Indutores e capacitores

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Indutores e capacitores
A caracterização e a modelagem dos elementos reativos que compõem os circuitos, desde a
representação do componente, a análise do funcionamento dos mesmos, bem como as principais técnicas
para simplificação durante a avaliação.
Profa. Isabela Oliveira Guimarães
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender as características e funcionalidades dos elementos passivos de um circuito elétrico, uma vez
que estes estão presentes em diversos equipamentos elétricos, eletrônicos e mecatrônicos.
Preparação
Antes de iniciar o estudo, tenha em mãos uma calculadora para executar os cálculos dos exercícios propostos.
Objetivos
Descrever o elemento indutor.
 
Empregar o elemento capacitor.
 
Identificar as formas de onda dos elementos passivos.
Introdução
Assista ao vídeo sobre indutores e capacitores.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Elemento indutor
Indutores
Assista ao vídeo e entenda mais sobre o elemento indutor. 
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Os circuitos elétricos são compostos por diversos elementos, fontes, resistores e outros.
 
Entre os elementos que compõem o circuito elétrico, encontramos os ativos e os passivos.
 
O indutor é um elemento passivo, cuja função principal, responsável por sua característica comportamental, é
armazenar energia na forma de campo magnético. Esses componentes podem ser utilizados em diversas
áreas, tanto em sistemas de potência quanto em eletrônica. Usualmente os indutores são encontrados em
fontes de tensão, nos transformadores e em motores elétricos.
Exemplo
Um condutor de corrente pode ser considerado um indutor por apresentar propriedades indutivas. 
A construção de um indutor é feita, em geral, utilizando-se diversas espiras enroladas de material condutor (a
exemplo do cobre) na forma de uma bobina. Esse aspecto construtivo confere a potencialização do efeito
indutivo.
Indutor toroidal.
Saiba mais
É possível descrever um indutor como uma bobina composta por um fio condutor. 
Quando uma corrente elétrica percorre esse elemento, pode-se observar que há uma proporção entre a
variação dessa corrente elétrica e a tensão sobre o componente. É possível descrever matematicamente esse
comportamento pela Equação 1 seguinte:
Na qual:
 
 é tensão sob o indutor;
 
 é a corrente que circula por ele;
 
 é a indutância, que descreve a proporcionalidade entre a tensão e a variação da corrente. Esse valor
é medido em Henry (H).
 
É importante destacar alguns dados:
 
A tensão em um indutor é nula, quando não há variação de corrente no tempo, ou seja, em casos em
que a corrente é contínua. Isso equivale a um curto-circuito.
 
A indutância é uma propriedade característica do indutor e, a partir desta, o indutor se opõe a variação
do fluxo de corrente que o atravessa.
 
Um indutor se opõe à passagem de corrente; dessa forma, este valor não pode mudar de forma
instantânea.
 
A indutância é uma característica do componente que varia com as dimensões físicas do indutor, isto é,
de acordo com os aspectos construtivos. Essa variação pode ser representada pela Equação 2.
Na qual:
 
 é o número de espiras;
 
Eq. 1
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Eq. 2
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 é a área da seção transversal;
 
 é a permeabilidade do material
 
 é o comprimento da bobina.
 
Analisando a Equação 2, notamos que, para obter uma elevada indutância, podemos fazer as seguintes
alterações:
 
Utilizar materiais que apresentem elevada permeabilidade.
 
Alterar o número de espiras do indutor, aumentando-as.
 
Aumentar a área da secção transversal.
 
Reduzir o comprimento.
Atenção
Essa equação é válida somente para indutores com formato solenoide. Para as demais geometrias é
necessário avaliar matematicamente usando técnicas e cálculos que envolvem as teorias do
eletromagnetismo. 
O mercado oferece diversos tipos (modelos e tamanhos) de indutor e dos mais variados valores; os mais
comuns na faixa de µH até poucos H, podendo ter valores fixos ou variáveis. Quanto ao aspecto construtivo
do núcleo, os materiais mais comuns são plásticos, ferro, aço ou ar.
 
A representação gráfica de um indutor é feita através do símbolo na figura abaixo, podendo haver algumas
variações nesta representação de acordo com o tipo de material que compõe o núcleo do indutor (ar, ferro,
plastico, etc.).
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Representação de indutor
Exemplos de diferentes representações de indutores em função do aspecto construtivo do núcleo.
Representação de diferentes tipos de indutor.
Um indutor que possui indutância independente da corrente é conhecido por sua característica linear,
cujo comportamento gráfico pode ser dado por uma linha reta.
 
Para este estudo, consideramos que os indutores são de natureza linear, em que a relação entre tensão e
corrente foi apresentada na Equação 1. Integrando essa mesma equação, obtemos a seguinte expressão:
Na qual:
 
 representa a corrente total quando varia entre até .
Cálculo da potência
O indutor é caracterizado por armazenar energia em seu campo magnético. Assim, é possível e desejável que
esse valor referente à energia seja calculado. Sabe-se que a equação que expressa a potência em um
componente parte da relação entre tensão e corrente, que é representada a seguir:
Substituindo o valor de tensão (v) pelo valor da tensão calculada para o indutor, obtém-se a Equação 5:
Energia armazenada
Como o intuito é o cálculo da energia armazenada, é necessário integrar a potência encontrada anteriormente,
variando-a temporalmente. Tem-se, portanto, a seguinte análise:
Eq. 3
• 
Eq. 4
Eq. 5
Eq. 6
Eq. 7
Eq. 8
Na qual:
 
 
A energia armazenada em um indutor é dada pela seguinte equação:
A energia armazenada no indutor não é dissipada, como ocorre, por exemplo, com os resistores
(elementos ativos). A energia é liberada para o circuito e pode ser recuperada posteriormente.
 
