Análise de Circuitos: Leis de Kirchhoff

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Conteudista
Prof. Me. Arcano Matheus Bragança Leite
Revisão Textual
Prof.ª Alana Souza
Análise de Circuitos
2
Sumário
Objetivos da Unidade .......................................................................................... 3
Análise de Circuitos ............................................................................................. 4
1ª Lei de Kirchhoff – Lei das Correntes ou Lei dos Nós ........................................ 5
2ª Lei de Kirchhoff ...................................................................................................... 6
Associação em Série ................................................................................................. 9
Associação em Paralelo .........................................................................................11
Associação Mista ......................................................................................................13
Divisor de Tensão ....................................................................................................13
Divisor de Corrente .................................................................................................15
Geradores Elétricos ........................................................................................... 19
Gerador de Tensão ..................................................................................................19
Gerador de Corrente ...............................................................................................21
Método da Superposição ........................................................................................22
Método de Thévenin ...............................................................................................26
Em Síntese .......................................................................................................... 32
Material Complementar ................................................................................... 33
Autoatividade ..................................................................................................... 35
Referências ......................................................................................................... 37
Gabarito .............................................................................................................. 38
3
• Aprender como analisar circuitos elétricos e calcular as tensões e corren-
tes em cada elemento do circuito;
• Entender como a energia elétrica flui e é distribuída em cada componente 
presente na malha elétrica;
• Conhecer o comportamento do circuito, analisar e avaliar o comportamen-
to geral do sistema;
• Identificar propriedades como resistência, capacitância e indutância, além 
de analisar como esses componentes interagem entre si;
• Fazer o diagnóstico e detecção de falhas.
Objetivos da Unidade
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4
Análise de Circuitos
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) foi um físico alemão que teve várias contri-
buições científicas. Nesta unidade, estudaremos as leis formuladas por ele ainda 
quando era estudante, em 1845, e que são conhecidas como Leis dos Nós e das 
Malhas, ou simplesmente Leis de Kirchhoff, sendo aplicadas até hoje na análise 
de circuitos elétricos.
Figura 1 – Gustav Robert Kirchhoff
Fonte: Wikimedia Commons
#ParaTodosVerem: a imagem é um retrato em preto e branco de um homem com barba e bigode. Ele 
veste um terno e gravata, e a gravata é visível sob o queixo. O homem parece estar olhando para o lado, 
possivelmente em pensamento ou contemplação. O retrato é enquadrado em um círculo, dando-lhe uma 
aparência clássica e atemporal. Fim da descrição.
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1ª Lei de Kirchhoff – Lei das Correntes ou Lei 
dos Nós
A Primeira Lei de Kirchhoff, também conhecida como Lei das Correntes, é uma 
ferramenta fundamental na análise de circuitos elétricos. Formulada por Gustav 
Kirchhoff, um renomado físico alemão do século XIX, ela estabelece o princípio 
da conservação de carga em um nó ou junção em um circuito elétrico. Essa lei é 
essencial para entender e analisar corretamente o comportamento das corren-
tes em um sistema. Basicamente, a Primeira Lei de Kirchhoff afirma que a soma 
algébrica das correntes em um nó de um circuito é igual a zero. 
Um nó, nesse contexto, é um ponto de conexão onde dois ou mais condutores se 
encontram. A lei reflete a conservação de carga, indicando que a carga que entra 
em um nó deve ser igual à carga que sai, uma vez que a carga não é criada nem 
destruída, apenas flui através do circuito. Matematicamente, a Primeira Lei de 
Kirchhoff pode ser expressa como:
Entrando Saindo
I I
=∑ ∑
Aqui, EntrandoI representa a soma das correntes que entram no nó, e SaindoI repre-
senta a soma das correntes que saem do nó. A convenção adotada é considerar 
a corrente que entra no nó como positiva e a corrente que sai como negativa. A 
equação resultante deve igualar-se a zero, conforme previsto pela conservação 
de carga.
Essa lei é particularmente útil em circuitos nos quais a corrente se divide em 
diferentes caminhos, como em um ponto de conexão em um circuito paralelo. 
Ao aplicar a Primeira Lei de Kirchhoff em cada nó, é possível criar equações que 
descrevem o comportamento global do circuito.
Malha: é um trecho de circuito que forma uma trajetória eletricamente fechada. 
Aqui, temos três ramos formados por: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA A R B E.
Nó: é um ponto do circuito onde se conecta no mínimo três elementos. Assim, no 
circuito temos dois nós B e F.
Ramo ou o braço: é um trecho de um circuito compreendido entre dois nós 
consecutivos. Então teremos três ramos: BAEF, BDF e BCGF.
6
Figura 2 – Representação dos nós, ramos e malhas do circuito
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma malha de circuito elétrico composta de quatro fontes de tensão, 
indicadas como: E1, E2, E3 e E4. Quatro resistores, descritos como R1, R2, R3 e R4 e oito diferentes pontos, 
descritos como A, B, C, D, E, F e G, respectivamente. No topo da imagem, há a descrição do que é uma malha 
elétrica; na esquerda, a definição do que é um nó; e à direita a descrição do que é um ramo ou braço do 
circuito. Fim da descrição.
2ª Lei de Kirchhoff
A segunda Lei de Kirchhoff afirma que a soma algébrica das diferenças de po-
tencial (tensões) em qualquer malha de um circuito fechado é igual a zero. Uma 
malha é um caminho fechado no circuito, passando por vários componentes elé-
tricos, como resistores, fontes de tensão e outros dispositivos. Matematicamente, 
a lei é expressa como:
ao longo da malha
0V =∑
Aqui, 
ao longo da malha
0V =
 
representa a diferença de potencial em cada componente ao 
longo da malha. A convenção adotada é considerar a queda de potencial através 
de resistores como positiva e o ganho de potencial por meio de fontes de tensão 
como negativo.
