IEC082-Módulo I

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Prof. Dr. Alexandre Passito 
passito@icomp.ufam.edu.br 
1 Parte do material cedido pela Prof. Fabíola Guerra / Arilo Neto – DCC/UFAM. 
}  Sistemas de Numeração 
}  Conversão de Sistemas e Base 
}  Representação em Ponto Flutuante 
}  Erros Numéricos 
2 
3 
}  Representação não posicional 
◦  romanos 
–  MDCCCXLIX e MMCXXIV 
–  Como seria MDCCCXLIX + MMCXXIV ? 
}  Representação semi-posicional 
◦  hebraicos 
–  1= א (aleph), 2= ב (beth), 10= י (yod), 

100= ק(kuph), 11= ℵ 101 ,י= ℵ9+6( וט=15 ק) 
4 
}  Alemão 
◦  Vinte e um = ein-und-zwanzig 
}  Francês 
◦  Noventa = quatre-vingt-dix deux 
5 
}  Representação posicional 
◦  Base decimal (10) 
–  10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9] 
–  “Posição” indica potência positiva de 10 
–  5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100 
6 
}  Representação de inteiros 
◦  Base binária (2) 
–  2 “bits” disponíveis [0,1] 
–  “Posição” indica potência positiva de 2 
–  Exemplo: 11, 101, 1001000 
–  1011 na base 2 = 
–  1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 8+0+2+1 = 
 11 na base decimal 
7 
}  Representação de números fracionários 
◦  Base decimal (10) 
–  “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 10 
–  Potência negativa de 10 para parte fracionária 
–  54,32 = 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 2x10-2 
8 
}  Representação de números fracionários 
◦  Base binária (2) 
–  “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 2 
–  Potência negativa de 2 para parte fracionária 
–  10,11 na base 2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 = 
2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal 
9 
}  Maior interesse em decimal (10) 
◦  Nossa anatomia e cultura 
 e binário (2) 
◦  Uso nos computadores 
}  Outros sistemas: 
◦  Octal (8), {0,1,2, ... , 7} 
◦  Hexadecimal (16), {0,1,2, ... , 9, A,B,C,D,E,F} 
◦  Dodecimal (relógio, calendário) 
10 
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
0 0 0 0 
1 1 1 1 
2 10 2 2 
3 11 3 3 
4 100 4 4 
5 101 5 5 
6 110 6 6 
7 111 7 7 
8 1000 10 8 
9 1001 11 9 
10 1010 12 A 
11 1011 13 B 
12 1100 14 C 
13 1101 15 D 
14 1110 16 E 
15 1111 17 F 
... ... ... ... 
11 
12 
}  Uma caixa alienígena com o número 25 
gravado na tampa foi entregue a um grupo 
de c ient i s tas . Ao abr i rem a ca ixa , 
encontraram 17 objetos. Considerando que o 
alienígena tem um formato humanoide, 
quantos dedos ele tem nas duas mãos? 
13 
} 1710 = 25b 
} 17 = 2xb1 + 5xb0 
} 17 = 2b + 5 
} b = (17-5)/2 = 6 
14 
}  Binário para decimal 
◦  Já visto! 
◦  Multiplicar o bit pela potência de 2 começando em 0 (da direita 
pra esquerda) 
◦  Ex: 1012 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 510 
}  Exercício: Converter para decimal os números binários: 
◦  112 
◦  10102 
◦  100101102 
◦  101,012 
◦  11,112 
15 
}  Inteiro decimal para binário 
◦  Divisão inteira (do quociente) sucessiva por 2, até que resto seja = 
0 ou 1 
◦  Binário = composição do último quociente (Bit Mais Significativo – 
BMS) com restos (primeiro resto é bit menos significativo – bms) 
Em inglês, Most Significant Bit – MSB e Least 
Significat Bit – LSB, respectivamente. 
D 2 
b1 D1 2 
b2 D2 2 
b3 D3 ... 
Dm-1 2 
bn 1 bin = 1 bn ... b3 b2 b1 
16 
}  Exemplo: Converter 25 decimal para binário 
◦  25 / 2 = 12 (quociente) e resto 1=bms 
◦  12 / 2 = 6 (quociente) e resto 0 
◦  6 / 2 = 3 (quociente) e resto 0 
◦  3 / 2 = 1 (último quociente=BMS) e resto 1 
}  Binário = BMS ... bms = 1 1 0 0 1 
= 1x24 + 1x24 + 0x22 + 0x21 + 1x20 
= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25 decimal 
17 
}  Procedimentos básicos: - divisão 
 - polinômio 
 - agrupamento de bits 
 
