CADERNO DO FUTURO - 8 ano - ALUNO

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Caderno do Futuro A evolução do caderno EDIÇÃO REFORMULADA MATEMÁTICA Reais Polinômios ano Produtos notáveis ENSINO FUNDAMENTAL Fatoração Frações algébricas Equações francionárias e literais Geometria IBEPSUMÁRIO CAPÍTULO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS CAPÍTULO 7 FATORAÇÃO 1. Números racionais 4 1. Fator comum em evidência 38 2. Números irracionais 4 2. Fatoração por agrupamento 39 3. Diferença de dois quadrados 39 CAPÍTULO 2 OPERAÇÕES EM R 4. Trinômio quadrado perfeito 40 1. Propriedades da adição e CAPÍTULO 8 MDC E DE POLINÔMIOS da multiplicação em R 7 2. Propriedades da potenciação 9 1. Máximo divisor comum (mdc) 44 2. Mínimo múltiplo comum (mmc) 45 CAPÍTULO 3 VALOR NUMÉRICO E TERMO ALGÉBRICO CAPÍTULO 9 FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1. Valor numérico de uma expressão algébrica 12 1. Simplificação de frações algébricas 47 2. Termo algébrico 14 2. Adição e subtração de frações algébricas 50 CAPÍTULO 4 POLINÔMIOS 3. Multiplicação de frações algébricas 52 4. Divisão de frações algébricas 53 1. Monômio, binômio, 5. Potenciação de frações algébricas 54 trinômio e polinômio 16 6. Expressões com frações algébricas 55 2. Grau de um monômio 17 3. Grau de um polinômio 17 CAPÍTULO 10 EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS E LITERAIS 1. Equações fracionárias 58 CAPÍTULO 5 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 2. Conjunto verdade 59 3. Equações literais 60 1. Adição e subtração de polinômios 21 2. Multiplicação de monômios 24 CAPÍTULO 11 GEOMETRIA 3. Multiplicação de monômio por polinômio 25 4. Multiplicação de polinômio por polinômio 26 1. Ângulos formados por duas retas 5. Divisão de monômios 27 paralelas cortadas por uma reta 6. Divisão de polinômio por monômio 28 transversal 63 7. Divisão de polinômio por polinômio 29 2. Polígonos 70 30 3. Triângulo 71 8. Potenciação de monômios 4. Congruência de triângulos 76 9. Raiz quadrada de monômios 31 5. Pontos notáveis de um triângulo 81 CAPÍTULO 6 PRODUTOS NOTÁVEIS 6. Condição de existência de um triângulo 82 7. Quadriláteros 83 1. quadrado da soma 8. Classificação dos quadriláteros 87 de dois termos (a + 34 9. Soma das medidas dos ângulos 2. O quadrado da diferença internos dos polígonos 88 de dois termos (a 35 10. Polígono regular 91 3. O produto da soma pela 11. Ângulo externo de um polígono regular 93 diferença de dois termos 36 12. Semelhança de polígonos 96CAPÍTULO 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Números racionais Já estudamos os seguintes conjuntos numéricos. N: conjunto dos números naturais Z: conjunto dos números inteiros Q: conjunto dos números racionais Q = b a a Z e b E Z* Números racionais são aqueles que podem ser representados como quociente de dois números inteiros, com divisor diferente de zero. Exemplos: a) 6 ou 3 b) 12 ou 2,4 4 ou 1,333... 