Essa lei é uma extensão da lei de conservação de energia para sistemas elétricos. 
Ela sugere que a energia fornecida pelas fontes de tensão em uma malha é igual 
à energia dissipada pelos resistores, capacitores e outros elementos na mesma 
malha. A Segunda Lei de Kirchhoff é especialmente útil em circuitos complexos, 
onde várias malhas podem estar presentes.
7
Ao combinar a Primeira Lei de Kirchhoff (Lei das Correntes) com a Segunda Lei 
de Kirchhoff (Lei das Tensões), é possível criar um sistema de equações que des-
creve completamente o comportamento elétrico de um circuito. Essas leis são 
pilares da análise de circuitos e são essenciais para resolver sistemas complexos 
encontrados na Engenharia Elétrica e Eletrônica.
Figura 3 – Diferentes potenciais elétricos em uma malha de circuito
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma malha de circuito elétrico composta de duas fontes de tensão, 
indicadas comoE1 e E2, sendo E1 uma fonte com uma diferença de potencial elétrico maior que E2, três 
resistores indicados como R1, R2 e R3 e quatro diferentes pontos no circuito, descritos como A, B, C e D, 
respectivamente. Há uma seta preta indicando o sentido da corrente elétrica “I”. Do lado direito da imagem, 
há a descrição “A tensão total nessa malha será Et = VAB + VBC + VCD”. Fim da descrição.
Ao aplicarmos a Lei de Kirchhoff para Tensão no circuito, teremos:
1 2 ( 1 ) ( 3 )E E R I R I− = ⋅ + ⋅
Assim:
2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0E E R I R I R I− + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
8
Identi�car os nós, os
ramos e as malhas
do circuito elétrico.
1
Atribuir a cada ramo
do circuito um
sentido para a 
corrente elétrica.
2
Polarizar as
fontes de tensão.
3
Polarizar as quedas de
tensão nos resistores de
acordo com o sentido
adotado para
a corrente.
4
Havendo
nós, aplicar a
1ª Lei de Kirchho�
5
Se o número de
equações ainda não for
su�iente para resolver
o circuito, aplicar a
2ª Lei de Kirchho�
6
Escolher um ponto de
partida e adotar um
sentido de percurso
para analisar
a(s) malha(s).
7
Figura 4 – Resumo para aplicação das Leis de Kirchhoff
Fonte: Acervo do conteudista 
#ParaTodosVerem: a imagem é um fluxograma que ilustra um processo, com cada etapa numerada. O 
fluxograma começa no canto superior esquerdo, e os números seguem em sentido horário. O processo 
envolve várias etapas, com os números indicando a ordem em que as etapas devem ser seguidas. O fluxo-
grama é projetado para orientar o leitor através do processo, tornando fácil entender e seguir as etapas. A 
primeira etapa é apresentada como identificação dos componentes do circuito elétrico; a segunda é atribui-
ção de cada ramo do circuito; a terceira é a polarização das fontes de tensão; a quarta é a polarização das 
quedas de tensão; a quinta é aplicação da 1ª lei de Kirchhoff; a sexta é a aplicação da 2ª lei de Kirchhoff; a 
sétima e última é a escolha do ponto de partida e escolha do ponto de partida para análise da(s) malha(s). 
Fim da descrição. 
Em um circuito elétrico, pode haver um grande número de resistores instalados. 
De forma a solucionarmos equações envolvendo projeto, dimensionamento e 
manutenção, temos que calcular a resistência equivalente de maneira a realizar 
outros cálculos utilizando valor único, simplificando a aplicação de outras leis e 
fórmulas.
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Figura 5 – Circuito eletrônico
Fonte: Acervo do conteudista 
#ParaTodosVerem: a imagem retrata uma visão ampliada de uma placa de circuito eletrônico. A placa 
está preenchida com vários componentes eletrônicos, incluindo resistores de diferentes cores e tamanhos, 
capacitores azuis e indutores. Além disso, a placa possui rótulos impressos ao lado de cada componente, 
como "C501," "R514," etc., os quais são designações para capacitores (C) e resistores (R), seguidos por um 
número de identificação único. A imagem está cortada de forma que as bordas da placa não sejam total-
mente visíveis e está posicionada contra um fundo branco com um efeito de sombra, dando-lhe uma leve 
aparência tridimensional. Fim da descrição. 
Associação em Série 
Quando temos uma associação de resistores em série, a resistência equivalente 
será igual à soma de todos os resistores que estão conectados na série, e seu 
valor será maior que o resistor de maior valor individual no circuito.
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Figura 6 – Representação de resistores ligados em série 
Fonte: Acervo do conteudista 
#ParaTodosVerem: na imagem, é retratada a malha de um circuito contendo 4 resistores em série, sendo 
R1, R2, R3 e R4. Também há uma fonte de tensão “V” com suas devidas polaridades. É possível ver o sentido 
que a corrente elétrica percorre em cada resistor, sentido indicado por uma seta azul, e a corrente é indi-
cada de acordo com o devido resistor de referência, sendo I1, I2, I3 e I4, respectivamente. Fim da descrição.
Como a corrente elétrica que passa por todos os resistores é sempre a mesma 
e se as quedas de tensão em cada um dos resistores forem somadas algebrica-
mente, teremos o valor igual ao da fonte de alimentação V. 
Então, a resistência equivalente Req, será: 
Re 1 1 1 2 2 3 3 4 4q R I R I R I R I⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Conforme falamos, uma vez que as correntes são iguais em todos os resistores, 
podemos eliminar os valores de corrente e realizar apenas a soma algébrica dos 
resistores em série.
Re 1 1 2 3 4q R R R R⋅ = + + +
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Associação em Paralelo 
A associação em paralelo de resistores é uma configuração comum em circuitos 
elétricos, na qual dois ou mais resistores estão conectados de forma a compar-
tilhar a mesma diferença de potencial (tensão) em seus terminais. Essa configu-
ração oferece algumas características distintas e sua análise envolve princípios 
fundamentais da teoria dos circuitos elétricos. 