Indutores reais, todavia, possuem um componente resistivo, cujo valor pode variar. Através desse componente
resistivo pode haver dissipação da energia armazenada, devido ao Efeito Joule.
 
Para fins deste estudo, estaremos considerando os indutores como ideais, o que implica desconsiderar as
eventuais perdas de energia a partir do Efeito Joule.
Atenção
Pelo Sistema Internacional de Medidas (SI), a energia é medida em Joules (J). 
Associação de indutores
Para trabalhar de forma adequada com o indutor, é preciso entender como executar as associações “em série”
e “em paralelo”. De acordo com a configuração do circuito, o ideal é encontrar um valor de indutância que
represente o equivalente dos indutores presentes, o que possibilita a simplificação do circuito tornando mais
fácil a análise da composição final. Dessa forma, temos duas possibilidades para avaliar as disposições dos
componentes, em série e em paralelo.
Indutores em série
Como exemplo, considere um circuito com diversos indutores conectados em série, como mostra a imagem ao
lado. Cada indutor possui um valor de tensão que, pela lei de Kirchhoff das Tensões (LKT), pode ser descrito
pela equação 11:
Eq. 9
• 
Eq. 10
Circuito com indutores em série.
A tensão no indutor pode ser substituída pela equação apresentada anteriormente, guiando o seguinte
modelo:
Na qual:
 
 representa a indutância equivalente do circuito série.
Eq. 11
Eq. 12
Eq. 13
Eq. 14
• 
Circuito com indutância equivalente.
Indutores em paralelo
Considerando agora o circuito apresentado na imagem ao lado, cujos indutores são conectados em paralelo,
deve-se aplicar a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) para a análise. Dessa forma, tem-se a seguinte
equação para o nó:
Circuito com indutores em paralelo.
Obtemos a corrente no indutor integrando a equação:
Como em um sistema paralelo, a tensão em um nó é igual para todos os ramos conectados a ele, enquanto as
correntes se diferem. Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Assim, rearranjando a expressão, tem-se:
Eq. 15
Eq. 16
Eq. 17
Naqual é possível visualizar o valor equivalente da indutância por meio da equação a seguir:
Os valores definidos por e demais referem-se aos valores iniciais de corrente que circulam no indutor.
Atenção
A associação entre indutores é realizada da mesma forma que a associação entre resistores. Isto é valido
tanto para associações em série quanto em paralelo. 
Exemplo comentado
Apresentamos, a seguir, um exercício comentado no intuito de aplicar as equações propostas neste módulo.
Encontre a tensão nos terminais do indutor, bem como a energia armazenada.
Chave de resposta
Como já vimos, a tensão em um indutor é dada pela seguinte expressão:
Dessa forma, é necessário derivar a corrente conhecida em função do tempo. Assim:
Sendo:
Eq. 18
Eq. 19
A energia armazenada no indutor, por sua vez, é dada pela seguinte equação:
Substituindo os valores, tem-se:
Tipos de indutores
De uma forma geral, os indutores podem ser construídos pela utilização de uma bobina e um material
condutor. Já o material que compõe o núcleo da bobina tem a função de garantir a concentração das linhas de
fluxo magnético, reduzindo as perdas. Isto confere maior grau de indutância ao indutor.
 