2 5 3 2. Números irracionais Vamos agora apresentar um novo conjunto, dos números irracionais. Números irracionais não podem ser representados como quociente de dois números inteiros, e sua representação decimal é infinita e não periódica. 0 conjunto dos números irracionais é representado pela letra I. Exemplos de números irracionais: √2 = 1,4142135623... √5 = 2,23606797749... = 3,14159265... conjunto formado pela união de todos esses conjuntos: N, Z, Q e I, é chamado conjunto dos números reais, representado pela letra R. conjunto dos números reais é comumente representado por meio do diagrama de Venn Euler, como mostra a figura. R Q Z N I 41. Associe OS símbolos da coluna da g) As raízes exatas são números esquerda com seu respectivo conjunto, na coluna da direita. a) Q números naturais h) Os números podem ser escritos em forma de fração. b) Z números racionais relativos c) N números inteiros relativos i) Os números não podem ser escritos em forma de fração. d) R números reais 3. Escreva Q para OS racionais e para 2. Complete as lacunas escrevendo irracionais: racionais ou irracionais. a) 2,5 a) Os números de representação decimal são b) 0,666... b) Os números de representação decimal c) 3,2 infinita e periódica são d) 0,8 c) Os números de representação decimal infinita e não periódica são e) 2,236817.. d) Os números naturais são f) 7 g) 1,732168... e) Os números inteiros são h) 5,343434.. f) As raízes não exatas são números 5i) √2 5. Escreva verdadeiro (V) ou falso (F). a) 2,5 é um número racional. j) √3 b) 2,5 é um número irracional. k) √9 c) 2,5 é um número real. I) d) √2 é um número racional. 4. Assinale com X somente OS números que não são racionais. e) √3 é um número irracional. a) √5 f) √3 é um número real. b) √6 6. Escreva convenientemente no diagrama c) √16 OS números: 3, -7, 5' 3 -2, 1/4 1 7, 9, -9, 1 d) 0,8 e) 9 f) 2,449... N Z Q g) 1,333... h) 0 i) 6CAPÍTULO 2 - OPERAÇÕES EM R 1. Propriedades da adição e 1. Assinale as alternativas em que foi da multiplicação em R aplicada a propriedade comutativa. Adição Sendo b e números reais. b) 1 + 2 = 2 + 1 4 3 3 4 Comutativa: Elemento neutro: c) √7 + = √7 d) = Associativa: 3 Elemento inverso aditivo: e) 3 4 = 4 3 5775 Multiplicação Sendo b e números reais. 2. Assinale as alternativas em que foi Comutativa: aplicada a propriedade do elemento a.b=b.a neutro. Elemento neutro: a) 8.1=1 8 Associativa: (a b) (b b) 15 1 = 15 Elemento inverso multiplicativo: c) 8 + = 8 a 3 3 Distributiva da multiplicação em relação à adição: d) a 73. Assinale as alternativas em que foi h) 8 + (-8) = aplicada a propriedade associativa. a) 3+2=2+3 = i) 5 3 = 1 3 5 b) 3 3 5. Aplique a propriedade distributiva e efetue quando possível. c) (2 a) = d) 8.1=8 = b) 2. b) e) (2.3).5 3) = 2. (3.5) c) (m = 4. Escreva O nome da propriedade aplicada. a) = d) + = b) = e) c) + 0 f) = d) = 3 g) + e) 5+2=2+5 = h) = i) a. (x + f) 5.2=2.5 = j) = g) 1 = √7 82. Propriedades da potenciação e) ÷ m = Sejam a e b números reais e m e n números racionais: a) am an = b) am : an = (a # 0) am h) = 6. As letras apresentadas nesta atividade representam números reais. i) Desenvolva as operações com O auxílio das propriedades da potenciação. a) a² a⁷ = b) k) = c) = I) X⁷ = d) ÷ = m) (m 9n) = 7. Escreva na forma de potência, com expoente fracionário. Exemplo: o) X⁵ ÷ X² = a) = p) = b) = q) 2-4 = c) = d) = r) (2 5)⁷ = e) = s) a⁵ ÷ = f) = ÷ g) = u) 2-³ = h) = i) = 10j) √5 = g) = 2 k) = 1 h) = 8. Agora, faça processo inverso da atividade 1 anterior: escreva na forma de radical. i) 32 = Exemplo: a) = 7 j) = 3 3 1 b) X = k) = 1 c) = 1 d) = e) = 1 f) = 2 11CAPÍTULO 3 VALOR NUMÉRICO E TERMO ALGÉBRICO 1. Valor numérico de uma b) 3x + a, para X = 5 e a = 2 expressão algébrica É número que se obtém (resultado) quando substituímos as letras de uma c) 5a + 2b + C, para a = 2, b = 1 e C = 7 expressão algébrica por determinados números e efetuamos as operações indicadas. d) 3x 2y, para X 5 e y = 2 Exemplo: A temperatura de uma estufa, em graus Celsius, é regulada em função do tempo t (horas) pela expressão V.N. = 2 Quando qual é a temperatura atingida e) 4a + 2b C, para a = 1, b = 3 e C = 5 pela estufa? = 2 2 = = 2 0 valor numérico da expressão que fornece a temperatura da estufa quando número 4. Resposta: 1. As letras apresentadas nesta atividade g) 7a- 2b, para a = 1 e b = 5 representam números reais. Calcule valor numérico (V.N.) das expressões a seguir. a) para X = 5 V.N. = 12i) + 3x, para X = 3 e y = 2 b² 4ac, para = 5, = 1 e C = 6 = j) abc + 2a, para a = 5, b = 2 e = 3 V.N. = p) ab + C, para a = -3, b = 3 e C = 2 = k) a³ + 5b², para a = b = 5 = q) m² + , para m = 3, X = 2 e y = 7 y² = I) 4ac, para a = 5, b = 3 e C = 2 r) abc , para = b = 2 e C = 3 m) - 3m, para m = 2 = n) a² + , para a = 3, b = = s) + X , para X = 3, e y = 7 = 132. Termo algébrico Termo algébrico é composto por uma parte numérica (coeficiente) e por uma parte literal. t) 4y, para X = 3 e y = 5 Exemplo: no termo algébrico coeficiente é 5 e a parte literal é 2. Complete. a) coeficiente: ; parte literal: u) a² 4mx, para = m = 2 e X = 3 b) coeficiente: ; parte literal: c) 7yz coeficiente: ; parte literal: v) ab + , para a = 3, b = 1 = 3 a 2 4 5 d) 5 -> coeficiente: ; 2 parte literal: e) 6ab coeficiente: ; parte literal: f) -8y - coeficiente: ; parte literal: g) 7x coeficiente: ; parte literal: 8 14h) X coeficiente: ; parte literal: 7 3. Escreva nos parênteses a quantidade de termos algébricos de cada expressão. a) X+ 3y b) 6xy c) a+ 3b +X e) f) 6x + 5 g) m + 7 h) y² + + y 15CAPÍTULO 4 POLINÔMIOS 1. Monômio, binômio, trinômio Exemplo: e polinômio Em um estacionamento há motos (x) e carros (y). Vamos escrever 0 polinômio que representa: Monômio a) 0 número de veículos que estão no Chamamos monômio a expressão algébrica estacionamento: formada por apenas um termo algébrico. Exemplos: b) 0 número de rodas dos veículos que estão 2x 4xy no estacionamento: Binômio 2x + 4y Chamamos binômio a expressão algébrica formada por dois termos algébricos. 