Na associação em paralelo, todos os resistores têm os dois terminais conectados 
aos mesmos pontos do circuito, o que implica que eles estão sujeitos à mesma 
diferença de potencial. Isso significa que a tensão através de cada resistor é cons-
tante e igual à tensão total do circuito. A lei de Ohm, V R I= ⋅ , pode ser aplicada 
individualmente a cada resistor na associação para determinar a corrente fluin-
do através de cada um. 
Em um arranjo em paralelo, a corrente total que flui para a associação é dividida 
entre os resistores. Cada resistor contribui para a corrente total de acordo com 
sua resistência. A lei de Kirchhoff das correntes pode ser aplicada, indicando que 
a soma das correntes que entram em um nó em um ponto de conexão é igual à 
soma das correntes que saem. Isso acarreta na expressão.
A resistência equivalente (Re )q para resistores em paralelo é calculada usando 
a fórmula da reciprocidade das resistências. Para dois resistores em paralelo, a 
fórmula é 1 1 1
Re 1 2q R R
= + . Essa fórmula pode ser generalizada para mais resis- 
 
tores em paralelo.
Cada resistor em paralelo opera independentemente dos outros em termos de 
corrente e potência. Isso significa que a falha de um resistor não afeta direta-
mente o funcionamento dos outros resistores na mesma associação.
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Figura 7 – Circuito com resistores em paralelo 
Fonte: Acervo do conteudista 
#ParaTodosVerem: na imagem, à esquerda há uma fonte de tensão “V” alimentando um arranjo de quatro 
resistores em paralelo, indicados como sendo R1, R2, R3 e R4. Cada trecho percorrido pela corrente elétrica 
nos resistores de referência é indicado como, I1, I2, I3 e I4, respectivamente. À direita da imagem, há a 
aplicação da Lei de Ohm no circuito e o cálculo da resistência equivalente para a malha. Fim da descrição.
Aplicando a Lei de Ohm, VI
R
= , assim, levando para o circuito para calcular a Req
1 2 3 3Re
V V V V V
q R R R R
= + + +
Uma vez que as tensões sobre cada resistor são iguais, podemos substituir V por 
1. Assim teremos:
1 2 3 3
1 1 1 1 1
Req R R R R
= + + +
A Req calculada será sempre de valor menor que o resistor de menor valor no 
circuito.
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Associação Mista
Na maioria das vezes, encontraremos, em único circuito, resistores ligados em 
série e em paralelo. Para realizar o cálculo da resistência equivalente em circui-
tos de configuração de ligação mista, primeiramente, devemos realizar todas as 
associações em paralelo possíveis, para depois realizarmos um único cálculo em 
série.
Dentro de um circuito eletrônico, são necessários valores de tensão e corrente 
diferentes para componentes igualmente diferentes. Caso não pudéssemos ma-
nipular essas grandezas elétricas, ações como aumentar ou abaixar o volume 
do som de um rádio seriam muito complexas, uma vez que necessitamos de 
tensões diferentes. Teríamos então, um rádio com várias baterias, cada uma com 
um valor diferente de tensão. Assim, os divisores de tensão e corrente acabaram 
sendo de construção muito simples e de uma importância enorme, possibilitan-
do padronizarmos as pilhas e baterias com valores definidos.
Divisor de Tensão
O divisor de tensão separa em partes uma tensão inicial, dandovalores diferen-
tes de tensão a cada parte do circuito. Conforme você aprendeu, circuitos com 
resistores em série têm valor de corrente igual em todo o circuito, contudo, as 
tensões em cada resistor são diferentes. Dessa forma, esses circuitos são chama-
dos de divisores de tensão. A Figura 8 demonstra uma associação de resistores 
em série dividindo a tensão de entrada. A tensão de saída será a tensão sobre R2, 
também conhecida por queda de tensão.
Figura 8 – Divisor de tensão 
Fonte: Acervo do conteudista 
#ParaTodosVerem: na imagem é possível identificar dois resistores azuis em série com uma diferença 
de potencial elétrica sendo aplicada do lado esquerdo do circuito, indicada por “Ventrada”. O sentido da 
corrente “i” é descrito por uma seta azul. O resistor superior é descrito como “R1” e o inferior como “R2”. 
Entre os terminais do resistor R2 é medida a diferença de potencial elétrico de saída, indicada por “Vsaída” 
no lado direito do circuito. Fim da descrição.
14
Sabemos que em um circuito série, a resistência equivalente é a soma do valor 
de todas as resistências desse circuito. Aplicando a Lei de Ohm, teremos:
1 2( )
entrada
V i R R= ⋅ +
Para encontrar o valor da corrente i, fazemos:
1 2
1
( )entradai V
R R
= ⋅
+
Para encontrarmos o valor de tensão da saída, usamos:
2saída
V i R= ⋅
Assim, substituindo i pela sua equação:
2
1 2
1
( )saída entradaV V R
R R
 
= ⋅ ⋅ + 
Temos, então, a equação do divisor de tensão:
2
1 2( )saída entrada
RV V
R R
 
= ⋅ + 
15
Concluímos assim, que sobre cada resistor existe uma tensão diretamente pro-
porcional ao valor da sua resistência. 
Divisor de Corrente
Denominamos de divisor de corrente os circuitos que possuem resistores liga-
dos em paralelo. Uma vez que a tensão é igual em todos os resistores, a corrente 
é dividida entre eles, de acordo com o valor das suas resistências.
Figura 9 – Circuito divisor de corrente 
Fonte: Acervo do conteudista 
#ParaTodosVerem: na imagem é possível identificar dois resistores azuis em paralelo com uma diferença 
de potencial elétrica sendo aplicada do lado esquerdo do circuito, indicada por “V”. O sentido da corrente 
total “iT” é descrito por uma seta azul. O resistor do lado esquerdo é descrito como “R1” e através dele flui 
uma corrente elétrica “i1”. Por fim, o resistor do lado direito é descrito como “R2” e através dele flui uma 
corrente “i2”. Fim da descrição.
