Modelagem de Sistemas Mecânicos

Prévia do material em texto

MODELAGEM DE 
SISTEMAS MECÂNICOS
UNIDADE II
MÉTODO DE NEWTON-EULER E 
MOMENTO DE INÉRCIA
Autoria
Pedro Augusto Fernandes Pereira
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
SUMÁRIO
UNIDADE II
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA ............................................................5
CAPÍTULO 1 
MÉTODO DE NEWTON-EULER ............................................................................................. 5
CAPÍTULO 2 
MOMENTO DE INÉRCIA ..................................................................................................... 15
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................22
5
UNIDADE II
MÉTODO DE 
NEWTON-EULER E 
MOMENTO DE INÉRCIA
CAPÍTULO 1 
MÉTODO DE NEWTON-EULER
1.1. Introdução
A formulação Newton-Euler, derivada da segunda lei de Newton, é uma técnica 
robusta e detalhada fundamental para analisar o movimento de corpos rígidos. Seu 
nome é derivado da combinação dos princípios fundamentais da segunda lei de 
Newton, que descreve as relações entre forças e movimento linear, com as equações 
angulares de Euler, que descrevem a rotação de um corpo rígido. Essa abordagem 
é especialmente valiosa quando é essencial compreender não apenas as variáveis 
cinemáticas, como posição, velocidade e aceleração, mas também as variáveis 
dinâmicas relacionadas às forças e torques que atuam sobre esses corpos complexos.
Na mecânica clássica, as equações de Newton-Euler descrevem a dinâmica combinada 
de translação e rotação de um corpo rígido.
Tradicionalmente, as equações de Newton-Euler consistem na combinação das 
duas leis de movimento de Euler para um corpo rígido em uma única equação 
com 6 componentes (para um sistema tridimensional, para o bidimensional serão 4 
componentes), utilizando vetores coluna e matrizes. Essas leis relacionam o movimento 
do centro de gravidade de um corpo rígido com a soma das forças e torques (ou 
sinonimamente momentos) atuando sobre o corpo rígido.
1.1.1. Principais aspectos
1.1.1.1. Equações de movimento linear
No contexto da formulação Newton-Euler, as equações de movimento linear são 
derivadas diretamente da segunda lei de Newton, focando na translação dos corpos 
rígidos. Nesse processo, as forças externas aplicadas ao corpo são consideradas, 
6
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
resultando na determinação da aceleração linear. Conforme vimos na primeira 
unidade, as equações de força para o movimento bidimensional são representadas 
pelas equações:
∑ = G xmxF a Eq. 37
∑ = G ymyF a Eq. 38
1.1.1.2. Equações de movimento angular
Quando nos dedicamos a compreender a rotação de um corpo rígido, adentramos 
o intrigante universo das equações angulares de Euler. Essa abordagem matemática 
fornece as ferramentas necessárias para estabelecer relações fundamentais entre os 
momentos aplicados ao corpo, os momentos de inércia associados e as acelerações 
angulares resultantes.
Com as equações angulares de Euler, conseguimos desvendar os intricados padrões 
de movimento rotacional que um corpo rígido pode experimentar. Essas equações 
não apenas capturam a essência da dinâmica angular, mas também nos permitem 
prever como o corpo responde aos momentos aplicados, considerando a distribuição 
de sua massa e a resistência à variação da velocidade angular.
Para o método Newton-Euler, são consideradas as equações que estabelecem relações 
entre os momentos aplicados ao corpo, os momentos de inércia e as acelerações 
angulares. Conforme vimos na primeira unidade da apostila:
α∑ = ×O OIM Eq. 40
1.1.1.3. Sistema de coordenadas móveis
Uma característica distintiva da formulação Newton-Euler é a utilização frequente de 
um sistema de coordenadas móveis, que é vinculado ao corpo rígido em análise. Essa 
abordagem simplifica a descrição do movimento, permitindo a análise simultânea de 
rotação e translação.
Ou seja, a abordagem dada pelo método segue a descrita na Unidade I, capítulo 
2, tópico intitulado “O movimento plano geral decomposto – Movimento relativo”. 
Note que o método acompanha o movimento de translação através do centro de 
gravidade do corpo, ao mesmo tempo em que considera a rotação em torno do 
centro de gravidade.