Os indutores têm aplicação em diversas áreas. Por essa razão, existem variedades quanto à geometria e seus
aspectos construtivos para atender cenários particulares.
Exemplo
Indutores menores são utilizados em aplicações que requerem elevada frequência. 
Há também diversos materiais aplicados ao núcleo no intuito de variar a indutância, como veremos a seguir:
Indutor de núcleo ferromagnético
São utilizados em cenários onde a elevada indutância é requerida, como
por exemplo, nos circuitos integrados (os mesmos utilizados na
construção de chips de computador). O material ferromagnético é
caracterizado pela capacidade de concentrar as linhas de fluxo.
Indutor de núcleo laminado
Um núcleo dito laminado é construído por camadas de material (de baixa
espessura e disposto um sobre o outro). Essa construção laminada reduz
as perdas no componente. É amplamente usado em aplicações de baixas
frequências (sistemas de potência, construção de transformadores).
Indutor de núcleo de ar
Tem o ar como composição do núcleo, ou seja, não há utilização de
nenhum outro material. Neste caso, a indutância é baixa, contudo, a
ausência de um material na composição do núcleo faz com que as perdas
não ocorram. São componentes utilizados em alta frequência, como
emissores e receptores.
Indutor com núcleo de ferrite
O material que compõe o núcleo deste indutor promove a redução das
perdas. É aplicado em projetos em que se requer alta frequência, como
em moduladores de frequência.
Indutor toroidal
Utiliza a ferrite como material que compõe o núcleo, conforme o tipo
anterior. Porém possui formato de rosca, fazendo com que a circulação
do fluxo se dê em um caminho fechado. A vantagem promovida por este
componente reside na redução das perdas e no aumento no valor da
indutância. Este componente é utilizado em placas integradas de
computadores.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Calcular a indutância equivalente para o circuito abaixo.
Assinale a alternativa correta:
A 20H
B 30H
C 27,5H
D 30,5H
E 37,5H
A alternativa C está correta.
Primeiramente, faz-se a associação dos indutores em série como indicado na Figura:
Indutores em série.
Para o cálculo da indutância em série, aplica-se a seguinte equação:
Logo:
Esse valor encontrado está em paralelo com 10H:
Indutores em paralelo.
Para solucionar a associação de indutores em paralelo, aplica-se a seguinte equação:
Sendo:
Esse indutor, por sua vez, está em série com os demais.
Então:
Questão 2
Para o circuito da figura abaixo, considere:
Indutores em paralelo.
Calcule a corrente e a indutância equivalente e assinale o valor correto:
A 5mA e 10H
B 5mA e 15H
C 10mA e 10H
D 10mA e 5H
E 10mA e 15H
A alternativa B está correta.
Para o instante :
Calculando o equivalente intuitivo para o circuito, temos:
• Primeiro o cálculo de um paralelo
• Depois, o cálculo da associação em série do resultado.
Paralelo:
Série:
2. Elemento capacitor
Capacitores
Assista ao vídeo e entenda mais sobre o elemento capacitor.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Tal como os indutores, os capacitores são componentes passivos capazes de armazenar energia sob a forma
de campo elétrico. São constituídos de duas superfícies condutoras que são separadas por um material não
condutor (isolante) ou dielétrico (dessa forma não há contato entre os terminais).
Exemplo
A superfície condutora pode ser de diversos materiais como, alumínio, cerâmica, tântalo, poliéster etc. O
que também se aplica ao dielétrico, onde podem ser encontrados elementos como ar, papel etc. 
O funcionamento do capacitor se dá quando ele é conectado a uma fonte de tensão. Neste momento, as
superfícies condutoras recebem cargas positivas e negativas tornando-se polarizadas.
Funcionamento de um capacitor de placas paralelas.
O capacitor armazena a carga depositada, que é proporcional à tensão da fonte, modelada pela equação:
Eq. 1
Na qual:
 
 representa a carga armazenada;
 
 representa a capacitância em farad (F);
 
 representa a tensão aplicada.
 
Ou, ainda, a capacitância é descrita pela razão entre a quantidade de carga encontrada nas placas e a tensão
aplicada:
É importante ressaltar que a capacitância, bem como a indutância, depende da geometria do material. E, para
um capacitor de placas paralelas, esta pode ser descrita pela equação:
Na qual:
 
 representa a permissividade do material dielétrico, responsável por separar as placas condutoras;
 
 representa a área de cada placa;
 
 representa a distância entre as placas condutoras.
 
Avaliando cada variável que compõe a capacitância, pode-se concluir que, para aumentar esse valor, é
necessário aplicar as alterações apresentadas a seguir:
 
Reduzir a distância entre as placas, ;
 
Aumentar a área das placas, ;
 
Utilizar materiais de maior permissividade, 
 
Quanto à parte comercial, os valores referentes aos capacitores podem variar de pF (picofarads) à 
(microfarads), caracterizados pela composição do material construtivo do dielétrico. Podem ainda ser de
valores fixos ou variáveis, como ocorre com indutores e resistores. São encontrados como mostra a imagem
abaixo:
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Eq. 2
Eq. 3
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Representação de um capacitor comercial.
Atenção
Para um capacitor, atenta-se à convenção de sinais: : o capacitor está em carregamento. : o capacitor
está descarregando. 
Relação corrente-tensão
Como visto na equação , é possível descrever a quantidade de carga armazenada pelo capacitor
relacionando a capacitância e a tensão aplicada. Sabe-se que a corrente elétrica pode ser representada pela
variação de cargas que atravessa o condutor em determinado instante de tempo, Equação 4:
Relacionando as Equações 2 e 4, e derivando a equação dos dois lados, é possível obter a Equação 5, que
representa a corrente que circula pelo capacitor. Esta é válida para componentes lineares. Quando este possui
características não lineares, não é possível descrever corrente e tensão por uma reta.
Integrando a Equação 5, é possível obter a tensão em um capacitor, que é descrita pela Equação 6
apresentada a seguir:
Eq. 4
Eq. 5
Ou, ainda, pode-se descrever a tensão pela Equação 7, onde se observa que a tensão depende da variação da
corrente no tempo, destacando assim a propriedade conhecida como memória do elemento.
Em que descreve a tensão inicial no elemento, que pode ainda ser representada pela Equação 8.
Dadas as equações, é possível concluir:
 
Não havendo variação de tensão com o tempo, a corrente no capacitor é nula. Isso se aplica em
tensões contínuas. Assim, para um circuito CC, o capacitor se comporta como um circuito aberto, não
havendo circulação de corrente. Porém, a conexão de uma fonte nos terminais desse componente faz
com que ele se carregue.
 