2
1
1 2( ) r
Ri i
R R
= ⋅
+
E para i2
1
2
1 2( ) r
Ri i
R R
= ⋅
+
Charles Wheatstone foi um cientista inglês que viveu no século XIX e cujos estu-
dos contribuíram para o desenvolvimento e entendimento dos circuitos elétricos. 
Criou também alguns dispositivos, entre eles, o estereoscópio, que projetava 
imagens tridimensionais.
16
Figura 10 – Charles Wheatstone
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: a imagem apresenta um homem vestindo um terno e gravata, sentado em uma ca-
deira. Ele parece ser um senhor mais velho, usando um laço borboleta, e está olhando diretamente para 
a câmera. O homem usa óculos e a cadeira em que ele está sentado está posicionada no lado direito do 
quadro, fazendo com que ele ocupe a maior parte da cena. Fim da descrição.
Os trabalhos que Wheatstone publicou são de grande relevância até hoje. Os 
circuitos desenvolvidos por ele com resistores em série e em paralelo possibi-
litaram o desenvolvimento dos medidores de grandezas elétricas. Os mesmos 
equipamentos que temos hoje, como o multímetro digital atual, que, apesar de 
utilizar uma forma diferente de medição, usa como base os princípios de medição 
de Wheatstone em sua lógica interna. O circuito básico proposto por Wheatstone 
é representado na Figura 11:
17
Figura 11 – Representação do circuito proposto por Wheatstone 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, é possível identificar quatro resistores azuis indicados como R1, R2, R3 e 
R4, respectivamente, com uma diferença de potencial elétrica sendo aplicada do lado esquerdo do circuito, 
entre os resistores R1-R3 e R2-R4, indicada por “V”. Entre os terminais dos resistores R1-R2, ponto “A” em 
laranja e R3-R4, ponto “B” em laranja, é medida a tensão de saída indicada por “VAB”. Fim da descrição.
Podemos observar que o circuito é um divisor de corrente, no qual cada um de 
seus ramos forma um divisor de tensão.
Figura 12 – Divisor de tensão formado por cada ramo
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, é possível identificar quatro resistores azuis indicados como R1, R2, R3 e 
R4, com uma diferença de potencial elétrica sendo aplicada do lado esquerdo do circuito, entre os resistores 
R1-R3 e R2-R4, indicada por “V”. Entre os terminais dos resistores R1-R2, ponto “A” em laranja e um ponto 
azul intermediário entre os resistores R2-R4, é medida a tensão “VA”. Já entre os terminais dos resistores 
R3-R4, ponto “B” em laranja e um ponto azul intermediário entre os resistores R2-R4, é medida a tensão 
“VB”. Fim da descrição.
Conforme já estudamos, as tensões VA e VB são:
2 4
1 2 3 4( ) ( )A B
R RV V V V
R R R R
  
= ⋅ → = ⋅  + +   
18
Assim, no instante em que o valor de VAB for igual a zero:
0VAB VA VB= − =
Dizemos que a ponte está em equilíbrio, ou seja, VA = VB e assim:
2 4
2 3 4 4 1 2
1 2 3 4
( ) ( )
( ) ( )
R RV V R R R R R R
R R R R
⋅ = ⋅ → ⋅ + = ⋅ +
+ +
2 3 2 4 4 1 4 2 2 3 4 1R R R R R R R R R R R R⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ → ⋅ = +
Concluímos, então, que o estado de equilíbrio da ponte é condicionado pela mul-
tiplicação de seus resistores, que estão posicionados em lados opostos.
Figura 13 – Resistores ôhmicos com diferentes códigos de cores
Fonte: Freepik 
#ParaTodosVerem: na imagem, há alguns componentes eletrônicos presentes em uma placa de circuito. 
Os componentes ao fundo estão desfocados, enquanto em primeiro plano estão dois distintos resistores 
ôhmicos. O resistor bege inferior possui código de cores de quatro faixas, sendo marrom, preto, laranja e 
dourado. O resistor azul superior possui código de cores de 5 faixas, sendo vermelho, preto, preto, marrom 
e marrom. Fim da descrição.
19
Geradores Elétricos
Chamamos de geradores elétricos os dispositivos que atendem a determinadas 
condições e convertem energia mecânica ou química em energia elétrica.
Dessa forma, os geradores de tensão elétrica, após a conversão dessas energias, 
provocam o aparecimento de uma diferença de potencial elétrico entre os ter-
minais ou pólos. Isso ocorre porque um dos polos fica com excesso de elétrons 
(chamado de pólo negativo) e o outro pólo ficará com deficiência de elétrons 
(chamado pólo positivo). O gerador de tensão mais conhecido é a pilha, que, a 
partir de transformação de energia química em elétrica, fornece nos seus pólos 
uma diferença de potencial de 1,5 Volt.
Gerador de Tensão
Iniciaremos nossos estudos pelo gerador de tensão, o qual, de forma ideal, trans-
forma toda a energia primária em energia elétrica por meio da seguinte fórmula:
P V I= ⋅
Onde: 
P = é a potência, grandeza elétrica que mede a quantidade de trabalho 
realizado em determinado período. 
V = Tensão ou diferença de potencial. 
I = Corrente elétrica. 
Podemos também atribuir aos geradores ideais que a tensão não muda, ou seja, 
a tensão gerada é igual à tensão na carga.
20
Figura 14 – Esquema didático para gerador de tensão ideal 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma fonte de tensão, indicada por “V” alimentando uma lâmpada in-
candescente. Entre os terminais da lâmpada é medida a tensão de saída, indicada por “VS”. Ao lado direito 
de VS, há uma seta preta indicando a relação de igualdade entre a tensão fornecida pela fonte e a tensão 
medida nos terminais da lâmpada, indicada por “V=VS”. Fim da descrição.