7
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA | UNIDADE II
1.1.1.4. Algoritmo recursivo
Um destaque notável é o uso do algoritmo recursivo, que desempenha um papel crucial 
no cálculo eficiente de variáveis cinemáticas e dinâmicas em relação aos segmentos do 
corpo. Essa abordagem facilita a análise hierárquica de sistemas articulados.
1.1.1.5. Considerações tridimensionais
A formulação Newton-Euler demonstra uma eficácia particular na descrição de 
movimentos tridimensionais de corpos rígidos. Leva em conta as diferentes orientações 
possíveis e as complexas relações entre variáveis.
1.1.2. Aplicações
1.1.2.1. Robótica
Na dinâmica de robôs, a formulação Newton-Euler é comumente empregada para 
calcular as forças e torques necessários em movimentos específicos, contribuindo para 
a precisão e eficiência do controle robótico.
1.1.2.2. Engenharia mecânica
Em sistemas mecânicos complexos, como mecanismos articulados, a formulação 
Newton-Euler é valiosa para modelar e compreender os comportamentos dinâmicos, 
contribuindo para o projeto e otimização eficiente desses sistemas.
1.1.3. Vantagens
1.1.3.1. Precisão
Proporciona resultados precisos para sistemas complexos, considerando 
simultaneamente movimentos de translação e rotação.
1.1.3.2. Versatilidade
A formulação é adequada para sistemas tridimensionais e situações envolvendo 
movimentos simultâneos em diferentes direções, oferecendo uma abordagem 
abrangente para análises dinâmicas.
1.1.3.3. Eficiência computacional
O algoritmo recursivo empregado pela formulação Newton-Euler é eficiente em termos 
computacionais, permitindo análises rápidas e precisas de sistemas complexos.
8
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
1.1.4. Desafios
1.1.4.1. Complexidade matemática
A aplicação da formulação Newton-Euler envolve equações matemáticas complexas, 
demandando uma compreensão sólida de conceitos avançados de dinâmica. Quando 
possível resolver as equações considerando apenas um plano de rotação, elas são 
muito simplificadas, mas conforme a rotação exige uma solução considerando mais 
coordenadas, outros termos surgem na equação, e a decomposição do momento 
em cada direção exigirá o cálculo de momentos de inércia em todas as direções e 
combinações destes para a solução das equações. Uma análise mais detalhada será 
dada na Unidade III da apostila.
1.1.4.2. Implementação computacional
A implementação prática do algoritmo recursivo pode ser desafiadora, exigindo uma 
compreensão profunda da teoria subjacente e habilidades computacionais avançadas.
Em resumo, a formulação Newton-Euler emerge como uma ferramenta essencial 
para analisar movimentos complexos em corpos rígidos, sendo amplamente 
utilizada em diversos campos, desde a robótica até a engenharia mecânica avançada, 
proporcionando insights valiosos para o entendimento e aprimoramento desses 
sistemas.
1.2. O método Newton-Euler
Um conjunto de forças vetoriais aplicadas em vários pontos de um corpo rígido é 
denominado distribuição de esforços, também referido como sistema de forças. 
Segundo os princípios da mecânica newtoniana, a influência coletiva dessas forças 
(totalizando 16 forças, nesse caso) sobre o movimento do corpo rígido pode ser 
completamente caracterizada por um par de vetores, expressos como (F, M), em que 
F representa a força resultante, também conhecida simplesmente como “resultante”, e 
M é o torque resultante da distribuição, comumente chamado de “binário”. O torque 
é sempre referente a um ponto específico no espaço, denominado polo do par (F, M).
Esse par de vetores (F, M) descreve abrangentemente a influência da distribuição 
sobre o movimento do corpo rígido da seguintemaneira: duas distribuições 
distintas, que podem ser representadas pelo mesmo par (F, M) em relação a um 
mesmo polo, induzem exatamente as mesmas acelerações lineares e angulares 
no corpo rígido. Isso ocorre apesar das diferenças nos esforços internos, que são 
responsáveis por manter a rigidez do corpo e podem variar entre os dois casos.
9
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA | UNIDADE II
Em síntese, a solução das equações para um par (F, M) resultará em uma única solução 
de a e α.
