AULA 1) Tensões no Solo

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Faculdade Vale do Ipojuca – FAVIP
Curso: Graduação em Engenharia Civil
1) Aula: 
Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio &
A Cargas Aplicadas Externamente
Disciplina: Mecânica dos Solos II;
Professor: Saul Barbosa Guedes.
Caruaru/PE
14 de Agosto de 2013
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a) – Ementa da Disciplina: Mecânica dos Solos II
1) Tensões no Solo Devidas a Cargas Aplicadas;
2) Compressibilidade e Adensamento dos Solos;
3) Aterros Sobre Solos Moles;
4) Solos Tropicais;
5) Noções de Mecânica das Rochas;
6) Resistências ao Cisalhamento dos Solos;
7) Estabilidade de Taludes e das Obras de Contenções;
8) Empuxos de Terra e Muros de Arrimo;
9) Experimentos de Laboratório: Ensaio de Cisalhamento Direto, Triaxial e Edométricos.
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b) – Referência Bibliográfica para a Disciplina: Mecânica dos Solos II
1) CARVALHO, J. B. Q. Fundamentos da Mecânica dos Solos. 2a ed. Campina Grande. 2004. 310 p.
2) DAS, B. M. Fundamentos de Engenharia Geotécnica. São Paulo: Thomson Learning, 2007.
3) CRAG, R. F. Mecânica dos Solos. 7a ed. Rio de Janeiro. 2007. 365 p.
4) SOUSA PINTO, C de. Curso Básico de Mecânica dos Solos. 3a ed. São Paulo: Oficina de Texto, 2006.
5) FERNANDES, M. de M. Mecânica dos Solos: Conceitos e Princípios Fundamentais – Vol. 1. 2a ed. Porto. 2011. 461 p.
6) CRUZ, P. T. da & SAES, J. L. Mecânica dos Solos – Problemas Resolvidos. Grêmio Politécnico, 1980. 192 p.
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b) – Referência Bibliográfica para a Disciplina: Mecânica dos Solos II
7) LNEC – Laboratório Nacional de Engenharia Civil. Mecânica dos Solos – Curso de Especialização 110. 2° Edição,Lisboa.
8) FERNANDES, M. de M. Mecânica dos Solos: Introdução à Engenharia Geotécnia – Vol. 2. 1a ed. Porto. 2011. 592 p.
9) BARATA, F. M. Propriedades Mecânicas dos Solos: Uma Introdução ao Projeto de Fundaçoes. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1984.
10) ALMEIDA, M. de S. S. & MARGUES, M. E. S. Aterros Sobre Solos Moles: Projeto & Desempenho. São Paulo: Oficina de Texto, 2010. Coleção Huesker: Engenharia com Geossintéticos.
11) VERTEMATTI, J. C. Manual Brasileiro de Geossintéticos. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2004.
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c) – Critério de Avaliação da Disciplina: Mecânica dos Solos II
	
	O critério avaliativo de aprendizagem da respectiva disciplina será por meio da realização de duas (02) provas: N-1 & N-2.
- Avaliação N-1: abordará os assuntos, Tensões no Solo Devidas a Cargas Aplicadas até Noções de Mecânica das Rochas.
- Avaliação N-2: abordará os assuntos, Resistência ao Cisalhamento dos Solos até Experimentos de Laboratório.
OBS-1: Após a aplicação de cada avaliação, na semana seguinte aplica-se a reposição.
OBS-2: Cada aluno tem direito a uma (01) única reposição.
OBS-3: A nova média é quatro (4,0) e não mais Três (3,0). 
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1.0 – Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio
1.1 – Definição de Solo: 
	Para o engenheiro civil, solo é qualquer reunião de partículas minerais soltas, ou fracamente unidas (cimentadas), formada pela decomposição de rochas por ação do intemperismo, com o espaço vazio entre as partículas ocupado por água e/ou ar (CRAIG, 2007).
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Figura 1 – Estrutura Granular Simples de um Solo (Fonte: CRAIG, 2007) 
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1.0 – Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio
1.2 – Princípio da Tensão Efetiva: 
	De acordo com Carvalho (2004) a definição da tensão no interior de um solo devida ao seu peso próprio, não é tão simples quanto se possa imaginar. Todavia, algumas simplificações podem ser feitas.
	Considere a Figura 2, onde as esferas de massa PS, representam a estrutura granular (grãos) dos solos. Considere o nível de água na superfície e que, no início de aplicação do carregamento (tensão), o dispositivo de saída d’água está fechado.
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Figura 2 – Estrutura Granular Simples de um Solo (Fonte: CARVALHO, 2004) 
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1.0 – Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio
1.2 – Princípio da Tensão Efetiva: 
	Então, para uma altura h, a poro-pressão (μ) atua em todas as direções perpendiculares aos grãos do solo: μ = γÁgua.h.
	Aplicando-se uma sobrecarga (ΔP), Figura 2 b), haverá um acréscimo de poro-pressão Δμ, porque, como não há saída d’água, a sobrecarga é suportada pela água. 
	Sendo adicionada sobrecarga com a saída d’água aberta, situação da Figura 2 c), resultará em um acréscimo de tensão efetiva (ΔσEfetiva).
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Figura 2 – Estrutura Granular Simples de um Solo (Fonte: CARVALHO, 2004) 
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1.0 – Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio
1.2 – Princípio da Tensão Efetiva:
	Assim, o somatório das massas submersas de cada esfera (ƩPS) dividido pela área em que atua, é a tensão efetiva ou tensão intergranular (σEfetiva = σ’). 
	Neste situação, as primeiras esferas suportas as massas das outras por contato “esfera-esfera” ou “grão-grão”. 
