Equilíbrio Dos Corpos Rígidos

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Equilíbrio dos corpos rígidos
Aplicação das equações matemáticas no estudo do equilíbrio estático de um corpo rígido em termos
translacionais e rotacionais.
Prof. Julio Cesar José Rodrigues Junior
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender os conceitos e as equações do equilíbrio estático do corpo rígido para o aprendizado do
dimensionamento de estruturas.
Preparação
Antes de iniciar, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
Objetivos
Identificar os principais vínculos de uma estrutura bidimensional.
Reconhecer os sistemas de forças e as condições de equilíbrio de um corpo rígido.
Esquematizar o diagrama do corpo livre (DCL).
Reconhecer as reações nos vínculos de uma estrutura bidimensional.
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1. Principais vínculos de uma estrutura bidimensional
Introdução
Boas-vindas ao estudo do equilíbrio dos corpos rígidos.
Conteúdo interativo
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A primeira fase consiste em reconhecer os vínculos da estrutura. As estruturas bidimensionais ou
tridimensionais em equilíbrio estático sempre estão presas a apoios que restringem um ou mais tipos de
movimentos (translação ou rotação): são os vínculos. 
 
Por exemplo, um vínculo pode restringir os movimentos de translação nas direções x e y e permitir a rotação
em torno do eixo z (grau de liberdade). Observe nas imagens a seguir um vínculo (apoio) do tipo engaste em
que três restrições são impostas à estrutura: as translações vertical e horizontal e a rotação.
Imagem 1 - Apoio do tipo engaste. 
Imagem 2 - Restrições. 
Vínculos em estruturas bidimensionais
Estudo qualitativo dos vínculos
Toda estrutura em equilíbrio estático apresenta-se presa a apoios ou vínculos. Dessa forma, restrições são
impostas ao seu movimento. Imagine uma mesa no jardim de uma pequena cidade. Ela se encontra em
equilíbrio estático e impedida de realizar qualquer movimento de translação ou de rotação em virtude de estar
presa por intermédio de vínculos. Inicialmente, a abordagem do tema será para estruturas bidimensionais, por
exemplo, localizadas no plano xy do papel, com carregamento também nesse plano.
 
Quando se é realizado o estudo do equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional, surgem três classes de
apoios cujas denominações remetem-se diretamente ao número de restrições que impõem ao movimento,
seja o de translação, seja o de rotação. No plano, três são as possibilidades de restrição:
 
Uma translação
Duas translações
Duas translações e uma rotação
Sendo assim, naturalmente surgem os nomes para os apoios (vínculos):
Primeiro gênero
Quando se encontra presa a um apoio de primeiro gênero, a estrutura é impedida (restrição) de
transladar em única direção (eixo). A esse vínculo, associa-se uma força de reação na direção desse
eixo.
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Imagem 4 - Reações em apoios de primeiro, segundo e
terceiro gêneros. 
Segundo gênero
Quando o apoio que suporta a estrutura é do segundo gênero, duas restrições perpendiculares são
impostas, impedindo translações nos dois eixos. Da mesma maneira que no vínculo de primeiro
gênero, são utilizadas forças para representar as restrições impostas. Nesse caso, também é possível
supor o mesmo número de incógnitas (duas): a direção e o módulo da força de reação sobre o
vínculo.
Terceiro gênero
No apoio denominado de terceiro gênero, também popularmente conhecido como engaste ou 
engastamento, são impostas duas restrições à translação e uma à rotação. Fisicamente, essas
restrições são representadas por forças (translação) e momento (rotação). As três incógnitas que
surgem no engaste podem ser observadas sobre outro prisma, um momento e uma força (direção e
módulo desconhecidos).
A imagem 3 ilustra a representação mais comum para os três apoios citados. Observe que existem rótulas na
parte superior dos apoios de primeiro e segundo gênero, não restringindo movimentos de rotação. Observe,
ainda, na imagem 3, as representações desses vínculos.
Imagem 3 - Apoios de primeiro, segundo e terceiro gêneros. 
