CONCRETO ARMADO 1

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS – PUC MINAS
Departamento de Engenharia Civil
Pós-graduação em Engenharia de Estruturas – Online Síncrona
Felipe Zola de Matos
CONCRETO ARMADO I: notas de aula
Belo Horizonte
2025
RESUMO
Este documento aborda o conteúdo da disciplina Concreto Armado 1 do curso de pós-graduação em Engenharia de Estruturas. A disciplina trata dos materiais, normas e segurança, cálculo de elementos submetidos à flexão, fissuração, dimensionamento de lajes planas e vigas, cisalhamento e ancoragem.
Palavras-chave: Concreto. Vigas. Lajes. Flexão. Cisalhamento. Ancoragem.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Livro de referência da disciplina	8
Figura 2 – Esforços atuantes em vigas	9
Figura 3 – Gráfico de tensão x deformação do concreto	10
Figura 4 – Gráfico de tensão x deformação do aço	11
Figura 5 – Classes de agressividade da norma	12
Figura 6 – Cobrimento relativo as classes ambientais	13
Figura 7 – Espaçamento entre barras	13
Figura 8 – Relação entre água/cimento e fck com a classe de agressividade	14
Figura 9 – Planta de piso apartamento tipo	16
Figura 10 – Planta de piso apartamento tipo com distribuição das vigas	16
Figura 11 – Classes de agressividade da norma	16
Figura 12 – Relação entre água/cimento e fck com a classe de agressividade	17
Figura 13 – Cobrimento relativo as classes ambientais	17
Figura 14 – Classificação quanto a forma.	18
Figura 15 – Limites mínimos para espessura.	18
Figura 16 – Lajes da edificação.	18
Figura 17 – Carga de revestimentos de pisos e impermeabilizações.	19
Figura 18 – Sobrecargas de utilização	21
Figura 19 – Classificação das lajes quanto ao tipo de apoio	23
Figura 20 – Combinações para cálculo de deformações.	24
Figura 21 – Valores de minoração da sobrecarga.	24
Figura 22 – Valores de módulo de elasticidade em função da resistência do concreto.	25
Figura 23 – Coeficiente alpha (α) para flechas elásticas em lajes.	26
Figura 24 – Coeficiente em função do tempo (ξ).	27
Figura 25 – Exemplo de utilização da tabela de Bares.	28
Figura 26 – Laje tipo 3 da Tabela de Bares.	29
Figura 27 – Lançamento gráfico dos momentos na laje.	29
Figura 28 – Exemplo de lançamento gráfico dos momentos no conjunto de lajes.	30
Figura 29 – Compatibilização de momentos.	30
Figura 30 – Momentos compatibilizados.	31
Figura 31 – Representação gráfica dos momentos compatibilizados.	31
Figura 31 – Representação das áreas comprimida e tracionada da seção.	32
Figura 31 – Taxa mínima de armadura de flexão.	32
LISTA DE QUADROS
Nenhuma entrada de índice de ilustrações foi encontrada.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Cargas atuantes nas lajes	21
Tabela 2 – Cargas atuantes nas lajes para ELS	25
Tabela 3 – Cálculo das deformações das lajes.	27
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABNT	- Associação Brasileira de Normas Técnicas
CP – Carga Permanente
CQP – Carga Quase Permanente
CR – Carga Rara
SUMÁRIO
1	AULA 08/04/2025 – AULA INTRODUTÓRIA	8
1.1	Materiais	8
1.1.1	Concreto	10
1.1.2	Aço	11
1.1.3	Durabilidade das estruturas de concreto armado	12
1.2	Combinações de ações	14
2	AULA 10/04/2025 – MODELAGEM CYPECAD	14
2.1	Concepção estrutural	14
2.1.1	Classe de agressividade ambiental	14
2.1.2	Resistencia característica do concreto de projeto	15
2.1.3	Sondagens	15
2.1.4	Cargas segundo a NBR 6120	15
2.1.5	Lançamento dos pilares	15
3	AULA 22/04/2025 – ROTINA DE CÁLCULO	15
3.1	Concepção estrutural	15
3.2	Premissas de cálculo	16
3.3	Cálculo das lajes	17
3.3.1	Pré-dimensionamento das Lajes	17
3.3.2	Carregamentos	19
3.3.3	Verificação das deformações	22
4	AULA 24/04/2025 – CONTINUAÇÃO	25
4.1	Obtenção das flechas	25
4.2	Esforços solicitantes de momento fletor	28
5	AULA 29/04/2025 – ROTINA DE CÁLCULO	31
5.1	Dimensionamento a flexão	31
AULA 08/04/2025 – AULA INTRODUTÓRIA
Aula para apresentar os objetivos gerais da disciplina e as datas de entrega das provas e trabalhos. Serão duas avaliações e um trabalho, sendo o último não pontuado, somente a execução do dimensionamento de um edifício de 5 pavimentos tanto no software CypeCad 2017 quanto de forma analítica.
Sendo média de 70 pontos entre as provas a seguir:
· Prova de Laje Maciça (100 pontos) – 25/05/2025
· Prova de Viga de Concreto Armado (100 pontos) – 01/06/2025
Livro indicado: CONCRETO ARMADO, Roberto Chust Carvalho
Figura 1 – Livro de referência da disciplina
Fonte: Aula 01 (2025)
Materiais
O aço exerce a função de controlar a fissuração provocada por esforços de tração nos elementos de concreto, enquanto o próprio concreto absorve os esforços de compressão.
A linha neutra é onde as tensões e deformações são nulas no elementro estrutural, dividindo a região comprimida e a região tracionada. 
Segue exemplo dos esforços na viga. A Figura 2.
Figura 2 – Esforços atuantes em vigas
Fonte: PUC Minas (2025)
É necessário que a somatória dos esforços de tração e compressão seja nula, descobrindo a área necessária de concreto para compressão e área de aço para tração.
O dimensionamento é realizado na eminência de ruptura, ou seja, no Estado Limite Último (ELU).
Após o cálculo das armaduras no ELU, o elemento é dimensionado no Estado Limite de Serviço para avaliar as flechas, deformações e fissurações.
Os limites de deformações dos elementos de concreto armado nos estados limites últimos tem como objetivo evitar as fissurações excessivas e consequentemente a atuação do cloreto de sódio (NaCl) e do dióxido de carbono (CO2) na corrosão das armaduras.
Limite de deformação admitido para lajes:
	