HEXADECIMAL DECIMAL OCTADECIMAL 
BINÁRIO 
divisão 
divisão 
agrupamento 
4 bits 
polinômio 
divisão 
polinômio 
polinômio 
agrupamento 
3 bits 
18 
19 
 
 
a) (1011110010100111)2 = ( ? )16 
 
b) (A79E)16 = ( ? )2 
 
20 
Conversão octal hexadecimal 
}  Não é realizada diretamente não há relação de 
potências entre as bases oito e dezesseis. 
}  Semelhante à conversão entre duas bases 
quaisquer base intermediária (base binária) 
}  Conversão em duas etapas: 
 1 - número: base octal (hexadecimal) binária 
 2 - resultado intermediário: binária hexadecimal (octal) 
21 
}  Operação inversa: mult ip l icar parte 
fracionária por 2 até que parte fracionária do 
resultado seja 0 (zero) 
}  Bits da parte fracionária derivados das partes 
inteiras das multiplicações 
}  Bit imediatamente à direita da vírgula = Parte 
inteira da primeira multiplicação 
22 
}  Exemplo: converter 0,625 decimal para binário 
◦  0,625 x 2 = 1,25 logo a primeira casa fracionária é 1 ; 
nova fração (resto) é 0,25 (1,25-1=0,25) 
◦  0,25 x 2 = 0,5 segunda casa é 0 ; resto é 0,5 
◦  0,5 x 2 = 1,0 terceira casa é 1 ; resto é zero. 
◦  Resultado: 0,62510 = 0,1012 
23 
}  Exemplo: converter 0,4 decimal para binário 
◦  0,4 x 2 = 0,8 logo a primeira casa fracionária é 0 ; nova 
fração (resto) é 0,8 
◦  0,8 x 2 = 1,6 segunda casa é 1 ; resto é 0,6 (1,6 – 1) 
◦  0,6 x 2 = 1,2 terceira casa é 1 ; resto é 0,2 (1,2 – 1). 
◦  0,2 x 2 = 0,4 quarta casa é 0 ; resto é 0,4. 
e então começa uma dízima periódica... 
◦  0,410 = 0,011001100110....2 
24 
}  Para converter um número com parte inteira e 
parte fracionária, fazer a conversão de cada 
parte, separadamente. 
25 
(8,375)10 = ( ? )2 
26 
}  Operações com Números Binários 
◦  Soma de Números Binários 
–  0 + 0 = 0 
–  0 + 1 = 1 
–  1 + 1 = 10 
◦  Exemplos: Efetuar as seguintes somas 
–  11002 + 1112 
–  10111112 + 12 
27 
}  Operações com Números Binários 
◦  Exemplos: Efetuar as seguintes somas 
1 
1 1 0 0 
+ 1 1 1 
1 0 0 1 1 
1 1 1 1 1 
1 0 1 1 1 1 1 
+ 1 
1 1 0 0 0 0 0 
28 
}  Operações com Números Binários 
◦  Subtração de Números Binários 
–  0 - 0 = 0 
–  0 - 1 = 1 (e vai 1* para ser subtraído no dígito seguinte) 
–  1 - 0 = 1 
–  1 - 1 = 0 
◦  Exemplo: Efetuar a seguinte subtração 
–  11011102 - 101112 
29 
}  Operações com Números Binários 
◦  Exemplo: Efetuar a seguinte subtração 
* * * * 
1 1 0 1 1 1 0 
- 1 0 1 1 1 
1 0 1 0 1 1 1 
Explicando: Quando temos 0 menos 1, precisamos "pedir emprestado" do elemento 
vizinho. Esse empréstimo vem valendo 2 (dois), pelo fato de ser um número binário. Então, 
no caso da coluna 0 - 1 = 1, porque na verdade a operação feita foi 2 - 1 = 1. Esse 
processo se repete e o elemento que cedeu o "empréstimo" e valia 1 passa a valer 0. Os 
asteriscos marcam os elementos que "emprestaram" para seus vizinhos. Perceba, que, 
logicamente, quando o valor for zero, ele não pode "emprestar" para ninguém, então o 
"pedido" passa para o próximo elemento e esse zero recebe o valor de 1. 
30 
}  Operações com Números Binários 
◦  Multiplicação de Números Binários 
–  Similar a multiplicação de números decimais com 
diferenças na hora de somar os termos resultantes da 
multiplicação 
◦  Exemplos: Efetuar as seguintes multiplicações 
–  10112 x 10102 
–  1112 x 1112 
31 
}  Operações com Números Binários 
◦  Exemplos: Efetuar as seguintes multiplicações 
–  1112 x 1112 = 4910 
 1 1 1 
 x 1 1 1 
 1 1 1 
 + 1 1 1 - 
 1 0 1 0 1 
 + 1 1 1 - - 
 1 1 0 0 0 1 
32 
}  Operações com Números Binários 
◦  Exemplos: Efetuar as seguintes multiplicações 
–  10112 x 10102 = 11010 
1 0 1 1 
x 1 0 1 0 
1 
0 0 0 0 
+ 1 0 1 1 
0 0 0 0 
1 0 1 1 
1 1 0 1 1 1 0 
33 
}  Operações com Números Binários 
◦  Divisão de Números Binários–  Similar à divisão de números decimais. É o reverso da 
multiplicação. 
–  Deve-se observar somente a regra para subtração 
entre binários. 
◦  Exemplo: Efetuar a seguinte divisão 
–  1000112 ÷ 1012 
34 
}  Operações com Números Binários 
◦  Exemplo: Efetuar a seguinte divisão 
–  1000112 ÷ 1012 = 710 
 1 0 0 0’ 1’ 1’ / 1 0 1 
- 1 0 1 1 1 1 à 710 
 0 1 1 
 0 1 1 1 
- 1 0 1 
 0 1 0 
 0 1 0 1 
 - 1 0 1 
 0 0 0 
 