	Baseado no exposto, pode-se apresentar as seguintes definições:
a) Poro-pressão (μ): também chamada de pressão neutra, é a tensão que que atua na água existente nos vazios da estrutura do solo;
b) Tensão efetiva (σEfetiva): é a tensão existente no contato da estrutura sólida do solo. Esta tensão tem controle sobre a deformação e resistência ao cisalhamento do solo.
Tensão Total (σTotal): É a soma da tensão efetiva mais a poro-pressão.
σTotal = σEfetiva + μ 
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1.0 – Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio 
	Na realidade, o plano ondulado Q não pode ser distinguido de um plano verdadeiro em termos da massa de solo devido ao tamanho relativamente pequeno das partículas de solo em si (ver Figura 3). 
	Uma força normal P aplicada em uma área A pode ser suportada parcialmente pelas forças entre as partículas e parcialmente pela pressão da água nos poros (CRAIG, 2007).
 
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Figura 3 – Estrutura Granular Simples de um Solo (Fonte: SOUSA PINTO, 2006) 
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1.0 – Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio 
	As forças entre as partículas são muito aleatórias, tanto em magnitude como em direção, ao longo de toda a massa de solo, mas em todo ponto de contato do plano ondulado elas podem ser decompostas em uma componente normal (N) e uma componente tangencial (T) à direção do plano verdadeiro ao qual o plano Q se assemelha, as componentes normal e tangencial (CRAIG, 2007).
 
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Figura 3 – Estrutura Granular Simples de um Solo (Fonte: SOUSA PINTO, 2006) 
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1.0 – Tensões no Solo Devido ao Peso Próprio 
	A pressão da água nos poros que age igualmente em todas as direções agirá em toda a superfície de qualquer partícula, mas admite-se que o volume da partícula não se modifica; além disso, a pressão da água nos poros não faz com que as partículas sejam pressionados umas contra as outras (CRAIG, 2007).
	De acordo com Craig (2007) o erro inserido ao admitir que o contato entre as partículas ocorre pontualmente é insignificante em solos, uma vez que a área de contato normalmente significa algo entre 1 e 3 % da área da seção transversal A.
	Deve-se entender que σEfetiva não representa a tensão verdadeira de contato entre duas partículas, que seria uma tensão aleatória, porém muito mais alta (CRAIG, 2007). De acordo com Sousa Pinto (2006) essas tensões chegam a 700 MPa, enquanto que, nos problemas geotécnicos raramente as tensões chegam a 1 MPa.
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1.3 – Cálculo da Tensão Vertical Efetiva Devida ao Peso Próprio do Solo
	Considere uma massa de solo que contenha superfície horizontal e com o lençol freático ao nível da superfície. A tensão vertical total (isto é, a tensão normal total no plano horizontal) a uma profundidade Z é igual ao peso de todo material (sólido + água) por unidade de área acima daquela profundidade, ou seja:
σTotal = γSaturado.Z
	A pressão da água nos poros a qualquer profundidade será hidrostática uma vez que o espaço vazio entre as partículas sólidas é contínuo, portanto na profundidade Z temos:
μ = γÁgua.Z
	Assim sendo, conforme a equação σTotal = σEfetiva + μ, a tensão efetiva na profundidade Z será: σEfetiva = σTotal – μ = (γSaturado.Z) – (γÁgua.Z)
 σEfetiva = (γSaturado - γÁgua). Z 
 σEfetiva = (γSubmerso).Z 
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1.4 – Efeito da Capilaridade
Capilaridade ou ação capilar é a propriedade física que os fluidos têm de subirem ou descerem em tubos extremamente finos. 
	Essa ação pode fazer com que líquidos fluam mesmo contra a força da gravidade ou à indução de um campo magnético. Se um tubo que está em contato com esse líquido for fino o suficiente, a combinação de tensão superficial (Tensão superficial é um efeito físico que ocorre na camada superficial de um líquido que leva a sua superfície a se comportar como uma membrana elástica), causada pela coesão entre as moléculas do líquido, com a adesão do líquido à superfície desse material, pode fazê-lo subir por ele (WIKIPÉDIA, 2013).
	Se a força de adesão for superior à de coesão, o líquido vai interagir favoravelmente com o sólido, molhando-o, e formando um menisco.
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1.4 – Efeito da Capilaridade	
	Os vazios do solos são muito pequenos, tão pequenos que podem ser associados a tubos capilares, ainda que muito irregulares e interconectados (SOUSA PINTO, 2006).
	É importante saber definir a poro-pressão quando a mesma ocorre juntamente com a capilaridade, conforme mostrado na Figura 4. A poro-pressão a uma profundidade h, abaixo de h1 é igual a: μ = γÁgua.(h – h1).
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Figura 4 – Condição de Ascenção Capilar e a Consideração na Determinação da Poro-Pressão (Fonte: CARVALHO, 2004) 
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	Para a zona de ascensão capilar, a poro-pressão é definida por: 
μ = - γÁgua.hCapilar. 
	Neste caso, esta poro-pressão negativa será somada à tensão total, ou seja, a tensão total a uma profundidade h, é igual a: 
σTotal = γ.(h1 - hCapilar) + γSaturado.hCapilar + γSaturado.(h – h1)
	A poro-pressão é igual a: μ = γÁgua.(h – h1).
	Portanto, a tensão efetiva (σEfetiva) é definida como sendo:
σEfetiva = γ.h1 + (γSaturado - γ).hCapilar + γSubmerso.(h – h1)
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Figura 4 – Condição de Ascenção Capilar e a Consideração na Determinação da Poro-Pressão (Fonte: CARVALHO, 2004) 
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1.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões Devido ao Peso Próprio
	Para o perfil ilustrado na Figura 5, calcule a Poro-Pressão (µ), a Tensão Efetiva (σ’) e a Tensão Total (σTotal) para cada metro de profundidade no Lago. Trace o diagrama dessas tensões em função da profundidade. O peso especifico da água é ɣÁgua = 9,81 kN/m3.