Reações nos vínculos de estruturas bidimensionais
Na análise dos problemas de estática, um dos primeiros passos é o desenho do diagrama do corpo livre
(DCL). Todos os carregamentos ou forças devem ser representados. O acréscimo ou a falta de algum
comprometerá o estudo do equilíbrio do corpo rígido. Seguindo essa linha de raciocínio, no desenho do DCL,
todos os apoios que estão na estrutura devem ser substituídos por forças ou momentos, dependendo do tipo
de restrição que cada um impõe (translação ou rotação). Faremos uma análise simples dessa troca de forças/
momentos.
Na imagem 4, os três principais apoios
estudados anteriormente estão dispostos com
as respectivas substituições por força ou
momento, concernentes às restrições impostas.
Como os apoios de primeiro e segundo gêneros
restringem translação, os entes físicos
utilizados nessa substituição são forças e, no
caso do apoio de terceiro gênero, ocorrem
restrições a translações e à rotação. Nesse
vínculo, os entes físicos utilizados na
substituição são forças e momento. É comum
denominar as forças e os momentos associados
aos vínculos de reações nos apoios.
Imagem 5 - Exemplo real de vínculo de terceiro gênero.
Saiba mais
Os apoios de terceiro gênero também são conhecidos por permitirem que a estrutura se mantenha em
balanço, ou seja, uma das extremidades livre e a outra engastada numa parede, por exemplo.
Possivelmente, o exemplo mais presente em nosso dia a dia seja a marquise, em que uma pequena laje
apresenta uma extremidade presa (engastada) à estrutura de um prédio e a outra extremidade livre,
remetendo diretamente à ideia que a denomina em balanço. 
A imagem 5 apresenta uma representação
esquemática de uma marquise. 
 
Note que uma de suas extremidades se
apresenta presa à estrutura, com restrições à
translação e à rotação, enquanto a outra
extremidade encontra-se livre. 
 
A ideia do balanço fica bem explícita nesse
elemento.
Graus de liberdade
Em sua obra Curso de mecânica, Adhemar
Fonseca apresenta o conceito de grau de
liberdade que será, de forma sucinta, abordado neste tópico.
Exemplo
Supondo um sistema com resultante das forças igual a , ela tende a provocar a translação ao longo de
um eixo e, similarmente, uma rotação em torno de um eixo, o vetor momento resultante . Tratando os
vetores e no espaço xyz, é possível a decomposição de cada um deles em até três componentes. Assim,
no espaço, a estrutura tem até 6 graus de liberdade (não restrição), sendo 3 translações e 3 rotações.
Para estruturas no plano, a resultante terá duas componentes e o momento apenas uma, num eixo
perpendicular ao plano das forças. Em consequência, são 3 os graus de liberdade possíveis. 
A função do vínculo é restringir alguns graus de liberdade. Portanto, os vínculos em estruturas
(em equilíbrio estático) podem ser classificados em função do número de graus de liberdade
existentes.
No caso espacial, de 0 a 5 graus de liberdade e, na situação do plano, de 0 a 2 graus de liberdade. Como
exemplo, é possível citar o vínculo denominado junta universal apresentado na imagem 6. Observe que é um
vínculo com dois graus de liberdade (rotações em torno de y e z) ou, ainda, quatro restrições (três translações
em x, y e z e uma rotação em torno de x).
Imagem 6 - Junta universal. 
Teoria na prática
Na engenharia, estruturas equilibradas e com diversos tipos de apoios estão muito presentes no dia a dia.
Como foi visto, três classes são possíveis para os vínculos. Para que você possa perceber isso na prática,
alguns exemplos de situações reais serão apresentados a seguir.
 
Inicialmente, imagine um carrinho de compras. As rodinhas traseiras (com seu sistema de fixação ao carrinho)
comportam-se como um apoio de primeiro gênero. Uma restrição é imposta, a da translação no eixo y, ou
seja, ∆y = 0. Contudo, não há impedimento de outros dois movimentos: translação no eixo x (∆x ≠ 0) e rotação
em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Observe a imagem a seguirapoios da direita de cada treliça, podem surgir duas reações, independentemente do carregamento.
A alternativa C está correta.
