Etapa 1 e 2 atps de calculo III

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ETAPA 1
 Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.
PASSO 1   
                                         Integrais definida, indefinidas e cálculo de áreas.  
 Desde a antiguidade até os dias de hoje,os matematicos vem aprimorando e pesquisando novos meios de responder questões para o desenvolvimento humano, dentre elas buscam resolver problemas para encontrar o valor exato da area de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superficie tridimensional, cuja fronteira tambem consiste de pelo menos uma curva...  
O cálculo integral foi implementado por Johann Bernoulli  e publicado primeiramente por seu irmão mais velho Jakob Bernoulli, no século XVII. Como uma consequência do poder do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton e Leibniz, integrais eram consideradas simplesmente como derivadas "inversas".     
 A integral é um ramo muito importante da Matemática, é desenvolvido a partir da álgebra e da geometria e tem como principal aplicação a taxas de variação das grandezas. Com as integrais, podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, no cálculo de integrais também, se facilita muito o estudo de área.  
O matemático Isaac Newton  ao pensar na área da região entre uma curva e o eixo horizontal como uma variável; o extremo esquerdo era fixo, mas o extremo direito podia variar. O primeiro trabalho de Newton que foi publicado  ele montou uma tabela extensa de integrais de funções algébricas , e para curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos de substituição e integração por partes.  
A integral indefinida é o processo inverso da derivada, onde uma função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) que está sempre definida sobre algum intervalo. Quando não determinamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo i.   
 A integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos que resultam na sua área e que somadas em um intervalo de `a’ a `b’ resultam na área da figura plana e pode ser classificada como própria ou imprópria, convergentes ou divergentes. Ao contrário da integral indefinida, a integral definida é um número e não depende de uma variável x.  
  
Site: http://professorjanildoarantes.blogspot.com.br/2009/08/historia-do-calculo-diferencial-e.html  
http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v18a34.pdf  
PASSO 2
Responder desafios A, B, C e D.
Desafio A.
RESPOSTA: LETRA B
DESAFIO B:
1000 + 50 + C
1000q + + C
1000q + 25 + + C
Como ‘C = 10.000’, então:
C(q) = 10.000 + 1.000q + 25
RESPOSTA: LETRA A
DESAFIO C:
C(t) = 16.1
4
									2
RESPOSTA: LETRA C
DESAFIO D: 
 x [-3,2]
RESPOSTA: LETRA A
PASSO 3
Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada. 
 
Para o desafio A  
Número associado: 3  
Para o desafio B  
Número associado: 0  
Para o desafio C  
Número associado: 1  
Para o desafio D  
Número associado: 9  
  
PASSO 4  
 Relatório 1  
Desafio A.
DESAFIO B:
1000 + 50 + C
1000q + + C
1000q + 25 + + C
Como ‘C = 10.000’, então:
C(q) = 10.000 + 1.000q + 25
DESAFIO C:
C(t) = 16.1
4
									2
DESAFIO D: 
 x [-3,2]
A sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.  
  
3019.  
  
ETAPA 2
 
 Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.
 
 PASSO 1
 
 Conceito de integrais por partes e por substituição
Desde á muito anos atras os matemáticos vem contribuindo com a construção de uma poderosa ferramenta matemática que é o Cálculo.
Com muitos anos de estudos os matematicos desenvolveram novas idéias e aperfeiçoou os métodos para o estudo e a aplicação do Cálculo em diferentes áreas do conhecimento, no qual até os dias atuais, quando o Cálculo Diferencial e Integral torna-se uma ferramenta indispensável.
 A integração está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis, é usada para a obtenção de uma função primitiva a partir de outra que foi dada anteriormente e estima o valor numérico de uma integral.
 Os primeiros problemas que surgiu na História relacionado com as integrais são os de quadratura que é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.Um dos problemas enfrentados pelos gregos foi a medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os matematicos começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles a relacionavam com a área do quadrado, por ser esta figura plana mais simples. Assim buscavam encontrar um quadrado que tivesse a área igual a da figura em questão.
Dois métodos usados são: integração por substituição onde existe uma redefinição da expressão da variável independente, e o da integração por partes, que consiste em utilizar uma fórmula específica para simplificar a integral.
 A integral por substituição, para as derivadas, é o fruto da regra da cadeia, sendo um método de integração fundamental para a resolução de integrais que evidentemente não possuem um elemento como primitivo. 
 A integral por partes consiste em quebrar uma integral de mais fácil entendimento em um produto de funções para serem mais simples de se trabalhar.
SITE: http://www.bib.unesc.net/biblioteca/sumario/000026/00002603.pdf
http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm
Passo 2
Considerem as seguintes igualdades:
(I)
Derivando u: 
u = – 6t
(2t – 6)dt = du
(2.t – 2.3)dt = du
2(t - 3)dt = du
(t – 3)dt = 
(-1)(3 – t)dt = 
(3 – t)dt = - 
Substituindo temos:
RESPOSTA: VERDADEIRO
(II)
Tabela: 
Substituindo temos:
RESPOSTA: VERDADEIRO
Podemos afirmar que:
 RESPOSTA: LETRA A
Passo 3
		Marcar a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.
 Número associado:  4
Passo 4
 Relatório 2
(I)
Derivando u: 
u = – 6t
(2t – 6)dt = du
(2.t – 2.3)dt = du
2(t - 3)dt = du
(t – 3)dt = 
(-1)(3 – t)dt = 
(3 – t)dt = - 
Substituindo temos:
RESPOSTA: VERDADEIRO
(II)
Tabela: 
Substituindo temos:
RESPOSTA: VERDADEIRO
A sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3. 
4