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Figura 5 – Tensões em Profundidade em Um Lago 
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2.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões Devido ao Peso Próprio
	Para o perfil geotécnico ilustrado na Figura 6, calcule a Poro-Pressão (µ), a Tensão Efetiva (σ’) e a Tensão Total (σTotal) para cada metro de profundidade no depósito de areia. Trace o diagrama dessas tensões em função da profundidade.
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Figura 6 – Depósito de Areia Fofa 
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3.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões Devido ao Peso Próprio
	Para o perfil geotécnico ilustrado na Figura 7, calcule a Poro-Pressão (µ), a Tensão Efetiva (σ’) e a Tensão Total (σTotal) para cada metro de profundidade no depósito de areia. Trace o diagrama dessas tensões em função da profundidade.
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Figura 7 – Depósito de Areia Fofa Parcialmente Saturado 
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4.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões Devido ao Peso Próprio
 
	Para o perfil geotécnico ilustrado na Figura 8, calcule a Poro-Pressão (µ), a Tensão Efetiva (σ’) e a Tensão Total (σTotal) na base de cada camada de solo. Trace o diagrama dessas tensões em função da profundidade.
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Figura 8 – Perfil Geotécnico de um Terreno 
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5.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões Devido ao Peso Próprio
 
	Para o perfil geotécnico ilustrado na Figura 9, calcule a Poro-Pressão (µ), a Tensão Efetiva (σ’) e a Tensão Total (σTotal) na base de cada camada de solo. Trace o diagrama dessas tensões em função da profundidade.
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Figura 9 – Perfil Geotécnico de um Terreno 
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“Solução”
 
Um forma simples para calcular as tensões é organizar em forma de tabela, conforme detalhado na Tabela 1.
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Tensões (kPa):
Profundidade (m):
h = 3,0
h = 8,0
h = 10,5
h = 14,0
1) Poro-Pressão (µ)
0
9,81 x 5,0 =49,05
(49,05) + 9,81 x 2,5 =73,57
(73,57) + 9,81 x 3,5 =107,91
2) Tensão Total (σTotal)
16,5 x 3,0 =49,5
(49,5) + 17,5 x 5 =137,0
(137,0) + 18 x 2,5 =182,0
(182,0) + 19 x 3,5 =248,50
3) Tensão Efetiva (σ')
49,5
87,95
108,43
140,59
Tabela 1 – Cálculo das Tensões 
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“Solução”
 	Como se sabe, ɣSubmerso = ɣSaturado – ɣÁgua. Portanto, abaixo do nível d’água, as tensões efetivas poderiam ter sido calculadas utilizando-se os valores dos pesos específicos aparentes submersos (ɣSubmerso), conforme o exemplo apresentado a seguir:
- Para h = 3,0 m → σEfetiva = 16,5 (kN/m3) x 3,0 (m) = 49,5 kN/m2 = 49,5 kPa;
- Para h = 8,0 m → σEfetiva = (49,5 kN/m2) + [(17,5 – 9,81 kN/m3) x 5,0 (m)] = 49,5 kN/m2 + 38,45 kN/m2 = 87,95 kN/m2 = 87,95 kPa;
- Para h = 10,5 m → σEfetiva = (87,95 kN/m2) + [(18,0 – 9,81 kN/m3) x 2,5 (m)] = 87,95 kN/m2 + 20,475 kN/m2 = 108,42 kN/m2 = 108,42 kPa;
- Para h = 14,0 m → σEfetiva = (108,42 kN/m2) + [(19,0 – 9,81 kN/m3) x 3,5 (m)] = 108,42 kN/m2 + 32,17 kN/m2 = 140,59 kN/m2 = 140,59 kPa;
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23
2.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões Devido ao Peso Próprio
 	No perfil da Figura 10 foram instalados piezômetros tipo Casagrande, os quais indicaram que o nível d’água subia até a uma altura de 1,50 m acima do nível do terreno. Calcule as tensões: Poro-Pressão (µ), Efetiva (σ’) e Total (σTotal) na base de cada camada. 
OBS:O peso especifico
da água é 
ɣÁgua = 9,81 kN/m3.
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Figura 10 – Perfil Geotécnico de um Terreno 
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“Solução”
	Este é um caso em que ocorre o artesianismo no lençol freático (Poço Artesiano). Devido a isto, a água sobe no piezômetro a uma altura acima do nível do terreno.
	Portanto, o cálculo das tensões µ, σ’ e σTotal na base de cada camada de solo é dado por:
a) Para o nível do terreno (h = 1,5 m) temos: 
- µ = 9,81 x 1,5 = 14,71 kN/m2;
- σTotal = 9,81 x 1,5 = 14,71 kN/m2;
- σ’ = σTotal - µ = 0 kN/m2 ;
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“Solução”
b) Para a profundidade de 5,1 m, ou seja, h = 1,5 + 3,6 = 5,1 m temos: 
- µ = 14,71 + 9,81 x 3,6 = 50,03 kN/m2;
- σTotal = 14,71 + 16,8 x 3,6 = 75,19 kN/m2;
σ’ = σTotal - µ = 75,19 – 50,03 = 25,16 kN/m2 ;
c) Para a profundidade de 9,3 m, ou seja, h = 1,5 + 3,6 + 4,2 = 9,3 m temos: 
- µ = 50,03 + 9,81 x 4,2 = 91,23 kN/m2;
- σTotal = 75,19 + 17,9 x 4,2 = 150,37 kN/m2;
- σ’ = σTotal - µ = 150,37 – 91,23 = 59,14 kN/m2 ;
d) Para a profundidade de 12,1 m, ou seja, h = 1,5 + 3,6 + 4,2 + 2,8 = 5,1 m temos: 
- µ = 91,23 + 9,81 x 2,8 = 118,70 kN/m2;
- σTotal = 150,37 + 19,4 x 2,8 = 204,65 kN/m2;
- σ’ = σTotal - µ = 204,65 – 118,70 = 85,99 kN/m2 ;
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2.0 - Tensões Devidas a Carregamentos Externos
 
2.1 – Teoria:
	Em 1885, Joseph Valentim Boussinesq, um matemático francês, formulou as equações teóricas para determinar as tensões em um ponto no interior de uma massa de solo devidas a uma carga concentrada aplicada na superfície do terreno (CARVALHO, 2004).