Os apoios presentes em cada treliça são do segundo e primeiro gêneros. Sendo assim, podem surgir duas
forças (vertical e horizontal) e uma força vertical. No apoio de segundo gênero, eventualmente não há a
força horizontal numa situação de carregamento exclusivamente vertical. Logo, dependendo do
carregamento em cada treliça, surgirão 2 + 1 = 3 reações. Para as três treliças, nove reações.
5. Conclusão
Considerações finais
Vimos os principais aspectos do equilíbrio dos corpos rígidos. Inicialmente, identificamos os vínculos que
mantêm a estrutura em equilíbrio. Apresentamos os tipos mais utilizados na engenharia e suas atuações no
equilíbrio da estrutura, restringindo a translação ou a rotação. Nessa fase do estudo, as restrições impostas
pelos vínculos foram substituídas por entes físicos (forças/momentos) e, portanto, uma fase importante do
objetivo do tema foi alcançada: o desenho do diagrama do corpo livre de um corpo rígido em equilíbrio. Em
seguida foi observado, qualitativamente, que o equilíbrio de um corpo se refere, ao mesmo tempo, a uma não
translação e a uma não rotação. Matematicamente, a resultante das forças e dos momentos deve ser nula.
Surgem, portanto, as equações do equilíbrio para um corpo bidimensional:
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Agora, o professor Julio Cesar José Rodrigues Junior fala mais sobre o equilíbrio dos corpos rígidos.
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Para complementar o estudo de vínculos e grau de liberdade, leia as páginas de 150 a 166 da obra 
Curso de mecânica: estática (1976), de Adhemar Fonseca.
 
Para complementar o estudo de vínculos e reações, leia as páginas de 98 a 117 da obra Mecânica
vetorial para engenheiros: estática (1976), de Fernand P. Beer e Russel Johnston Jr.
 
Para complementar o estudo do equilíbrio do corpo rígido, leia o capítulo 3 da obra Mecânica para
engenharia – estática (2016), de J. L. Meriam e L. G. Kraige.
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill,
1976. v. 1. 
 
FONSECA, A. Curso de mecânica: estática. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1976. v. 1. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
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MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: estática. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
	Equilíbrio dos corpos rígidos
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	1. Principais vínculos de uma estrutura bidimensional
	Introdução
	Conteúdo interativo
	Vínculos em estruturas bidimensionais
	Estudo qualitativo dos vínculos
	Primeiro gênero
	Segundo gênero
	Terceiro gênero
	Reações nos vínculos de estruturas bidimensionais
	Saiba mais
	Graus de liberdade
	Exemplo
	A função do vínculo é restringir alguns graus de liberdade. Portanto, os vínculos em estruturas (em equilíbrio estático) podem ser classificados em função do número de graus de liberdade existentes.
	Teoria na prática
	Mão na massa
	Questão 1
	Em muitas estruturas de pontes, é comum a utilização das vigas Gerber (dentes de Gerber), que permitem a transmissão do momento de uma região da estrutura para outra. Na imagem a seguir, tem-se um esquema da viga Gerber em destaque.
	Considerando apenas a viga Gerber (em verde), o apoio destacado pode ser classificado como um apoio de que gênero?
	Um estudante, refletindo sobre os vínculos de uma estrutura, pensou sobre a definição do grau de liberdade desse vínculo na estrutura em questão. Suponha que n seja o número de restrições impostas por um vínculo de uma estrutura tridimensional, em que n é um número natural e g o grau de liberdade do vínculo. Assinale, a seguir, a alternativa correta.
	Questão 3
	No estudo dos vínculos de uma estrutura, é possível compreender perfeitamente suas atuações fazendo uma análise dos graus de liberdade. Suponha que o vínculo da imagem a seguir (um mancal com atrito) pertença a uma estrutura tridimensional em equilíbrio estático. Avalie as restrições possíveis e responda o grau de liberdade do vínculo.
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Considere uma estrutura em equilíbrio estático sob um carregamento plano. Na imagem a seguir, parte dessa estrutura é representada com um de seus vínculos.
	Assinale, a seguir, a alternativa correta.