A tensão no capacitor deve ser contínua,isto é, não pode mudar de forma abrupta, como ocorre com a
corrente que circula pelo indutor. Assim, o capacitor tem a característica de resistir à mudança de
tensão nos terminais. Essa alteração faz com que seja necessária uma corrente muito elevada (infinita),
tornando-se impraticável.
 
A corrente no capacitor, diferente da tensão, pode mudar de forma instantânea.
 
A energia armazenada no capacitor circula no circuito, ou seja, inicialmente o componente armazena
energia e esta é liberada sob a forma de potência para o circuito, sem que haja dissipação,
considerando capacitores ideais. Na prática, há um componente resistivo conhecido por resistência de
fuga.
Associação de capacitores
Assim como os demais componentes aqui tratados, os capacitores podem ser associados para que haja
redução do circuito durante a análise. Esta associação ocorre de duas formas, em série ou em paralelo,
proporcionando encontrar um capacitor equivalente que represente a junção dos demais.
Capacitores em série
Para analisar uma associação de capacitores conectados em série, considere o circuito apresentado na
imagem. Como vimos, em um circuito em série a corrente circulante é igual em todos os componentes,
contudo a tensão se distingue.
Eq. 6
Eq. 7
Eq. 8
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Capacitores conectados em série.
Para avaliar o valor equivalente da capacitância, aplica-se a LKC, e partindo desta obtém-se a seguinte
equação:
Pela integração do valor da corrente que circula no capacitor, é possível obter a tensão sobre ele, como
mostra a equação. Assim, ao substituir esse valor na Equação 9 anterior, resulta o seguinte modelo na
Equação 10:
Reorganizando a Equação 10, é obtida a Equação 11:
Em que, por simplificação, tem-se:
Na qual:
 
 é a capacitância equivalente;
 
 é a soma dos valores inicialmente armazenados pelo
componente.
Capacitor em paralelo
Eq. 9
Eq. 10
Eq. 11
Eq. 12
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Para analisar uma associação de capacitores conectados em paralelo, considere a seguinte imagem.
Capacitores conectados em paralelo.
Partindo do circuito apresentado, aplica-se a LKC. Sabe-se que, em um circuito paralelo, as tensões em um nó
são iguais para os ramos conectados a ele. As correntes, no entanto, diferem. Assim, é possível obter a
seguinte equação:
Conhecendo a equação que descreve a corrente que circula pelo capacitor e substituindo-a na equação
acima, obtém-se a relação apresentada pela equação a seguir:
Em que, após o rearranjo da expressão, são obtidas a Equação 15 e a simplificação apresentada pela Equação
16:
Na qual:
 
 é a capacitância equivalente do circuito paralelo.
Eq. 13
Eq. 14
Eq. 15
Eq. 16
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Atenção
A associação das capacitâncias em série se dá da mesma forma que a associação das indutâncias e
resistências em paralelo. De forma análoga, as capacitâncias em paralelo são obtidas por meio da soma
dos valores individuais, como ocorre nas associações em série para indutores e resistores. 
Potência e energia
Para calcular a potência instantânea em um capacitor, inicia-se pela relação básica entre a tensão e a corrente
medidas em um elemento, como mostra a equação a seguir:
Substituindo o valor de corrente pela Equação 5, referente à corrente que circula em um capacitor, obtém-se a
potência liberada para ele, apresentada pela próxima equação:
Partindo da Equação 18 e considerando as propriedades do elemento, caracterizado pelo armazenamento de
energia, é desejável calcular a quantidade de energia armazenada em seu campo elétrico. Para isso, basta
integrar (temporalmente) o valor referente à potência calculada. Assim, tem-se a seguinte expressão:
Onde, ao substituir a variável ‘p’ pela expressão de potência encontrada, são obtidas as Equações 19 e 20:
Por observação, é possível concluir:
Eq. 17
Eq. 18
Eq. 19
Eq. 20
 
Em , o capacitor está descarregado; dessa forma, a energia armazenada pode ser
representada como segue:
Essa energia é armazenada do campo elétrico que existe entre as superfícies condutoras do capacitor.
 
Como o capacitor não é capaz de dissipar energia como ocorre com resistor, essa energia circula no
circuito, podendo ser recuperada. Em capacitores reais, é possível observar que uma componente
resistiva, ainda que baixa, promove dissipação.
Exemplos Comentados
Apresentamos alguns exercícios comentados no intuito de aplicar as equações propostas neste módulo e
ajudar você a entender bem do conteúdo.
Exemplo 1
Considere um capacitor de 4pF para os seguintes cálculos:
 