α= ∑ = ×
= ∑ =
G
G G
G
d
I
dt
d m
dt
H
M
L F a
Eq. 49
1.2.1. Procedimento geral para análise
Problemas cinéticos envolvendo movimento plano geral de um corpo rígido podem 
ser resolvidos utilizando-se o procedimento indicado a seguir:
Diagrama de corpo livre:
 » Estabeleça o sistema de coordenadas inercial x, y e crie o diagrama de corpo livre 
para o corpo.
 » Especifique a direção e o sentido da aceleração do centro de massa, aG, e da 
aceleração angular α do corpo.
 » Determine o momento de inércia I.
 » Identifique as incógnitas no problema.
 » Se a equação de movimento rotacional for necessária, considere desenhar o 
diagrama cinético para visualizar os momentos desenvolvidos pelas componentes 
m(aG)x, m(aG)y e Iα ao escrever os termos na soma dos momentos.
Equações de movimento:
 » Aplique as três equações de movimento de acordo com a convenção de sinais 
estabelecida.
 » Quando o atrito está presente, considere a possibilidade de movimento sem 
deslizamento ou tombamento. Cada possibilidade de movimento deve ser 
considerada.
Cinemática:
 » Utilize a cinemática se uma solução completa não puder ser obtida estritamente 
das equações de movimento.
10
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
 » Se o movimento do corpo for restrito devido aos seus suportes, obtenha 
equações adicionais utilizando aB = aA + aB/A, que relacionam as acelerações de 
quaisquer dois pontos A e B sobre o corpo.
 » Quando uma roda, disco, cilindro ou bola rola sem deslizar, então aG = αR, em 
que R é o raio do corpo.Parte superior do formulário
1.3. Aplicações das equações de Newton e Euler
Neste tópico, iremos discutir a abordagem dessas equações para diferentes tipos de 
sistemas e condições, partindo do mais simples aos mais complexos. Muito do que 
será descrito aqui tem como referência o texto Zilio e Bagnato (2015).
Muito do que será abordado neste capítulo pode ser visto como uma revisão 
de diversas disciplinas do curso de engenharia mecânica; sendo assim, será visto 
de forma mais simplificada. Para um melhor aprofundamento, é sugerido uma 
consulta ao material no qual este capítulo foi fundamentado:
 » ZILIO, S. C.; BAGNATO, V. S. Apostila do Curso de Física, Mecânica, calor e 
ondas, 2015.
1.3.1. Equilíbrio estático de um corpo rígido
Conforme abordamos anteriormente, um corpo rígido pode manifestar movimentos 
tanto rotacionais quanto translacionais, associados, respectivamente, a um torque e 
a uma força externa. Dizemos que um corpo está em equilíbrio quando seu estado 
de movimento rotacional e translacional permanece constante ao longo do tempo 
(ou seja, aceleração angular α e aceleração linear a são ambas igual a zero). Em casos 
específicos, quando não há presença de movimento (velocidade linear v e velocidade 
angular ω iguais a zero), referimo-nos ao corpo como estando em equilíbrio estático, 
ou seja, em repouso. A condição essencial para que essa situação ocorra é:
∑ =O OIM Rotacional
Eq. 50∑ =0F Translacional
Aplicando em um caso simples de uma escada apoiada em uma parede e sem atrito 
com a parede (apenas com o solo), conforme a Figura 9:
11
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA | UNIDADE II
Figura 9. Escada apoiada em uma parede sem atrito.
Fonte: Zilio e Bagnato (2015).
Considerando a massa da escada como M, seu comprimento como L, e a presença de 
atrito com o chão com coeficiente μ, nosso objetivo é determinar o ângulo mínimo θ 
no qual a escada não escorrega.
Como no caso de a escada não escorregar as acelerações (de translação e de rotação) 
serão zero, podemos calcular:
∑ = → − =20 0
Resulta
Mg NxF Eq. 51
µ∑ = → − = − =1 1 20 0 
Resulta
atN F N NyF
Eq. 52
( )θ θ∑ = → − =10 ( sen ) 0
2
Resulta
O
LMgcos N LM
Eq. 53
Note que o momento foi calculado em torno do ponto de contato da escada com o 
chão.
