ASSUNTO2 1ª Prova de Eletrotecnica UFPB

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1
 
• 
 CIRCUITO SÉRIE/PARALELO 
 Prof. Antonio Sergio-D.E.E-CEAR-UFPB. 
 
 
 
 
 Os circuito reativos são classificados, assim como os resistivos, em 
 a) Circuitos série. 
 b) Circuitos paralelo 
 c) Circuito série-paralelo. 
 Em qualquer caso acima, vale tanto as Leis de Kirchhoff nos circuitos resistivos 
quanto nos reativos, só que no domínio dos números complexos. 
Seja um circuito série composto de duas ou mais impedâncias complexas como 
mostrado na figura abaixo. 
 
 Fig. 1 - Circuito reativo série 
 
Como se sabe, num circuito série a corrente que circula por um elemento é a 
mesma que circula pelos demais. A corrente ao circular por uma impedância provoca 
nele uma queda de voltagem representada por V1, V2 e VN, aonde tem-se: 
 
V1 = I.Z1 V2 I.Z2 e VN = I.ZN (1) 
 
Fasorialmente falando, tem-se para a lei das malhas: 
 
Vent = V1 +V2 + ...VN (2) 
 
Em outras palavras, a soma do fasores de tensão do circuito é igual ao fasor de 
tensão de entrada. 
Por outro lado, a impedância equivalente do circuito é a soma das impedâncias 
presentes no mesmo. Assim 
 
ZT=Z1 + Z2 + ...+ZN (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
Exemplo 1: 
 
Circuito RLC série. 
 
 
 Fig. 2 – Circuito RLC série 
 
Num circuito RLC série a impedância é dada por 
 
 Z= 





ω
−ω+=
ω
−ω+
C
1L.jR
C
1jLjR (4) 
A equação acima nos leva a pensar que um circuito RLC tem três 
comportamentos aparentes: 
a) Indutivo: 
 Quando a reatância indutiva prevalece sobre a capacitiva, isto é, 
 
 
C
1L
ω
>ω (5.1) 
 
Desta forma, a parte imaginária da impedância é positiva e o circuito fica 
aparentemente indutivo. A corrente que circula pelo circuito fica atrasada em relação à 
tensão de entrada. 
 
b) Capacitivo: 
 Quando a reatância capacitiva prevalece sobre a indutiva , isto é, 
 
 
C
1L
ω
<ω (5.2) 
 
 Desta forma, a parte imaginária da impedância é negativa e o circuito fica 
aparentemente capacitivo. A corrente que circula pelo circuito fica adiantada em 
relação à tensão de entrada. 
 c) Resistivo. 
 Quando a reatância indutiva se iguala à capacitiva, isto é, 
 
 
C
1L
ω
=ω (5.3) 
 
 Desta forma, a parte imaginária da impedância se anula e o circuito fica 
aparentemente resistivo. A corrente que circula pelo circuito fica em fase em com a 
tensão de entrada. 
 
 
 
 
 3
 
Fasorialmente, tem-se: 
 
 
 
 Fig. 3 – Diagrama fasorial da tensão de entrada e da corrente no circuito 
 RLC série 
 
De acordo com a Eq. (2.3), tem-se: 
 
 
LC
1
LC
12
=ω⇒=ω 
 
Considerando que ω = 2.pi.f, tem-se finalmente: 
 
 fo=
LC..2
1
pi
 (6) 
 
 Exemplo 2: 
 
 Considere o circuito abaixo: 
 
 
 
 Onde V = 100∠00. Determinar a impedância equivalente, a corrente que 
circula pelo circuito e as quedas de voltagem em casa um do seus elementos. 
 
 Solução: 
 
 Zeq = 4 + j.3 – j.6 = 4 – j.3 = 5∠-36,90 
 
 I = 
o
o
9,365
0100
−∠
∠
 = 20∠+36,90 
 
 
 Seja V1 a queda de voltagem no resistor; seja V2 a queda de voltagem no 
indutor e V3 a queda de voltagem no capacitor. 
 
