Aula 8 - pg - Frente 2 final

Prévia do material em texto

Progressões Geométricas (PG)
“Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante q dada. Dependo do valor de q, e do primeiro termo da sequência, a1, é possível classificar uma PG como crescente, decrescente, constante ou alternada.”
Observe a seguinte sequência:
(3, 6, 12, 24, 48, ….)
Pode-se definir então que:
(3, 6, 12, 24, 48, ….)
a1
a2
a3
Qual a razão entre os termos?
(3, 6, 12, 24, 48, ….)
Percebe-se que cada termo foi multiplicado por 2.
Uma PG pode ser representa por:
PG ( a, a.q)
Ou ainda:
PG (a, a.q, a.q²)
Como definir a razão de uma PG?
Em uma PG, chamamos a razão é definida por q.
(a1, a2 , a3, a4, ...)
x q
÷ q
x q
x q
÷ q
÷ q
Tipos de PG
PG finita
Tem número finito de termos. Por exemplo, a PG de 5 termos, com a1 = 1 e q = 10:
PG (1, 10, 100, 1000, 10000)
PG infinita
É aquela que está em um domínio infinito, sem especificação da quantidade de termos. Veja a PG com a1 = 1 e q = 2:
PG (1, 2, 4, 8, 16…)
PG crescente
Cada termo é maior que o anterior. Isso acontece quando:
o termo inicial é maior que zero e a razão é maior que 1 (a1 > 0 e q > 1) — assim, os números serão sempre positivos e cada vez maiores; 
o termo inicial é menor que zero e a razão está entre 0 e 1 (a1  1) — assim, os próximos números serão negativos com módulo cada vez maior, ou seja, mais distantes de zero;
o primeiro termo é positivo e a razão está entre zero e um (a1 > 0 e 0 4/2=2
Assim, 64.2= 128
EXERCÍCIO
Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.
Informações:
a1=32	q=2	a8=?
an=a1.q^n-1
a8=a1.q^(8-1)
a8=32.2^7
a8=32.128
a8=4096
EXERCÍCIO
(Bombeiros ES – Cespe). Um soldado, um sargento e um tenente têm suas idades, em anos, dispostas em progressão geométrica, sendo o soldado o mais novo dos três, e o tenente, o mais velho. Sabendo que o produto dessas idades, em anos, é 27.000 e que a soma das idades do sargento e do tenente é 75 anos, julgue a afirmação abaixo:
“A idade do sargento é superior a 32 anos”
Informações:
PG; n=3; a1=soldado; a2=sargento; a3=tenente.
Notação espacial:
(x/q; x; x.q)
(x/q).x.(x.q)=27000
x+(x.q)=75
Como o produto das idades é 27000:
x/q . x . xq = 27000
x³ = 27000
x = 30
Sabendo que a idade do sargento é 30, e que a soma das idades do sargento mais tenente é 75, temos que a idade do tenente é 45, ou seja,
xq = 45
30q = 45
q = 45/30
q = 1,5
A  idade do soldado é:
30/1,5 = 20
Ou seja, a afirmação esta incorreta!
Soma dos Termos da PG - FINITA
Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:
onde:
Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG
EXERCÍCIO 
(VUNESP) Dado x0 = 1, uma sequência de números x1, x2, x3, … satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro n ≥ 1, em que a é uma constante não nula.
a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa sequência.
b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + … + x8.
Nesse exercício, estamos lidando com uma progressão geométrica (PG) de razão q = a, de modo que a PG pode ser expressa como: (ax0, ax1, ax2, …), em que o a1 = ax0, a2 = ax1, …, lembrando que x0 = 1.
a) Se a razão a é 2, podemos identificar o primeiro termo da progressão:
a1 = ax0
a1 = 2.1
a1 = 2
Agora que identificamos o primeiro termo da sequência, podemos identificar o a11 utilizando a fórmula do termo geral:
an = a1 . qn – 1
a11 = 2 . 211 – 1
a11 = 2 . 210
a11 = 211
a11 = 2048
b) Se a razão a é 3, vamos procurar o primeiro termo da progressão:
a1 = ax0
a1 = 3.1
a1 = 3
Sendo conhecido o primeiro termo da progressão, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG finita:
Sn = a1 . 1 – qn
                 1 – 3
S8 = 3 . (– 6560)
              (-2)
S8 = – 19680
        – 2
S8= 9840
Soma dos Termos da PG - INFINITA
onde:
S: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
EXERCÍCIO
Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5, ...).
Primeiro, identifica-se o valor da razão dessa PG.
q=a2/a1
q = 15/45 
q= 1/3
Assim, utilizando a fórmula da soma infinita dos termos, temos:
S= a1/(1-q)
S= 45 / (1 – 1/3)
S= 45 / 2/3
S= 45 . 3/2
S= 135/ 2
image1.png
image2.png
image3.png
image4.png
image5.png
image6.png
image7.png
image8.jpeg
image9.gif