Solucionando esse sistema de equações, teremos:
Eq. 54
Repare que, nos balanços, N foi utilizado para denotar a força normal, que é a 
força de reação que a superfície faz na escada. Para esse caso, ambas serão dadas 
pela decomposição da força peso em cada coordenada. Além disso, é importante 
frisar que a força de atrito é dada como o coeficiente de atrito (estático, quando 
não há movimento, ou cinético, quando v ≠ 0) multiplicado pela força normal.
12
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
1.3.2. Aceleração constante
Examinaremos agora a situação em que uma força externa atua sobre o corpo 
rígido, resultando em uma aceleração constante. Em geral, nessa situação, ocorre 
um movimento combinado de rotação e translação. Esses movimentos podem ser 
analisados de maneira independente e, posteriormente, relacionados.
Podemos aplicar esses conceitos a um caso de um ioiô solto do repouso, sendo M 
a massa dele, R seu raio e T a tração na corda, conforme a Figura 10. Queremos 
encontrar ω(t) e v(t).
Figura 10. Ioiô solto a partir do repouso.
Fonte: Zilio e Bagnato (2015).
Nesse caso, podemos considerar um eixo coordenado vertical y; dessa forma, 
somente teremos forças aplicadas ao longo desse eixo. Assim:
∑ = → − =
Resulta
G GM Mg T MyF a a
Eq. 55
Para o cálculo do momento, podemos observar que P é um CI, e, portanto, de 
velocidade zero. Notamos também que o centro de gravidade gira em torno do 
ponto P com a aceleração aG = Rα. Ao aplicarmos o momento das forças em torno 
do centro de gravidade, vamos obter:
αα α∑ = → = → =
Resulta Resulta
G
II TR I T
R
M
Eq. 56
Neste caso nossas incógnitas são α, T e a.
Substituindo os resultados da Eq. 54 na Eq. 53 e lembrando que α ω=  :
13
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA | UNIDADE II
α ω ω− → − = 
ResultaIMg Mg T MR
R Eq. 55
Rearranjando, e notando que para um disco sólido = 2 /2I MR :
ω =
2
3
g
R Eq. 57
Podemos, então, integrar a equação no tempo para obtermos nossa solução:
( ) ( )ω = =
2 2 
3 3
gt t ou v t gt
R Eq. 58
1.3.3. Cilindro descendo um plano inclinado
Vamos considerar agora um cilindro descendo por um plano inclinado sem deslizar, 
conforme a Figura 11.
Figura 11. Cilindro descendo um plano inclinado.
Fonte: Zilio e Bagnato (2015).
Da mesma forma que anteriormente, podemos observar que o ponto de contato 
do cilindro com a rampa (P) é um CI, e, portanto, de velocidade zero em relação à 
rampa. Assim, fica subentendido, também, que o centro de gravidade gira em torno 
do ponto P com a aceleração aG = Rα e vG = Rω.
Fazendo a análise a partir da equação para rotação:
α α∑ = → =
=
2
Resulta
P G at G
G
at G
I R I
I
R
M F
F a
Eq. 59
14
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
Para a translação, consideraremos um eixo y paralelo ao plano inclinado e um eixo 
x perpendicular ao plano. Resolvendo o balanço de forças para a coordenada x, e 
notando que somente há aceleração ao longo desse eixo:
( )θ∑ = → − = 
Resulta
G at GM Mg sen MxF a F a
Eq. 60
Substituindo a Eq. 58 na Eq. 59 e considerando novamente que = 2 /2I MR :
( )
( )
θ
θ
 
= +  
 
=
2
 
3 
2
G
G
G
I
Mg sen M
R
Mg sen M
a
a
Eq. 61
Logo:
( )
( )
θ
θ
=
=
2 
3
1 
3
G
at
g sen
Mg sen
a
F
Eq. 62
15
CAPÍTULO 2 
MOMENTO DE INÉRCIA
2.1. Introdução
O momento de inércia, muitas vezes chamado de inércia rotacional, é uma 
característica intrínseca de corpos rígidos que desempenha um papel fundamental 
na análise do movimento rotacional. Esse conceito é uma extensão natural da inércia 
linear (que é definida pela massa do corpo), que se relaciona com a resistência de 
um objeto àmudança em seu estado de movimento translacional. No contexto 
rotacional, o momento de inércia expressa a relutância de um corpo em alterar seu 
estado de rotação em torno de um determinado eixo.
