e um redutor de engrenagens de dupla redução. 
 
Para este sistema, valem as seguintes relações 
cinemáticas: i1 = ω1ω2 = d2d1 
i2 = ω3ω4 = z4z3 
i3 = ω5ω6 = z6z5 
 
Em um sistema em série pode-se definir ainda 
uma relação de transmissão global entre a 
entrada e a saída do sistema. Considerando que 
ω2= ω3 e ω4= ω5 tem-se: 
 itot = ω1ω6 = ω1ω2 ω3ω4 ω5ω6 = d2d1 z4z3 z6z5 = i1. i2. i3 
 
 
onde ik , k=1...3, são as relações de transmissão dos pares 1-2, 3-4 e 5-6 respectivamente. 
Considerando agora o fluxo de potência através do sistema, onde Pm refere-se à potência disponível 
na saída do motor, tem-se o diagrama abaixo: 
Figura 3.24: sistema em série 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 24 
 
 
 
 É importante, neste tipo de análise, manter a ordem correta dos elementos. Após sair do 
motor, a primeira fonte de perda é a transmissão por correia. Em seguida têm-se as perdas nos 
mancais de rolamento do eixo e1 e após isso as perdas na transmissão do par de engrenagens 3-
4. As perdas nos rolamentos do eixo e1 precedem as perdas no par engrenado 3-4, pois estas estão 
geralmente associadas ao contato dos dentes das engrenagens.As perdas pelo engrenamento 
ocorrem quando a energia se encaminha ao eixo e2. Finalmente têm-se as perdas nos mancais do 
eixo e2, as perdas no par engrenado 5-6 e, por último as perdas nos mancais do eixo e3. 
 Pode-se definir o rendimento global da transmissão como a relação entre a potência na 
entrada do sistema, Pm, e a potência disponível no eixo do misturador, Ps : 
 ηtot = PsPm = Pm ηcor ηrol3 ηeng2Pm = ηcor ηrol3 ηeng2 
 
Sendo assim, para um sistema em série, valem as seguintes relações: 
 itot = ∏ijn
j=1 e ηtot = ∏ηkm
k=1 (3.28) 
 
onde ij é a relação de transmissão de cada estágio da transmissão, n o número total de estágios e 
ηk o rendimento de cada uma das partes que compõe a rota da energia através da transmissão. 
 
Sistemas em paralelo: 
São os sistemas onde ocorrem uma ou mais bifurcações no caminho da energia entre a 
entrada e a saída. Esses sistemas podem ser compostos de múltiplas entradas/saídas simultâneas, 
mas são mais comuns os casos de uma entrada/várias saídas ou várias entradas/uma saída. 
Na figura 3.25 observa-se a aplicação de um motor elétrico que, através de uma transmissão 
em paralelo, permite o uso de duas saídas, identificadas como P1 e P2. Para esse sistema valem as 
seguintes relações cinemáticas, lembrando que ω1 = ω 3 = ωmotor : 
 
 
 
 
 i1 = ω1ω2 = d2d1 
 i2 = ω3ω4 = z4z3 
 
 
 
 
 
 Figura 3.25: sistema em paralelo 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 25 
 
As saídas pelos eixos e1 e e2 são mutuamente independentes pois dependem apenas das 
relações de transmissão i1 e i2. Ao mesmo tempo é possível relacionar a potência Pm fornecida pelo 
motor com aquelas consumidas nas saídas P2 e P4. Aplicando a equação de continuidade para o 
ponto A indicado na figura obtém-se: 
 Pm = P1ηcor. ηrol + P2ηeng. ηrol 
ou, em termos da demanda Tm: Tm = Tm1 + Tm2 = T2i12. ηcor. ηrol + T4i34. ηeng. ηrol 
onde T2 e T4 são as demandas impostas nas saídas do sistema e Tm é a demanda total imposta ao 
conversor. Nesse caso a demanda total aplicada é a soma das demandas parciais Tm1 e Tm2. 
Na figura 3.26 vê-se outro tipo de sistema em paralelo. Desta vez são utilizados dois 
conversores para uma única saída, indicada por PS. Uma característica da transmissão em eixos 
paralelos utilizada deste sistema é que as rotações dos motores não são independentes, visto que 
ω2 = ω4, ou seja: 
 ω2 = d1d2 ω1 = z3z4 ω3 → ω1 = d2d1 z3z4 ω3 
 
 
 Figura 3.26: sistema em paralelo com saída única 
 
 Impondo a equação de continuidade para o ponto A indicado na figura segue que: 
 Ps = Pm1. ηcor. ηrol + Pm2. ηeng. ηrol 
 
ou, em termos dos torques nos conversores: 
 TS = Tm1 d2d1 ηcor. ηrol + Tm2. z4z3 . ηeng. ηrol 
 