a) Determinar carga armazenada, considerando que há uma fonte de 20 V entre seus terminais.
Chave de resposta
Utilizar a seguinte equação:
Isolar a variável carga, ao qual desejamos calcular:
Assim, substituir os valores de C e v:
b) Determinar a energia armazenada neste capacitor.
• 
Eq. 21
• 
• 
Chave de resposta
Para determinar a energia armazenada, tem-se a seguinte equação:
De posse dos valores de capacitância e tensão, tem-se:
Exemplo 2
Considere um capacitor de 4µF, cuja tensão em seus terminais é dada pela seguinte expressão:
Para esse capacitor, pede-se a corrente que circula por ele.
Chave de resposta
Por definição, a corrente que circula pelo capacitor é dada por:
Substituir os valores na equação:
Exemplo 3
Para o circuito apresentado a seguir, pede-se a capacitância equivalente:
Associação de Capacitores.
Chave de resposta
Para avaliar esse problema, é necessário dividi-lo em suas partes:
Associação em paralelo
Associação em série
A associação em paralelo é composta dos capacitores C3 e C4. Por definição, esta pode ser solucionada
da seguinte forma:
Assim, tem-se uma capacitância equivalente dada por:
Este resultante encontra-se em paralelo com C1 e C2 que, por definição, pode ser dado pela seguinte
associação:
Assim, tem-se:
Que traduz a capacitância equivalente desse circuito.
Considere agora os valores para as seguintes capacitâncias do circuito:
• 
• 
a) Defina o valor da capacitância total equivalente.
Chave de resposta
Utilizando das equações já encontradas, sabe-se que a capacitância C5, que representa o equivalente
série, é dada por:
Por sua vez, esse valor é associado em série com as demais, onde tem-se:
Assim:
b) Considere que a fonte “v” é de 20V, calcule a carga total desse circuito:
Chave de resposta
Sabe-se que:
Dessa forma, basta que os valores sejam substituídos na equação acima:
Tipos de capacitores
Assim como os indutores, os capacitores podem ser encontrados sob diversas geometrias e variações no
material isolante (dielétrico), que caracteriza o tipo de aplicação a ser feita. Contudo, isso não altera sua
função, que é o armazenamento de energia.
 