	(1)
Limite de deformação admitido para vigas:
	
	(2)
E o cálculo deformações ou deslocamentos da estrutura é dado por:
	
	(3)
Sendo a inércia de elementos de seção transversal retangular é dada por:
	
	(4)
Portanto, a altura é uma dimensão crucial para diminuição das deformações do elemento.
Outras soluções para diminuição das deformações além da dimensão h do elemento é o aumento da resistência do concreto (fck) que altera diretamente o módulo de elasticidade (E) ou diminuição do vão do elemento (l).
Concreto
A resistência do concreto e o módulo de elasticidade são medidos em laboratório com corpos de prova submetidos à compressão, variando-se o traço (relação entre cimento, areia e brito) e a relação água/cimento.
Figura 3 – Gráfico de tensão x deformação do concreto
Fonte: PUC Minas (2025)
O módulo de elasticidade aumenta conforme o ângulo causado pela fase elástica se torna maior, pois é determinado pela razão entre tensão e deformação (tangente do ângulo alpha).
Todos os agregados do concreto têm propriedades que variam de região para região, não havendo um controle tecnológico grande na execução do material. Portanto, o fck tem um fator de segurança que minora a resistência virando resistência característica de cálculo (fcd).
Aço
O aço no concreto armado é submetido a esforços de tração, sendo os mais utilizados o CA-50 (500 Mpa) e CA-60 (600 Mpa) na construção civil.
No gráfico de tensão x deformação do aço, a tensão de ruptura é menor que a máxima devido a estricção do aço, diminuindo a área da seção até a ruptura.
Figura 4 – Gráfico de tensão x deformação do aço
Fonte: PUC Minas (2025)
O início do escoamento é equivalente ao início da fase plástica do aço, ou seja, as deformações se tornam permanentes. 
Como o aço apresenta maior capacidade de deformação em comparação ao concreto antes do rompimento, o mecanismo de falha no dimensionamento é atribuído ao aço. Em outras palavras, quanto menor for a área comprimida do concreto (acima da linha neutra), maior será o esforço absorvido pelo aço. A altura da linha neutra é determinante para identificar qual material estará mais submetido às tensões.
Durabilidade das estruturas de concreto armado
Figura 5 – Classes de agressividade da norma
Fonte: NBR 6118 (2023)
O concreto tem pH básico que protege as armaduras com uma película passivadora. Quando dióxido de carbono atinge a superfície do concreto, ele se torna ácido e ocorre sua despassivação. Assim, a armadura fica exposta à umidade e oxigênio, causando corrosão e expansão das armaduras. Esse processoexpulsa o concreto do cobrimento, deixando-o mais vulnerável às intempéries.
Logo, quanto mais exposta a ambientes agressivos, mais a estrutura terá sua vida útil reduzida. Em ambientes submersos, há menor quantidade de oxigênio e consequentemente menor risco de deterioração. 
Com a determinação da classe de agressividade, pode-se determinar o cobrimento da armadura necessário para proteger a armadura contra a corrosão, aumentando sua vida útil.
Figura 6 – Cobrimento relativo as classes ambientais
Fonte: NBR 6118 (2023)
Outro fator importante na durabilidade das estruturas de concreto é o espaçamento entre armaduras. Recomendável no mínimo 30mm.
Figura 7 – Espaçamento entre barras
Fonte: NBR 6118 (2023)
A porosidade do concreto é um fator crucial na durabilidade, sendo então observado que quanto maior a classe de agressividade, menor a relação de água/cimento e maior a classe do concreto (fck) necessária.
Figura 8 – Relação entre água/cimento e fck com a classe de agressividade
Fonte: NBR 6118 (2023)