A definição matemática do momento de inércia (I) está intimamente ligada à 
distribuição de massa de um objeto em relação ao eixo de rotação. Para um sistema 
contínuo de partículas ou uma distribuição discreta de massas, o momento de inércia 
pode ser expresso por integrais ou somatórios, respectivamente. No entanto, em 
muitos casos, especialmente para formas geométricas comuns, existem fórmulas 
específicas que simplificam o cálculo do momento de inércia.
Por exemplo, considerando um eixo fixo em relação ao qual um corpo está girando, 
o momento de inércia (I) para objetos com formas simples, como discos, cilindros 
ou barras, pode ser calculado diretamente usando as dimensões físicas do objeto. 
Conforme vimos anteriormente nas resoluções de problemas envolvendo o 
movimento de corpos rígidos com aceleração constante, para um disco de raio R 
e massa uniformemente distribuída, o momento de inércia é dado por = 2 /2I MR
, em que M é a massa total do disco. Devemos frisar que deve haver um cuidado 
especial ao utilizar essa equação, pois ela somente é válida para esses casos citados 
anteriormente. Para outros casos, teremos uma equivalente, baseada no raio de 
giração, que definiremos posteriormente.
A importância do momento de inércia torna-se evidente ao analisar a segunda lei 
de Newton para rotação, que relaciona o torque (M) aplicado a um corpo ao seu 
momento de inércia e à aceleração angular (α), pela equação ΣM = Iα. Isso espelha 
a conhecida equação F = ma na dinâmica linear, destacando a analogia entre 
movimento translacional e rotacional.
Ao explorar o movimento de corpos rígidos, o momento de inércia desempenha um 
papel crucial na determinação da aceleração angular resultante em resposta a um 
torque aplicado. Além disso, é uma peça fundamental na conservação do momento 
16
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
angular, um princípio que afirma que, em um sistema isolado, o momento angular 
total permanece constante, evidenciando a importância do momento de inércia em 
contextos mais amplos de física mecânica.
A aplicação prática do momento de inércia é vasta e abrange diversas áreas, desde 
a engenharia de máquinas e veículos até a compreensão de fenômenos naturais, 
como a rotação de corpos celestes. Sua compreensão é crucial para engenheiros, 
físicos e cientistas que buscam modelar e prever o comportamento de sistemas 
rotacionais em diferentes contextos. Em resumo, o momento de inércia é uma 
ferramenta poderosa na análise e descrição do movimento rotacional, contribuindo 
para avanços significativos na compreensão do mundo físico que nos rodeia.
Já vimos ao longo da apostila algumas aplicações de momento de inércia, por 
exemplo, no cálculo dos momentos e da energia cinética de rotação. Agora vamos 
ver um pouco mais atentamente essa variável tão importante.
2.2. Energia cinética rotacional e momento de inércia
A energia cinética de rotação (Tr) de um corpo que está girando ao redor de um 
eixo, conforme foi discutido na Unidade I, é dada por:
ω= 21
2rT I
Eq. 44
Em que:
 » I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação.
 » ω é a velocidade angular do corpo.
Essa equação reflete a quantidade de energia associada ao movimento de rotação de 
um corpo em torno de um eixo específico. O termo ω21
2
I representa a contribuição 
da rotação para a energia total do sistema.
A definição matemática do momento de inércia é uma medida da distribuição de 
massa em relação ao eixo de rotação. Para um sistema contínuo de partículas, o 
momento de inércia (I) pode ser calculado por meio da integral:
= ∫ 2I r dm Eq. 63
Em que:
 » r é a distância de uma partícula de massa infinitesimal (dm) ao eixo de rotação.
17
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA | UNIDADE II
Essa integral considera a soma de todas as contribuições infinitesimais de massa 
ao momento de inércia. Para corpos com formas geométricas específicas, existem 
fórmulas diretas para calcular o momento de inércia em relação a eixos específicos. 
Comparando a energia cinética de rotação com a de translação, vemos que o 
momento de inércia faz o papel da massa inercial e a velocidade angular faz o papel 
da velocidade tangencial.
