Métodos de Demonstração - Matemática e Lógica

Prévia do material em texto

Questões
Lista de exercícios
Métodos De Demonstração
Você acertou 10 de 10 questões
Verifique o seu desempenho e continue treinando! Você pode refazer o exercício quantas
vezes quiser.
Verificar Desempenho
A
B
C
D
1 Marcar para revisão
Considere que para todos os n ≥ 1, 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n. (3n- / 2.
Demonstrando por indução matemática, julgue os itens que se seguem.
I) Para qualquer inteiro n ≥ 1, que a Pn seja a afirmação de que:
1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n. (3n- 1) / 2.
II) Caso base. A declaração P1 diz que: 3. 1 ¿ 2 = 1. (3.1 ¿ 1) / 2 que é verdadeira.
III) Passo indutivo. Fixe k ≥ 1, e suponha que Pk é satisfeita, isto é,
1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) = k. (3k- 1) / 2.
IV) Resta mostrar que o Pk+1 é satisfeita, ou seja,
1 + 4 + 7 + ... + (3(k + 1) - 2) = (k + 1). (3(k + 1) - 1) / 2
Vejamos:
1 + 4 + 7 + ... + (3(k + 1) - 2) = 1 + 4 + 7 + ... + (3(k + 1) - 2)
= 1 + 4 + 7 + ... + (3k + 1)
= 1 + 4 + 7 + ... + (3k - 2) + (3k + 1)
= k(3k - 1)/2 + (3k + 1)
= (k(3k - 1) + 2(3k + 1))/2
= (3k - k + 6k + 2)/2
= 3k + 5k + 2)/2
2
2 
Apenas um item está certo.
Apenas os itens I, II e III estão certos
Apenas os itens II, III e IV estão certos
Todos os itens estão certos.
E
A
B
Apenas dois itens estão certos.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A alternativa correta é a D, pois todos os itens estão corretos. A questão apresenta
uma demonstração por indução matemática. No item I, é apresentada a afirmação Pn
que será provada. No item II, é apresentado o caso base, que é verdadeiro. No item
III, é feito o passo indutivo, assumindo que a afirmação Pk é verdadeira. No item IV, é
mostrado que a afirmação Pk+1 também é verdadeira, completando a prova por
indução. Portanto, todos os itens estão corretos.
2 Marcar para revisão
Analisando a declaração "Para qualquer inteiro positivo, 6n-1 é divisível por 5", feita por
um estudante de métodos de demonstração, assim escreveu:
Para qualquer n ≥ 1, que a Pn seja a afirmação de que 6 - 1 é divisível por 5. Caso base. A
declaração P1 diz que 6 - 1 = 6 - 1 = 5 é divisível por 5.
PORQUE
Ao fixar k ≥ 1, e supor que Pk é satisfeita, ou seja, 6 - 1 é divisível por 5.
Resta mostrar que o Pk+1 é satisfeita, ou seja, que 6 - 1 é divisível por 5.
6 - 1 = 6(6 ) - 1
= 6(6 - 1) + 6 - 1
= 6(6 - 1) + 5
Assim, para Pk, o primeiro termo 6(6 - 1) é divisível por 5, o segundo termo é claramente
divisível por 5. Portanto, o lado esquerdo também é divisível por 5. Portanto, Pk+1 é
satisfeito.
Assim, a proposição para todos os n ≥1, a Pn é satisfeita.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
n
1
k
k+1
k+1 k
k
k
k
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
correta da primeira.
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
A i i ã é i ã d d i d é f l
C
D
E
A
B
C
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
O estudante fez uma afirmação e, em seguida, justificou-a. A primeira afirmação é
que para qualquer inteiro positivo, 6n-1 é divisível por 5. A segunda afirmação é a
justificativa da primeira, onde ele usa um método de indução matemática para provar
a primeira afirmação. Ele começa com um caso base e, em seguida, assume que a
afirmação é verdadeira para um número k. Ele então mostra que se a afirmação é
verdadeira para k, então também é verdadeira para k+1. Portanto, a alternativa
correta é a A: "As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma
justificativa correta da primeira".