Combinações de ações
As combinações de ações de carregamento são importantes para minimizar os efeitos dos erros de execução devido ao menor controle tecnológico da estrutura.
As combinações no ELU os carregamentos permanentes e as sobrecargas são majorados em 40%.
AULA 10/04/2025 – MODELAGEM CYPECAD
Concepção estrutural
O projeto estrutural deve sempre se adequar a arquitetura, não o contrário. Portanto, caso tenha alguma sugestão ela deve ser tratada diretamente com o arquiteto para que ele altere o arquitetônico.
Classe de agressividade ambiental
Primeiro se observa qual a classe de agressividade na NBR 6118. Para áreas urbanas utilizamos 25Mpa para o fck e 3 cm de cobrimento para vigas.
Resistencia característica do concreto de projeto
Para concretos executados em obra sem qualquer controle tecnológico, aplica-se o coeficiente de minoração de 1,5. Para concretos em geral, realizados em obra com algum tipo de controle tecnológico e supervisão por engenheiro responsável, utiliza-se o coeficiente de 1,4. Por fim, para projetos que utilizam concreto usinado com um elevado nível de controle tecnológico, emprega-se o coeficiente de 1,3, adequado para projetos menos conservadores.
Sondagens
Cargas segundo a NBR 6120
Utiliza-se as tabelas da NBR 6120 para calcular as cargas de peso próprio dos elementos que compõe as estruturas (revestimento: reboco, contrapiso, porcelanato etc) e a sobrecarga em cada pavimento a depender da utilização da estrutura.
Lançamento dos pilares
Utiliza-se pilares conceituais de dimensões mínimas permitidas para poder rodar a estrutura e obter as cargas nos pilares. A partir da carga da edificação, voltamos em cada elemento e adequamos suas dimensões conforme carga atuante.
O espaçamento entre pilares deve ser entre 4 e 6 metros para termos a melhor disposição entre eles e evitar vigas esbeltas ou interferências entre fundações.
AULA 22/04/2025 – ROTINA DE CÁLCULO
Concepção estrutural
Um modelo menos complexo foi utilizado para facilitar os cálculos. A concepção estrutural seguiu o critério de locação de pilares abordado anteriormente, com um maior número de pilares posicionados com seu sentido de maior inércia direcionado para a maior fachada, aumentando a rigidez da estrutura devido às cargas de vento.
Figura 9 – Planta de piso apartamento tipo
Fonte: Notas de aula (2025)
Figura 10 – Planta de piso apartamento tipo com distribuição das vigas
Fonte: Notas de aula (2025)
Premissas de cálculo
Como premissa de projeto, o local da edificação será Belo Horizonte. Com isso a classe de agressividade ambiental será classe II, moderada.
Figura 11 – Classes de agressividade da norma
Fonte: NBR 6118 (2023)
Figura 12 – Relação entre água/cimento e fck com a classe de agressividade
Fonte: NBR 6118 (2023)
De acordo com a classe de agressividade do ativo, a relação água/cimento ≤ 0,60 e fck ≥ C25
Figura 13 – Cobrimento relativo as classes ambientais
Fonte: NBR 6118 (2023)
Cobrimentos pela classe de agressividade II:
· Laje: 2,5 cm
· Viga: 3,0 cm
· Pilar: 3,0 cm
· Pilares em contato com o solo: 4,5 cm
· Fundações: 3,0 cm
Cálculo das lajes
Pré-dimensionamento das Lajes
Primeiro deve-se classificar as lajes quanto a forma, utilizando os vãos efetivos.
Figura 14 – Classificação quanto a forma.
Fonte: NBR 6118 (2023)
· λ ≤ 2 – Laje armada em duas direções
· λ > 2 – Laje armada em uma direção
Figura 15 – Limites mínimos para espessura.
Fonte: NBR 6118 (2023)
No pré-dimensionamento, a espessura utilizada é o vão efetivo na menor direção dividido por 40, conforme equação a seguir.
	