 4
 
 V1 = 20∠+36,90 x 4 = 80∠+36,90 = 63,97 + j.48,03 
 
 V2 = 20∠+36,90 x 3∠900 = 60∠+126,90 = -36,03 + j.47,98 
 
 V3 = 20∠+36,90 x 6∠-900 = 120∠-53,10 = 72,05 - j.95,96 
 
 V1 + V2 + V3 = 99,99 + j.0,05 ≈ 100∠0o 
 
 Observa-se neste exemplo que a lei das malhas num circuito série é válida no 
domínio dos números complexos. Somando-se apenas os módulos das voltagens, 
tem-se: 80 + 60 + 120 = 260V, bem diferente de 100. 
 
 No circuito abaixo, no entanto, temos um comportamento aparentemente resis-
tivo. 
 
 
 
 Toda a voltagem de entrada está no resistor. Mostre. 
 
 
Exemplo 3 
 
No circuito da Fig. 2 considere R = 100Ω , L = 0,01H e C = 3µF 
a) Determinar a frequência de ressonância fo. 
b) Determinar a impedância vista pela fonte de entrada com f = fo, f = 0,1fo e f 
= 10fo 
c) Repetir (b) para corrente que circula pelo circuito. 
 
Solução. 
 
a) Usando os dados dos componentes na Eq. (6), tem-se para a frequência de 
res- 
sonância:: 
 
88,918
01,0x10x3.2832,6
1f
6o
==
−
 Hz 
 
b) A impedância indutiva é: 
XL = 2.pi.f.L 
 
 
 
 
 
 
 
 5
 E a capacitiva é: 
 
C.f.2
1XC
pi
= 
 
 Na frequência de ressonância, tem-se: 
 
 XL = 6,2832x918,88x0,01 = 57,735 Ω 
 XC = 735,57
10x3x88,918x2832,6
1
6 =− Ω 
 
 Substituindo na Eq (1), tem-se: 
 
 Z = 100 + j0 
 
 Isto é, a impedância geral do circuito é um numero real. Nesta freqüência a impe-
dância capacitiva de iguala em módulo à impedância indutiva. Só em módulo, por que 
em termos de impedância complexa, elas estão no eixo imaginário do plano complexo 
com sinais contrários. Nesta freqüência o circuito entra em ressonância. 
 Para f = 0,1.fo = 91,888 Hz tem-se: 
 
 XL = 0,1x57,735 = 5,7735 ≅ 5,8 Ω 
 
 XC = 10x57,735 ≅ 577,74 Ω 
 
 Assim sendo, há uma forte predominância da impedância capacitiva. Desta 
forma, de podemos expressar Z como: 
 
 Z = 100 - j (5,8 – 577,74) ≅ 100 – j572 = 580,7∠-800 
 
 Para f = 10.fo = 9.188,8 tem-se: 
 
 XL = 10x57,735 = 5,7735 ≅ 577,35 Ω 
 
 XC = 0,1x57,735 ≅ 5,778 Ω 
 
 Assim sendo, há uma forte predominância da impedância indutiva. Desta forma, 
podemos expressar Z como: 
 
 Z = 100 - j (577,35– 5,778) ≅ 100 + j572 = 580,7∠+800 
 
 É interessante calcular a tensão em cada elemento do circuito na ressonância. 
Antes disso é preciso determinar a corrente que circula pelo circuito. Esta corrente é 
dada por: 
 
 
Z
VI = = β∠
α∠
Z
V 0
 (7) 
 
 Supondo-se que a tensão de entrada seja 10 VRMS e com ângulo supostamente 
zero, tem-se: 
 
 
 6
 mA100A1,0
100
10V === 
 
 Como o ângulo da impedância na ressonância também é zero, tem-se I = 0,1∠0o. 
Assim, seja VR a tensão desenvolvida no resistor; VL a tensão desenvolvida no indutor e 
VC a tensão no capacitor. 
 
 VR = IxR = 0,1∠0o.x 100 = 10∠0o. 
 