Vejamos alguns tipos de capacitores e suas características construtivas:
Capacitor eletrolítico
Caracterizado por apresentar um dielétrico, ou isolante, de pequena espessura — isto ao ser
comparado aos demais modelos. É formado por duas folhas de alumínio, que são separadas por uma
camada de óxido de alumínio. É importante ressaltar que este componente possui polaridade, isso
significa que há uma forma adequada de instalá-lo em um circuito. Para identificar, basta que localize
o terminal maior (o positivo). Em muitos casos, pode ser observada uma identificação de terminais
referenciando os dois polos. A aplicação do capacitor eletrolítico pode ser feita em fontes de tensão,
por exemplo, com o intuito de manter a tensão estável e filtrando possíveis ruídos.
Se este capacitor for polarizado de forma incorreta, isto é, utilizado de maneira inversa, ele entra em
curto-circuito, o que pode ser um problema, uma vez que tende a ocorrer uma explosão (modelos
mais antigos) e liberar gases.
Capacitor de tântalo
É um modelo a ser utilizado na substituição do eletrolítico (já apresentado) quando for desejável a
redução do circuito. A composição do isolante é feita por óxido de tântalo, que se caracteriza por
apresentar uma vida útil mais longa que os eletrolíticos. Esses capacitores estão substituindo os de
alumínio em todos os tipos de circuitos em razão de seu baixovolume.
O capacitor de tântalo requer polarização correta, pois se for utilizado de maneira inversa pode
explodir. Em muitos casos, a polarização é indicada no próprio capacitor, no intuito de evitar acidentes
(o terminal positivo é o maior).
Capacitor de poliéster
Formado por camadas de poliéster e alumínio, a quantidade de folhas e suas espessuras se tornam
responsáveis por definir a capacitância do capacitor. É um modelo compacto e caracterizado por ser
capaz de autorregeneração. Por exemplo, em situações em que há danos entre as camadas do
poliéster, geradas por sobretensão, o material que se encontra sobre a folha é capaz de evaporar e
evitar o curto-circuito.
Capacitor cerâmico
Este modelo é um dos mais largamente utilizados. Seu aspecto construtivo se dá por um disco de
cerâmica, compondo a parte isolante, e por duas fitas metálicas encontradas nas faces (uma em cada
lado). O capacitor cerâmico não é capaz de armazenar grandes quantidades de carga. Em geral, sua
aplicação é feita nos circuitos de alta frequência e corrente contínua, como por exemplo em
televisões, rádios, flashes de câmeras, roteadores e demais eletrônicos.
Capacitor de mica
O aspecto construtivo deste capacitor é dado pela aplicação da mica como dielétrico e o uso de
placas de prata que envolvem o dielétrico. É um componente considerado estável e não apresenta
elevados valores de perda de carga. Suas aplicações englobam circuitos osciladores e circuitos
ressonantes.
Os capacitores de mica podem ou não possuir terminais. Em alguns casos, estes são soldados na
própria placa do circuito promovendo boa dissipação de calor.
Capacitor SMD
O material que compõe o dielétrico deste modelo de capacitor pode variar (por exemplo, cerâmica,
tântalo). São componentes pequenos e por isso suas aplicações são voltadas para equipamentos
eletrônicos de uma forma geral e para circuitos de robótica.
Capacitor variável
É composto por placas que podem ser de alumínio ou latão. Geralmente, o material isolante é
composto de ar. O valor dos capacitores do tipo variável pode alterar e por isso eles são aplicados em
circuitos que requerem sintonização, como os circuitos de rádio.
Não se indica utilizar o capacitor variável em elevadas potências.
Capacitor a óleo e a papel
Atualmente o capacitor a óleo não é mais fabricado, sua aplicação era voltada para equipamentos de
válvula que requerem elevada isolação. A construção deste capacitor se dava por meio de fitas de
alumínio que eram enroladas em um papel embebido por óleo. De forma semelhante, o capacitor
composto de papel não é mais produzido, sua construção era feita por meio de folhas metálicas e um
tubo de papel embebido em cera. Os dois foram amplamente utilizados em eletrônica no passado, nos
primórdios da eletrônica.
Quiz
Vamos agora testar o seu conhecimento sobre capacitores, analisando uma questão adaptada
do concurso da Fundep 2019.
Capacitores são dispositivos de dois terminais extremamente utilizados em circuitos elétricos.
Em relação a esses dispositivos, assinale a alternativa correta:
A
Capacitores são dispositivos passivos e armazenam energia devido, exclusivamente, ao campo
magnético aplicado sobre suas placas.
B
A capacitância é uma grandeza que mede a quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em
suas placas. Mantendo-se os outros parâmetros constantes, quanto menor a distância entre as placas de
um capacitor maior será a sua capacitância.
C
A capacitância é uma grandeza que mede a quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas
placas. Mantendo-se os outros parâmetros constantes, quanto menor a distância entre as placas de um
capacitor maior será a sua capacitância.
A alternativa B está correta.
A capacitância é uma grandeza que mede a razão entre as cargas armazenadas e a tensão aplicada nas
placas, podendo ser descrita pela seguinte equação:
Assim, quanto menor a distância entre as placas, maior a capacitância do capacitor.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(Seduc, 2016) O conjunto de capacitores C1 de 100 µF, montados da forma abaixo, terá uma capacidade total
de:
A 16,6 µF
B 66,6 µF
C 200 µF
D 150 µF
E 300 µF
A alternativa D está correta.
Analisando a figura do exercício, é possível identificar três disposições para associar os elementos:
Capacitores em série, como mostra o esquema a seguir:
Capacitores em paralelo, associação que pode ser feita após associar os capacitores em série.
A associação em série pode ser feita, como já apresentada, obedecendo a seguinte equação:
Dessa forma, tem-se:
Em que:
• 
• 
Ressalta-se aqui que são avaliados três circuitos em série, obtendo dessa forma três capacitâncias
equivalentes do mesmo valor.
Para a associação em paralelo, aplica-se a seguinte equação, já apresentada:
Logo, ao somar as três capacitâncias encontradas, é possível encontrar o valor final desejado:
Questão 2
(GHC-RS, 2018) Capacitor é um dispositivo elétrico formado por duas placas condutoras de
metal separadas por um material isolante chamado dielétrico. Sobre ele, analise as
considerações que se seguem e escolha a alternativa que contempla as corretas:
I- O capacitor armazena a carga elétrica no dielétrico.
II- O capacitor fora de um circuito energizado não possui carga.
III- Capacitância é a capacidade de armazenamento de carga elétrica pelo capacitor.
IV- A capacitância é dada pela expressão C = V/Q, e sua unidade é o farad (F).
A Apenas I e II
B Apenas I e III
C Apenas I e IV
D Apenas I, II e III
E Todas as considerações estão corretas.
A alternativa D está correta.
O capacitor é um componente caracterizado por armazenar energia no campo elétrico. Antes de ser
energizado, este não possui carga, isto é, antes da conexão de uma fonte que irá polarizá-lo e produzir o
armazenamento da energia. A capacidade do capacitor de armazenar energia é modelada pela
capacitância.
3. As formas de onda dos elementos passivos
Análise dos elementos passivos em regime permanente
Assista ao vídeo sobre a forma de onda dos elementos passivos.
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A análise dos circuitos permite diversas observações em relação à sua alimentação, tal como o
comportamento da fonte conectada (contínua ou alternada), se há fonte ou se este está desconectado, entre
outras.
Comentário
É interessante avaliar os circuitos cuja operação se dá por meio de excitação contínua, ou seja, pela
conexão de fontes cc. 
Um circuito composto de elementos passivos, cuja alimentação é contínua, possui a característica de
apresentar os valores de corrente e tensão estáveis após transcorrido o tempo. Após a estabilização do
circuito, ou seja, ao atingir os valores constantes, é dito que ele opera em regime permanente. O tempo
necessário para que esse regime seja alcançado é dado em segundos.
Capacitor como circuito aberto
Em regime permanente, o capacitor comporta-
se como um circuito aberto (Módulo 2). Isso
ocorre porque a tensão se estabiliza e, não
havendo variação de tensão no tempo, a
corrente é nula.
Indutor como curto-circuito
Em regime permanente (Módulo 1), o indutor
comporta-se como um curto-circuito. A análise
é feita como no capacitor e, não havendo
variação da corrente no tempo, a tensão sobre
esse elemento é nula.
Dadas essas duas considerações, nota-se que uma análise em regime permanente se trata de avaliar um
circuito resistivo, caso este possua resistores.
Princípio da dualidade
Os indutores e capacitores são considerados elementos duais. Dois circuitos podem ser considerados duais,
se as equações de malha de um deles possuem a mesma forma matemática que modela a equação nodal do
outro.
Exemplo
São exemplos de grandezas duais: Resistência e condutância, uma vez que a condutância é o inverso da
resistência. Tensão e corrente. Indutores e capacitores. 
Em um indutor, há um fluxo magnético percorrendo o componente, enquanto no capacitor há cargas
polarizando as placas condutivas. Para verificar a dualidade, consideram-se as equações de tensão ecorrente
dos dois componentes, já apresentadas nos Módulos anteriores:
É notável que, ao alterar em uma das equações as variáveis i por v, bem como L por C (ou o oposto), as
equações passam a ser equivalentes. A tabela a seguir representa valores duais para diversas grandezas
elétricas:
Valores Duais
Tensão Corrente
Carga Fluxo
Resistência Condutância
Indutância Capacitância
curto-circuito Circuito aberto
Impendância Admitância
LKT LKC
Tabela: Grandezas e seus valores duais. Elaborada por Isabela Oliveira Guimarães
Forma de onda
Em um circuito onde há somente resistores conectados, ao alterar o estado de uma chave, por exemplo,
observa-se apenas a variação entre a presença das variáveis elétricas ou não, provocada pela
descontinuidade. Nos casos em que se observa a presença de elementos passivos, essa análise se distingue.
Exemplo
Ao conectar uma fonte em um capacitor passa a existir o carregamento do componente, que ocorre em
razão da polarização das placas. Esse valor aumenta gradativamente até atingir o regime permanente. 
O período de variação em que o elemento sai do estado inicial até atingir o estado permanente é
chamado de transitório.
 