35 
}  Operações com Números Hexadecimais 
◦  Soma de Números Hexadecimais 
–  Processo semelhante ao da aritmética binária, com exceção 
que, neste caso, tem-se 16 algarismos disponíveis. 
–  Ocorrerá “vai 1” quando a soma de 2 algarismos for igual ou 
ultrapassar o valor da base (16). 
◦  Subtração de Números Hexadecimais 
–  Mesma regra: o empréstimo quando ocorrer será de 16. 
◦  Exemplos: 
–  3A943B16 + 23B7D516 
–  4C7BE816 + 1E927A16 
36 
}  Operações com Números Hexadecimais 
◦  Exemplos: Efetuar a seguinte soma 
3 (16) 
B 
(16) D (16) 
4 C 7 B E 8 
- 1 E 9 2 7 A 
2 D E 9 6 E 
1 1 1 
3 A 9 4 3 B 
+ 2 3 B 7 D 5 
5 E 4 C 1 0 
37 
38 
}  Representação pode variar (“flutuar”) a posição 
da vírgula, ajustando potência da base. 
◦  54,32 = 54,32 x 100 = 5,432 x 101 = 0,5432 x 102 
= 5432,0 x 10-2 
◦  Forma normalizada usa um único dígito antes da 
vírgula, diferente de zero 
–  Exemplo: 5,432 x 101 
39 
}  No sistema binário: 
◦  110101 = 110,101x23 = 1,10101x25 = 0,0110101x27 
◦  No caso dos números serem armazenados em um 
computador, os expoentes serão também gravados na 
base dois 
–  Como 310 = 112 e 7=1112 
–  110,101 x (10)11 = 1,10101x(10)101 = 0,0110101x(10)111 
◦  Na representação normalizada, há apenas um “1” antes 
da vírgula 
–  Exemplo: 1,10101x(10)101 
40 
}  Algumas definições: 
◦  No número 1,10101x(10)101 , tomado como referência: 
–  1,10101 = significando (ou “mantissa”) 
–  101 = expoente 
}  Observação: 
◦  Quando usada em temas que envolvem computador, a 
base binária não precisa ser explicitada (o 
computador usa sempre esta) 
◦  O “1” antes da vírgula, na representação normalizada 
– se esta for adotada –, também pode ficar implícito, 
economizando um bit (“bit escondido”). 
41 
}  Representação genérica: 
 ±d0,d1d2...dtx(b)exp , 
–  t é o número de dígitos da mantissa 
–  d1d2...dt = mantissa, com 0 ≤di ≤ (b-1) 
–  exp = expoente (inteiro com sinal) 
–  b = base 
}  Observação: 
◦  A base não precisa ser explicitada (mas pode) 
42 
}  Represente os seguintes números em 
notação de ponto flutuante 
◦  4,32 
◦  0,064 
◦  371 
◦  1234 
◦  0,00183 
◦  0,00000012 
◦  10101012(versão normalizada) 
 43 
}  Na organização/arquitetura do computador, 
definir: 
◦  Número de bits da mantissa (precisão, p) 
◦  Número de bits do expoente 
◦  Um bit de sinal (“0” para + e “1” para -) para o número 
(geralmente o primeiro, da esquerda) 
44 
}  Ilustração 
}  Sinal do número: 0 = + e 1 = - 
}  Expoentes: 8 combinações possíveis 
◦  000 e 111 – especiais (ver adiante) 
◦  011 (310) = expoente zero 
◦  001 e 010 = expoente –2 e –1 (abaixo de zero) 
◦  100, 101 e 110 = expoentes 1, 2 e 3 (acima zero) 
◦  OBS: Não podem seguir aritmética normal! 
Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0 
Expoente (+/-) Significando 
 