 VL = IxZL = 0,1∠0ox 57,735∠90o = 5,8∠90o = +j5,8 
 
 VC = IxZC = 0,1∠0ox 57,735∠-90o = 5,8∠-90o = - j5,8 
 
 VL + VL + VC = 10 + j5,8 – j5,8 = 10.Em diagrama fasorial tem-se: 
 
 
 VL 
 VR 
 
 VC 
 
 
 
O que valida a lei das malhas. 
 
Regra fundamental: 
 
 A lei das malhas num circuito série reativo só é válida no domínio dos números 
com-plexos, isto é, a soma dos fasores de tensãosoma dos fasores de tensãosoma dos fasores de tensãosoma dos fasores de tensão num circuito série é igual ao fasor da 
tensão de entrada. 
 
 Convém observar neste ponto que os voltímetros alternados medem os valores 
efica-zes, que são os módulos dos fasores. 
 A figura 5 mostra o efeito ressonante do circuito RLC série em que a corrente 
atinge um valor máximo na freqüência de ressonância que no caso do exemplo acima é 
cerca de 918,88 Hz. 
 Quando a freqüência é menor que a da ressonância, o comportamento capacitivo do 
circuito é predominante, isto é, o circuito é aparentemente capacitivo, pois XC é maior 
que XL (Eq. 5.2); quando a freqüência é maior que a da ressonância, o comportamento 
indutivo do circuito é predominante, isto é, o circuito é aparentemente indutivo, pois 
XL é maior XC (Eq. 5.1). Por fim, quando a frequência é iguala da ressonância, o 
circuito tem um 
comportamento aparentemente resistivo. Nesta frequência o módulo da impedância 
geral do circuito tem um valor mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 7
 Exercício 4: 
 
 Calcular o módulo da corrente que circula pelo circuito no exemplo acima para 
as freqüências f = 91,888Hz e f = 9188,8Hz 
 
 
 
 
 
 Fig. 4 – Reposta temporal das tensões num circuito RLC em ressonância. 
 
 
 
 
 Fig. 5 – Valor da corrente que circula pelo circuito em função freqüência da 
 tensão de entrada. A freqüência varia de 10Hz a 100KHz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
 
 Divisor de Tensão 
 Um conceito muito interessante em circuitos elétricos. Na figura 6 temos dois 
circuitos: um divisor resistivo e outro divisor de impedância. 
 
 
 Fig 6 – Divisor de tensão resistivo e divisor de por impedância. 
 
 A corrente que circula pelo circuito da esquerda é dada por: 
 
 
21 RR
VI
+
= 
 
 A tensão de saída Vo = I.R2. Combinando com a equação acima tem-se: 
 
 
21
2
o RR
R.VV
+
= (8.1) 
 
 Os dois resistores formam o que se conhece em circuitos elétricos por divisor 
resistivo, isto é, as duas resistências dividem a tensão de entrada, V, em dois valores 
que somados dão a tensão de entrada e Vo é um destes valores. 
 De maneira equivalente podemos chegar a uma conclusão equivalente em 
relação ao circuito da direita que a extensão da equação da esquerda no domínio 
complexo.: 
 
 
21
2.
ZZ
ZVVo +
= (8.2) 
 
 Exemplo 5: 
 
 Duas impedâncias estão em série, Z1 = 4∠30o e Z2 = 5∠60o sob uma tensão de 
V = 20∠60o. Determinar a corrente do conjunto, as voltagens em cada carga e somá-
las para comparar com a voltagem de entrada. 
 