Destacam-se os seguintes pontos:
 
A corrente em um indutor não pode mudar de forma instantânea, como se observa na representação
abaixo:
Corrente em um indutor.
Observa-se uma mudança suave no valor da corrente, representada pela inclinação do gráfico.
 
Conforme ocorre com a corrente em um indutor, a tensão em um capacitor não pode ser alterada de
forma abrupta. Assim, observa-se o seguinte comportamento para a tensão:
• 
• 
• 
Tensão e corrente 
Representa a relação entre a tensão e a
corrente.
Tensão no capacitor 
Representa a tensão no capacitor.
Considerando a análise de um circuito capacitivo, em que se avalia o momento de carga até o regime
permanente, sabe-se que no instante inicial a corrente é máxima, enquanto a tensão é nula, o que pode ser
observado nas seguintes curvas:
Capacitores conectados em série.
O capacitor sai do estado inicial e é carregado até alcançar o regime permanente. Em seguida, é possível
observar o processo de descarga. A imagem abaixo representa o processo de transitório do capacitor para as
grandezas de corrente e tensão, em que, a partir do ponto 3, este se encontra em regime permanente.
Transitório do capacitor, comportamento de tensão e corrente.
Para um indutor, o comportamento é um pouco distinto, podendo ser feitas algumas analogias. Observa-se
que neste há existência de corrente, mesmo após o desligamento da fonte que o excita, o que faz desta uma
característica do componente. O comportamento da corrente no indutor é similar à tensão do capacitor. À
medida que o tempo passa, a corrente começa a decair.
Transitório do indutor.
Energia armazenada nos componentes passivos
Como sabemos, tanto o indutor quanto o capacitor são elementos caracterizados por armazenarem energia
nos campos elétrico e magnético.
Saiba mais
A energia se refere ao trabalho necessário para que haja carregamento desses elementos. 
Para um capacitor, a energia é armazenada no campo elétrico, dada a diferença de potencial aplicada aos
terminais. Considerando as seguintes equações, que podem ser consultadas também no capítulo referente
aos capacitores, a energia é calculada da seguinte forma:
Substituindo o valor da capacitância pelo valor definido: , tem-se:
Na qual observa-se uma equação de comportamento linear. Assim, a energia pode ser descrita graficamente
pela imagem abaixo:
Energia armazenada no capacitor.
Atenção
A mesma análise pode ser feita para um indutor. 
Um indutor é capaz de armazenar energia no campo magnético. Esse armazenamento se dá quando o
componente é percorrido por uma corrente elétrica (a equação que descreve esse armazenamento foi citada
no Módulo 1), dada por:
Essa energia é conservativa.
Circuitos singulares
Por definição, as funções singulares são aquelas que apresentam alguma descontinuidade ou que têm
derivadas descontínuas. A função de singularidade serve para representar o comportamento comutativo do
circuito. Sendo assim, em situações em que são observados componentes como chaves, existe uma
descontinuidade, sendo então possível representar as formas de onda de corrente e tensão através da
utilização das funções singulares.
 