O momento de inércia de um corpo rígido é intrinsecamente vinculado à maneira 
como sua massa está distribuída em relação a um eixo específico ao redor do qual 
o corpo realiza rotação. Consequentemente, um corpo rígido único pode apresentar 
diversos momentos de inércia, os quais variam conforme os eixos de rotação 
selecionados. Considerando uma velocidade angular ω, a dependência do momento 
de inércia em relação ao eixo de rotação implica que a energia cinética associada 
também será influenciada por essa escolha específica de eixo.
A determinação do momento de inércia para cada corpo e configuração foge ao 
escopo desse curso, sendo abordado tipicamente em cursos de Física 1 (mecânica). 
Temos ainda que considerar que o cálculo para algumas configurações mais 
complexas pode ser bem trabalhoso; sendo assim, vamos apresentar aqui algumas 
soluções tabeladas para alguns corpos e configurações com simetria axial, conforme 
a Figura 12.
É importante notar que, embora algumas figuras estejam repetidas na tabela, o eixo de 
rotação é diferente, como podemos ver nos casos (c) e (d).
Figura 12. Momento de inércia para algumas configurações.
 
Anel fino 
em torno 
de um eixo 
central 
𝐼𝐼 = 𝑀𝑀𝑅𝑅2 (a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
(i) (h) (g) 
𝐼𝐼 = 1
2𝑀𝑀(𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅22) 
𝐼𝐼 = 1 2Τ 𝑀𝑀𝑅𝑅2 
𝐼𝐼 = 1 2Τ 𝑀𝑀𝑅𝑅2 
𝐼𝐼 = 1 2Τ 𝑀𝑀𝑅𝑅2 + 1 12Τ 𝑀𝑀𝐿𝐿2 𝐼𝐼 = 1 12Τ 𝑀𝑀𝐿𝐿2 
𝐼𝐼 = 2 3Τ 𝑀𝑀𝑅𝑅2 𝐼𝐼 = 1 2Τ 𝑀𝑀𝑅𝑅2 𝐼𝐼 = 1 12Τ 𝑀𝑀(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2) 
Cilindro oco 
(ou anel 
grosso) em 
torno de um 
eixo central 
Cilindro (ou 
disco) 
maciço em 
torno do 
eixo central 
Cilindro (ou 
disco) 
maciço em 
torno do 
diâmetro 
central 
Barra fina em 
torno de um 
eixo central 
perpendicular 
à maior 
dimensão 
Esfera 
maciça em 
torno de 
um 
diâmetro 
Casca 
esférica 
fina em 
torno de 
um 
diâmetro 
Anel fino 
em torno 
de um 
diâmetro 
Placa em 
torno de 
um eixo 
passando 
pelo 
centro 
Fonte: Halliday et al. (2009).
18
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia exibe diversas propriedades que frequentemente facilitam a 
execução de cálculos. Explorar as propriedades do momento de inércia torna-se crucial 
para simplificar e otimizar cálculos em situações diversas. Vamos agora aprofundar 
nosso entendimento sobre essas propriedades, destacando como elas influenciam a 
dinâmica rotacional dos corpos rígidos.
2.3. Teorema dos eixos paralelos (Teorema de Steiner)
O Teorema dos Eixos Paralelos oferece uma abordagem eficaz para calcular o 
momento de inércia de um corpo rígido em torno de um eixo que não passa pelo 
seu centro de massa. Essencialmente, este teorema proporciona uma maneira prática 
de relacionar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a um eixo de 
referência que passa pelo centro de massa.
Imagine que já conhecemos o momento de inércia IG de um corpo em relação a um 
eixo que passa pelo seu centro de massa G. Agora, se desejarmos calcular o momento 
de inércia I0 em relação a um eixo paralelo a esse eixo de referência, mas que não 
passa pelo centro de massa, o Teorema dos Eixos Paralelos é a ferramenta que nos 
permite realizar esse cálculo de forma mais eficiente.
Matematicamente, o teorema expressa que o momento de inércia I0 em relação a 
um eixo paralelo a uma distância d do eixo que passa pelo centro de massa é obtido 
somando-se o momento de inércia IG em relação ao eixo que passa pelo centro de 
massa e o produto da massa total do corpo (m) pela distância ao quadrado (d2). 