1. Classifique as expressões algébricas em Exemplos: 2x + 5n 4xy3 - 12 monômio, binômio ou trinômio. + a) X + y Trinômio Chamamos trinômio a expressão algébrica formada por três termos algébricos. b) ab Exemplos: - d) a + b Polinômio Chamamos polinômio a expressão algébrica formada por dois ou mais e) X + 3 termos algébricos. Exemplos: f) 3x + 4 g) m 3 h) X + 4y i) + 6xy + X j) 16k) + 4xy c) grau = I) 3 + d) grau = e) 3xyz grau = n) a b f) grau = + 3x g) -u grau = h) grau = 2. Grau de um monômio 5 i) 7xy grau = Grau de um monômio é a soma dos expoentes de todas as variáveis (letras) j) 10x grau = que formam a parte literal do monômio. Exemplo: k) grau = 0 monômio tem grau 4, pois expoente do X é 3 e do é 1. (3 + 1 = 4). 18 grau = 3. Dê grau dos polinômios. 3. Grau de um polinômio a) 3y grau = b) + 2a grau = Grau de um polinômio é grau do termo algébrico de maior grau do polinômio. c) grau = Exemplo: 0 polinômio 2x2 + 5x tem grau 3, pois termo algébrico de maior expoente d) 3a + grau = é e seu expoente é 3. grau = 2. Escreva O grau dos monômios. a) grau = Monômios semelhantes são aqueles que apresentam suas partes literais iguais. b) 8x grau = 174. Ligue OS monômios apresentados na coluna da esquerda com monômios I) 8, 1 , -7 semelhantes, apresentados na coluna da 5 direita. m) 2x, 4x, 8 4xy 5y 6. Desenvolva as operações de modo 7ab a reduzir as expressões a termos ab³ semelhantes. 5ab 8y 3xy Exemplo: 4y + 6y = 10y 5. Assinale com X OS itens que apresentam a) 2y + 6y = somente monômios semelhantes. a) 3x, 5x b) 5b 7b = 7 b) 3xy, 6xy c) c) 8xy3 d) + = d) 8xy, 3x, 2xy e) e) 5ab, ab, 9ab f) f) 3a, 3ab, -a g) g) 13x2y h) = h) am², a²m i) 6x + 7x 9x = i) ab²c, acb², j) j) 3ab, -2ba, 7ab k) = 18I) 2a + 3b 5a + 2b = 7. Assinale a alternativa correta. 1) O valor numérico de - 4ac, para m) 3x + 7x + 8y = a = 1, b = 3 e = 2 é: n) a + b + 3a + 5b = a) 1 c) 0 b) 17 d) -2 + 6x + = p) 3xy + 10x + = 2) Sendo X = 2 = 3, O valor numérico de q) a + ab + 3a = 5x + y é: a) 10 c) 13 r) + 3x + = b) 5 d) 3 s) a² + a + 5a = t) X² + + = 3) Para a = e = valor numérico de 4a + 5b é: u) -3x 2x X² = a) 9 c) 1 v) 6x + 4x 8 = b) 5 d) 4 w) X + X = 3 2 4) O valor numérico de 5x + para a) 5 b) 25 d) 15 X) 5a 2b + 3 2 5) coeficiente de é: a) 2 c) 5 b) 3 d) n.r.a. 196) coeficiente de X² é: 5 a) 1 c) 2 5 b) 5 d) n.r.a. 7) A expressão algébrica a + bé um: a) monômio c) trinômio b) binômio d) n.r.a. 8) A expressão algébrica é um: 5 a) monômio c) trinômio b) binômio d) n.r.a. 9) A expressão algébrica X² + 5x + 6 é um: a) monômio c) trinômio b) binômio d) n. r. a. 10)O monômio é de grau: a) 5 c) 7 b) 6 d) n.r.a. 11) polinômio + de grau: a) 2 c) 1 b) 3 d) 4 12) A expressão 3x + 5y X + 2y é equivalente a: a) 3x + 7y c) 3x + 2y b) 2x + 4y d) 2x + 7y 20CAPÍTULO 5 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1. Adição e subtração de 1. Efetue: polinômios a) 5x + 2 + 3x - 1 Uma fábrica de roupas (F) vende seus produtos em cinco pontos de venda: b) 2x + 3 P2, P4 e P5. Esses pontos estão + + 4 separados entre si por distâncias (em km), medidas em linha reta, indicadas na figura. F c) P5 P4 d) + P1 P2 P3 Podemos escrever polinômio que e) 8x + 12 expressa a distância desde a fábrica + 2x + 5 F até ponto de venda P5, passando por todos os pontos intermediários da seguinte maneira: f) 8x + + 10x g) + - 15 h) + 212. Efetue eliminando OS parênteses. 