Contudo, o gerador possui em si uma resistência interna Ri , que, para fins de 
desenvolvimento de geradores reais, devemos considerá-la.
Figura 15 – Esquema didático para gerador de tensão real 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem,há uma fonte de tensão, indicada por “V” alimentando uma lâmpada incan-
descente. Em série com o lado positivo da fonte, há um resistor azul, indicado por “Ri”. O sentido da corrente 
elétrica “I” que alimenta a lâmpada é indicado por uma seta azul. Entre os terminais da lâmpada é medida a 
tensão de saída, indicada por “VS”. Ao lado direito de VS, há uma seta preta indicando a relação de igualdade 
entre a tensão fornecida pela fonte, subtraída da multiplicação entre Ri e I e a tensão medida nos terminais 
da lâmpada, indicada por “VS=V-(Ri*I)”. Fim da descrição.
Em outras palavras, quanto menor for a resistência interna do gerador de ten-
são, melhor será o seu rendimento no fornecimento de tensão na saída.
Assim, para geradores reais, o cálculo de potência é:
21
2P R I= ⋅
Onde: 
P = Potência. 
R = Resistência total. 
I = Corrente elétrica. 
Gerador de Corrente
Análogo aos geradores de tensão, os geradores de corrente devem fornecer de-
terminado valor de corrente IG de forma contínua, não importando a carga por 
ele alimentada, ou seja, para qualquer tensão de saída Vs. 
Figura 16 – Esquema didático para gerador de corrente ideal
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma fonte de corrente, indicada por “IG” alimentando uma lâmpada 
incandescente. Entre os terminais da lâmpada é medida a tensão de saída, indicada por “VS”. O sentido da 
corrente elétrica “I” é indicado por uma seta azul. Fim da descrição.
Porém, como sabemos, existe uma resistência interna no gerador que causa per-
das de eficiência. Assim, a corrente gerada é diferente da corrente de saída ou 
consumida pela carga. Para calcular a corrente Is, utilizamos a equação do divisor 
de corrente:
22
Figura 17 – Esquema didático para gerador de corrente real 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma fonte de corrente, indicada por “I” alimentando uma lâmpada 
incandescente. Entre os terminais da lâmpada é medida a tensão de saída, indicada por “VS”. O sentido da 
corrente elétrica proveniente da fonte é indicado como “IG”. A corrente que percorre o resistor Ri é indicada 
por uma seta azul “Ii”. A corrente que percorre a lâmpada é indicada por uma seta azul “IS“. A resistência 
da carga é descrita como “RS ”. Do lado direito da lâmpada, é descrito como o cálculo para obtenção do 
parâmetro “IS” é realizado. Fim da descrição.
Assim, temos que a equação característica do gerador de corrente será:
S G
i
VI I
R
= −
Ou seja, quanto maiores os valores de resistência interna no gerador de corren-
te, melhor será seu desempenho.
Para realizar a análise de circuitos, é necessário aprender alguns métodos de-
senvolvidos a partir das leis, postulados e teoremas que, juntos, configuram os 
princípios fundamentais da eletricidade. 
Método da Superposição
Este método é fundamentado no teorema da superposição de efeitos. Em um 
circuito que seja formado somente por elementos lineares e possua mais de um 
gerador de tensão ou de corrente, a corrente, em cada trecho do circuito, será 
igual à soma algébrica das correntes individuais, fornecida por cada gerador in-
dividualmente, substituindo os demais geradores de tensão por curtos-circuitos 
e os demais geradores de corrente sendo trocados por uma abertura no circuito. 
23
Aplicaremos o método no circuito a seguir, calculando a corrente IR3, que passa 
pelo resistor R3, e a tensão VR3 sobre ele:
Figura 18 – Circuito para análise do método de superposição 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há duas fontes de tensão, descritas como E1, com tensão igual a 60V e uma 
segunda fonte E2, com uma tensão de 36V. É possível observar a presença de três distintos resistores, R1 
com valor de 4 Ohms, R2 com 12 Ohms e R3 com 3 Ohms. Há a descrição de três diferentes pontos na malha 
do circuito, descritos por 1, 2 e 3. Fim da descrição.
O primeiro passo é analisarmos o efeito do gerador de tensão E1 de 60V sobre 
o circuito:
Figura 19 – Circuito de análise de Efeito do gerador E1
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma fonte de tensão, descrita como E1, com tensão igual a 60V. É pos-
sível observar a presença de três distintos resistores, R1 com valor de 4 Ohms, R2 com 12 Ohms e R3 com 3 
Ohms. Há a descrição de dois diferentes pontos na malha do circuito, descritos por 1 e 2. Fim da descrição.
Para realizarmos a simplificação da malha, associamos R2 e R3. Podemos obser-
var pelo circuito que ambos os resistores compartilham seus terminais. Significa 
dizer que seus contatos são interligados no mesmo ponto, o que classifica a as-
sociação em paralelo desses resistores. Sendo assim, podemos aplicar um méto-
do para obtenção da resistência equivalente da associação em paralelo de dois 
resistores, que é o método do produto pela soma.
24
O método do produto pela soma é uma técnica rápida e eficaz para calcular a 
resistência equivalente (Req ) de uma associação de resistores em paralelo. Esse 
método é especialmente útil quando se tem dois resistores em paralelo. Em um 
primeiro momento, a abordagem consiste em realizar o cálculo do produto das 
resistências adjacentes. Por exemplo, para duas resistências 1 e 2R R , o produto 
pela soma seria 1 2
1 2
Re R Rq
R R
⋅
=
+ . O passo seguinte é somar todos os produtos obti-
dos no passo anterior. Se houver mais de dois resistores, continue calculando 
e somando os produtos para cada par de resistores. Por fim, divida a soma dos 
produtos pela soma total das resistências individuais na associação, conforme a 
fórmula anterior para o cálculo da resistência equivalente (Req ) resultante. 