	A partir de solução de Boussinesq, vários outras equações fora propostas, inclusive considerando as mais diversas formas de carregamento (CARVALHO, 2004).
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2.2 - Métodos de Cálculo de Tensões no Solo Devido a Carregamentos Externo:
1) Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885);
2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935);
3) Tensão Vertical sob o centro de Uma área Circular Uniformemente Carregada;
4) Tensões verticais em Qualquer Ponto do Solo sob Uma Área Circular Uniformemente Carregada;
5) Cálculo da Tensão no Solo: Solução de Westergaard;
6) Tensão Vertical Devida a Um Carregamento Tipo Aterro;
7) Cálculo da Tensão Vertical no Solo: Solução Aproximada.
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1) Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	Para cálculo de tensões no solo devido a cargas concentradas, o matemático francês Boussinesq (1885) adota as seguintes condições:
1) O sistema carga + solo, encontra-se em equilíbrio estático;
2) O solo é contínuo, semi-infinito, elástico-linear, isotrópico e homogêneo, isto é, possui as mesmas propriedades
em todas as direções;
3) As cargas são aplicadas gradualmente, não havendo o aparecimento de energia cinética.
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1) Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	Para cálculo do acréscimo de tensões no solo devido a cargas concentradas, Boussinesq (1885) desenvolveu as seguintes equações para as Tensões Normais:
Onde: Q = Carga Concentrada Aplicada ao Terreno / µ = Coeficiente de Poisson / r = (X2 + Y2)1/2 / R = (X2 + Y2 + Z2)1/2 
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1) Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	Para cálculo do acréscimo de tensões no solo devido a cargas concentradas, Boussinesq (1885) desenvolveu as seguintes equações para as Tensões Cisalhantes:
Onde: Q = Carga Concentrada Aplicada ao Terreno / µ = Coeficiente de Poisson / r = (X2 + Y2)1/2 / R = (X2 + Y2 + Z2)1/2 
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1) Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	
onde:
- r = √(X2 + Y2);
- R = √(X2 + Y2 + Z2);
- µ = Coef. de Poisson.
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Figura 11 – Tensões no Solo Devidas a Uma Carga Concentrada (Q) Notação em Coordenadas Cartesianas 
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1) Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	De acordo com Carvalho (2004) as tensões ou acréscimos de tensões independem dos parâmetros elásticos dos solos, embora as equações contenham o coeficiente de Poisson (µ). Todavia, µ varia muito pouco (normalmente para o solos homogêneos µ varia de 0,25 a 0,45). 	Quando µ = 0,5, os termos correspondentes das equações σx, σy e ƬXY são nulos.
	Do ponto de vista rigoroso, os solos não obedecem às considerações de Boussinesq, mas aproxima-se a ponto de atenderem as aplicações práticas (CARVALHO, 2004).
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1) Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	Segundo Carvalho (2004) as aplicações das equações de Boussinesq são feitas em função de um fator (FB). A equação usada no cálculo da capacidade de carga dos solos e dos recalques tem a forma:
 com 
Onde:
Q = carga concentrada aplicada na superfície do terreno;
Z = profundidade onde se deseja obter o acréscimo de tensão;
r = distancia horizontal do ponto de aplicação da carga concentrada ao local onde se deseja obter o acréscimo de tensão
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1.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	Para uma carga concentrada de valor igual Q = 500 kN, e uma distância horizontal entre a linha de aplicação da carga Q e a distância onde se desejam os acréscimos de tensão igual a r = 3,0 m, calcule os acréscimos de tensão (ΔσZ) e as tensões finais até uma profundidade (Z) de 8,0 m. Considere o solo com µ = 0,5 e um peso específico ɣ = 20 kN/m3. Trace o gráfico com profundidade (x) versus distribuição de tensão (ΔσZ).
 
Figura 12 – Desenho Esquemático do Problema 
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“Solução”
1) As equações detalhadas de Boussinesq foram apresentadas em três (03) dimensões. Nos Problemas geotécnicos, normalmente utiliza-se o estado plano de tensões.
2) Vamos considerar uma variação de 1,0 em 1,0 m. Sendo assim, para 1,0 m de profundidade temos:
 - Z = 1,0 m de profundidade → FB = {[(3/(2.π)]} / [(r/Z)2 + 1]5/2
 → FB = {[3/(2.π)]} / [(3,0/1,0)2 + 1]5/2
 → FB = 0,477 / 316,22
 → FB = 0,00151 (adimensional)
- Portanto, o acréscimo de tensão devido a carga concentrada na localidade especificada é:→ ΔσZ = (Q/Z2).FB
 → ΔσZ = [500 kN/(1,0 m)2].(0,00151) = 0,755 kN/m2
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2.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões e Acréscimos de Tensões Devidas a Cargas Concentradas: Equações de Boussinesq (1885).
	Com os dados do problema anterior, calcule as tensões σx e ƬZX para uma profundidade de Z = 8,0 m. Considere o Coeficiente de Poisson do solo igual a µ = 0,5.