3. Efetue: Exemplo: + (-2x²) = = a) (3x2 + 9x 5) + = a) (4x) + (7x) = b) (5x) + (-8x) = b) (7x3 + 12x2 4x + 3) + + 7x 4) = c) (10y) + (3y) = d) (8a) + (-10a) = c) + 11x + 2) + (- 8x 5) = e) (-2x²) + = f) + = d) (3x2 11x) + + 12x + 9) = g) (12y) + (-y) = h) (5a³) + (-10a³) = 22Ao eliminar os parênteses precedidos pelo sinal -, devemos trocar todos os sinais de dentro desses parênteses por seus opostos. 4. Efetue eliminando OS parênteses. a) 2x f) 9x g) + = 232. Multiplicação de monômios c) a² = d) = Para multiplicar monômios, multiplicamos os coeficientes pelos coeficientes parte literal pela parte literal. Exemplo: e) 2y = Vamos escrever monômio que expressa a área dessa figura em 2x g) 3abc = Área = base altura = 2x Área = (3 2) x) = h) (multiplicamos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal) Área = i) A área da figura é j) = 5. Determine a área deste retângulo. k) 2 = 3 2x 5x 6. Efetue as multiplicações. m) = a) 2.3x= n) = b) 5x 4x = o) (-5x) = 24p) (-2x) = q) 5x = r) 6x = s) 12a³b² 3ac 2bc2 = 3. Multiplicação de monômio por polinômio Multiplicamos monômio por todos os termos do polinômio, ou seja, j) 3x) = aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Exemplo: 5x (2x2 + 4) = + 7. Efetue as multiplicações. a) = n) a 3a) = d) 4xy y) = 254. Multiplicação de polinômio d) (x 2) (x + 3) = por polinômio Aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Multiplicamos cada termo e) = de um polinômio por todos os termos do outro. Exemplo: = Reduzindo a expressão aos termos semelhantes: + 15. 8. Efetue as multiplicações de polinômios. g) (x + 2) 3x + 1) = a) = i) j) 26Disposição prática 5. Divisão de monômios A multiplicação de polinômios também Dividimos coeficiente por coeficiente e pode ser efetuada com esta disposição parte literal por parte literal. Exemplo: prática: 18x4 ÷ = (escrevemos essa divisão como uma fração) X 18x4 (separamos os coeficientes e as partes = = 2x 3 literais em duas frações) = 18 = = (resolvemos as 6 frações com base nas propriedades = da divisão em R) + 15 10. Efetue as divisões de monômios. 9. Efetue as multiplicações de polinômios. a) + 4x a) ÷ = X 3x b) ÷ = c) ÷ 4a³ = b) X + 3 d) ÷ = e) ÷ = f) c) X g) ÷ = h) ÷ (-2xy) = d) 7x + 2 i) X +1 276. Divisão de polinômio por d) (6m³ + ÷ (-3m) = monômio Dividimos todos os termos do polinômio pelo monômio. Exemplo: + ÷ = (escrevemos essa divisão como uma fração) = = = = X = = + 5x 11. Efetue as divisões. f) + ÷ (5xy) = a) g) b) ÷ = c) ÷ = h) ÷ = 28i) (4a³b⁴ ÷ = 7. Divisão de polinômio por polinômio Observe a disposição prática para efetuar esta divisão de polinômios. 