	A definição de um vínculo pode ser realizada a partir do grau de liberdade ou das restrições impostas por ele. Suponha um vínculo numa estrutura tridimensional com carregamento genérico. Sejam p e q, respectivamente, o grau de liberdade do vínculo e o número de restrições que impõe à estrutura a que pertence. Assinale a seguir a alternativa correta.
	Conteúdo interativo
	Um apoio de primeiro gênero é aquele que restringe uma translação em um eixo, por exemplo, y, permitindo a translação no outro eixo, x. Em sua parte superior existe uma rótula que não restringe a rotação. Suponha que uma estrutura tenha alguns apoios metálicos desse tipo próximos a um ambiente de atmosfera corrosiva. Em virtude disso, um desses vínculos é afetado pela oxidação, e a rótula fica emperrada. Dessa forma, assinale a seguir a alternativa correta.
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Considere parte de uma estrutura indicada na imagem e suponha um carregamento sobre ela. As hastes que compõem a estrutura estão vinculadas entre si por meio de parafusos (equivalente a soldas) e a uma grande chapa de aço, de tal forma que é possível associar cada união feita pelos parafusos ao tipo de apoio:
	A respeito do apoio, é correto afirmar que
	Questão 2
	Parte de um sistema mecânico em equilíbrio encontra-se representado na imagem a seguir, onde é possível visualizar dois vínculos: A e B. Em relação a esses vínculos, é correto afirmar que
	2. Sistemas de forças e equilíbrio de um corpo rígido
	Introdução
	Conceitos de força e de momento de uma força
	Situação 1
	Situação 2
	Conceito matemático de força
	A força é uma grandeza vetorial (representada por um vetor) e, por isso, apresenta as seguintes características: módulo (ou intensidade), direção (linha de ação da força) e sentido.
	Curiosidade
	Forças (cargas) concentrada e distribuída
	Atenção
	Força escrita em função de suas componentes retangulares
	A força é uma grandeza vetorial e, por isso, pode ser representada por suas componentes retangulares x, y e z.
	Força no plano escrita em função de suas componentes retangulares
	Atividade
	Força no espaço escrita em função de suas componentes retangulares
	Atenção
	Atividade
	Resultante de forças
	Atenção
	Atividade
	Momento de uma força em relação a um ponto
	Atenção
	O que acontece quando a força e o vetor posição são coplanares?
	O módulo do momento aplicado por essa força em relação a um ponto pode ser determinado pelo produto da força pela distância do ponto à linha de ação da força (M = F . d). Observe o esquema a seguir.
	Atividade
	Equilíbrio estático de um corpo rígido
	Para garantir a não translação
	e
	Para garantir a não rotação
	e
	Quando o carregamento for no plano
	e
	Determinação do vetor unitário na direção
	Multiplicação do módulo de pelo vetor unitário. Assim,
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Em muitas situações da engenharia, há a necessidade de se calcular a resultante de algumas forças concentradas que atuam num sistema. Para simplificar, suponha que duas forças  = 500 N e  = 600 N atuem em um ponto. Dos valores indicados a seguir, assinale o único que não é possível para o módulo da resultante R entre e .
	Questão 2
	Seja uma viga AB homogênea de massa linear de μ kg/m engastada a uma parede e presa a um cabo de aço considerado ideal (inextensível e sem massa), conforme a imagem. O cabo de aço forma um ângulo θ com a viga, disposta horizontalmente. Supondo o equilíbrio, determine a tração (em N) no cabo de aço em termos de componentes retangulares, sendo o módulo da tração 13 kN.
	Considere uma estrutura em equilíbrio estático. Umadas forças a agir na estrutura é dada por  = 200 i + 400 j - 500 k. Seja um ponto A da estrutura com coordenadas (1,0,1). Determine o vetor do momento da força em relação à origem dos eixos (0, 0, 0).
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Seja uma viga de 4 m que faz parte de uma estrutura maior em equilíbrio estático. Sendo a viga de seção retangular homogênea, disposta horizontalmente, de peso 1.200 N e apoiada sobre dois apoios (um do primeiro gênero e outro do segundo gênero). Supondo uma força de módulo 400 N, aplicada verticalmente, conforme a imagem, determine as reações nos apoios A e B escritas em coordenadas retangulares.