3 Marcar para revisão
Em um treinamento corporativo sobre gestão de conflitos, Carlos, um gerente, é
apresentado ao conceito de mentalidade de crescimento. Durante uma discussão, ele
percebe que um dos colegas defende sua opinião de maneira inflexível, sem considerar
outras perspectivas. Como Carlos pode aplicar a mentalidade de crescimento para
facilitar a resolução desse conflito?
Desafiar o colega a justificar suas opiniões, mostrando que ele está errado. 
Utilizar a oportunidade para promover uma reflexão sobre como o erro pode ser
uma chance de aprendizado. 
Ignorar a discussão, esperando que o tempo resolva o conflito. 
I ó i i iã já di i iê i
D
E
A
B
C
D
E
Impor sua própria opinião, já que acredita ter mais experiência no assunto. 
Sugerir que todos os membros mantenham suas opiniões pessoais para evitar
mais discussões. 
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A mentalidade de crescimento ajuda a ver conflitos como oportunidades de
aprendizado. Carlos pode incentivar o colega a refletir e considerar outras
perspectivas, facilitando o diálogo e a inovação.
4 Marcar para revisão
Analisando a proposição "Cada número racional não zero pode ser escrito como produto
de dois números irracionais", um estudante de Métodos de Demonstração assim
escreveu:
I. Faça a ∈ Q.
PORQUE
II. então podemos escrever a como um produto de dois irracionais    . a/  = a onde
a/  é irracional e a é racional.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
√2 √2
√2
As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa
correta da primeira.
As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma
justificativa correta da primeira.
A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
Ambas as asserções são proposições falsas.
A
B
C
D
E
ç p p ç
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A alternativa correta é a "A", pois ambas as asserções são proposições verdadeiras e
a segunda justifica corretamente a primeira. Na primeira asserção, o estudante
propõe que um número racional não zero (a) pertence ao conjunto dos números
racionais (Q). Na segunda asserção, ele justifica essa afirmação mostrando que o
número racional (a) pode ser expresso como o produto de dois números irracionais,
neste caso, a raiz quadrada de 2 e a divisão de a pela raiz quadrada de 2. Portanto, a
segunda asserção valida a primeira, tornando ambas verdadeiras.
5 Marcar para revisão
Se , com a e b inteiros posistivos, então  ou . Nesse contexto,
analise as afirmações a seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal
proposição é verdadeira.
I. Suponhamos que e e .
II. Vamos analisar : o que contradiz a hipótese.
III. Portanto, se , com a e b inteiros positivos, então  ou 
É correto o que se afirma em:
n = a. b a ≤ √n b ≤ √n
n = a. b a > √n b > √n
a. b a. b > √n. √n = (√n)2 = n
n = a. b a ≤ √n b ≤ √n
I apenas.
II e III apenas
I e II apenas.
I e III apenas.
I, II e III.
R
A
B
C
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é: I, II e III
I. A primeira afirmação supõe que com e . Se ambas as
suposições são verdadeiras, a.b seria necessariamente maior que n, pois o produto
de dois números maiores que será maior que n. No entanto, a nossa proposição
original afirma que . Isso produz uma contradição, invalidando a suposição
inicial de que e .
II. A segunda afirmação analisa o produto em relação a . Se fosse maior
que , isso implicaria que n (porque ) é maior que . Elevando ambos
os lados ao quadrado, teríamos , o que não é necessariamente verdadeiro
para todos os n. Esta análise não contradiz a hipótese inicial, mas, na verdade,
reforça a conclusão de que se , então ou , ou , ou ambos.
III.A terceira afirmação é uma reiteração da proposição inicial que queremos
demonstrar. É a conclusão lógica das duas primeiras afirmações, já que ambas
estabelecem que não pode ser maior que n e, portanto, nem a nem b
podem ser maiores que .