“Solução”
1) Para calcular as respectivas tensões faz-se necessário o uso das seguintes equações:
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“Solução”
2) Para x = r = 3,0 m, temos: R2 = x2 + z2 = (3)2 + (8)2 → R = 8,544 m.
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2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935).
	Para determinar o valor da tensão em um ponto D a uma profundidade z, situado na vertical passando pelo vértice de uma área retangular uniformemente carregada, Newmark (1935) desenvolveu uma equação, originada do processo de integração da fórmula de Boussinesq.
onde:
- q = tensão atuante na área;
- σZ = tensão no vértice da área retangular carregada;
- I0 = Coeficiente obtido pela seguinte expressão matemática: 
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2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935).
Onde:
- m = L/Z = Largura da área carregada / profundidade;
N = B/Z = Comprimento da área carregada / profundidade.
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Figura 13 – Ilustração de Uma Área Retangular Uniformemente Carregada 
40
2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935).
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1) Largura da Área Carregada - (L)
4,5
m
 
Iσ
2) B Comprimento da Área Carregada - (B)
0,8
m
3) Profundidades (Z) - (m)
4) Parêmetro: m = L/Z
5) Parêmetro: n = B/Z
1,0
4,500
0,800
0,080
33,686
34,850
1,046
3,772
1,312
0,18481
1,5
3,000
0,533
0,080
10,262
12,844
1,097
1,329
0,926
0,14342
2,0
2,250
0,400
0,080
4,490
7,033
1,161
0,830
0,693
0,11408
2,5
1,800
0,320
0,080
2,401
4,674
1,230
0,599
0,539
0,09320
3,0
1,500
0,267
0,080
1,458
3,481
1,301
0,461
0,432
0,07775
3,5
1,286
0,229
0,080
0,967
2,792
1,370
0,369
0,354
0,06588
4,5
1,000
0,178
0,080
0,507
2,063
1,492
0,253
0,248
0,04892
5,0
0,900
0,160
0,080
0,390
1,856
1,545
0,215
0,212
0,04269
5,5
0,818
0,145
0,080
0,309
1,705
1,592
0,185
0,183
0,03752
6,0
0,750
0,133
0,080
0,251
1,590
1,633
0,160
0,159
0,03318
6,5
0,692
0,123
0,080
0,208
1,502
1,669
0,140
0,139
0,02950
7,0
0,643
0,114
0,080
0,175
1,432
1,701
0,124
0,123
0,02637
7,5
0,600
0,107
0,080
0,150
1,375
1,729
0,110
0,109
0,02369
8,0
0,563
0,100
0,080
0,130
1,330
1,754
0,098
0,098
0,02137
8,5
0,529
0,094
0,080
0,113
1,292
1,776
0,088
0,088
0,01936
9,0
0,500
0,089
0,080
0,100
1,260
1,795
0,079
0,079
0,01761
9,5
0,474
0,084
0,080
0,089
1,233
1,812
0,072
0,072
0,01607
10,0
0,450
0,080
0,080
0,079
1,210
1,827
0,066
0,065
0,01472
10,5
0,429
0,076
0,080
0,071
1,191
1,841
0,060
0,060
0,01353
11,0
0,409
0,073
0,080
0,064
1,174
1,853
0,055
0,055
0,01247
11,5
0,391
0,070
0,080
0,059
1,159
1,864
0,051
0,051
0,01152
12,0
0,375
0,067
0,080
0,054
1,146
1,873
0,047
0,047
0,01068
12,5
0,360
0,064
0,080
0,049
1,134
1,882
0,043
0,043
0,00992
13,0
0,346
0,062
0,080
0,045
1,124
1,890
0,040
0,040
0,00924
13,5
0,333
0,059
0,080
0,042
1,115
1,897
0,037
0,037
0,00862
14,0
0,321
0,057
0,080
0,039
1,107
1,904
0,035
0,035
0,00807
14,5
0,310
0,055
0,080
0,036
1,100
1,910
0,033
0,033
0,00756
15,0
0,300
0,053
0,080
0,033
1,093
1,915
0,031
0,031
0,00710
Tabela 5 – valores de Iσ: Área Retangular Uniformemente Carregada
41
2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935).
	Quando a carga não estiver no vértice da área carregada, faz-se o necessário ajuste de forma que o ponto especificado fique no vértice de uma área. 
- Se forem adicionadas áreas, as mesmas serão “subtraídas”;
- Caso não seja adicionadas áreas, as mesmas serão somadas
42
Figura 14 – Exemplo de Área Carregada para o Cálculo da Tensão em um Ponto : a) no
Vértice da Área; b) Internamente á Área e c) Externamente a Área
42
2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935).
	
	
	Na Figura 14 a), a área carregada é A(cabD) e o ponto (D) já está no vértice da área. Sendo assim calcula-se automaticamente á tensão no ponto específico.
	Para a Figura 14 b), tem-se que á área de influência é dada pelo somatório das áreas internas, ou seja, o cálculo da área de influência resultante é feita da seguinte maneira:
Área de Influencia Resultante = A(cabD) + A(bihD) + A(hgfD) + A(fecD)
43
43
2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935).
	Para a Figura 14 c), o ponto D está fora da área carregada A(abhg). O ajuste é feito “adicionando” áreas de forma que o ponto D fique em um vértice. Criaram-se as áreas: A(facD), A(ebcD), A(ehiD) e A(fgiD).
	Sendo assim, o cálculo da área de influência resultante é calculado da seguinte maneira:
Área de Influência Resultante é 
A(abhg) = A(facD) – A(ebcD) – A(fgiD) + A(hieD)
44
44
45
2) Tensão Vertical sob o Vértice de uma Área Retangular Uniformemente Carregada: Solução de Newmark (1935).