 Solução: 
 Como as cargas estão em série, tem-se: 
 
 
21
.
ZZ
VI
+
= 
 
 Z1 = 3,46 + j.2 ; Z2 = 2,5 + j.4,33 
 
 Z1 + Z2 = 5,96 + j.6,33 = 8,69∠46,72o 
 
 9
 
 
o
o
I
72,4669,8
.6020
∠
∠
= = 2,3∠13,28o 
 
 Quanto às tensões em cada carga, tem-se: 
 
 V1 = Z1xI = 4∠30ox2,3∠13,28o = 9,2∠43,28o = 6,70 + j.6.31 
 
 V2 = Z2xI = 5∠60ox2,3∠13,28o = 11,5∠73o = 3,36 + j.11 
 
 V1 + V2 = 10,06 + j.17,31 ≈ 20 ∠60o 
 
 
c) CIRCUITO PARALELO 
 
 No entendimento de instalações elétricas, tanto prediais como industriais, os 
circuitos paralelos são os mais importantes. Todas as cargas numa instalação 
monofásicas (ou – que dá no mesmo – estiverem numa mesma fase) estão ligadas em 
paralelo. Assim, ao se ligar, por exemplo, numa mesma tomada um ventilador e uma 
lâmpada, estas cargas estão em paralelo. 
 Se uma casa é ligada apenas numa fase, todas cargas desta casa estão ligadas em 
paralelo, como lâmpadas, geladeira, tv, ventilador, etc. como estão mostradas na Fig 6. 
 
 
 Fig. 6 – Diagrama esquemático de uma instalação elétrica predial monofásica 
 
 Num circuito paralelo, todas as cargas estão sujeitas à mesma voltagem, mas por 
elas circulam correntes diferentes. 
 O diagrama esquemático geral de um circuito paralelo genérico está mostrado na 
figura abaixo. 
 
 
 Fig. 7 - Circuito reativo paralelo 
 
 10
 
 
 Pela Lei dos Nós, tem-se 
 
 IT = I1 + I2 + I3 + ....+ IN (9) 
 
 Isto é, a soma dos fasores de corrente de cada elemento do circuito é igual ao 
fasor da corrente total (IT) fornecida pela tensão de entrada. Ainda tem-se: 
 
 I1 = 
1Z
Vent
 I2 =
2Z
Vent
 I3 = 
3Z
Vent
 IN = 
N
ent
Z
V
 (10) 
 
 Considerando que IT = 
T
ent
Z
V
 e combinando (9) com (10), tem-se: 
 
TT ZZZZZ
1
..
1111
321
++++= (11) 
 
 Onde ZT é a impedância equivalente geral do circuito. Também podemos 
escrever: 
 
 Z
 
=
T
ent
I
V
 (12) 
 
 Por outro lado, se o circuito tem apenas duas impedâncias Z1 e Z2 tem-se de 
manei-ra mais simplificada: 
 
 
21
21
ZZ
xZZZT +
= (13) 
 
 Exemplo 6: 
 
 No circuito abaixo determinar as correntes em cada ramo do circuito, sua 
corrente total e sua impedância equivalente, sabendo-se que V = 220∠0o 
 
 
 Solução: 
 
 O circuito tem duas impedâncias: 
 
 Z1 = 290 + j.368,8 = 469,16 ∠51,82o e Z2 = -j.596,31 = 596,31∠-900 
 
 
 11
 As correntes em cada ramo serão: 
 
 I1 = 369,0.290,082,51469,0
82,5116,469
0220
1
j
Z
V o
o
o
−=−∠=
∠
∠
= = 
 
 I2 = 369,0.90369,09031,596
0220
2
j
Z
V o
o
o
=∠=
−∠
∠
= 
 
 IT = I1 + I2 = 0,290 + j.0 
 
 
 Em diagrama fasorial tem-se: 
 
 
 
 A impedância equivalente é dada por: 
 
 Zeq = 00
0
062,758
0290,0
0220 ∠=
∠
∠
=
TI
V
 
 
 O circuito como um todo tem comportamento aparentemente resistivo. 
 
 Por outro lado, usando-se a equação (13), tem-se: 
 
 Zeq = )21,5968,368.(j290
18,3888,279717
9021,59682,5116,469
9021,596x82,5116,469 0
0
0
−+
−∠
=
−∠+∠
−∠∠
 
 
 Zeq = 0
00
098,757
20,38026,369
18,3888,279717
21,228.j290
18,3888,279717 ∠=
−∠
−∠
=
−
−∠12
 
 Exemplo 7 
 
 Determinar as correntes de cada ramo do circuito abaixo e somá-las para obter a 
corrente total . V = 100∠30o. Determinar, também, a impedância equivalente. 
 