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	Seja uma antena de transmissão cujo peso é 3.000 N presa verticalmente no chão e ancorada por quatro cabos de aço ideais, conforme a imagem. Suponha que em cada cabo atue uma força de tração cujo módulo valha 1.000 N. Qual o valor da reação na base da antena?
	Questão 6
	Considere a viga biapoiada em A e B, apoios de segundo e primeiro gêneros, respectivamente. Determine os módulos das reações em A e B, considerando que o peso da viga seja desprezível e ela esteja em equilíbrio estático.
	e
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(VUNESP – 2015 – adaptada) Em uma academia de ginástica, há um equipamento de musculação como o esquematizado na imagem.
	Um peso P é atado à extremidade de um cabo flexível, inextensível e de peso desprezível, que passa pelo sulco de uma roldana presa a uma base superior. A outra extremidade do cabo é atada ao ponto B de uma alavanca rígida AC, de peso desprezível, articulada na extremidade C; o ponto C é fixado em um suporte preso à base inferior do aparelho. A pessoa praticante deve exercer uma força vertical aplicada em A. São dados os valores: P = 400 N, CB = 20 cm e AB = 60 cm. A intensidade da força vertical aplicada pelo praticante em A para manter o sistema em equilíbrio na posição mostrada deve ser de
	Questão 2
	(CESGRANRIO – Petrobras – 2017) A viga ABC, mostrada na imagem, está sob a ação de uma força F, conforme indicado.
	Pela ação da força F, a força reativa no apoio B tem o sentido do eixo y, enquanto as duas componentes da força reativa no apoio A têm direções paralelas aos eixos x e y, sendo uma no sentido do eixo
	3. Diagrama do corpo livre (DCL)
	Introdução
	Sistema de corpos rígidos
	Diagrama do corpo livre (DCL)
	Muitos autores denominam o diagrama do corpo livre como isolar o corpo do sistema. Independentemente da nomenclatura, é importante que, ao desenhar o diagrama (ou isolar o corpo), você consiga representar por meio de forças ou momentos os vínculos que são retirados nesse isolamento do corpo.
	Terceira lei de Newton
	A terceira lei de Newton, também conhecida como lei da ação e reação, afirma que, quando dois corpos interagem, eles trocam forças. Essas forças apresentam a mesma direção, o mesmo módulo (intensidade) e sentidos opostos. As forças de ação e de reação atuam em corpos distintos; portanto, não se anulam.
	Desenhando o DCL
	Atenção
	Atenção
	Peso ()
	Tração
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 1
	Considere um corpo rígido em equilíbrio estático sob a ação de apenas três forças coplanares. Desenhando-se o DCL desse corpo, é possível afirmar que
	Questão 2
	Considere uma torre viga treliçada apoiada em dois apoios A e B e com massa de 120 kg. Suponha que o peso da torre se concentre no ponto G e a aceleração da gravidade local g = 10 m/s2. Além disso, o ponto G encontra-se na linha vertical que passa pelo ponto médio da distância entre os apoios. Quanto aos apoios A e B, é correto afirmar que
	Conteúdo interativo
	Questão 3
	(CESGRANRIO – 2011 – Petrobras – adaptada) Uma chapa triangular plana, de peso desprezível, é fixada a uma estrutura por meio de três pinos posicionados em P, Q e R, conforme a imagem a seguir.
	Se as forças dos pinos P e Q sobre a chapa são, respectivamente, paralela a PQ e perpendicular a QR, uma das condições que garantem o equilíbrio estático da chapa é o fato de a força do pino R ter a direção
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Considere uma viga homogênea de peso 1,2 kN engastada em uma parede. Seu comprimento é de 4 m e em sua extremidade livre existe uma força vertical F de 300 N dirigida para baixo, de maneira que a viga se encontra em equilíbrio estático. Observe a a seguir. A respeito das reações que ocorrem no vínculo que prende a viga à parede, é correto afirmar que
	Questão 5
	Considere uma viga AC engastada em uma de suas extremidades (A) e com o carregamento distribuído triangular que varia de 10 kN/m até 0, conforme mostrado na imagem. Suponha que essa viga tenha peso desprezível e que AC = 6 m e BC = 4 m.