Em conclusão, todas as três afirmações contribuem para a demonstração da
proposição original. A análise das implicações de e demonstra que
essa suposição leva a uma contradição, provando por redução ao absurdo que se
, então ou .
n = a. b a > √n b > √n
√n
n = a. b
a > √n b > √n
a. b √n a. b
√n n = a. b √n
n
2 > n
n = a. b a ≤ √n b ≤ √n
a. b = n
√n
a > √n b > √n
n = a. b a ≤ √n b ≤ √n
6 Marcar para revisão
João é um consultor chamado para ajudar uma equipe que enfrenta dificuldades na hora
de solucionar problemas complexos. A equipe costuma se paralisar ao lidar com
situações inesperadas e age de maneira defensiva. Qual seria a melhor abordagem para
João ajudar a equipe a lidar com essas dificuldades?
Ensinar a equipe a usar técnicas de mindfulness para reduzir o estresse e
estimular a criatividade. 
Delegar problemas menores para membros mais inexperientes e focar nos
principais por conta própria. 
Implementar um sistema rígido de penalidades para reduzir erros e aumentar a
C
D
E
A
p g p p
produtividade. 
Simular situações de crise para treinar a equipe a responder sem pensar nos
sentimentos dos outros. 
Incentivar reuniões diárias apenas para discutir os erros cometidos, sem se
concentrar em soluções. 
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
As técnicas de mindfulness ajudam a equipe a lidar melhor com o estresse e
favorecem o pensamento criativo, essencial para a resolução de problemas
complexos de forma eficaz e inovadora.
7 Marcar para revisão
Analisando a declaração: Demonstre que √2 é um número irracional, feita por um
estudante de métodos de demonstração, ele assim escreveu:
I. Demonstração. Suponha, por absurdo, que √2 é racional.
Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que √2
poderia ser representado como fração irredutível a b.
PORQUE
II. A partir disto, podemos afirmar que:
2 = (√2)  = (a/b)  = a /b
2b = a
Assim, temos que a  é par e, desta forma, a também é par. Como a é par, a = 2k para
algum inteiro k. Logo:
2b  = a  = (2k)  = 4k
b  = 2k
O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a
fração irredutível a/b poderia ser reduzida, um absurdo.
Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim irracional.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.
2 2 2 2
2  2
2
2 2 2 2
2 2
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
B
C
D
E
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa
da I.
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma
justificativa da I.
Na asserção I, o estudante define a suposição inicial da sua prova por contradição:
ele assume que √2 é um número racional e que pode ser expresso como uma fração
irredutível a/b. Isso é uma preparação para o argumento que ele está prestes a fazer
e é uma estratégia válida para iniciar uma prova por contradição.
Na asserção II, o estudante apresenta sua justificativa para essa suposição ser falsa.
Ele desenvolve um argumento lógico, que começa com a suposição da asserção I e,
através de uma série de manipulações matemáticas válidas, chega a uma
contradição, o que significa que a suposição inicial (de que √2 é um número racional)
deve ser falsa.
Portanto, a opção correta é: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é
uma justificativa da I.
8 Marcar para revisão
Fernanda trabalha em um escritório de design e precisa tomar uma decisão rápida sobre
a contratação de novos fornecedores, pois os prazos do projeto são curtos. No entanto,
ela se sente ansiosa e teme que suas emoções prejudiquem sua decisão. Que estratégia
Fernanda poderia utilizar para manejar suas emoções e tomar uma decisão mais racional?
A
B
C
D
E
A
B
Tomar a decisão imediatamente para acabar logo com a ansiedade. 
Adotar o distanciamento emocional, pensando como aconselharia um amigo na
mesma situação. 
Buscar opiniões de todos os colegas de equipe para decidir com base no
consenso. 