	(5)
Figura 16 – Lajes da edificação.
Fonte: Notas de aula (2025)
· L1: h=3,25/40 / h=8,13cm (Adotado 9cm)
· L2: h=3,60/40 / h=9,00cm (Adotado 9cm)
· L3: h=1,75/40 / h=4,48cm (Adotado 8cm)
· L7: h=1,15/40 / h=2,88cm (Adotado 8cm)
· L8: h=1,15/40 / h=2,88cm (Adotado 8cm)
· L9: h=3,25/40 / h=8,13cm (Adotado 9cm)
· L10: h=3,20/40 / h=8,00cm (Adotado 8cm)
· L11: h=3,90/40 / h=9,75cm (Adotado 10cm)
· L15: h=2,00/40 / h=5,00cm (Adotado 8cm)
· L16: h=1,00/40 / h=2,50cm (Adotado 8cm)
Devido a pequena diferença entre o pré-dimensionamento de cada laje, iremos adotar para todas as lajes do pavimento a espessura de 10cm.
Carregamentos
Peso próprio
	
	(6)
Para lajes com 10cm:
	
	(7)
	
	
	
	
Para os revestimentos:
Figura 17 – Carga de revestimentos de pisos e impermeabilizações.
Fonte: NBR 6120 (2019)
Para os revestimentos de lajes maciças utilizaremos a espessura de 5 cm com carga equivalente a 1,0 kN/m². Para lajes protendidas utilizamos 1,4kN/m².
Para alvenarias apoiadas sobre a laje:
	