23 + 12) ÷ (5x - 4) j) dividendo divisor + 12 5x 4 + 8x 2x 3 + 12 - 12 quociente 0 resto Portanto, + 12) ÷ (5x - 4) 2x 3. a) Divide-se por 5x, obtendo-se 2x. b) Multiplica-se 2x por 5x - produto - 8x, com sinal trocado, foi adicionado algebricamente ao dividendo, obtendo-se + 12. Divide-se 15x por 5x, obtendo-se -3. I) + ÷ = d) Multiplica-se -3 por 5x - 4, e esse produto obtido, com sinal trocado, foi adicionado algebricamente a + 12, obtendo-se resto zero. Importante: 0 grau do resto é sempre menor que grau do divisor, pois nem sempre resto é zero. 12. Agora é a sua vez. Efetue. a) 7x + 10 29b) 2x2 - X 15 g) c) h) - 3x + 8 i) d) - j) e) 8. Potenciação de monômios f) Elevamos coeficiente e a parte literal à potência. Exemplos: = 13. Agora, calcule as potências. a) 30b) = 9. Raiz quadrada de monômios Vamos determinar a raiz quadrada do monômio c) = (separamos em duas raízes: coeficiente e a parte literal) = X = 10 (multiplicamos coeficiente d) = pela parte literal) = e) 14. Determine a raiz quadrada destes monômios. f) a) = g) = b) = c) h) = d) i) = e) = j) f) k) g) = h) I) 3115. Desenvolva as expressões e assinale a 6) alternativa que apresenta O resultado a) c) correto. b) xy d) 1) (8x³) + 7) (4x - (2x + 5) a) c) a) + 14x 15 c) 14x + 8 b) d) b) 8x2 + 26x + 15 d) 8x + 15 2) + 7x + 5) + 5x + 2) 8) + (-x + 3) a) + 2x + 7 c) + a) + + 3x c) + 2x + 3 b) + 2x + 7 d) + 12x + 7 b) 2x + 3 d) + 2x2 + 3x 9) ÷ (4xy²) 3) 2) + 4) a) c) 8x4z a) 8x + 2 c) 2x + 2 b) d) b) 2x 6 d) 8x + 2 10) 9mn) ÷ (9mn) a) 9 c) 4) (x² + 8x) - 5) + - 7x + 7) b) 5m³n - 1 d) 5m³n - 9mn a) 10x + 13 c) 5x + 14 b) 2x + 12 d) 4x2 + 9x 11) 9x + 14) ÷ a) c) b) 2 d) 7 5) (-5xy³) a) c) b) d) 3212) 6x + 9) ÷ 15) a) 3 c) 3 a) c) b) X +3 d) 3 b) d) 16) a) 50xy2 c) 10y2 b) 10xy2 d) 13) - - 33x + 18) ÷ 7x + 3) 17) V 9 4 a) 3x2 + 6x c) 3x + 12 a) 3 a⁴ c) 3 a4b b) 3x +6 d) 3x2 - 6x 4 2 b) 9 d) 3 a⁴ 2 2 14) a) c) b) d) 33CAPÍTULO 6 PRODUTOS NOTÁVEIS 1. quadrado da soma de 1. Complete. dois termos (a + a) = Para determinar quadrado da soma de dois termos (a + b)2, considere um quadrado de lado a + b. a b b) (a + = b b = +2.a.3+ = = + a a a b = A área desse quadrado é dada pelo produto da medida de seus lados. = + + Área = (a + b) (a + b) a b b ab b2 b + = = + a ab a 2. Desenvolva os produtos notáveis. a b Somando as áreas parciais dos a) = quadriláteros que formam quadrado, obtemos a seguinte expressão: Área = + 2 (ab) + Logo, podemos concluir que: = 342. 0 quadrado da diferença de dois termos d) = 0 quadrado da diferença de dois termos resulta na seguinte expressão: 3. Desenvolva OS produtos notáveis. e) a) f) (2y + = c) (5 = g) (a + = h) = = i) (a² + = j) h) 35i) h) (2a + i) (5m 7n) (5m + 7n) = j) j) (1 3. produto da soma pela diferença de dois termos 5. Desenvolva produtos notáveis. a) = quadrado do termo quadrado do 2° termo b) 4. Desenvolva produtos da soma pela diferença. a) (x + 3) (x 3) = c) (x + 5) (x 5) = b) (a + 1) (a 1) = d) c) (5 + y) (5 = e) d) (m 2) e) (2x + 3) f) 10y) + 10y) = g) g) + 1) = 366. Assinale a alternativa correta. 