Viscosidade Biofísica

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Vicosidade de um fluido 
 
 Os fluidos reais, tanto líquidos como gases, apresentam viscosidade. A 
viscosidade resulta de forças de atrito entre camadas adjacentes do fluido e surgem 
quando estas se deslocam umas sobre as outras. Em líquidos, a viscosidade é 
principalmente devida às forças de ligação entre moléculas. Em gases é sobretudo 
devida às colisões entre as partículas. Havendo forças resistivas ou de atrito, estas forças 
realizam trabalho dissipativo e, portanto, a energia mecânica já não se conserva. Nesta 
situação a equação de Bernoulli (24.2) que, recordamos, exprime a conservação da 
energia mecânica, já não se pode aplicar rigorosamente (embora se possa considerar 
muitas vezes como aproximação a uma situação real). 
 Claro que a viscosidade não é a mesma para todos os fluidos, e, por isso, se 
define a grandeza coeficiente de viscosidade a que nos referiremos de seguida. 
 Consideremos a seguinte experiência. Coloca-se uma pequena camada de fluido 
entre duas placas, como se mostra na Fig. 24.3. 
 
v
�
F
�
l gradiente de 
velocidades
 
 
Figura 24.3 
 
A placa de cima é posta em movimento, sob a acção da força F
�
, adquirindo a 
velocidade v� . A placa de baixo permanece em repouso. As camadas do fluido junto às 
placas permanecem em contacto com estas devido às forças de adesão entre o fluido e 
as placas. Assim, a camada superior do fluido move-se com a velocidade da placa, cujo 
módulo é v, e a camada junto à placa inferior não se move. De cima para baixo as 
diferentes camadas de fluido apresentam um contínuo de velocidades entre v e 0, como 
se mostra na Fig. 24.4. 
 
 
 
 
 
Figura 24.4 
 
A razão entre a velocidade e a espessura do fluido, lv / é uma medida quantitativa deste 
“gradiente de velocidades” (variação da velocidade segundo a vertical). Manter a placa 
superior em movimento com velocidade v requer uma força de intensidade F. 
0
��
=v
v
�
l
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Verifica-se experimentalmente para muitos fluidos que esta força é proporcional a lv / , 
além de ser, naturalmente, proporcional à área A da superfície de contacto da placa com 
o fluido: 
 
l
vAF ∝ . (24.6) 
 
Verifica-se ainda experimentalmente − o que seria, de resto, de esperar − que a força 
depende também das características intrínsecas do fluido. Essa dependência entra como 
factor de proporcionalidade na expressão anterior, a qual se passa então a escrever 
 
l
vAF η= , (24.7) 
 
onde η é o coeficiente de viscosidade. Resolvendo em ordem a este coeficiente, 
obtém-se 
Av
Fl
=η . (24.8) 
 
 No SI a unidade de viscosidade é o pascal segundo (Pa s). No sistema CGS a 
unidade de viscosidade denomina-se poise (P) em homenagem ao cientista francês 
Poiseuille. O centipoise (cP) é uma unidade muito utilizada (1 cP = 10-3 Pa s). 
 
 
Fluidos newtonianos e não-newtonianos 
 
 Um fluido cujo coeficiente de viscosidade só dependa da temperatuara e da 
pressão, mas não de outros factores como, por exemplo, a velocidade do próprio fluido, 
diz-se newtoniano. 
 Como já dissemos, o coeficiente de viscosidade depende, em geral, da 
temperatura e de pressão. Na tabela seguinte listam-se alguns coeficientes de 
viscosidade. Em geral, a viscosidade diminui com a temperatura para os líquidos mas 
aumenta para os gases. 
 
 
Substância Temperatura / ºC Coeficiente de viscosidade / 
Pa s 
Água 0 3108,1 −× 
Água 20 3100,1 −× 
Água 100 3103,0 −× 
Sangue 37 3104 −× 
Plasma 37 3105,4 −× 
Ar 20 31008,0 −×
 
 
 
 Uma definição mais formal de fluido newtoniano está relacionada com a 
dependência da força com a variação da velocidade segundo a vertical (Figs. 24.3 ou 
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24.4). Designemos antes por v0 a velocidade da placa de cima e por v a velocidade do 
fluido numa “lâmina” qualquer à altura z (estamos sempre a considerar regime laminar). 
 
l v
�
0v
�
z
v
�
0v
�
z
(a) (b)l
 
 
Figura 24.5 
 
 
Na situação (a) da Fig. 24.5 a variação da velocidade com a altura (gradiente da 
velocidade) é constante e podemos escrever 
 
l
v
z
v 0
d
d
= (24.9) 
 
ou também dv/dz = v / z, a qualquer altura da placa imóvel. Diz-se, neste caso que o 
fluido é newtoniano. Na situação como a que se mostra na Fig. 24.5 (b) o fluido diz-se 
não newtoniano. Neste caso, a sua viscosidade depende de mais factores para além da 
temperatura e pressão. Em particular, depende do gradiente de velocidades que se 
estabelece entre as duas placas. 
 