	(8)
Portanto, para L2 temos:
Para L3 temos:
Para L10 temos:
Para L15 temos:
As demais alvenarias estão apoiadas sobre as vigas, sendo sua respectiva carga atuante somente nesse elemento estrutural.
Sobrecarga
Devido a utilização do edifício ser residencial, utilizaremos as sobrecargas da tabela 10 da NBR 6120:2019 para determinar tais carregamentos.
Figura 18 – Sobrecargas de utilização
Fonte: Tabela 10 da NBR 6120 (2019)
Como a utilização pode ser variável entre proprietários, utilizaremos 2,0kN/m² para dormitórios, salas etc.
Somatório das cargas
Conforme itens acima, ficou acordado que as cargas utilizadas serão:
Tabela 1 – Cargas atuantes nas lajes
	LAJE
	PP laje
(kN/m²)
	PP rev.
(kN/m²)
	SC
(kN/m²)
	ALV.
(kN/m²)
	TOTAL
(kN/m²)
	L1
	2,50
	1,00
	2,00
	0,00
	5,50
	L2
	2,50
	1,00
	2,00
	0,82
	6,32
	L3
	2,50
	1,00
	2,00
	1,90
	7,40
	L7
	2,50
	1,00
	2,00
	0,00
	5,50
	L8
	2,50
	1,00
	2,00
	0,00
	5,50
	L9
	2,50
	1,00
	2,00
	0,00
	5,50
	L10
	2,50
	1,00
	2,00
	3,24
	8,74
	L11
	2,50
	1,00
	2,00
	0,00
	5,50
	L15
	2,50
	1,00
	2,00
	1,39
	6,89
	L16
	2,50
	1,00
	2,00
	0,00
	5,50
Fonte: Notas de aula (2025)
Verificação das deformações
As flechas da laje são calculadas sem os efeitos de fissuração, mas considerando o efeito da fluência do concreto (deformação durante sua vida útil).
Utilizaremos o método de cálculo elástico simplificado com auxílio de tabelas.
É utilizada então a fórmula do momento de fissuração, para estabelecer um limite entre o elemento fissurado e não fissurado.
O momento de fissuração para o ELS é dado por:
	
	(9)
Onde,
· α = 1,2 para seções T ou duplo T;
· α = 1,3 para seções I ou T invertido;
· α = 1,5 para seções retangulares.
O fct é a resistência à tração direta do concreto. Para estado limite de deformação de fissuras utiliza-se o fctk,inf e para o estado limite de deformação excessiva, o fct,m.
O fct é dado por (em Mpa):
	
	(10)
	
	
	
	
E o momento de inércia para seções retangulares:
	
	(11)
O yt é a altura para o centro de gravidade.
Portanto, para uma laje retangular de 10 cm de espessura, considerando uma placa de 100 cm e fck de 25 Mpa temos:
	
	
	
	
	
	
Em resumo, quando o momento interno da estrutura atingir o valor de 640 kN*cm irão surgir as primeiras fissuras no concreto.
A laje está no Estádio I quando o momento atuante é menor que o momento de fissuração. Está no Estádio II quando o momento atuante é maior.
Para utilizar as tabelas, é necessário classificaras lajes conforme imagem abaixo:
Figura 19 – Classificação das lajes quanto ao tipo de apoio
Fonte: Notas de aula (2025)
O engaste é representado pela hachura, apoios simples por linhas contínuas e balanço por linhas tracejadas.
Para que uma laje engaste em outra adjacente, é necessário que a interação ocorra em pelo menos dois terços do vão.
Figura 20 – Combinações para cálculo de deformações.
Fonte: NBR 6118 (2023)
Para o dimensionamento de armaduras, o cálculo é realizado no estado limite último, ou seja, relacionado ao colapso ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. Já para verificação de fissuras, deformações e vibrações, utiliza-se o estado limite de serviço.
Figura 21 – Valores de minoração da sobrecarga.
Fonte: Tabela 11.2 da NBR 6118 (2023)
· Permanente: peso próprio, revestimentos, cargas permanentes etc.;
· Quase permanente: atuação do peso próprio juntamente de parte da sobrecarga;
· Rara: atuação do peso próprio juntamente de 100% sobrecarga. 
Portanto, para verificações de flechas, utilizamos a combinação quase permanente.
	
Tabela 2 – Cargas atuantes nas lajes para ELS
	LAJE
	PP laje
(kN/m²)
	PP rev.
(kN/m²)
	0,3*SC
(kN/m²)
	ALV.
(kN/m²)
	TOTAL
(kN/m²)
	L1
	2,50
	1,00
	0,60
	0,00
	4,10
	L2
	2,50
	1,00
	0,60
	0,82
	4,92
	L3
	2,50
	1,00
	0,60
	1,90
	6,00
	L7
	2,50
	1,00
	0,60
	0,00
	4,10
	L8
	2,50
	1,00
	0,60
	0,00
	4,10
	L9
	2,50
	1,00
	0,60
	0,00
	4,10
	L10
	2,50
	1,00
	0,60
	3,24
	7,34
	L11
	2,50
	1,00
	0,60
	0,00
	4,10
	L15
	2,50
	1,00
	0,60
	1,39
	5,49
	L16
	2,50
	1,00
	0,60
	0,00
	4,10
Fonte: Notas de aula (2025)
AULA 24/04/2025 – CONTINUAÇÃO
Obtenção das flechas
Após a retirada do escoramento, temos imediatamente a deformação da laje que se estende até 70 meses após o início do processo.
A deformação instantânea da laje e dada pela formulação a seguir:
	