	
	Uma sapata retangular de dimensões iguais a 1,2 m x 2,1 m, suporta uma carga uniformemente distribuída de Q = 38,4 kN. Calcule a tensão vertical (q = ?) no ponto D a uma profundidade igual a z = 3,0 m, para as seguintes condições:
a) O ponto D encontra-se localizado no vértice da área carregada (ver Figura ;
b) O ponto D encontra-se localizado internamente a área carregada conforme detalhes de posicionamento ilustrado na Figura 15 b);
c) O ponto D encontra-se localizado externamente a área carregada conforme detalhes de posicionamento ilustrado na Figura 15 c);
45
46
Figura 15 – Modelos de Área Carregada para o Cálculo da Tensão em um Ponto: a) no Vértice da Área; b) Internamente á Área e c) Externamente a Área
46
 Tensões sob Uma Área Circular Uniformemente Carregada.
	As equações de Boussinesq podem ser usadas para a determinação das tensões verticais sob uma área circular uniformemente carregada (CARVALHO, 2004). Duas Situações são analisadas:
3) Tensão vertical no solo sob o centro da área uniformemente carregada;
4) Tensão vertical em qualquer ponto do solo, inclusive o ponto sob o centro da área uniformemente carregada.
47
47
3)Tensão Vertical no Solo sob o Centro de Uma Área Circular Uniformemente Carregada;
	A fórmula de Love (1929) obtida a partir da integração da equação de Boussinesq permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical ao longo da vertical que passa pelo centro de uma área circular uniformemente carregada (BASTOS, 2013).
	A respectiva equação é dada por:
Onde:
- R = raio do círculo;
- Z = profundidade escolhida para cálculo do acréscimo de tensão;
- q = valor da carga distribuída sobre a placa circular;
- σZ = tensão vertical no solo sob o centro da área circular carregada uniformemente
48
48
4) Tensão vertical em qualquer ponto do solo, inclusive o ponto sob o centro da área uniformemente carregada.
	Na determinação da tensão vertical em qualquer ponto do solo, devido a uma área circular uniformemente carregada, a equação σz = q.W0 é apresentada na forma: 
σz = q.NZ(m, n)
Onde:
- m = Z / R = profundidade escolhida para determinação do acréscimo de tensão / raio da área circular;
- n = a / R = distância do centro da área circular ao ponto de aplicação da carga / raio da área circular;
49
Figura 16 – Tensão Vertical em um Ponto Qualquer Devida a Uma Área Circular Uniformemente Carregada
49
50
6.0 – Exemplo de Aplicação: Tensões sob Uma Área Circular Uniformemente Carregada.
	Um reservatório para armazenar água de base circular com, um diâmetro de Φ = 6,0 m, assente sobre a superfície do terreno, está com uma quantidade de água que transmite uma tensão uniforme na sua base de q = 50 kN/m2. 
a) Calcule o acréscimo de tensão vertical (σz) a uma profundidade z = 5,0 m, no centro do reservatório; 
b) Calcule o acréscimo de tensão vertical (σz) a uma profundidade z = 5,0 m, e a uma distância do centro do reservatório de a = 6,0 m.
50
“Solução”
a) Considerando o primeiro caso, ou seja, acréscimo de tensão no centro da área circular uniformemente carregada, temos que:
1) Para resolver este modelo de problema faremos uso da seguinte equação: 
2) Φ = 6,0 m → R = 3,0 m;
3) Para R = 3,0 m e z = 5,0 m → W0 = 0,36949
4) Sendo assim, temos que o acréscimo de tensão para as condições estabelecidas no projeto é de: σz = q.W0 = (50 kN/m2).(0,36949) = 18,47 kN/m2.
51
51
“Solução”
a) Para o caso em que o ponto de aplicação localiza-se a uma distância do centro do reservatório de a = 6,0 m, temos que:
1) Para resolver este modelo de projeto faremos uso da seguinte tabela:
52
Z/R
a/r
0,0
0,3
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,25
0,986
0,983
0,964
0,460
0,015
0,002
0,000
0,000
0,50
0,911
0,895
0,840
0,418
0,060
0,010
0,000
0,000
0,75
0,784
0,762
0,691
0,374
0,105
0,025
0,010
0,002
1,00
0,646
0,625
0,560
0,335
0,125
0,043
0,016
0,007
1,25
0,524
0,508
0,455
0,295
0,193
0,057
0,023
0,010
1,50
0,424
0,413
0,374
0,256
0,137
0,064
0,029
0,013
1,75
0,346
0,336
0,309
0,223
0,135
0,071
0,037
0,018
2,00
0,284
0,277
0,258
0,194
0,127
0,073
0,041
0,022
3,00
0,146
0,143
0,137
0,117
0,091
0,066
0,045
0,031
4,00
0,087
0,086
0,083
0,076
0,061
0,052
0,041
0,031
5,00
0,057
0,057
0,056
0,052
0,045
0,039
0,033
0,027
7,00
0,030
0,030
0,029
0,028
0,026
0,024
0,021
0,019
10,00
0,015
0,015
0,014
0,014
0,013
0,013
0,013
0,012
Tabela 6 – Valores de Nz para o Cálculo das Tensões Verticais em um Ponto Qualquer no Interior de um Solo, com Uma Área Circular Uniformemente Carregada (Fonte: CARVALHO, 2004) 
52
“Solução”
2) Para uma distância de a = 6,0 m da linha do centro da área carregada a uma profundidade Z = 5,0 m com o raio da base do reservatório igual à R = 3,0 m, tem-se:
- Z / R = 5,0 m / 3,0 m = 1,67;
- a / R = 6,0 m / 3,0 m = 2,0. 