Sinal 
45 
000 (especial) 
001 (2-2) 
010 (2-1) 
011 (2 0) 
100 (2 1) 
101 (2 2) 
110 (2 3) 
111 (especial) 
Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0 
Expoente (+/-) Sinal 
0 = + 
1 = - 1,0000 1,0001 
 .... 
 .... 
1,1111 
1 = bit escondido 
Significando 
 
46 
}  Ainda os expoentes na ilustração... 
◦  Maior número positivo é (lembre do bit escondido) 
–  0 110 1111 = + 23 x 1,1111 = 1111,1 = 15,5 decimal 
◦  Menor número positivo é (lembre do bit escondido) 
–  0 001 0000 = + 2-2 x 1,0000 = 0,012 ou 0,25 
decimal 
47 
}  Combinações especiais dos expoentes na 
ilustração... 
◦  000 – representação NÃO normalizada 
–  Significando passa a ser 0,_ _ _ ... 
–  Expoente (000) = -2 
–  Menor número positivo passa a ser 
–  0 000 0001 = 2-2 x 0,0001 = 2-6 = 0,015625 
48 
}  Ainda as combinações especiais... 
◦  Normalização não permite representar zero! 
◦  000 – representação NÃO normalizada 
–  00000000 = + 0 decimal 
–  10000000 = - 0 decimal 
–  São iguais em comparações 
49 
}  Ainda as combinações especiais... 
◦  111 – representações de infinito 
–  0 111 0000 = + infinito 
–  1 111 0000 = - infinito 
–  1 111 1000 = indeterminação 
–  Outras combinações 1 111 1_ _ _ = Not A Number 
(NANs) 
50 
}  Considere o seguinte computador hipotético com 
dois dígitos (p=mantissa=2), base B=2 (binário) 
e expoente na faixa -1 ≤ e ≤ 2. 
}  Como o número é normalizado, isto é, d1 ≠ 0, 
qual é o menor número positivo que pode ser 
representado neste computador? E qual é o maior? 
51 
}  Quais são os número positivos que podem 
ser representados neste computador? 
.102 x 2-1 = (1x2-1 + 0x2-2) x 2-1 = 
1/4 
.112 x 2-1 = (1x2-1 + 1x2-2) x 2-1 = 
3/8 
.102 x 20 = (1x2-1 + 0x2-2) x 20 = 
1/2 
.112 x 20 = (1x2-1 + 1x2-2) x 20 = 
3/4 
.102 x 21 = (1x2-1 + 0x2-2) x 21 = 1 .112 x 21 = (1x2-1 + 1x2-2) x 21 = 
3/2 
.102 x 22 = (1x2-1 + 0x2-2) x 22 = 2 .112 x 22 = (1x2-1 + 1x2-2) x 22 = 3 
52 
}  Quais são os número positivos que podem 
ser representados neste computador? 
}  Quais são os problemas desta representação? 
◦  Como seriam armazenados neste computador 
hipotético os números 0,610 e 0,710 ? 
53 
}  Outros problemas com armazenamento de 
números. 
◦  Números decimais com um número INFINITO de 
dígitos terão uma representação binária também 
com número infinito de dígitos, tendo que ser 
arredondados para poder ser convertidos. 
54 
}  Outros problemas com armazenamento de 
número. 
◦  Qual a representação binária para o número 0,410? 
◦  0,410 = 0,01100110... 2 
◦  Números decimais com um número FINITO de dígitos 
poderão ter uma representação binária com número 
infinito de dígitos, tendo que ser arredondados para 
poder ser armazenado. 
55 
}  A forma de representação de ponto flutuante 
depende do fabricante do computador. A 
maioria segue o padrão estabelecido pelo 
IEEE (Institute of Electrical and Electronics 
Engineers) 
56 
}  O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) 
flutuante é a representação mais comum para 
números reais em computadores de hoje, 
incluindo PC's compatíveis com Intel, 
Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/
Linux. 
57 
}  O padrão (ou norma) IEEE 754 define dois 
formatos básicos para os números em ponto 
flutuante: 
◦  o formato ou precisão simples, com 32 bits; e, 
◦  o duplo com 64 bits. 
58 
Sinal Expoente(+/-) Significando 
Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00] 
Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00] 
n  Sinal: 0 = + e 1 = - 
n  Combinações Sinal + Expoente + Significando 
59 
}  Expoentes na precisão simples c/256 
combinações 
◦  1111 1111 
–  sinal=1 e significando = 0...0 : -infinito 
–  sinal=0 e significando = 0...0 : +infinito 
–  sinal=1 e significando =10...0: indeterminado 
–  c/outras combinações: NAN 
60 
}  Expoentes na precisão simples c/256 
combinações 
◦  0111 1111 (12710) = expoente zero (bias = polarização) 
◦  0000 0001 = menor expoente = –126 (abaixo de um) 
◦  1111 1110 = maior expoente = +127 (acima de um) 
◦  0000 0000 = zero (não normalizado) 
–  sinal=1 e significando = 0...0 : -zero 
–  sinal=0 e significando = 0...0 :+zero 
61 
}  Expoentes na precisão simples c/256 combinações 
 (0) 0000 0000 (especial) 
 (1) 0000 0001 (2-126) menor expoente 
 .............. 
 0111 1100 
(125) 0111 1101 (2-2) 
(126) 0111 1110 (2-1) 
(127) 0111 1111 (20) 
(128) 1000 0000 (21) 
(129) 1000 0001 (22) 
 1000 0010 
............. 
(254) 1111 1110 (2127) maior expoente 
(255) 1111 1111 (especial) 
62 
}  Menor número positivo (lembre do bit escondido 
e não normalizada) 
◦  0 00000000 00….01 = 2-126 x 2-23 = 2-149 
}  Maior número positivo (lembre do bit escondido) 
◦  0 1111110 11...11 = 2127 x (2-2-23) 
}  A faixa de números negativos é: 
◦  de –(2-2-23) x 2127 a –2-149 
63 
}  No formato (precisão) duplo: 
◦  o menor expoen te é r ep resen tado po r 
00000000001, valendo -1022, 
◦  o m a i o r e x p o e n t e é r e p r e s e n t a d o p o r 
11111111110, valendo +1023. 
◦  Em ambos os casos, o expoente vale o número 
representado em binário menos 1023 (este é o 
valor da bias = zero). 
64 
Verifique: 
}  Menor número positivo (lembre do bit escondido e 
não normalizada) 
◦  0 00000000000 00….01 = 2-1022 x 2-52 = 2-1074 
}  Maior número positivo (lembre do bit escondido) 
◦  0 1111110 11...11 = 21023 x (2-2-52) 
}  A faixa de números negativos é: 
◦  de –(2-2-52) x 21023 a –2-1074 
65 
}  Expoentes na precisão dupla c/2048 combinações 
 (0) 00000000000 (especial) 
 (1) 00000000001 (2-1022) menor expoente 
 .............. 
 01111111100 
 01111111101 (2-2) 
(1022) 01111111110 (2-1) 
(1023) 01111111111 (20) 
(1024 10000000000 (21) 
 10000000001 (22) 
 10000000010 
 ............. 
(2046) 11111111110 (21023) maior expoente 
(2047) 11111111111 (especial) 
66 
Propriedade 
Precisão 
Simples Dupla 
Comprimento total 32 64 
bits na mantissa 23 52 
bits no expoente 8 11 
base 2 2 
expoente máximo 127 1023 
expoente mínimo -126 -1022 
maior número ≈3,40 x1038 ≈1,80 x10308 
menor número ≈1,18 x10-38 ≈2,23 x10-308 
67 
}  Número finito de bits na representação implica 
em “truncamento” (ou arredondamento) do 
número real a ser representado. 
}  Truncamento introduz erro na representação. 
}  Casos especiais: 
◦  Overflow: número a representar é maior que maior 
número possível de ser representado 
◦  Underflow: número a representar é menor que menor 
número possível de ser representado 
68 
}  A forma normalizada do número N é 1,n x 2e 
◦  Supõe-se que e esteja dentro dos limites dessa 
representação (ou ocorreria overflow). 
◦  Se n não couber no número de bits da 
representação (precisão) do significando, p, haverá 
truncamento, introduzindo erro. 
69 
}  Operações com ponto flutuante 
◦  Considere o seguinte computador hipotético com dois 
dígitos (p=2), base B=10 e expoente na faixa -4 ≤ e ≤ 5. 
Logo temos ±.d1d2 x 10e. 
 