4) (3y + . (3y - - 2x) é igual a: 1) (x + é igual a: a) 4x2 a) X² + 36 b) 2x b) 36 c) + 4x2 c) X² + 12x + 36 d) 2x d) X² + 6x + 36 5) (9m - 7a) (9m + 7a) é igual a: 2) 8)² é igual a: a) a) X² + 8x +16 b) b) 64 c) + c) 16 d) + d) 16x + 64 6) (2m - - 4)² é igual a: 3) (2x 1) . (2x + 1) é igual a: a) 16m + 16 a) 1 b) - 8m + 16 b) 4x2 1 c) + 16 c) 2 d) - 16 d) 2x + 1 37CAPÍTULO 7 FATORAÇÃO 1. Fator comum em evidência g) ( + ) h) 2ab + 4ac = 2a ( + ) Exemplo 1 = ( + ) 0 fator comum é 2, que se determina pelo m.d.c. de 2. Fatore. Atenção: Divide-se cada termo pelo fator a) 2x + 2y = em evidência. Exemplo 2 b) 5x2 + = A figura representa um retângulo de base b e altura h. h c) 4m = b perímetro desse retângulo pode ser d) 9ax 5ay = indicado de duas maneiras: 2b + 2h ou 2 (b + h) e) polinômio forma fatorada do polinômio 1. Complete as igualdades de modo que O fator comum esteja evidenciado. g) a) ab + ac = a (b + ) b) 5x + 5y = c) (x + - ) d) 3a + 3 = i) 10am 15bm + 20cm = e) ( + + + ) j) 382. Fatoração por agrupamento 3. Diferença de dois quadrados - - 16 Fatores comuns ax + ay + bx + by = a e b = X = 4 Fator comum = a (x + y) + b (x + y) = 4. Fatore. = (x + y) (a + b) a) = 3. Fatore as expressões. b) 36 = a) am + na + bm + bn = c) 1 = b) yz + WX WZ = d) 9 = e) 100 - = c) ax + bx + ay + by = f) 4 = d) 5ab + ac + 5bd + cd = g) = h) 25 = i) 4 = j) 1 = 394. Trinômio quadrado perfeito c) Um trinômio é a expressão matemática composta por três termos. Um trinômio é quadrado perfeito quando há dois termos quadrados perfeitos (raiz quadrada exata), e terceiro termo igual a duas vezes produto das raízes d) 25x2 + + 1 quadradas dos outros dois, podendo ser positivo ou negativo. Exemplo: a² + 2ab + a² e são quadrados perfeitos. = a e) + + 36 2 a b = 2ab (termo do meio) Logo: a² + 2ab + é um trinômio quadrado perfeito. 5. Verifique se são trinômios quadrados perfeitos. a) g) b) 10x + 25 h) + 8x - 4 40Fatoração de um trinômio quadrado d) a² - 20a + 100 perfeito Fatore trinômios quadrados perfeitos: a) X² + 10x + 25 = 5 2 X 5 = 10x (termo do meio) e) X² + 10x + 25 = (x + b) 12x + 9 = = 3 2 . 3 = 12x (termo do meio) - 12x + 9 = (2x f) 12m + 36 6. Fatore OS trinômios quadrados perfeitos. a) g) b) 14x + 49 h) 20m + 25 c) + 2y + 1 i) 18x + 81 41j) 8y + 1 e) = f) 5x = k) + 36xy + g) = + 60ab + h) 8x + 16 = 7. Fatore as expressões. i) a² + 2a + 1 = a) + 6b = b) + XZ = j) 16y + 64 = c) = k) + 24x + 16 = d) 36 = 4225 - = m) ay + by + 2a + 2b = n) 3y +3 + xy + X = o) X³ + p) + 2 Oxy + = 43CAPÍTULO 8 MDC E DE POLINÔMIOS 1. Máximo divisor comum 1. Calcule mdc dos polinômios seguintes. (mdc) a) 6x e 12 Para determinar mdc de dois ou mais polinômios, primeiro escrevemos cada polinômio como b) e 9xy2 um produto de fatores primos. Depois, observamos quais são os fatores comuns. 