3) Da Tabela 6, obtém-se:
- a / R = 2,0 e z / R = 1,50 → Nz = 0,064;
- a / R = 2,0 e z / R = 1,75 → Nz = 0,071;
- Interpolando para Z / R = 1,67 encontramos Nz = 0,06876. 
53
53
“Solução”
4) Sendo assim, temos que o acréscimo de tensão para as condições estabelecidas no projeto é de: σz = σz = q.NZ = (50 kN/m2).(0,06876) = 3,44 kN/m2.
54
54
5) Cálculo da Tensão no Solo: Solução de WESTERGAARD (1938).
	As soluções apresentadas nos itens anteriores foram basicamente a integração da equação de Boussinesq para uma carga vertical considerando o solo homogêneo, isotrópico, elástico linear e para um semi-espaço infinito (CARVALHO, 2004). 
	Para o cálculo da tensão no interior destes solos, é recomendada a solução do engenheiro civil dinamarquês Harald Malcolm Westergaard (1938) que vale para um semi-espaço anisotrópico que não permite o deslocamento lateral (CARVALHO, 2004).
	De acordo com Carvalho (2004) para solos sedimentares, a solução de Westergaard (1938) é recomendada, todavia muito depende do bom senso e interpretação dos resultados, embora a solução do engenheiro dinamarquês esteja mais próxima da realidade dos solos.
55
55
4) Cálculo da Tensão no Solo: Solução de WESTERGAARD (1938).
	Sendo assim, utilizando a solução de Westergaard (1938) podemos calcular a tensão no interior de uma maciço terroso do tipo sedimentar para as seguintes condições:
a) Tensão Vertical (σz) Devida a Uma Carga Concentrada:
Onde:
- Q = carga concentrada;
- Z = profundidade escolhida para análise da tensão;
- R = distância horizontal entre o ponto de aplicação da carga e o local de análise da tensão 
56
56
 b) Tensão Vertical (σz) para Uma Carga Concentrada no Vértice de Uma Área Retangular: Westergaard (1938)
σz = q.NW
Onde:
- q = valor da carga concentrada no vértice;
- NW = coeficiente de influência de Westergaard (1938), ver
Tabela 7.
57
B/Z
L/Z
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2,0
∞
0,10
0,003
0,006
0,011
0,014
0,017
0,018
0,021
0,011
0,20
0,006
0,012
0,021
0,028
0,033
0,036
0,041
0,044
0,40
0,011
0,021
0,039
0,052
0,060
0,066
0,077
0,082
0,60
0,014
0,028
0,052
0,069
0,081
0,089
0,104
0,112
0,80
0,017
0,033
0,060
0,081
0,095
0,105
0,125
0,135
1,00
0,018
0,036
0,066
0,089
0,105
0,116
0,140
0,152
2,00
0,021
0,041
0,077
0,104
0,125
0,140
0,174
0,196
∞
0,022
0,044
0,082
0,112
0,135
0,153
0,196
0,250
Tabela 6 – Coeficiente de Influência de Westergaard, para o Cálculo da Tensão Vertical, Devida a Uma Carga Concentrada no Vértice de Uma Área Retangular Uniformemente Carregada (Fonte: CARVALHO, 2004) 
57
Onde:
- B = Largura da Área Carregada;
- L = Comprimento da Área Carregada;
- Z = Profundidade escolhida para análise da tensão.
58
58
6) Tensão Vertical Devida a Um Carregamento Tipo Aterro.
	De acordo com Carvalho (2004) a construção de um aterro ou de uma barragem de terra, por exemplo, exige na grande maioria das vezes, a determinação do acréscimo de tensão vertical no interior do solo. 
	Para esta condição de carregamento bidimensional, o acréscimo de tensão vertical em uma determinada localidade sob o maciço do aterro, pode ser determinado fazendo-se uso da seguinte equação:
onde:
- q0 = γ.H;
- γ = peso específico do solo do aterro;
- H = altura do aterro no ponto especificado;
59
59
2.2.5 – Tensão Vertical Devida a Um Carregamento Tipo Aterro.
Onde:
60
Figura 17 – Ilustração das variáveis existentes no carregamento do aterro
60
7.0 – Exemplo de Aplicação: Tensão Vertical Devida ao Carregamento de um Aterro.
	Um aterro é mostrado na Figura 18. Determine o aumento da tensão sob o aterro nos Pontos A-1 e A-2.
61
Figura 18 – Desenho esquemático do aterro
61
“Solução”
	Um aterro é mostrado na Figura 18. Determine o aumento da tensão sob.
a) Calculando o acréscimo de tensão para o ponto A-1, temos:
62
Figura 19 – Desenho esquemático do aterro no Ponto:A-1 (Simétrico)
62
“Solução”
	Um aterro é mostrado na Figura 18. Determine o aumento da tensão sob.
a) Calculando o acréscimo de tensão para o ponto A-1, temos:
1) A tensão desenvolvido pelo peso do aterro no ponto A-1, é dado por:
q0 = γ.H = q0 = (17,5 kN/m3).(7,0 m) = 122,5 kN/m2;
2) B1 = 2,5 m e B2 = 14,0 m.
3) Z = 5,0 m.
4) α2 = tg-1(B1/Z) 
 = tg-1(2,5 / 5,0) 
 = tg-1(0,5) = 0,4636 (rad).