Sistemas combinados: 
São assim denominados os sistemas que possuem trechos em série combinados com 
trechos em paralelo. Como exemplo deste tipo de transmissão, a figura 3.27 ilustra o trem de força 
do helicóptero SIKORSKY VS-300, um dos primeiros protótipos de aeronave de asa rotativa. Na 
figura não estão indicados os mecanismos da hélice principal necessários para o controle de altitude 
e do avanço/recuo da aeronave. 
Seja a potência PA aquela consumida pelo rotor principal, PB a consumida pelo rotor de 
cauda e Pm a potência líquida fornecida pelo motor, já descantada a potência necessária para 
acionar o turbo-alimentador. Em helicópteros deste tipo PA >> PB, de tal forma que o fluxo principal 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 26 
 
de energia percorre o caminho entre o motor e a hélice principal. Considerando a transmissão de 
velocidades no sistema tem-se: 
 ωA = ω1i1ired e ωB = ω1i1i2 
 
onde ired é a relação de transmissão da caixa redutora, i1 a relação do par 1-2 e i2 a relação do par 
5-6. De maneira semelhante ao mecanismo da figura 3.25, as rotações ωA e ωB são independentes 
entre si pois as relações de transmissão ired e i2 podem ser arbitrárias. 
 
 
 
 
Figura 3.27: Modelo aproximado do fluxo de potência em um helicóptero convencional 
com motor turbo-alimentado 
 
 Do ponto de vista da transmissão de potência, a curva de demanda vista pelo motor em 
termos de torque e rotação pode ser obtida utilizando a equação de continuidade de potências para 
o ponto A indicado na figura, que coincide com a saída da polia maior ou seja: 
 Pmηcorηrol = PAηredηrol + PBηengηrol 
 
onde ηred é o rendimento da caixa redutora. Alternativamente, em termos da demanda Tm imposta 
ao motor, tem-se: Tm = TAηcorηredηrol2 i1ired + T𝐵ηcorηengηrol2 i1i2 
 
onde TA(ω) e TB(ω) são as demandas impostas aos rotores principal e auxiliar. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 27 
 
3.2.2 Exemplo: 
A figura abaixo ilustra o esquema básico de funcionamento de um elevador automotivo. O elevador 
utiliza dois fusos de rosca trapezoidal ligados através de uma corrente de rolos e um único motor, 
cuja curva de torque é dada pela equação T(ω) = 7,1 − 2x10−4ω2 (Nm, rad/s). Segundo o fabricante, 
o equipamento é capaz de elevar um veículo com peso máximo de 2600 kg. 
Pede-se determinar, para essa condição máxima, o ponto de equilíbrio do sistema, a potência 
consumida pelo motor e o rendimento total do sistema. Admite-se que o veículo está igualmente 
equilibrado pelas duas lanças e os rendimentos dos vários elementos de transmissão é constante. 
 
 
 
 Figura 3.28: Elevador automotivo 
 
SOLUÇÃO: 
Inicialmente calcula-se o rendimento dos fusos trapezoidais, uma vez que estes são determinados 
através das características construtivas. Através do capítulo 4 obtém-se os dados relevantes dos 
fusos: φ=6,30, z=2 entradas, d2 = 25,5mm e p=5mm, onde p é o passo e d2 o diâmetro primitivo. 
Portanto, 
 α = tan−1 zpπd2 = tan−1 2 . 5π . 25,5 = 7,120 → ηfuso = tanαtan(α + φ) = tan7,120tan(7,120 + 6,30) = 0,52 
 
e, a partir da tabela 3.1, utilizando valores médios, obtém-se os rendimentos dos demais elementos: 
 
- rendimento da correia trapezoidal: ηcorreia = 0,985 
- rendimento das engrenagens cilíndricas: ηeng = 0,98 
- rendimento da corrente de rolos: ηcorrt = 0,96 
- rendimento dos mancais de rolamentos para cada eixo: ηrol = 0,99 
 
O equacionamento da transmissão de potência é feito através do mapeamento das perdas da figura 
3.28. Os fusos neste exemplo são tratados como conversores de potência, ao invés de elementos 
da transmissão, uma vez que convertem torque e rotação em força e velocidade linear na bucha. 
Dessa forma, 
Dados: 
 
- d1=50mm, d2=100mm, z3=22, z4=99, 
z5=23, z6=46, g=9,8m/s2 
- fusos: Tr 28x5x2, buchas em bronze 
lubrificadas 
- correias trapezoidais, engrenagens cilín- 
dricas fresadas, mancais de rolamentos, 
correntes de rolos 
- desprezar o atrito nas guias dos fusos 
- as coroas que movem a corrente tem o 
mesmo diâmetro, de modo que os fusos 
tem a mesma rotação. 
Document shared on https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/
Downloaded by: metalhammer-242001 (vininadur@gmail.com)
https://www.docsity.com/pt/sistemas-de-transmissao-de-potencia/7761355/?utm_source=docsity&utm_medium=document&utm_campaign=watermark
3 - 28 
 
 
Figura 3.29: Fluxo de potência no elevador automotivo