}  Represente os seguintes números neste computador 
◦  4,32 
◦  0,064 
◦  371 
◦  1234 
◦  0,00183 
◦  0,00000012 
◦  123456 
sinal expoente mantissa 
70 
}  O erro está sempre presente em cálculos devido à 
limitação das máquinas. 
}  É necessário se ter uma estimativa desse erro de 
modo a se ter alguma confiança nos cálculos ou 
nas medidas. 
}  Conceitos: 
◦  Erro Absoluto 
◦  Erro Relativo 
◦  Precisão 
71 
}  Erro absoluto 
◦  Definição: Seja X o valor exato de uma medida e X’ um valor 
aproximado. ERRO ABSOLUTO referente à medida X (EAX) é a 
diferença entre os valores exato e aproximado.  
–  Isto é: EAX = |X – X’|. 
◦  Em geral, apenas o valor aproximado X’ é conhecido. Neste 
caso utiliza-se uma estimativa para o módulo do erro absoluto 
tendo por base um limite superior. 
–  Exemplo: √2 ∈ [1,411, 1,412]. à |EAX| = |√2 – X| < 0,001, onde 
0,001 é a amplitude do intervalo [1,411, 1,412]. 
72 
}  Erro Relativo 
◦  Definição: define-se o erro relativo de uma 
grandeza X, a razão entre o erro absoluto e o 
valor exato usado para essa grandeza. 
–  Isto é, ERx = EAx/X. 
73 
}  Conhecidos os erros em dois números, é 
possível determinar o erro de uma operação 
entre eles, como adição, subtração, 
multiplicação e divisão. 
◦  Erro depende de método / procedimentos 
empregados 
74 
}  Procedimento básico para operações com 
ponto flutuante 
◦  Soma e Subtração: alinhar as casas decimais para o 
maior expoente e somar as mantissas 
◦  Multiplicação: multiplicar as mantissas e somar os 
expoentes. 
◦  Divisão; dividir as mantissas e subtrair os 
expoentes. 
◦  Normalizar o resultado 
75 
}  Efetuar as seguintes operações de ponto 
flutuante e calcular os erros absoluto e 
relativo para cada uma delas. Identificar se 
em algum dos casos ocorre overflow ou 
underflow. 
◦  Considere o seguinte computador hipotético com 
dois dígitos (p=2), base B=10 e expoente na faixa 
 -5 ≤ e ≤ 5. Logo temos ±.d1d2 x 10e. 
76 
}  Considere que nas operações de soma e 
subtração você tem 4 dígitos para armazenar 
temporariamente os números APÓS a 
conversão de base. 
 
77 
}  Exemplo: 
◦  342 + 92,53 = 0,3420x103 + 0,9253x102 
◦  = 0,3420x103 + 0,092x103 
 = 0,43453 x103 
Opções para armazenar 
◦  Arredondar para cima: 0,44 x103 
◦  Arredondar para baixo: 0,43x103 
◦  Truncar: 0,43x103 
78 
}  C o n s i d e r e q u e n a s o p e r a ç õ e s d e 
multiplicação e divisão você tem: 
◦  4 (2p) dígitos para efetuar as operações 
 
 
79 
}  Exemplos 
◦  32 x 0,05 = 0,32x102 x 0,5x10-1 
 = (0,32x0,5) x 102+(-1) 
 = 0,16 x 101 
Opções para armazenar 
◦  Arredondar para cima: 0,18 x101 
◦  Arredondar para baixo: 0,17x101 
◦  Truncar: 0,16x101 
 
 
80 
Existência 
Tipos 
Propagação 
81 
}  Representação de números em um sistema 
computacional 
◦  Todo esse processo de conversão é uma fonte de erros que 
pode afetar o resultado final dos cálculos. 
82 
Os dados de 
entrada são 
enviados ao 
computador pelo 
usuário no sistema 
decimal 
Toda a 
informação é 
convertida 
para o sistema 
binário 
Todas as 
operações 
são 
efetuadas no 
sistema 
binário 
Os resultados finais 
são convertidos para 
o sistema decimal e 
transmitidos ao 
usuário 
}  Erro Inerente 
◦  Erro sempre presente nas soluções numéricas 
devido à incerteza sobre o valor real 
◦  Ex. 01: Representação intervalar de dados 
(50,3 ± 0,2) cm 
(1,57 ± 0,003) ml 
(110,276 ± 1,04) Kg 
83 
}  Erro de Truncamento 
◦  Erro proveniente da limitação do número de iterações dos 
métodos numéricos durante a determinação de um valor de 
interesse 
◦  Número de iterações 
–  Teórico ð Infinito ou muito grande 
–  Prático ð Limitado por restrições associadas à 
capacidade de processamento/ armazenamento do sistema 
84 
}  Erro de Representação 
 