O processo do cálculo para a simplificação do circuito elétrico é descrito abaixo:
Associamos 1 e 2R R :
12 3R 2,4
12 3EQ ohm⋅
= =
+
Depois, calculamos a corrente do circuito equivalente:
1
60 9,375
4 2,4
I A= =
+
A corrente no resistor será:
1
22,5 7,5
3EI A= =
Resultando a Figura 20:
Figura 20 – Resultante do efeito do gerador E1
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, à esquerda, há o cálculo da resistência equivalente entre os resistores R2 
e R3. É descrito o cálculo da corrente elétrica “I1” que percorre a e da corrente elétrica “IE1” que percorre 
o resistor R3. À direita é indicada a malha do circuito elétrico correspondente aos cálculos realizados para 
obtenção dos parâmetros do circuito. Fim da descrição.
25
O segundo passo é analisar o efeito de E2 no circuito:
Figura 21 – Circuito de análise de Efeito do gerador E2
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma fonte de tensão, descrita como E2, com tensão igual a 36V. É pos-
sível observar a presença de três distintos resistores, R1 com valor de 4 Ohms, R2 com 12 Ohms e R3 com 3 
Ohms. Há a descrição de dois diferentes pontos na malha do circuito, descritos por 1 e 2. Fim da descrição.
Para realizarmos a simplificação da malha, igualmente realizado para o cálcu-
lo da malha anterior, associamos R1 e R3. Podemos observar pelo circuito que 
ambos os resistores compartilham seus terminais. Significa dizer que seus con-
tatos são interligados no mesmo ponto, o que classifica a associação em paralelo 
desses resistores. Sendo assim, podemos aplicar o método para obtenção da 
resistência equivalente da associação em paralelo de dois resistores, o método 
do produto pela soma, visto anteriormente.
Para obtenção da tensão “V2” sobre a resistência equivalente resultante, deve-se 
aplicar a fórmula do divisor de tensão, já vista. A fórmula para o cálculo da dife-
rença de potencial “V2” segue o formato:
 , sendo “V” da fórmula igual a tensão da fonte E2.2
1 2
2
( )
RV V
R R
 
= ⋅ + 
Diante desses resultados, pode-se estabelecer os valores das correntes que per-
correm o circuito, bem como o resistor R3. O cálculo para obtenção dos parâme-
tros elétricos do circuito é descrito a seguir:
26
Associamos R2 e R3:
4 3R 1,714
4 3EQ ohm⋅
= =
+
Depois, calculamos a corrente:
2
36 2,625
12 1,714I A= =
+
O efeito de E2 no resistor R3 será:
2
4,5 1,5
3EI A= =
Resultando a figura abaixo:
Figura 22 – Resultante do efeito do gerador E2
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, à esquerda, há o cálculo da resistência equivalente entre os resistores R1 e 
R3. É descrito o cálculo da corrente elétrica “I2” que percorre a Req e da corrente elétrica “IE2” que percorre 
o resistor R3. À direita, obtenção dos parâmetros do circuito. Fim da descrição.
Assim, o valor de IR3 e VR3 no resistor R3 de 3 ohm será a soma algébrica do 
efeito de cada fonte:
3 1 2 3
3 3
 I 7,5 1,5 9
1 2 V 22,5 4,5 27
R E E R
R R
I I I A
V V V V
= + → = + =
= + → = + =
Método de Thévenin 
Este método é baseado no teorema formulado por Thévenin, engenheiro francês 
do século XIX, e tem como objetivo reduzir parte ou todo o circuito em um gera-
dor de tensão, ou seja, fonte de tensão em série com uma resistência.
27
Num circuito formado por vários bipolos lineares. Todos os geradores e recep-
tores do circuito que envolvem um determinado bipolo ou ramo de interesse 
podem ser substituído por um gerador de tensão Thévenin formado por uma 
fonte de tensão equivalente Thévenin IR3 em série com uma resistência interna 
equivalente Thévenin RTh (Markus, 2004). 
Utilizaremos o mesmo circuito do exemplo anterior e analisaremos pelo teorema 
de Thévenin, calculando a corrente IR3 que passa pelo resistor R3 e a tensão VR3 
sobre o mesmo:
Figura 23 – Circuito para análise do método Thévenin 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há duas fontes de tensão, descritas como E1, com tensão igual a 60V e uma 
segunda fonte E2, com uma tensão de 36V. É possível identificar a presença de três distintos resistores, R1 
com valor de 4 Ohms, R2 com 12 Ohms e R3 com 3 Ohms. Há a descrição de três diferentes pontos na malha 
do circuito, descritos por 1, 2 e 3. Fim da descrição.
O primeiro passo é retirar a carga, isto é, o resistor de 3 ohm do circuito.
Figura 24 – Circuito após a primeira análise 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há duas fontes de tensão, descritas como E1, com tensão igual a 60V e 
uma segunda fonte E2, com uma tensão de 36V. É possível observar a presença de dois distintos resistores, 
R1 com valor de 4 Ohms e R2 com 12 Ohms. Há a descrição de três diferentes pontos na malha do circuito, 
descritos por 1, 2 e 3. Há a descrição de dois pontos “A” e “B” que surgem da retirada do resistor de carga 
R3 do circuito. Fim da descrição.
28
Agora, retiraremos os geradores de tensão e colocaremos um curto circuito no 
lugar. Assim, calculamos a resistência equivalente Thévenin entre os pontos A e B:
Figura 25 – Circuito após a segunda análise 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, à esquerda, vemos o circuito anterior sem a presença das duas fontes 
de tensão, descritas como E1, com tensão igual a 60V e uma segunda fonte E2, com uma tensão de 36V. É 
possível observar a presença de dois distintos resistores, R1 com valor de 4 Ohms e R2 com 12 Ohms. Há 
a descrição de três diferentes pontos na malha do circuito, descritos por 1, 2 e 3. Há a descrição de dois 
pontos “A” e “B” que surgem da retirada do resistor de carga R3 do circuito. À direita, há a resistência de 
Thevenin, descrita como “RTH”, que resulta da resistência equivalente realizada entre os resistores R1 e R2. 