Evitar pensar nos impactos futuros e focar apenas nos benefícios imediatos. 
Confiar apenas na sua intuição, sem buscar outras análises. 
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
O distanciamento emocional permite que Fernanda reduza a influência da ansiedade,
considerando a situação de maneira objetiva e ponderada, o que favorece uma
decisão mais racional e equilibrada.
9 Marcar para revisão
Para entender melhor a relação entre n e n sob a condição de que n≤5, é crucial seguir
uma série de passos lógicos que fundamentam a demonstração dessa inequação.
Coloque em ordem a demonstração se n ≤ 5, então n ≤ 5n + 10.
I. n ≤ 5
II. n. n ≤ 5.n
III. n ≤ 5.n + 0
IV. Como 0 ≠ 10, podemos concluir que n ≤ 5n + 0 ≤ 5n + 10.
Portanto, se n ≤ 5, então n ≤ 5n + 10
2
2
2
2
2
4 -3 - 2 - 1.
1 - 2- 3 - 4.
C
D
E
2 - 3 - 4 - 1.
4 - 3 - 1 - 2.
1 - 2 - 4 - 3.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é: 1 - 2- 3 - 4
Para colocar a demonstração na ordem correta, vamos primeiro entender a lógica
por trás dos passos dados:
I. n ≤ 5: Esta é a premissa inicial. Ela estabelece a condição de que n é menor ou igual
a 5.
II. n. n ≤ 5.n: Isso deriva da primeira afirmação, multiplicando ambos os lados da
inequação por n, assumindo que n é um número não negativo.
III. n ≤ 5.n + 0: Este passo parece ser uma forma de expressar o resultado do passo
II, adicionando 0 ao lado direito para preparar para o próximo passo.
IV. Como 0 ≠ 10, podemos concluir que n^2 ≤ 5n + 0 ≤ 5n + 10: Este passo ajusta a
inequação para incluir o +10, ampliando o lado direito da inequação para cobrir mais
casos, mantendo a veracidade da afirmação inicial de que, se n ≤ 5, então n ≤ 5n +
10.
Com base na explicação e análise dos passos, a ordem correta é a que segue
logicamente a progressão do argumento desde a premissa inicial até a conclusão.
Portanto, a sequência correta dos passos é:
I. n ≤ 5: Estabelece a condição inicial.
II. n.n ≤ 5.n: Aplica a condição inicial em uma inequação.
III. n ≤ 5.n + 0: Prepara a expressão para comparação final.
IV. Como 0 ≠ 10, podemos concluir que n ≤ 5n + 0 ≤ 5n + 10: Conclui a
demonstração com a inclusão de +10 para generalizar o resultado.
Logo, a ordem correta é:
1 - 2 - 3 - 4
2
2
2
2
A
B
C
D
E
10 Marcar para revisão
Analisando a declaração: Demonstre que √2 é um número irracional; um estudante de
métodos de demonstração  assim escreveu:
Demonstração. Suponha, por absurdo, que é racional.
Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que 
poderia ser representado como fração irredutível a b.
PORQUE
II. A partir disto, podemos afirmar que:
2 = ( ) = (a/b) = a /b
2b = a
Assim, temos que a é par e, desta forma, a também é par. Como a é par, a = 2k para
algum inteiro k. Logo:
2b = a = (2k) = 4k
b = 2k
O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a
fração irredutível a/b poderia ser reduzida, um absurdo!
Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim, é irracional.
A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinalea opção correta.
√2
√2
√2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
Apenas um item está certo.
Apenas os itens I, II e III estão certos.
Apenas os itens II, III e IV estão certos.
Todos os itens estão certos.
Apenas dois itens estão certos.
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
A resposta certa é: Todos os itens estão certos. A demonstração do estudante está
correta. A partir da suposição de que √2 é racional, o estudante chega à conclusão
de que √2 é par, o que é uma contradição. Portanto, a resposta correta é que todos
os itens estão certos.