◦  Aproximação do valor de um número real para sua 
representação com um número finito de dígitos. 
85 
}  Erro de Representação x Erro de truncamento 
◦  Erro de Representação 
–  Associada à conversão numérica entre bases (representação 
humana e de máquina) ou à realização de operações aritméticas 
◦  Erro de Truncamento 
–  Associada à quantidade de informação que a máquina pode 
conter sob a forma de um número 
86 
}  Representação dos números reais com um número 
finito de dígitos (aproximação) 
◦  Ex. 02: Cálculo da área de uma circunferência de raio 
100 m (área = π x raio2 ) 
◦  Possíveis resultados: 
1.  A = 31400 m2 
2.  A = 31416 m2 
3.  A = 31414,92654 m2 
87 
Erro de 
Representaçãoπ não tem representação finita - 3,14 (1), 
3,1416 (2) e 3,141592654 (3) 
}  Representação dos números reais com um número 
finito de dígitos (aproximação) 
◦  Dependência da representação numérica da máquina 
utilizada 
88 
Um número pode ter representação finita 
(exata) em uma base e não finita em outra 
Erro de 
Representação 
Operações com dados imprecisos ou 
incertos acarretam a propagação do erro. 
(0,1)10 = (0,00011001100110011...)2 
Ex. 03: Cálculo de 
 
 
 
 
usando uma calculadora e um computador, para xi = 0,5 e xi = 0,1 
89 
∑
=
=
3000
1i
ixS
xi Calculadora Computador 
0,5 S= 1500 S= 1500 
0,1 S= 300 
S=300,00909424 (precisão simples) 
S=299,999999999999720 (precisão dupla) 
Ex. 04: Programa simples na Linguagem C que soma números fracionários 
 
 void main( ) 
 { 
 int i; 
 float soma = 0; 
 for (i=1;i<=10000;i++); 
 soma = soma + .0001; 
 printf (“Soma = %10.7f”, soma); 
 } 
 
A saída será o número 1.0000535, ao invés do número exato 1. O pequeno erro na 
representação do número decimal 0,0001 em binário se propagará pela soma, 
comprometendo o resultado final. 
90 
}  Exatidão (Acurácia) x Precisão (I) 
◦  Uso incorreto como sinônimos na linguagem cotidiana (e 
mesmo em linguagem técnica) 
–  Exatidão ð Grau de concordância entre o resultado de uma 
medição e um valor verdadeiro do mensurando 
–  Exatidão é um conceito qualitativo 
–  Precisão ð Grau de concordância entre resultados de medição 
obtidos sob as mesmas condições (repetitividade) 
–  Precisão é um conceito quantitativo 
91 
92 
Precisão 
Ex
at
id
ão
 (A
cu
rá
ci
a)
 
}  Exatidão (Acurácia) x Precisão (I) 
}  Absoluto 
◦  Diferença entre o valor exato de um número e o seu valor 
aproximado 
93 
xxEAx −=
}  Relativo 
◦  Razão entre o erro absoluto e o valor aproximado 
94 
x
)x(xERx
−
=
Erro Percentualx = ERx x 100% 
}  Precisão 
◦  Uma medida Y tem maior precisão que outra 
medida X se o valor absoluto (sem sinal) do erro 
relativo da medida Y for menor que o erro 
relativo da medida X. 
95 
}  Erro Absoluto - Considerações I 
◦  EAx só poderá ser determinado se x for conhecido com 
exatidão 
◦  Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante superior 
para o erro, ao invés do próprio erro (|E | < ε, onde ε é o 
limitante) 
–  Ex. 05: Para π ∈ [3,14, ..., 3,15] 
96 
01,0EA <π−π=π
}  Erro Absoluto - Considerações II 
 
Ex. 05: Sejam a = 3876,373 e b = 1,373 
 
 Considerando-se a parte inteira de a (a’) o erro absoluto será: 
 
EAa = |a - a'|= 0,373 
 
 e a parte inteira de b, b’, o erro absoluto será: 
 