Assim:
I0 = IG + md2 Eq. 64
Podemos visualizar um exemplo dessecaso na Figura 13. O momento de inércia em 
relação ao eixo G que passa pelo centro de massa é de fácil determinação, sendo 
tabelado. Para saber o momento de inércia em relação a um eixo O, paralelo a G, e 
que tangencia o corpo em uma distância d igual ao raio do corpo, podemos utilizar 
o teorema dos eixos paralelos descrito na Eq. 63, bastando, para isso, conhecer o 
momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade.
19
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA | UNIDADE II
Figura 13. Corpo circular com indicativo de um eixo que passa pelo centro de massa (G) e 
um eixo paralelo que tangencia o corpo.
Fonte: elaborada pelo autor, 2024.
Essa formulação simplificada é de grande utilidade na prática, permitindo calcular o 
momento de inércia em relação a um eixo arbitrário sem a necessidade de detalhes 
intricados sobre a distribuição de massa ao longo do corpo. O Teorema dos Eixos 
Paralelos, portanto, emerge como uma ferramenta valiosa na análise dinâmica de 
corpos rígidos, facilitando os cálculos em situações em que o eixo de interesse não 
coincide com o centro de massa do objeto.
Em resumo, ao simplificar o cálculo do momento de inércia em relação a eixos 
não passantes pelo centro de massa, o teorema dos eixos paralelos torna-se uma 
contribuição significativa para a compreensão e análise eficaz do movimento rotacional 
em sistemas mecânicos complexos.
2.3.1. Equação do momento em torno do ponto O
Para as equações do movimento apresentadas, podemos observar que ambas as 
equações são utilizadas com base no centro de gravidade do corpo. Uma equação 
alternativa pode ser desenvolvida para o cálculo quando desejamos avaliar a 
somatória de momento em torno de um ponto O qualquer, o qual está a uma 
distância d do centro de gravidade desse corpo, como na Figura 13. Assim, tem-se:
α∑ = + 2( )O GI mdM Eq. 65
Observando do teorema dos eixos paralelos que (IG + md2) é igual a I0 e substituindo:
α∑ =O OIM Eq. 66
20
UNIDADE II | MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA
2.4. Teorema dos eixos perpendiculares
O teorema dos eixos perpendiculares simplifica a determinação do momento 
de inércia de um corpo rígido em torno de um eixo perpendicular a outro eixo 
conhecido. Esse teorema proporciona uma maneira eficaz de relacionar os momentos 
de inércia em diferentes eixos perpendiculares, simplificando consideravelmente o 
processo de cálculo em problemas complexos de dinâmica de corpos rígidos. Esse 
teorema é válido para corpos planos, do tipo placa, como mostrado na Figura 14:
Figura 14. Definição do teorema dos eixos perpendiculares.
Fonte: elaborada pelo autor, 2024.
Suponha que tenhamos conhecimento do momento de inércia Ix e Iy de um corpo 
em relação a um certo eixo x e y. Se desejarmos calcular o momento de inércia Iz em 
relação a um eixo perpendicular z, o teorema dos eixos perpendiculares estabelece 
que a soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares 
contidos no plano do corpo é equivalente ao momento de inércia em relação a um 
terceiro eixo perpendicular ao plano do corpo, e que passa pela interseção dos dois 
primeiros. Quando esse terceiro eixo coincide com o centro de massa, é designado 
como o eixo polar. Matematicamente, podemos escrever:
Iz = Ix + Iy Eq. 67
2.5. O raio de giração
O raio de giração é uma propriedade geométrica que está intrinsicamente relacionada 
ao momento de inércia de um corpo em torno de um eixo específico. Ele fornece 
uma medida efetiva da distribuição da massa em relação a esse eixo, permitindo uma 
caracterização mais simplificada do comportamento rotacional do corpo.