	(12)
	· 
· 
· 
· 
· 
O módulo de elasticidade secante do concreto é definido na tabela a seguir:
Figura 22 – Valores de módulo de elasticidade em função da resistência do concreto.
Fonte: Tabela 8.1 da NBR 6118 (2014)
Para encontrar o valor de alpha, deve-se encontrar o fator de forma da laje e posteriormente utiliza-se a tabela da Figura 23.
	
	(13)
	· 
· 
· 
Figura 23 – Coeficiente alpha (α) para flechas elásticas em lajes.
Fonte: Robert Chust (2014)
A fluência é uma alteração mecânica provocada pela deformação plástica quando um material é submetido a cargas ou tensões constantes por um longo período. 
Devido a essa propriedade dos materiais, a laje deforma ao longo dos anos até se estabilizar em um período próximo a 70 meses. Com isso, utiliza um fator multiplicador da deformação instantânea para encontrarmos a deformação final do elemento, que é dado pela seguinte equação:
	
	(14)
	· 
· 
· 
Figura 24 – Coeficiente em função do tempo (ξ).
Fonte: Tabela 17.1 da NBR 6118 (2023)
Normalmente utiliza-se o tempo inicial de 15 dias (0,5 meses), tempo final de 70 meses e taxa de armadura comprimida de lajes igual a 0, resultando em um coeficiente αf de 1,46 (multiplicador adimensional).
Portanto a flecha total é dada por:
	
	(15)
	· 
· 
· 
Para o exemplo estudado, temos a seguinte tabela:
Tabela 3 – Cálculo das deformações das lajes.
	LAJE
	Ecs
(Gpa)
	h
(cm)
	Lx
(m)
	Ly
(m)
	λ
	Caso
	α
	Q
(kN/m²)
	f
(cm)
	αf
	Δ final
(cm)
	Δ Lim
(cm)
	Ver.
	L1
	24
	10
	3,25
	3,60
	1,11
	4
	2,91
	4,10
	0,055
	1,46
	0,136
	1,30
	OK
	L2
	24
	10
	3,60
	5,35
	1,49
	7
	3,91
	4,92
	0,135
	1,46
	0,331
	1,44
	OK
	L3
	24
	10
	1,75
	3,60
	2,06
	4
	5,39
	6,00
	0,013
	1,46
	0,031
	0,70
	OK
	L7
	24
	10
	1,15
	4,95
	4,30
	5
	15,35
	4,10
	0,005
	1,46
	0,011
	0,46
	OK
	L8
	24
	10
	1,20
	2,55
	2,13
	7
	5,19
	4,10
	0,002
	1,46
	0,005
	0,48
	OK
	L9
	24
	10
	3,25
	3,90
	1,20
	4
	3,34
	4,10
	0,064
	1,46
	0,157
	1,30
	OK
	L10
	24
	10
	3,20
	3,90
	1,22
	8
	2,24
	7,34
	0,072
	1,46
	0,177
	1,28
	OK
	L11
	24
	10
	3,90
	3,90
	1,00
	8
	1,81
	4,10
	0,072
	1,46
	0,176
	1,56
	OK
	L15
	24
	10
	2,00
	4,95
	2,48
	5
	9,72
	5,49
	0,036
	1,46
	0,088
	0,80
	OK
	L16
	24
	10
	1,00
	3,25
	3,25
	3
	6,38
	4,10
	0,001
	1,46
	0,003
	0,40
	OK
Fonte: Notas de aula (2025)
Esforços solicitantes de momento fletor
Para calcular as armaduras deve-se primeiro obter os esforços solicitantes. A obtenção desses momentos é similar ao método das flechas, utilizando, no entanto, as tabelas de Bares.
Figura 25 – Exemplo de utilização da tabela de Bares.
Fonte: Notas de aula (2025)
Após a classificação da laje, temos então que obter o fator de forma conforme fórmula 13 e encontrar os valores de μ correspondente então aplicar a seguinte fórmula:
	