	Ao se desenhar o diagrama de corpo livre dessa viga, é correto afirmar que
	Questão 6
	(CESGRANRIO – 2010 – Petrobras – adaptada) A imagem a seguir ilustra uma barra homogênea articulada em A, que está mantida em equilíbrio, na horizontal, sustentada por um cabo inextensível e de massa desprezível.
	Considere que a barra tenha peso 200 N e o ângulo θ valha 30o. Fazendo o desenho do corpo livre, é possível afirmar que
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Considere uma semiesfera de raio R e centro O apoiada em um plano horizontal e uma barra AB de comprimento Lliberdade. Nesse sentido, o número de reações que os apoios articulado fixo e móvel apresentam nos eixos x e y são iguais, respectivamente, a
	Questão 6
	Suponha os sistemas 1 e 2, ilustrados pelas imagens a seguir, formados por uma barra e um cabo de aço preso a uma parede. No sistema 1, não existe atrito entre a barra e o chão (ponto B), enquanto no segundo o atrito existe (ponto D).
	Sobre os sistemas representados nas imagens 1 e 2, é correto afirmar que
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	(FUNIVERSA – 2012 – adaptada) A imagem a seguir representa uma treliça metálica plana submetida a dois carregamentos aplicados sobre o nó B.
	Os encontros das barras são rotulados. As barras CH e GD não se interceptam; portanto, o cruzamento dessas duas barras representado no desenho não constitui um nó. O mesmo pode ser dito em relação aos pares de barras DI-EH e EJ-IF. Com relação à treliça metálica apresentada, assinale a alternativa correta.
	Questão 2
	(IF – SP – 2011 – adaptada) Uma treliça é uma estrutura reticulada composta de elementos unidos nas suas extremidades, de modo a formar uma estrutura rígida. Na figura, existem três treliças distintas apoiadas sobre dois vínculos. As reações possíveis nesses apoios são:
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referênciasde um esboço de um carrinho de compras.
Rodas traseiras de um carrinho de compras (apoio de primeiro gênero).
Outra possibilidade de vínculo estudado e com aplicação na prática é o apoio de segundo gênero, cujas
translações nos eixos x e y são impedidas (∆x = 0 e ∆y = 0), mas não a rotação em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). 
 
Veja na imagem seguinte o exemplo de uma estrutura composta por uma viga presa em uma das extremidades
pelo apoio de segundo gênero e na outra extremidade por um cabo de aço. A extremidade unida ao vínculo
apresenta restrição aos movimentos vertical e horizontal da viga, mas a rotação é possível. Observe o
esquema. 
Sistema preso a um apoio articulado de segundo gênero.
Vimos anteriormente o apoio de terceiro gênero, o que impõe as três restrições, as duas translações nos eixos
x e y (∆x = 0 e ∆y = 0) e, também, a rotação em torno do eixo z (∆θz = 0). Exemplos clássicos são as varandas
e as marquises. Na imagem seguinte, uma estrutura em balanço é apresentada na forma de uma pequena
varanda.
Varandas/sacadas em um prédio (apoio de terceiro gênero).
Chave de resposta
Vínculos em estruturas bidimensionais: exemplos reais.
https://play.yduqs.videolib.live/index.html?token=fdb9808c845c49df886ca045a01af573
Mão na massa
Questão 1
Em muitas estruturas de pontes, é comum a utilização das vigas Gerber (dentes de Gerber),
que permitem a transmissão do momento de uma região da estrutura para outra. Na imagem a
seguir, tem-se um esquema da viga Gerber em destaque.
https://play.yduqs.videolib.live/index.html?token=fdb9808c845c49df886ca045a01af573
Considerando apenas a viga Gerber (em verde), o apoio destacado pode ser classificado
como um apoio de que gênero?
A
Apoio de segundo gênero.
B
Apoio de terceiro gênero.
C
Um misto de apoios de segundo e terceiro gêneros.
D
Um misto de apoios de primeiro e terceiro gêneros.