 Consideremos agora o escoamento de um líquido em regime laminar. A força 
que uma lâmina de área A exerce numa lâmina adjacente, separada de uma distância dz 
é (Fig. 24.6) 
 
z
vAF
d
dη= , (24.10) 
 
sendo dv a velocidade relativa das duas lâminas. Na figura representa-se a força que a 
lâmina de cima exerce na de baixo. A de baixo exerce na de cima uma força igual e 
oposta. 
 
 
dz
vv
�� d+
v
�
F
�
 
 
Figura 24.6 
 
 
A Eq. (24.10) é conhecida por lei de Newton para fluidos viscosos em regime laminar. 
Como já se disse, se a força for independente do gradiente de velocidades, ou seja, se 
esse gradiente for a constante dada pela Eq. (24.9) o fluido diz-se newtoniano. 
 
 
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Escoamento viscoso em tubos de secção cilíndrica 
 
 Analisamos agora o escoamento de um fluido, em regime laminar, através de 
tubo de secção cilíndrica constante. Se a secção do tubo for constante e o fluido 
incompressível a velocidade será a mesma em qualquer ponto ao longo do tubo. Além 
disso, não havendo viscosidade, a velocidade também é a mesma em qualquer ponto da 
secção recta (Fig. 24.7). 
 
 
A v
� A v
�
 
 
Figura 24.7 
 
 
Para um tubo horizontal, não há variação de energia potencial gravítica do fluido e da 
equação de Bernoulli (24.2) conclui-se que a pressão é a mesma em qualquer ponto do 
tubo. Mas sabemos que isto não acontece com fluidos reais! Só poderia acontecer com 
fluidos de viscosidade nula (também chamados superfluidos). Para que haja escoamento 
é sempre necessária uma diferença de pressão entre os pontos ao longo do tubo. A 
necessidade desta diferença de pressão para o fluido se mover tem a sua origem na 
viscosidade do próprio fluido. Se tal diferença de pressão não existisse, o fluido não 
escoaria. A diferença de pressão é necessária porque há forças de atrito entre as 
diferentes camadas do fluido (mesmo em regime laminar). 
 Na secção recta de um tubo cilíndrico a velocidade de escoamento aumenta da 
periferia (junto às paredes do tubo) para o centro do tubo. O “perfil” das velocidades é 
aproximadamente parabólico (ver Fig. 24.8) e depende de vários factores. 
 
 
v
�
L
∆P
1
r
2
R
 
 
Figura 24.8 
 
 
Consideremos um tubo (ou uma parte de um tubo) horizontal cujo raio da sua secção 
recta é R, de comprimento L, e no qual se estabelece uma diferença de pressão P∆ . 
Neste tubo flui, em regime laminar, um fluido de viscosidade η . A velocidade do fluido 
a uma distância r do eixo do tubo é dada por 
 
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��
�
�
��
�
�
−
∆
= 2
22
1
4 R
r
L
RP
v
η
. (24.11) 
 
Como mostra esta expressão (que não deduzimos), junto às paredes do tubo )( Rr = a 
velocidade é nula. Num qualquer ponto do tubo, a velocidade é proporcional à diferençade pressão, e à área da secção recta do tubo (dependência com R2), e é inversamente 
proporcional ao coeficiente de viscosidade e ao comprimento do tubo (ou da parte do 
tubo que se está a considerar). 
A velocidade máxima do fluido (eixo do tubo, 0=r ) é dada por 
 
L
RP
v
η4
2
máx.
∆
= . (24.12) 
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25ª aula 
 
Sumário: 
Resistência ao escoamento em regime laminar, equação de Poiseuille e aplicações. 
Transição de regime laminar para regime turbulento e número de Reynolds. Viscosidade 
do sangue. Lei de Stokes e aplicações. 
 
Resistência ao escoamento em regime laminar, equação de Poiseuille e aplicações 
 
 Consideremos de novo a situação descrita na aula anterior. Num tubo horizontal 
de secção constante (Fig. 25.1) passa um fluido viscoso em regime laminar. 
 
v
�
L
∆P
1 2
R
 
 
Figura 25.1 
 
O tubo cilíndrico tem comprimento L e secção recta de raio R. Entre os pontos 1 e 2 
existe a diferença de pressão 21 PPP −=∆ devida à qual o fluido, de viscosidade η 
escoa, sendo Vq o caudal. Verifica-se experimentalmente haver, em muitas situações, 
uma relação directa entre a diferença de pressão e o caudal, o que se exprime 
formalmente por 
 
VqP ξ=∆ , (25.1) 
 
onde o factor de proporcionalidade ξ pode ser visto como uma “resistência” ao 
escoamento do fluido. A Eq. (25.1) é fisicamente aceitável pois será de esperar que a 
uma maior diferença de pressão corresponda um maior caudal. A dependência linear da 
diferença de pressão no caudal (se ξ só depender das características geométricas do 
tubo e da viscosidade do fluido) faz lembrar a Lei de Ohm, IRV e=∆ , onde V∆ é a 
diferença de potencial nos terminais de uma resistência1 Re percorrida por uma corrente 
eléctrica de intensidade I (Fig. 25.2). 
 