21
MÉTODO DE NEWTON-EULER E MOMENTO DE INÉRCIA | UNIDADE II
Definimos o momento de inércia I de um corpo em relação a um eixo específico 
como a soma ponderada das massas elementares multiplicadas pelo quadrado da 
distância de cada massa ao eixo de rotação. O raio de giração k é uma quantidade 
definida como a raiz quadrada do quociente entre o momento de inércia e a massa 
total do corpo (m):
=
Ik
m Eq. 68
Essencialmente, o raio de giração representa uma medida média da distribuição 
de massa em relação ao eixo de rotação. Quanto maior o raio de giração, mais da 
massa do corpo está concentrada a uma distância maior do eixo, o que implica em 
um momento de inércia maior. Ao contrário, um raio de giração menor indica que a 
massa está mais concentrada em regiões mais próximas ao eixo.
O raio de giração é particularmente útil porque permite que o momento de 
inércia seja expresso de uma forma mais compacta em equações relacionadas ao 
movimento rotacional. Em muitos casos, quando o raio de giração é conhecido, 
podemos usar a fórmula simplificada:
I = mk2 Eq. 69
Essa relação é especialmente valiosa em situações práticas, como em problemas 
de engenharia e física, em que o conhecimento do raio de giração pode simplificar 
os cálculos relacionados à rotação de corpos rígidos. Além disso, o raio de 
giração é uma ferramenta útil na caracterização de propriedades geométricas e na 
comparação relativa de diferentes corpos em termos de sua distribuição de massa 
em relação a um eixo específico.
22
REFERÊNCIAS
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JUNIOR, Russel; CORNWELL, Phillip J.; Dinâmica: Mecânica Vetorial para 
Engenheiros. 9. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012.
BERNARDO, N. Conservação do Momento Angular: o que significa? 2017. Disponível em: https://
vamosestudarfisica.com/conservacao-do-momento-angular-o-que-significa/#:~:text=A%20
Conserva%C3%A7%C3%A3o%20do%20Momento%20Angular,em%20torno%20de%20um%20eixo. 
Acesso em: 15 abr. 2024.
CHAVES, J. C. et al. Octave and Python: High-Level Scripting Languages Productivity and Performance 
Evaluation. Proceedings... HPCMP USERS GROUP CONFERENCE, 6, [Denver]. [S.l]: IEEE, pp. 429-434, 2006.
HAHN, B. H.; VALENTINE, D. T. Essential MATLAB for Engineers and Scientists. [S.l.]: Elsevier, 2017.
HAHN, Hubert. Rigid body dynamics of mechanisms: 1 Theoretical Basis. Berlin: Springer, 2002.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física V1. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: 
LTC, 2009.
HIBBELER, R.C. Análise das estruturas. São Paulo, SP: Pearson Education do Brasil, 2013. 522 p.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 14. ed. São Paulo: Pearson, 2017.
LACHNIET, J. Introduction to GNU Octave. 3. ed. Mountain View: Jason Lachniet, 2020. Disponível em: 
https://www.wcc.vccs.edu/sites/default/files/Introduction-to-GNU-Octave.pdf. Acesso em: 15 abr. 2024.
LEROS, A. P.; ANDREATOS, A., ZAGORIANO, A. Matlab – Octave science and engineering benchmarking 
and comparison. In: WSEAS INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPUTERS, 14. Latest Trends on 
Computers (Volume II). [S.l.]: WSEAS Press, p. 746-754, 2010
NELSON, E. W.; BEST, Charles L.; MCLEAN, W.; POTTER, G. Engenharia Mecânica: Dinâmica. Porto Alegre: 
Bookman, 2013.
SANTOS, Ilmar F. Dinâmica de sistemas mecânicos: modelagem, simulação, visualização, verificação. 
São Paulo, SP: Makron, 2001. 272p.
SHABANA, Ahmed A. Computational dynamics. 3. ed. New York Weinheim: Wiley, 2010.
TENENBAUM, Roberto A. Dinâmica aplicada. 3.ed. São Paulo, SP: Manole, 2006. 792 p.
ZILIO, S. C.; BAGNATO, V. S. Apostila do Curso de Física, Mecânica, calor e ondas. 2015. Disponível em: 
https://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material2015-1%20FFI0132%20Vibracoesondas/Zilio%20
-%20Fisica%20II%20-%20Mecanica,%20calor,%20ondas.pdf. Acesso em: 15 abr. 2024.
	UNIDADE ii
	Método de Newton-Euler e momento de inércia
	Capítulo 1 
	Método de Newton-Euler
	Capítulo 2 
	Momento de inércia
	Referências