EAb = |b - b'|= 0,373 
97 
}  Erro Absoluto - Considerações III 
◦  Obviamente, o resultado do erro absoluto é o 
mesmo nos dois casos 
◦  Entretanto, o peso da aproximação em b é maior 
do que em a 
98 
}  Erro Relativo - Consideração 
 
 O erro relativo, entretanto, pode traduzir 
perfeitamente este fato, pois: 
 
 
99 
4
a 100,0000963876
0,373ER −≤≅=
0
b 1050,3731
0,373ER ×≤≅=
Ex. 06: Cálculo do erro relativo considerando-
se os números ā = 2112,9, ē = 5,3 e |
EA| < 0,1 
 
 |ERa| = |a - ā|/|ā| = 0,1/2112,9 ≅ 4,7 x 10-5
 
 
 |ERe| = |e - ē|/|ē| = 0,1/5,3 ≅ 0,02 
 
Conclusão: a é representado com maior precisão que e 
100 
}  Arredondamento 
}  Truncamento 
101 
Quanto menor for o erro, maior será a 
precisão do resultado da operação. 
}  Arredondamento 
 
Ex. 07: Cálculo de utilizando uma calculadora digital 
  Valor apresentado: 1,4142136 
 Valor real: 1,41421356... 
◦  Inexistência de forma de representação de números 
irracionais com uma quantidade finita de algarismos 
–  Apresentação de uma aproximação do número pela 
calculadora 
–  Erro de arredondamento 
102 
2
}  Truncamento 
◦  Associação ao método de aproximação empregado para o 
cálculo de uma função exata, a partir do uso de fórmulas 
aproximada. 
◦  Ex. 08: Cálculo do valor de ex e partir da série 
–  Impossibilidade de determinação do valor exato da função 
103 
...
4!
x
3!
x
2!
x
x1e
432
x +++++=
}  Representação genérica: 
 ±d0,d1d2...dtx(b)exp , 
–  t é o número de dígitos da mantissa 
–  d1d2...dt = mantissa, com 0 ≤di ≤ (b-1) 
–  exp = expoente (inteiro com sinal) 
–  b = base do sistema 
104 
}  Ex. Representação de números em um 
sistema de três dígitos, b=10, l= -4 e u=4. 
105 
X Arredondamento Truncamento 
1,25 0,125 x 10 0,125 x 10 
10,053 0,101 x 102 0,100 x 102 
2,71828 0,272 x 10 0,271 x 10 
0,000007 Expoente < -4 Idem 
718235,82 Expoente > 4 Idem 
}  Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla 
 Ex. 09: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x + y 
◦  Alinhamento dos pontos decimais antes da soma 
 x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104, 
 x+y = 0,938272 x 104 
 
◦  Resultado com 4 dígitos 
 Arredondamento : x+y = 0,9383 x 104 
 Truncamento: x+y = 0,9382 x 104 
106 
Ex. 10: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x.y. 
x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102) 
x.y = (0,937 x 0,1272) x 106 
x.y = 0,1191864 x 106 
◦  Resultado com 4 dígitos 
–  Arredondamento: x.y = 0,1192 x106 
–  Truncamento: x.y = 0,1191 x106 
107 
}  Considerações 
◦  Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação possam 
ser representados exatamente no sistema, não se pode 
esperar que o resultado armazenado seja exato. 
◦  x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y e 
x.y tiveram representação aproximada. 
108 
}  Propagação dos Erros: 
◦  Durante as operações aritméticas de um método, os 
erros dos operandos produzem um erro no resultado 
da operação 
◦  Propagação ao longo do processo 
◦  Determinação do erro no resultado final obtido 
109 
Ex. 11: Suponha-se que as operações a seguir sejam 
processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e 
fazendo-se: x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,2345x100, tem-se: 
 
(x2 + x1) − x1 = 
 = (0,2345x100 + 0,3491x104) − 0,3491x104 
 = 0,3491x104 − 0,3491x104 = 0,0000 
 
x2 + (x1 − x1) = 
 = 0,2345x100 + (0,3491x104 − 0,3491x104) 
 = 0,2345 + 0,0000 = 0,2345 
110 
}  Os dois resultados são diferentes, quando não 
deveriam ser, pois a adição é uma operação 
distributiva. 
 (x2 + x1) − x1 = 0,0000 e 
 x2 + (x1 − x1) = 0,2345 
 
! Causa da diferença ð arredondamento feito na adição (x2 
+ x1), cujo resultado tem 8 dígitos 
! A máquina só armazena 4 dígitos (desprezando os menos 
significativos) 
111