I 
Re 
∆V
 
 
 
Figura 25.2 
 
1
 Para a resistência eléctrica, usamos Re em vez de simplesmente R para não haver confusão com o raio R 
do tubo cilíndrico da Fig. 25.1. 
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 2 
 
 
A analogia entre o escoamento de um fluido com a corrente num circuito é total. A 
diferença de potencial V∆ corresponde à diferença de pressão P∆ ; a intensidade de 
corrente I corresponde ao caudal qV; a resistência eléctrica Re corresponde à resistência 
ao escoamentoξ . 
 O cientista francês Poiseuille, que se interessou bastante por questões 
relacionadas com a circulação sanguínea, determinou experimentalmente como variava 
o caudal de um fluido incompressível num tubo cilíndrico nas condições mencionadas 
relativamente à Fig. 25.1, tendo chegado à conclusão que 
 
L
PRqV η
pi
8
4∆
= . (25.2) 
 
Esta é a expressão matemática da lei de Poiseuille. A dependência com o inverso da 
viscosidade e do comprimento do tubo são naturais: quanto mais comprido for o tubo, 
para uma mesma diferença de pressão, menor deverá ser o caudal. O mesmo se aplica à 
dependência com a viscosidade: quanto mais viscoso for o fluido, menor deverá ser o 
caudal. Curiosa é a dependência do caudal volumétrico com o raio da secção recta ser 
com a quarta potência de R! 
 Da conjugação das Eqs. (25.1) e (25.2) obtém-se uma expressão para a 
resistência: 
 
4
8
R
L
pi
ηξ = . (25.3) 
 
Esta expressão traduz quantitativamente a dependência da resistência com a 
viscosidade, η , o comprimento do tubo, L, e o raio da secção recta R. É útil fazer a 
analogia com a dependência da resistência de um condutor óhmico com a sua 
resistividade, ρ , e suas características geométricas (comprimento L e raio R para 
condutor de secção recta cilíndrica): 2R
LR
pi
ρ= . A semelhança com (25.3) é grande, 
notando-se a diferente dependência com o raio da secção recta. A dependência da 
resistência com R4 no caso de um fluido não deixa de ser surpreendente e de ter, de 
resto, importantes consequências. Se a secção de um tubo passar para metade, para a 
mesma diferença de pressão o caudal passa para 1/16! 
No caso de haver um constrangimento numa artéria, o coração terá de criar uma 
maior diferença de pressão para manter o caudal de sangue. 
 A distribuição de sangue é controlada por músculos nas arteríolas. Pequenas 
contracções ou distensões destes músculos podem fazer variar o caudal de sangue de 
forma significativa, em virtude da sua dependência com R4. 
 É interessante obter a velocidade média do fluido que escoa no tubo da Fig. 25.1. 
Como a velocidade não é a mesma em todos os pontos da secção recta do tubo, o caudal 
teria de ser determinado pelo integral (24.5). Em vez disso, podemos pensar que todos 
os elementos do fluido têm uma mesma velocidade, vm (velocidade média), sendo 
portanto o caudal dado pelo produto da área A da secção recta por esta velocidade [ver 
Eq. (24.3)]): m2m vRAvqV pi== . Combinando esta equação com a lei de Poiseuille 
(25.2), vem 
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 3 
L
PR
vR
η
pi
pi
8
4
m
2 ∆
= (25.4) 
 
donde se conclui que a velocidade média do fluido é 
 
L
RP
v
η8
2
m
∆
= . (25.5) 
 
Se compararmos com (24.12), vemos que esta velocidade média é metade da velocidade 
do fluido no eixo do tubo cilíndrico (sítio onde a velocidade é máxima). 
 