5) α1 = tg-1[(B1 +B2)/Z] - tg-1(B1/Z) 
 = tg-1[(2,5 + 14,0)/(5,0)] - tg-1(2,5/5,0)
 = tg-1(3,3) - tg-1(0,5)
 = 1,2766 – 0,4636 = 0,81296
63
63
“Solução”
6) Colocando os dados na equação temos:
7) Devido ao fato do ponto A-1, localizar-se no centro do aterro, o acréscimo de tensão será simétrico, portanto, temos:
64
64
“Solução”
b) Calculando o acréscimo de tensão para o ponto A-2, temos:
65
Figura 18 – Desenho esquemático do aterro
65
“Solução”
b) Calculando o acréscimo de tensão para o ponto A-2, temos:
OBS: Aplicar o Princípio da Superposição.
1) O acréscimo de tensão desenvolvido pelo peso do aterro no ponto A-2, é dado por:
q0 (A-2) = q0 (Triângulo-1) + q0 (Trapézio) - q0 (Triângulo-2) 
66
Figura 19 – Desenho esquemático do aterro no Ponto:A-2 (Não Possui Simetria)
66
“Solução”
2) O acréscimo de tensão desenvolvido pelo peso do aterro no ponto A-2, proporcionado pelo Triangulo-1, é dado por:
q0 = γ.HTriângulo = (17,5 kN/m3).(2,5 m) = 43,75 kN/m2;
2.1) B1 = 0,0 m e B2 = 5,0 m.
2.2) Z = 5,0 m.
2.3) α2 = tg-1(B1/Z) 
 = tg-1(0,0 / 5,0) 
 = tg-1(0,0) = 0,0 (rad).
2.4) α1 = tg-1[(B1 +B2)/Z] - tg-1(B1/Z) 
 = tg-1[(0,0 + 5,0)/(5,0)] - tg-1(0,0/5,0)
 = tg-1(1,0) - tg-1(0,0)
 = 0,7854 – 0,0 = 0,7854
67
Figura 19 – Triangulo-1
67
“Solução”
2.5) Colocando os dados na equação temos:
68
68
“Solução”
3) O acréscimo de tensão desenvolvido pelo peso do aterro no ponto A-2, proporcionado pelo Trapézio, é dado por:
 q0 = γ.HTrapézio = (17,5 kN/m3).(7,0 m) = 122,5 kN/m2;
3.1) B1 = 14,0 m e B2 = 14,0 m.
3.2) Z = 5,0 m.
3.3) α2 = tg-1(B1/Z) 
 = tg-1(14,0 / 5,0) 
 = tg-1(2,8) = 1,2278 (rad).
3.4) α1 = tg-1[(B1 +B2)/Z] - tg-1(B1/Z) 
 = tg-1[(14,0 + 14,0)/(5,0)] - tg-1(14,0/5,0)
 = tg-1(5,6) - tg-1(2,8)
 = 1,3941 – 1,2278 = 0,1663
69
Figura 20 – Trapézio
69
“Solução”
3.5) Colocando os dados na equação temos:
70
70
“Solução”
4) A redução de tensão desenvolvido pelo peso do aterro no ponto A-2, proporcionado pelo Triangulo-2, é dado por:
q0 = γ.HTriângulo = (17,5 kN/m3).(4,5 m) = 78,75 kN/m2;
4.1) B1 = 0,0 m e B2 = 9,0 m.
4.2) Z = 5,0 m.
4.3) α2 = tg-1(B1/Z) 
 = tg-1(0,0 / 5,0) 
 = tg-1(0,0) = 0,0 (rad).
4.4) α1 = tg-1[(B1 +B2)/Z] - tg-1(B1/Z) 
 = tg-1[(0,0 + 9,0)/(5,0)] - tg-1(0,0/5,0)
 = tg-1(1,8) - tg-1(0,0)
 = 1,0637 – 0,0 = 1,0637
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Figura 21 – Triangulo-2
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“Solução”
4.5) Colocando os dados na equação temos:
5.0) Sendo assim, o acréscimo de tensão no ponto A-2, devido ao peso do aterro é dado por:
q0 (A-2) = q0 (Triângulo-1) + q0 (Trapézio) - q0 (Triângulo-2)
 q0 (A-2) = 10,94 + 60,84 – 26,66
q0 (A-2) = 45,12 kN/m2
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7) Método do Espraiamento das Tensões.
	Uma prática corrente para se estimar o valor das tensões em certa profundidade consiste em considerar que as tensões se espraiam segundo áreas crescentes, mas sempre se mantendo uniformemente distribuídas. O respectivo método considera as tensões verticais uniformemente distribuídas com a profundidade, com um ângulo de espraiamento (θ).
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Figura 21 – – Exemplo de distribuição de tensões ao longo da profundidade (FONTE: AOKI et al. 2003)
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7) Método do Espraiamento das Tensões.
	Os valores dos ângulos de espraiamento (θ) segundo Cavalcanti (2006) pedem ser:
a) Solos muito moles: θ < 40º; 
b) Areias puras: θ ≅ 40º a 45º; 
C) Argilas rijas e duras: θ ≅ 70º; 
D) Rochas: θ > 70º.
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7) Método do Espraiamento das Tensões
a) Para cargas aplicadas em Placas Circulares de raio (R), o estado de tensão a uma profundidade Z, é calculado por:
Onde:
- σZ = tensão atuante numa determinada profundidade escolhida;
- σTopo = tensão atuante no topo da camada (superfície do terreno)
R = raio da placa circular;
- Z = profundidade escolhida para cálculo da tensão;
- θ = Ângulo de espraiamento do solo.
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7) Método do Espraiamento das Tensões
b) Para cargas aplicadas em áreas Retangulares de largura L e comprimento C, o estado de tensão a uma profundidade Z, é calculado por:
Onde:
- σZ = tensão atuante numa determinada profundidade escolhida;
- σTopo = tensão atuante no topo da camada (superfície do terreno)
- L = Largura do retângulo;
- C = Comprimento do retângulo;
- Z = profundidade escolhida para cálculo da tensão;
- θ = Ângulo de espraiamento do solo.
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