0 mdc é produto desses fatores, escritos com menor expoente. c) e Exemplos: Vamos determinar mdc destes polinômios: 1) d) 3a + 3b e a² + 2ab + Polinômios escritos 2 3 X a como um produto de fatores primos = 2 5 b Logo, mdc desses polinômios é que corresponde ao produto dos fatores comuns tomados com os menores expoentes. e) 3x 6 e - 4 Escrevendo esses polinômios como produto de fatores primos: + f) a² e a + b Assim, mdc desses polinômios é Atenção! Se 0 mdc de dois ou mais polinômios é 1, então esses polinômios são primos entre si. 44g) 9x2 e 2. Determine O mmc dos seguintes polinômios. a) 4 e 12a h) 25 a² e 25 10a + b) 6x e 9x 2. Mínimo múltiplo comum (mmc) c) e 10x Para determinar mmc de dois ou mais polinômios, primeiro escrevemos cada polinômio como um produto de fatores primos. Em seguida, tomamos de cada fator d) e (comum e não comum) a maior potência e efetuamos produto entre esses fatores. e) 5x e 7y Exemplos: f) e a) e mmc = Veja: 2³.3=8.3=24 g) e 2a³ 6=2.3 (coeficiente do mmc) - Veja: Fator comum: Fatores não comuns: 2 e (x 4) mmc 45h) e n) a² ex+a i) e - j) 10xy2 e 2x3z p) 36 e X + 6 q) X² 4 e 3x +6 k) r) 1 e 2x + 1 I) 3x e 3x + 9 s) 8x + 16 e 2x 8 m) 8 e X + 1 46CAPÍTULO 9 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1. Simplificação de frações b) = ab² algébricas Qual é a forma mais simples de se escrever a fração 2ab ? c) = técnica do 4 cancelamento 2ab b = = 2a 2a (a-1) colocando fator comum em evidência d) 49 = 1. Simplifique as frações algébricas, supondo denominador diferente de zero. a) = 4a e) 5x + 10 = b) = 3x f) a² = 2. Simplifique. a) 16x⁵ = 8x³ 47g) = = 15ay h) = 8mn Simplifique as frações supondo OS denominadores diferentes de zero: a) 25 = b) a² + 2ab + = (a + = 3a + 3b 3 (a + b) i) = = = 3(a+b) 3 16ab²c² 3. Simplifique as frações algébricas. a) = j) = 12a³b⁴c b) = c) = 36 k) = d) 2x - 4 = 2a 48e) 5y + 10 = I) X² + 5x = 10x f) 2b = m) = 5b 6 g) a² - ab n) + 4x a² - = = 16 h) a² - 25 = o) 5x - 5 a+5 2x + 1 i) m² + 2m + 1 = p) 4x + 8 + 4x + 4 q) a² + 6a + 9 = j) + 2x + y² = 3x + 3y k) r) 2x + 6y = = 9 + 3a + 6xy + 9y² 49s) 3a 6b = 4. Escreva a fração algébrica que a 2b representa perímetro das figuras. 5x a) t) m² 2x 2x = m² 2mn + 5x 2. Adição e subtração de b) 7x 2 frações algébricas 5x 5x 2 2 Com denominadores iguais Adicionamos algebricamente os 7x numeradores e conservamos 2 denominador comum. Se possível, simplificamos a fração obtida. c) 13x Exemplo: 2 Escreva a fração algébrica que representa 0 perímetro deste trapézio em metros. As letras 5x representam números reais. 2 5x X 2 b 7x 3x 2 b 3x 2x b 2 4x b X 3x + 50c) 13x h) 5a2b + a2b = a 1 5 3x 5 5x i) 3y + 2 + 5 = 5 X³ X³ X³ 7x 3x 5 5 Com denominadores diferentes Basta reduzir as frações algébricas ao mesmo denominador, com auxílio do mmc. Exemplo: 5. Efetue as operações. 8x 3 + 4x 5 = 15 + 12x = 52x 15 a) X + 5x = 2a 2a 6. Efetue as operações. b) 9b + 5b = a) 5 + 7 = C C 3x 4x c) + 8xy = b) 2y = a² a² 5a a d) 7mn 3mn = c) 4 + a = y y 3x 2y e) + 2x + 5 = d) a + 3 = 3x 3x 2y xy f) 4a+3 2a = e) 7 + 3 1 = 7b 7b X 2x g) 12xy 3xy + 4xy = ab ab ab 51