 
 Solução: 
 
 Z1 = 3+ j.4 = 5∠+ 53,1o 
 
 Z2 = 4- j.6 = 7,2∠-56,3o 
 
 I1 = =−∠=∠
∠
=
o
o
o
Z
V 1,2320
1,535
30100
1
 18,70 - j.7,1 
 
 I2 = =∠=
−∠
∠
=
o
o
o
Z
V 3,8689,13
3,562,7
30100
2
 0,90 + j.13,86 
 
 IT = I1 + I2 = 19,60 + j.6,76 = 20,73∠21,14o 
 
 A impedância equivalente é: 
 
 Zeq = 00
0
86,882,4
14,2173,20
30100 ∠=
∠
∠
=
TI
V
 
 
 Exemplo 8: 
 
 Trocando a reatância capacitiva acima de –j6 por uma indutiva de +j6 
 
 Solução: 
 
 Z1 = 3+ j.4 = 5∠+ 53,1o 
 
 Z2 = 4+ j.6 = 7,2∠+56,3o 
 
 I1 = =−∠=∠
∠
=
o
o
o
Z
V 1,2320
1,535
30100
1
 18,70 - j.7,1 
 
 
 13
 I2 = =−∠=
+∠
∠
=
o
o
o
Z
V 3,2689,13
3,562,7
30100
2
 12,72 - j.5,58 
 
 IT = I1 + I2 = 31,42 - j.12,68 = 33,88∠-24,42o 
 
 A impedância equivalente é: 
 
 Zeq = 00
0
42,5495,2
42,2488,33
30100
+∠=
−∠
∠
=
TI
V
 
 
 
 IMPEDÂNCIAS EM PARALELO. METODO DAS ADMITÂNCIAS 
 
 Se várias impedâncias Z1, Z2 , e Z3 estão ligadas em paralelo a uma voltagem 
V, tem-se: 
 
 
321
1111
ZZZZT
++= 
 
 Chama-se admitância o inverso da impedância cujo símbolo é Y. Assim, 
 
 Y = 
Z
1
 = 
X.jR
1
+
 = )X.jR(x)X.jR(
X.jR
−+
+
 = 2222 XR
X.j
XR
R
+
−
+
 (14) 
 YT = Y1 + Y2 + .... YN 
 
 Exemplo 9 
 
 Um circuito em paralelo tem três ramos: 
 Ramo A : ZA = 3 + j10 
 Ramo B : ZB = 10 
 Ramo C : ZC = 7 + j4 
 
 O circuito é alimentado por uma tensão de 110V. Calcular pelo método das 
admitâncias a admitância total, a corrente de cada ramo e a corrente total. 
 Solução: 
 
 YA = 092,0.j028,010j3
1
−=
+
 = 0,096∠-73,07o 
 
 YB = 1/10 = 0,1 = 0,1∠0o 
 
 YC = 4j7
1
+
 = 0,11 –j.0,062 = 0,126∠-29,41o 
 A corrente em cada ramo é: 
 
 IA = V x YA = 100 ∠0o x 0,096∠-73,07o = 9,6∠-73,07o = 2,80 - j9,18 
 
 IB = V x YB = 100 ∠0o x 0,1∠0o = 10 + j.0 
 
 IC = V x YC = 100 ∠0o x 0,126∠-29,41o = 12,6∠-29,41o = 10,98 - j.6,18 
 
 14
 
 IA + IB + IC = 23,78 - j.15,36 = 28.31∠-32,86o 
 
 A admitância total do circuito é: 
 
 YA + YB + YC = 0,238 - j.0,154 = 0,283∠-32,91o 
 
 A impedância equivalente total do circuito é: 
 ZT = 
TY
1
 = =
−∠ o91,32283,0
1