Fim da descrição.
Desse modo, calculamos a tensão de Thévenin VTh:
Figura 26 – Circuito após a terceira análise 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há duas fontes de tensão, descritas como E1, com tensão igual a 60V e 
uma segunda fonte E2, com uma tensão de 36V. É possível observar a presença de dois distintos resistores, 
R1 com valor de 4 Ohms e R2 com 12 Ohms. Há a descrição de três diferentes pontos na malha do circuito, 
descritos por 1, 2 e 3. Também são descritos dois pontos “A” e “B” que surgem da retirada do resistor de 
carga R3 do circuito e a tensão de Thévenin “VTH” que é a diferença de potencial entre esses terminais. Fim 
da descrição.
29
Para realização do cálculo da tensão de Thevenin (VTH), foi definida a tensão so-
bre o resistor R1=6V. Essa tensão foi obtida seguindo a fórmula para o divisor de 
tensão em circuitos elétricos:
1
1
1 2
(60 36) 6
( )
RVR V
R R
 
= − ⋅ = + 
Após a obtenção da tensão sobre o resistor R1, podemos calcular a corrente 
que percorre o circuito e, diante desta, temos dados suficientes para definirmos 
a tensão do circuito equivalente de Thévenin presente entre os terminais A e B 
resultantes do circuito aberto gerado pela ausência do resistor de carga R3. A se-
guir, é descrito como se procedeu a análise para determinação dos parâmetros 
elétricos da simplificação por meio desse método.
A corrente no circuito é:
60 36 1,5
4 12
I A−
= =
+
Então, a tensão de Thévenin é:
60 (4 1,5) 54VTh v= − ⋅ =
E, temos como resultado:
Figura 27 – Circuito após a quarta análise 
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, à direita, há o cálculo da corrente elétrica “I” que percorre o circuito. Há a 
indicação do cálculo realizado para determinar a tensão de Thévenin “VTH”. À esquerda é indicada a malha 
do circuito elétrico correspondente aos cálculos realizados para obtenção dos parâmetros elétricos do cir-
cuito. Fim da descrição.
30
Diante dos cálculos executados anteriormente, podemos chegar agora em uma 
simplificação do circuito, onde teremos o formato clássico do equivalente de 
Thévenin, que é o circuito com uma fonte de tensão, de valor “VTH” em série com 
uma resistência de valor “RTh”. A Figura 27 ilustra o circuito obtido após a defini-
ção dos valores para a tensão de Thèvenin, bem como a resistência de Thévenin:
E, assim, montamos o circuito equivalente de Thévenin:
Figura 28 – Circuito equivalente Thévenin
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma fonte de tensão, descrita como “VTH” com tensão igual a 54V em 
série com um resistor descrito como “RTH” com valor de 3 Ohms. Há a descrição de dois pontos “A” e “B”, 
provenientes do circuito aberto deixado com a retirada do resistor R3. Próximo ao ponto B, há a descrição 
“Circuito equivalente de Thévenin” e à direita da imagem há a indicação “E assim, montamos o circuito 
equivalente de Thévenin”. Fim da descrição.
Por fim, podemos reinserir o resistor R3 no circuito a fim de estabelecer a corren-
te elétrica que o percorre. O circuito resultante é uma malha fechada com valores 
já conhecidos. O cálculo para analisarmos a corrente em R3 é bem simples de ser 
feito, tendo em vista as simplificações já realizadas anteriormente.
3
54 9
3 3RI A= =
+
Assim, a Figura 29 ilustra a obtenção desse parâmetro resistivo:
31
Figura 29 – Circuito equivalente para cálculo da corrente em R3
Fonte: Acervo do conteudista
#ParaTodosVerem: na imagem, há uma fonte de tensão, descrita como “VTH” com tensão igual a 54V em 
série com um resistor descrito como “RTH” com valor de 3 Ohms. Em série com a resistência de Thévenin, 
há a descrição do resistor R3 com valor de 3 Ohms. Fim da descrição.
32
Aprendemos que para análise de circuitos complexos, existem diversos métodos, 
entre eles está o método de superposição e o Thévenin. A aplicação desses mé-
todos facilita o cálculo de grandezas elétricas em partes específicas do circuito.
Em Síntese
33
Livros
Introdução à Análise de Circuitos
A análise de circuitos pode ser dividida em dois grandes grupos: análise 
de circuitos de corrente contínua (CC) e análise de circuitos de corrente 
alternada (CA). A análise de circuitos de CC é um caso particular da análise 
de circuitos de CA, no qual a corrente elétrica flui de forma constante. Em 
ambos os casos, a obra de referência é uma ótima opção para se introdu-
zir nesse campo, trazendo de forma didática e clara as informações neces-
sárias para o bom aproveitamento do conteúdo.
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: 
Pearson PrenticeHall, 2004.
Análise de Circuitos Elétricos com Aplicações
O contexto apresentado fornece uma breve introdução ao assunto de 
análise de circuitos elétricos. A análise de circuitos é uma área fundamen-
tal da Engenharia Elétrica, com aplicações em uma ampla gama de dis-
positivos e sistemas elétricos. É uma obra de referência que aborda os 
conceitos básicos e avançados de análise de circuitos elétricos, com foco 
nas aplicações práticas. 
SADIK, M. N.; ALEXANDER, C. K. Análise de circuitos elétricos com apli-
cações. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2014.
Circuitos Elétricos
A obra apresenta os conceitos básicos de análise de circuitos elétricos, 
como leis de Kirchhoff, análise nodal e análise de malhas. É um ótimo 
conteúdo para quem deseja aprofundar os conhecimentos nesse vasto 
mundo das análises de circuitos elétricos.
