Cap_04_3a_aula_FORÇAS DISTRIBUÍDAS

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Considere a figura plana abaixo:
4.5. Centróides e centros massa de figuras e corpos compostos
4.5.1. Corpos Regulares
C.G.
x
y
x
y
A mesma figura pode ser subdivida em figuras conhecidas (regulares), na forma:
C.G.
x
y
1
2 3
4
C.G.1
C.G.2
C.G.3
C.G.4
Para se determinar as coordenadas do C. G. de toda figura, basta fazer:
tot
ii
tot
tot
ii
tot
A
yA
A
yAyAyAyAy
A
xA
A
xAxAxAxAx
∑
∑
=+++=
=+++=
44332211
44332211
y
x
4.5.1. Corpos Regulares (cont.)
x
y
x
y
Considere agora um corpo formado por materiais diferentes, conforme ilustrado 
abaixo:
1
2
C. M.
C. M. 1
C. M. 2
Para se determinar as coordenadas do C. M. do corpo, basta fazer:
1 1 2 2
1 1 2 2
i i
tot tot
i i
tot tot
M xM x M xx
M M
M yM y M yy
M M
+= =
+= =
∑
∑
4.5.1. Corpos Regulares (cont.)
OBSERVAÇÕES:
1 – De forma geral, tem-se: 
Para determinação de centróides de volumes, áreas e linhas, basta substituir 
onde se tem “M” nas equações acima por V, A e L respectivamente. 
2 - Para corpos com furos ou cavidades, pode-se usar quantidades negativas
nas equações acima a fim de representá-los. Exemplo:
; ;i i i i i i
tot tot tot
M x M y M z
x y z
M M M
= = =∑ ∑ ∑
c.g.
x x xx 1x
c.g.1
2x
c.g.2
1 1 2 2
1 2
A x A xx
A A
−= −Portanto:
4.5.1. Corpos Regulares (cont.)
Ex 1: Determine as coordenadas do suporte de aço abaixo de espessura 
constante.
4.5.1. Corpos Regulares (cont.)
4.5.2. Corpos irregulares
Na prática, nem sempre se pode subdividir a forma geométrica de um corpo em 
figuras regulares ou dadas por uma função matemática como mostrado item 
4.5.1. Então, nesses casos de corpo irregulares, a determinação do C.G. por 
aproximação se faz necessária.
Considere, para tanto, um corpo com volume irregular abaixo que foi subdividido 
em “n” fatias com largura ∆x:
O volume do corpo é aproximadamente dado por:
1 1
n n
i ii ii
V V A x= =≅ Δ ≅ Δ∑ ∑
E ainda:
1 1
n ni i
c i c i ii i
xdV x V x A x= =≅ Δ = Δ∑ ∑∫
Portanto:
1 1 1
1 1 1
; ;
n n ni i i
c i c i c ii i i
n n n
i i ii i i
x V y V z V
x y z
V V V
= = =
= = =
Δ Δ Δ≅ ≅ ≅Δ Δ Δ
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
OBS 1: As expressões acima resultam em valores aproximados para corpos irregulares, 
porém quando maior o número de subdivisões esse resultado tente ao valor exato. 
4.5.2. Corpos irregulares (cont.)
OBS 2: Essa metodologia é empregada em códigos computacionais para determinação 
numérica de centróides de volumes e figuras quaisquer. Uma vez o sólido subdivido 
(discretizado) em volumes conhecidos, basta aplicar as expressões anteriores. Na figura 
abaixo, está o exemplo de “discretização” de uma peça de estrutura aeronáutica (suporte) 
em elementos tetraédricos. 
4.6. Teorema de Pappus
É forma prática de se calcular a área de uma superfície gerada pela revolução de uma 
curva. Considere a curva no plano x-y abaixo:
A área infinitesimal da superfície hachurada gerada 
pela rotação da linha em torno do eixo x é dada por:
( )2dA y dLπ=
Logo, a área total, fica:
2A dA ydLπ= =∫ ∫
Sabendo que: yL ydL= ∫
Então, a área total é dada por: 2A yLπ=
Se uma curva é girada com ângulo menor que ,então basta fazer:2π
A yLθ=
Sendo:
y
L
θ →
→
→
Ângulo de giro da linha em torno do eixo de revolução;
Coordenada do centróide da linha em relação ao eixo y;
Comprimento da linha.
OBS: O teorema só é válido para eixos de revolução que não interceptam a linha
4.6. Teorema de Pappus (cont.)
Considere agora a área no plano x-y abaixo:
O volume infintesimal gerado pela rotação da área 
em torno do eixo x, é dado por:
( )2dV y dAπ=
Logo, o volume total, fica:
2V dV ydAπ= =∫ ∫
Sabendo que: yA ydA= ∫
Então, o volume total é dada por: 2V yAπ=
Se a área é girada com ângulo menor que ,então basta fazer:2π
V yAθ=
Sendo:
y
A
θ →
→
→
Ângulo de giro da área em torno do eixo de revolução;
Coordenada do centróide da área em relação ao eixo y;
Valor da área.
OBS: O teorema só é válido para eixos de revolução que não interceptam a área da figura.
Ex 2: Calcule a massa “M” de concreto necessária para construir a represa em 
arco mostrada nas figuras abaixo. O concreto tem massa específica 
4.6. Teorema de Pappus (cont.)
32400 / .Kg mρ =