A alternativa A está correta.
As vigas tipo Gerber comportam-se como rótulas nas estruturas a que pertencem, não restringindo, assim,
o movimento de rotação. Contudo, uma análise da imagem permite concluir que não são possíveis
translações na horizontal e na vertical. Sendo assim, existem duas restrições de translação, ou seja, o apoio
é do segundo gênero.
Questão 2
Um estudante, refletindo sobre os vínculos de uma estrutura, pensou sobre a definição do
grau de liberdade desse vínculo na estrutura em questão. Suponha que n seja o número de
restrições impostas por um vínculo de uma estrutura tridimensional, em que n é um número
natural e g o grau de liberdade do vínculo. Assinale, a seguir, a alternativa correta.
A
2 ≤ n + g ≤ 6.
B
0 ≤ g ≤ 3 e 0 ≤ n ≤ 3.
C
Para alguns vínculos, n = g = 3.
D
É possível que a relação entre n e g seja dada por .
 
A alternativa C está correta.
Na situação extrema, um vínculo apresenta grau de liberdade (g) igual a 0, impondo apenas 6 restrições (n).
Assim, é verdade que n + g = 6. Ao se pensar em todas as possibilidades, é possível concluir que um
vínculo como a rótula, por exemplo, permite 3 rotações (g) e impede 3 translações (n). Então, é possível
que n = g. Quanto à razão (n + g)/g = 4, como n + g = 6, tem-se que 6/g = 4, ou ainda 6/4 = g, o que implica
que g = 1,5. Logo, não é possível porque g é um número natural.
Questão 3
No estudo dos vínculos de uma estrutura, é possível compreender perfeitamente suas
atuações fazendo uma análise dos graus de liberdade. Suponha que o vínculo da imagem a
seguir (um mancal com atrito) pertença a uma estrutura tridimensional em equilíbrio estático.
Avalie as restrições possíveis e responda o grau de liberdade do vínculo.
A
1 grau 
B
2 graus 
C
3 graus 
D
4 graus 
A alternativa A está correta.
Determinação do grau de liberdade dos vínculos.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 4
Considere uma estrutura em equilíbrio estático sob um carregamento plano. Na imagem a
seguir, parte dessa estrutura é representada com um de seus vínculos.
 
 
Assinale, a seguir, a alternativa correta.
A
É do primeiro gênero, e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo vetor ↗.
B
É do primeiro gênero, e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo vetor ↙.
C
É do primeiro gênero, e a reação na estrutura poderá ser representada pelo vetor ↗.
D
É do primeiro gênero, e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo vetor ⟶.
A alternativa C está correta.
O apoio restringe o movimento da estrutura apenas na direção perpendicular à sua base. Não é possível, a
priori, definir o sentido dessa reação, apenas a direção. Após a realização dos cálculos oriundos das
equações de equilíbrio é que se pode chegar à conclusão sobre o sentido da reação. Valor positivo indica
que o sentido arbitrado para a reação está correto; valor negativo, que o sentido arbitrado deve ser
invertido.
Questão 5
A definição de um vínculo pode ser realizada a partir do grau de liberdade ou das restrições
impostas por ele. Suponha um vínculo numa estrutura tridimensional com carregamento
genérico. Sejam p e q, respectivamente, o grau de liberdade do vínculo e o número de
restrições que impõe à estrutura a que pertence. Assinale a seguir a alternativa correta.
A
p e q são números naturais, sendo que p – q = 6.
B
É possível que os valores de p e q sejam tais que p = 4.q.
C
p e q são números naturais e p + q = 6.
D
Nunca p e q serão números naturais iguais.
A alternativa C está correta.
Relação entre o grau de liberdade de um vínculo e suas restrições.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
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Questão 6
Um apoio de primeiro gênero é aquele que restringe uma translação em um eixo, por exemplo,
y, permitindo a translação no outro eixo, x. Em sua parte superior existe uma rótula que não
restringe a rotação. Suponha que uma estrutura tenha alguns apoios metálicos desse tipo
próximos a um ambiente de atmosfera corrosiva. Em virtude disso, um desses vínculos é
afetado pela oxidação, e a rótula fica emperrada. Dessa forma, assinale a seguir a alternativa
correta.