NILSSON, J. W.; RIEDELL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2008.
Material Complementar
34
Material Complementar
Vídeo
Análise de Circuitos
O vídeo abaixo traz de maneira pedagógica a narrativa da análise de cir-
cuitos elétricos em ambos os regimes de operação. Com recursos audio-
visuais, o aluno terá ao acessar o conteúdo, uma facilidade para melhor 
se adaptar aos postulados e teorias que regem a aplicação deste tipo de 
análise.
https://youtu.be/SYtKZQekyDE?si
35
1 – Considere um circuito elétrico composto por três resistores, conecta-
dos em série. Cada resistor possui um valor de resistência diferente. Sabe-
se que a resistência equivalente Req de resistores em série é dada pela 
soma das resistências individuais. Com base nessa informação, assinale a 
alternativa correta que representa corretamente a resistência equivalente 
desse circuito:
a. R1+R2+R3.
b. R1xR2xR3.
c. 1 1 1
1 2 3R R R
     + +     
     
.
d. 1 2 3 4
1 2 3
R R R R
R R R
⋅ ⋅ ⋅
+ +
e. R1// R2// R3
2 – Considere um circuito elétrico com duas fontes de tensão E1 e E2, e três 
resistores R1, R2 e R3, interconectados de maneira complexa. O objetivo é 
simplificar o circuito usando o método de Thévenin.
Passo 1: Desconexão da carga e identificação da resistência equivalente Rth
Desconecte a carga do circuito: calcule a resistência equivalente Rth entre os 
terminais onde a carga estava conectada.
Passo 2: Determinação da tensão de circuito aberto Vth: restaure as fontes de 
tensão. Calcule a tensão de circuito aberto Vth entre os terminais onde a carga 
estava conectada.
Passo 3: Reconexão da carga e análise de desempenho: reconecte a carga ao 
circuito. Determine a corrente de curto-circuito Isc entre os terminais onde a car-
ga está conectada. Calcule a resistência equivalente vista pela carga Req nesse 
estado.
Passo 4: Apresentação do circuito simplificado: represente o circuito simplificado, 
incluindo uma fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth, conectados 
aos terminais onde a carga estava originalmente.
Autoatividade
36
Atenção, estudante! Veja o gabarito desta autoatividade no fim deste conteúdo.
Com base nos passos descritos, qual das seguintes opções representa correta-
mente a forma simplificada do circuito?
a. Vth em série com Rth.
b. Rth em paralelo com Vth.
c. Vth em paralelo com Rth.
d. Rth em série com Isc.
e. Isc em paralelo com Req.
3 – Considere um circuito elétrico semelhante ao mencionado anteriormen-
te, com duas fontes de tensão E1 e E2, três resistores R1, R2 e R3 interco-
nectados de maneira complexa. O objetivo é simplificar o circuito usando o 
método de Thévenin e, desta vez, explorar a técnica da superposição.
Passo 1: Superposição de E1: desconsidere a fonte E2(faça E2=0). Aplique as 
etapas do método de Thévenin para determinar a contribuição de E1 na forma 
simplificada do circuito.
Passo 2: Superposição de E2: desconsidere a fonte E1(faça E1=0). Aplique as 
etapas do método de Thévenin para determinar a contribuição de E2 na forma 
simplificada do circuito.
Passo 3: Composição das contribuições: some as contribuições obtidas nos pas-
sos 1 e 2 para encontrar a forma final simplificada do circuito.
Com base nessas superposições, qual das seguintes opções representa correta-
mente a forma simplificada do circuito?
a. Vth1 + Vth2 em série com Rth1+Rth2.
b. Vth1 x Vth2 em paralelo com Rth1 x Rth2.
c. Vth1 + Vth2 em paralelo com Rth1 + Rth2.
d. Rth1 + Rth2 em série com Isc1 + Isc2.
e. Isc1 x Isc2 em paralelo com Req1 + Req2.
Autoatividade
37
ARAGÃO, M. J. História da Física. Rio de Janeiro: Interciência ltda, 2006.
CAVALCANTI, P. J. M. Fundamentos de Eletrotécnica. Rio de Janeiro: Freitas 
Bastos Editora, 1927.
FLOYD, T. L. Sistemas digitais: fundamentos e aplicações. Porto Alegre: Bookman, 
2007. 
MALVINO, A. P. Eletrônica. São Paulo: Makron Books, 1995. v. 1.
MARKUS, O. Circuitos Elétricos: corrente contínua e corrente alternada. São 
Paulo: Érica, 2004.
MARQUES, A. E. B.; JUNIOR, S. C.; CRUZ, E. C. A. Dispositivos semicondutores: 
diodos e transistores. São Paulo: Érica, 1998. 
SHAMIEH, C.; MCCOMB, G. Eletrônica para Leigos. Rio de Janeiro: Alta Books, 
2011. 
TOCCI, R. J.; WIDNER, N. S.; MOSS, G. L. Sistemas digitais: princípios e aplicações. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
Referências
38
Questão 1 
a) R1+R2+R3.
Feedback: a resistência equivalente Re q resultante da associação série entre 
resistores ôhmicos é descrita como sendo a soma das resistências individuais 
dos componentes.
Questão 2
a) Vth em série com Rth.
Feedback: a forma simplificada do circuito, após a aplicação do método de 
Thévenin e execução de todas as etapas de simplificação, é representada por 
uma fonte de tensão em série com uma resistência equivalente, o que caracteri-
za o circuito clássico do equivalente de Thevénin.
Questão 3
c) Vth1 + Vth2 em paralelo com Rth1 + Rth2.
Feedback: a técnica da superposição envolve considerar cada fonte de cada vez e 
somar suas contribuições. A forma simplificada do circuito será uma combinação 
das contribuições individuais de cada fonte.
Gabarito