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MATEMÁTICA

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Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo 
após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte: 
 
Estudo do Vértice 
O que é vértice de uma parábola? 
 - É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo. 
Veja os exemplos abaixo: 
 
O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante" 
de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das 
duas raízes. A coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a 
soma das duas dividido por dois. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv. 
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Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o 
cálculo de Yv é: 
 
Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax
2
 + bx + c: 
 
 
 
Exemplo : Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x
2
 - 2x + 3, escreva se a função admite um 
máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo. 
Resolução: Vértices 
Xv = -(-2)/2(1)  = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4(1) 
Xv = 2/2  = (-2)2 - 4 (1)(3) Yv = 8/4 
Xv = 1  = 4 - 12 = -8 Yv = 2 
 S = (1, 2) 
a > 0 , a função assume um valor mínimo 
Yv = -
a4

 = -(-8) = 2 
 4(1) 
 
E X E R C I C I O S 
1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes 
funções: 
a) f(x) = x2 – 6x + 5 R. x´= 5 e x´´=1 Xv = 3 e Yv = -4 
b) f(x) = -x
2
 + 2x -2 R. não existe raís Xv= 1 e Yv= -1 
2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo: 
a) f(x) = 5x
2 – 3x – 2 R. a > 0, assume um valor mínimo -49/20 
b) f(x) = -x2 + 3x –2 R. a < 0, assume um valor máximo 0,25 
 
Se a > 0, a função assume um valor de mínimo: 
 Yv = -
a4

 
Se a < 0, a função assume um valor de máximo: 
 Yv = -
a4

 
 
 
 
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3) Dada a função f(x) = x
2
 – 2x – 3, determine: 
a) as raízes da função; R. x´= 3 e x´´ = -1 
b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4 
c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo 
d) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3. 
4) Determine as raízes das funções, se houver: 
a) f(x) = 6x2 + 5x - 4 Resp. x ’= ½ e x ” = - 4/3 
b) f(x) = - x2 - 2x - 1 Resp. x ’= x ” = -1 
c) f(x) = 6x
2
 + 3x + 7 Resp.  < 0, ou seja  = -159 portanto, S = { } 
 
5) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de 
mínimo. 
a) y = x2 – x – 2 Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4 
b) y = -x2 – x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/2 Yv = 4,25 
c) y = -x2 – 2 x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1 
d) y = 3x2 + 2x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3 
 
6) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado, 
ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das 
raízes da função: f(x) = x
2
 + 10x – 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado. 
 
a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30; 
b) A área de produção apresentou o resultado 20 atingindo assim a área como um todo; 
c) A empresa detectou um resultado de -20 na área de produção; 
d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30; 
e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo. 
R. (a) 
 
7) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3. 
a) f(x) = x
2
 + 4x + 1 
b) f(x) = - x
2 
 + 2 
c) f(x) = x
2
 + 1 
d) f(x) = - x
2
 + 3x - 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MONÔMIOS E POLINÔMIOS 
 
 Multiplicação de monômio por Polinômios 
Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio. 
 
Ex: 4a
 
. (2 a – 3x ) Propriedade distributiva 
Solução: 8
 
a
2
 – 12 ax 
 
Multiplicação de Polinômio por Polinômio 
 
Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro polinômio e a seguir 
reduzimos a termos semelhantes através das operações de adição e subtração. 
 
Ex: (2x+3).(4x-5) Propriedade distributiva 
Solução: 8x
2
 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo a termos semelhantes) 
 8x
2 
+ 2x – 15 
Modo Prático 
Solução: 2x + 3 
 4x - 5 
 8x
2 
+ 12x 
 - 10x -15 
 8x
2 
+ 2x -15 
 
 Divisão de Polinômio por Monômio 
 
Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. 
Ex: (15x
3
 – 4x2) : ( 5x) 
Solução 
x
x
x
x
5
4
5
15 23

 = 
5
x4
x3 3 
 
 
 Divisão de Polinômio por Polinômio 
 
Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos. 
Ex: (2x
2
 – 5x – 12): (x – 4) 
 
1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente; 
2º Passo: Colocar a chave de divisão; 
3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x
2
) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o 
primeiro termo do quociente 
 
 2x
2
 – 5x –12 x – 4 . 
 2x 
4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor, colocando os produtos 
com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. 
5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração) 
 
 2x
2
 - 5x -12 x – 4 
 
 -2x
2
 + 8x 2x 
 
 
+ 3x – 12 
 
6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine. 
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 2x
2
 - 5x -12 x – 4 
 
 -2x
2
 + 8x 2x +3 
 
 
+ 3x -12 
 - 3x +12 
 0  Resposta: 2x + 3 
 
Divisão por Briot Ruffini 
Para efetuarmos a divisão (2x
2
 – 5x – 12): (x – 4) devemos seguir alguns passos. 
1º Passo: Vamos montar a casa da divisão 
2º Passo: Se o polinômio está dividido por x-4, podemos dizer que o dividendo é x=4 e assim 
colocaremos o 4 no lado esquerdo superior da casa. 
3º Passo: Colocaremos os multiplicadores de x do divisor na parte interna superior da casa em ordem 
decrescente. 
4º Passo: O termo independente