 
Transição de regime laminar para regime turbulento e número de Reynolds 
 
 Quando a velocidade de um fluido que escoa num tubo em regime laminar 
excede um certo valor crítico, o regime pode passar a turbulento. Há outras 
características do fluido como a sua densidade ou a sua viscosidade que poderiam 
igualmente alterar o regime de escoamento, mas tanto ρ como η não variam 
significativamente de ponto para ponto. Em escoamento turbulento, o movimento do 
fluido é muito irregular, sendo caracterizado por vórtices locais (ver Fig. 22.4). Em 
consequência destas irregularidades no movimento do fluido, a resistência ao 
escoamento aumenta muito (o que faz diminuir o caudal para a mesma diferença de 
pressão). Mas junto às paredes do tubo, onde a velocidade é praticamente nula, o 
escoamento permanece laminar. 
 Há uma regra prática para determinar o regime de escoamento, através da análise 
de uma quantidade adimensional, chamada número de Reynolds, que se define 
 
 
η
ρ vRN 2R = . (25.6) 
 
A velocidade que aparece nesta expressão é a velocidade média no sentido da expressão 
(25.5), ou seja a velocidade uniforme em toda a secção recta do tubo que produziria o 
mesmo caudal. De acordo com os dados experimentais, verifica-se que o escoamento de 
um fluido é laminar se 2000R <N e é turbulento se 3000R >N . Entre estes dois 
valores o regime é instável, ou seja, pode mudar de um regime para o outro. 
 A aorta tem raio de 1 cm e a velocidade do sangue é 30 cm/s; a densidade é 
1060=ρ kg/m3 e a viscosidade 4=η mPa s. Estes dados conduzem ao número de 
Reynolds 1590R =N . O regime de escoamento do sangue é, pois, laminar. A febre 
diminui a viscosidade (ver secção seguinte) o que pode levar à passagem a regime 
turbulento. 
 Encontra-se um exemplo de passagem de regime laminar a turbulento quando se 
abre gradualmente uma torneira. Enquanto a velocidade da água for pequena, o fio de 
água que cai é transparente, sinal de que o fluxo é laminar. Ao abrir mais a torneira a 
velocidade da água é maior e esta passa a ficar esbranquiçada. É o sinal de que se está 
em fluxo turbulento. 
 
 
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Viscosidadedo sangue 
 
 A lei de Newton [Eq. (24.10)] e de Poiseuille [Eq. (25.2)] são válidas para 
fluidos de viscosidade constante em regime laminar. Os fluidos para os quais o 
coeficiente de viscosidade não é constante (para além das naturais dependências na 
pressão e na temperatura) − chamados não newtonianos, como dissemos na aula 
anterior − apresentam comportamentos mais difíceis de descrever matematicamente. 
Em particular podem apresentar fenómenos de histerese: não recuperam as 
configurações iniciais quando as condições externas voltam a ser as mesmas. 
 O plasma e o soro são aproximadamente newtonianos mas o sangue não é. O 
sangue é um fluido complexo, constituído por partículas sólidas de várias formas em 
suspensão num líquido. Por exemplo, os hemácios (glóbulos vermelhos) são discóides 
que se orientam ao acaso para velocidades baixas mas passam a orientar-se 
paralelamente à velocidade do sangue para velocidades altas (o que faz diminuir a 
viscosidade do sangue). 
 
 
Lei de Stokes e aplicações 
 
 Do mesmo modo que os fluidos viscosos no seu movimento estão sujeitos a 
forças de atrito interno, também os objectos com movimento em relação a fluidos ficam 
sujeitos a forças de resistência. 
 Consideremos uma esfera de raio r, caindo através de um fluido com uma 
velocidade constante de módulo v, como se mostra na Fig. 25.3. 
 
 
η
v
�
F
�
gF
�
r
 
 
Figura 25.3 
 
A resultante das forças aplicadas à esfera é nula pois a sua velocidade é constante. Uma 
das forças aplicadas é o peso, gF
�
. Outra força que actua na esfera é a impulsão (ver 
Princípio de Arquimedes, aula nº 22). Como não é pertinente para a discussão não 
vamos considerar esta força (o que é válido se a esfera for pequena). Finalmente, outra 
força que actua sobre a esfera é a força de resistência exercida pelo fluido, F
�
. O módulo 
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 5 
desta força, F, depende do coeficiente de viscosidade η do fluido, do raio r da esfera e 
de v para velocidades pequenas. Foi Stokes quem primeiro analisou o problema, tendo 
descoberto que a força de resistência do fluido sobre a esfera é 
rvF piη6= (25.7) 
 
o que é conhecido por lei de Stokes. Note-se que a única maneira das grandezas η , r e v 
se combinarem dando uma grandeza com a dimensão de uma força é através do seu 
produto vrη . 
 A lei de Stokes tem muitas aplicações. Se as gotas de chuva de nuvens 
localizadas a vários quilómetros de altura não estivessem sujeitas à resistência do ar, 
atingiriam a superfície terrestre com velocidades enormes (e enormes energias, 
portanto) capazes de causar danos. Mas a velocidade terminar das gotas de chuva é 
pequena. Para gotas de 1 mm de diâmetro o módulo da velocidade terminal é 4,3 m/s e 
para gotas de 2 mm de diâmetro, é 5,8 m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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