Das funções mais utilizadas, podem ser citadas:
Função degrau
A figura mostra uma particularidade desta função, conhecida por degrau
unitário. Em zero, esta função apresenta descontinuidade; em 1, muda de
estado de forma abrupta. Assim, a aplicação dela pode ocorrer quando
se deseja representar alterações de tensão ou corrente de modo
instantâneo: em dado instante o circuito está desligado e, em seguida,
passa a existir uma excitação, isto equivale a uma comutação de chaves.
A derivada da função degrau resulta na função impulso.
Função impulso unitário
Pode também ser identificada por função delta, sendo a derivada da
função degrau. Como no caso anterior, a função impulso unitário é um
caso particular da função impulso, onde a amplitude atingida é 1. É
importante destacar que esta é fisicamente impraticável, porém, para fins
de estudo, pode representar situações como choques elétricos.
Função rampa
Pode ser obtida pela integração da função degrau. A imagem abaixo
apresenta um caso particular: a função rampa unitária.
Podemos combinar as funções de maneira a analisar de forma única cada
componente do circuito elétrico.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Para a figura a seguir, descreva a tensão v(t) utilizando as funções de singularidade:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Como o degrau se inicia em , há um deslocamento no tempo. Essa função é um degrau, de amplitude
8, que ativa em 2s e desativa em 5s. Assim, a tensão pode ser descrita pela expressão:
Questão 2
Represente a Figura a seguir em termos de funções de singularidade e assinale a alternativa que melhor
represente o resultado obtido:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Observando o gráfico, pode-se notar que este é composto de uma rampa e uma função porta (função do
exercício anterior) multiplicadas. Para resolver este problema, é necessário então decompor a figura em
subfunções singulares:
4. Conclusão
Considerações finais
O estudo deste material teve por objetivo a apresentação dos elementos armazenadores de energia, suas
características básicas e a forma como são utilizados nos circuitos elétricos. Assim, mostramos exemplos de
cálculos e o uso de técnicas de solução e simplificação.
 
No módulo 1, foram pontuados os aspectos básicos do indutor, a forma de associá-lo, o cálculo de potência e
energia. Na sequência, o módulo 2 tratou dos mesmos aspectos, no entanto, com foco no capacitor. Por fim,
no módulo 3, foram esclarecidas as dualidades entre os dois componentes, as funções usadas para o seu
estudo, todos acompanhados de exemplos de cálculos.
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Referências
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5 ed. São Paulo: McGraw Hill, 2013.
 
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1998.
 
EDMINISTER, Joseph A. Circuitos elétricos: reedição da edição clássica. 2. ed. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 1991.
 
GUSSOW, Milton. Eletricidade básica. São Paulo: Makron Books, 1985.
 
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos, 2000.
 
MARKUS, Otávio. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada. São Paulo: Editora Érica, 2001.
 
SENAI-SP. Educação continuada: circuitos em corrente alternada. São Paulo, 2002.
	Indutores e capacitores
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Elemento indutor
	Indutores
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Saiba mais
	Atenção
	Um indutor que possui indutância independente da corrente é conhecidopor sua característica linear, cujo comportamento gráfico pode ser dado por uma linha reta.
	Cálculo da potência
	Energia armazenada
	A energia armazenada no indutor não é dissipada, como ocorre, por exemplo, com os resistores (elementos ativos). A energia é liberada para o circuito e pode ser recuperada posteriormente.
	Atenção
	Associação de indutores
	Indutores em série
	Indutores em paralelo
	Atenção
	Exemplo comentado
	Tipos de indutores
	Exemplo
	Indutor de núcleo ferromagnético
	Indutor de núcleo laminado
	Indutor de núcleo de ar
	Indutor com núcleo de ferrite
	Indutor toroidal
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	2. Elemento capacitor
	Capacitores
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Atenção
	Relação corrente-tensão
	Associação de capacitores
	Capacitores em série
	Capacitor em paralelo
	Atenção
	Potência e energia
	Exemplos Comentados
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Tipos de capacitores
	Capacitor eletrolítico
	Capacitor de tântalo
	Capacitor de poliéster
	Capacitor cerâmico
	Capacitor de mica
	Capacitor SMD
	Capacitor variável
	Capacitor a óleo e a papel
	Vamos agora testar o seu conhecimento sobre capacitores, analisando uma questão adaptada do concurso da Fundep 2019.Capacitores são dispositivos de dois terminais extremamente utilizados em circuitos elétricos. Em relação a esses dispositivos, assinale a alternativa correta:
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(GHC-RS, 2018) Capacitor é um dispositivo elétrico formado por duas placas condutoras de metal separadas por um material isolante chamado dielétrico. Sobre ele, analise as considerações que se seguem e escolha a alternativa que contempla as corretas:I- O capacitor armazena a carga elétrica no dielétrico.II- O capacitor fora de um circuito energizado não possui carga.III- Capacitância é a capacidade de armazenamento de carga elétrica pelo capacitor.IV- A capacitância é dada pela expressão C = V/Q, e sua unidade é o farad (F).
	3. As formas de onda dos elementos passivos
	Análise dos elementos passivos em regime permanente
	Conteúdo interativo
	Comentário
	Capacitor como circuito aberto
	Indutor como curto-circuito
	Princípio da dualidade
	Exemplo
	Forma de onda
	Exemplo
	O período de variação em que o elemento sai do estado inicial até atingir o estado permanente é chamado de transitório.
	Energia armazenada nos componentes passivos
	Saiba mais
	Atenção
	Circuitos singulares
	Função degrau
	Função impulso unitário
	Função rampa
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Referências