	(16)
	· 
· 
· 
· 
Figura 26 – Laje tipo 3 da Tabela de Bares.
Fonte: Bares (1972)
· 
· 
· 
· 
Após calcular os valores de momento positivo e negativo em cada direção, realiza-se o lançamento desses momentos de forma gráfica para cada uma das lajes de forma isolada, conforme abaixo.
Figura 27 – Lançamento gráfico dos momentos na laje.
Fonte: Notas de aula (2025)
Dessa forma, é possível proceder à compatibilização dos momentos estruturais, posicionando graficamente as lajes de forma conjunta.
Figura 28 – Exemplo de lançamento gráfico dos momentos no conjunto de lajes.
Fonte: Notas de aula (2025)
Na compatibilização entre os momentos, utiliza-se as fórmulas a seguir para o momento negativo:
	
	(17)
	· 
· 
· 
Já para o momento positivo, somente o momento da laje de maior momento negativo será alterada
 Figura 29 – Compatibilização de momentos.
Fonte: Notas de aula (2025)
Dessa forma, o exemplo da Figura 28 ficará da seguinte maneira.
Figura 30 – Momentos compatibilizados.
Fonte: Notas de aula (2025)
E a representação gráfica de toda a laje será representada na Figura 31
Figura 31 – Representação gráfica dos momentos compatibilizados.
Fonte: Notas de aula (2025)
AULA 29/04/2025 – ROTINA DE CÁLCULO
Dimensionamento a flexão
A laje maciça é calculada considerando uma placa de 1 metro de largura e espessura h.
Na análise, temos a região comprimida e a região tracionada, que são divididas pela linha neutra onde os esforços são nulos.
Figura 32 – Representação das áreas comprimida e tracionada da seção.
Fonte: Notas de aula (2025)
Pela norma, para armaduras simples, iremos trabalhar somente com a relação de x/d (onde x é a altura da linha neutra em relação ao bordo comprimido) menor ou igual a 0,45, ou seja, onde a área de concreto comprimido é 45% da área da seção.
Conforme NBR 6118:2023, temos algumas imposições sobre a armadura da laje:
· As barras da armadura de flexão devem ter diâmetro de no máximo h/8;
· O espaçamento máximo entre armaduras deve ser de 20 cm;
· O espaçamento mínimo entre as armaduras deve ser de 10 cm;
· A armadura deve ser prolongada no mínimo em 4 cm além do eixo teórico de apoio;
· A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm.
Figura 33 – Taxa mínima de armadura de flexão.
Fonte: Tabela 17.3 da NBR 6118 (2023)
Para realizar o cálculo das taxas de armaduras da laje, primeiro encontra-se os momentos de cálculo por meio dos momentos característico encontrados, conforme abaixo.
	
	(18)
	· 
· 
· 
Após o cálculo do momento de cálculo, deve-se calcular a distância “d” entre o centro da armadura ao bordo comprimido.
	
	(19)
	· 
· 
· 
· 
Deve-se também calcular a resistência de cálculo do concreto pela equação abaixo:
	
	(20)
	· 
· 
· 
Enfim realiza-se o cálculo da altura da linha neutra com a equação abaixo:
	
	(21)
	· 
· 
· 
· 
· 
· 
E o cálculo da armadura 
	
	(22)
	· 
· 
· 
· 
· 
Após o cálculo da armadura efetiva, calcula-se a armadura mínima da norma, conforme Figura 33, pelo percentual da área de concreto.
Para o espaçamento utiliza-se a formula a seguir:
	
	(23)
	· 
· 
Figura 33 – Espaçamento máximo das armaduras.
Fonte: Notas de aula (2025)
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