A
Continuará a apresentar apenas 1 restrição no eixo y.
B
Passará a ter 2 restrições, pois também impedirá a translação no eixo x.
C
Passará a ter 2 restrições, pois continuará a impedir a translação no eixo y, mas também a rotação.
D
Passará a impedir apenas a rotação.
A alternativa C está correta.
O problema cita um apoio de primeiro gênero (ver imagem), ou seja, apresenta uma restrição (direção y) e 2
graus de liberdade (translação em x e rotação em torno de z). Com a oxidação da rótula, haverá mais uma
restrição imposta, visto que não será permitida a rotação em torno do eixo z. Assim, o total de restrições é 1
+ 1 = 2.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere parte de uma estrutura indicada na imagem e suponha um carregamento sobre ela.
As hastes que compõem a estrutura estão vinculadas entre si por meio de parafusos
(equivalente a soldas) e a uma grande chapa de aço, de tal forma que é possível associar
cada união feita pelos parafusos ao tipo de apoio:
Estrutura rígida com barras unidas por parafusos.
A respeito do apoio, é correto afirmar que
A
é do primeiro gênero, uma vez que impede apenas uma translação (∆x > 0, 0, ∆y = 0 e ∆θz = 0).
B
é do segundo gênero, uma vez que impede duas translações (∆x > 0, ∆ydois vínculos: A e B. Em relação a esses vínculos, é correto afirmar
que
Viga biapoiada.
A
nos dois apoios, translações vertical e horizontal são impedidas.
B
nos dois apoios, apenas translações verticais são impedidas.
C
no apoio A, translações vertical e horizontal são impedidas e, no apoio B, translação horizontal.
D
no apoio A, translações vertical e horizontal são impedidas e, no apoio B, translação vertical.
A alternativa D está correta.
Observando os vínculos, percebe-se que apresentam pinos que permitem rotação (∆θz ≠ 0). O apoio B
apresenta a possibilidade de translação na horizontal (∆x ≠ 0, ∆y = 0 e ∆θz ≠ 0). Assim, o apoio A apresenta
2 restrições e 1 grau de liberdade (rotação), enquanto o apoio B apresenta 1 restrição.
2. Sistemas de forças e equilíbrio de um corpo rígido
Introdução
No estudo do equilíbrio de um corpo rígido, os dois entes físicos que caracterizam esse estado são a
resultante das forças e a soma dos momentos aplicados por elas. 
 
Quando e são simultaneamente nulos, está garantido o equilíbrio, que é dividido em estático e
dinâmico. No primeiro, além das condições para e , sua velocidade é zero. No equilíbrio dinâmico, a
diferença é que o sistema apresenta movimento retilíneo uniforme (MRU), ou seja, velocidade constante.
Conceitos de força e de momento de uma força
Citamos, anteriormente, dois conceitos: o de força e o de momento de uma força. No dia a dia, esses dois
entes físicos apresentam-se com bastante frequência, mas é fundamental para o futuro engenheiro conhecê-
los com profundidade. Inicialmente, a abordagem será qualitativa. Veja as duas situações a seguir:
Situação 1
Suponha a situação em que uma pessoa
movimente a cadeira para sentar-se à mesa.
Mesmo não conhecendo o conceito oficial de
força, é bastante intuitiva a ideia de que foi
necessário atuar na cadeira para que ela se
movimentasse. Relacionado a essa situação,
surge o juízo popular do ente físico força.
Situação 2
Se a situação imaginada for a de trocar o pneu
furado de um carro, será preciso atuar de tal
forma na retirada dos parafusos que ocorra uma
rotação deles. Surge a ideia do momento
provocado por uma força, associando-o à
rotação provocada por esta.
É claro que os conceitos de força e de momento se conservam mesmo em situações complexas da
engenharia. A ponte que liga o Rio de Janeiro a Niterói apresenta uma série de exemplos em que forças atuam
em sua estrutura e provocam momentos. Uma diferença bastante perceptível é a quantidade desses
elementos nessas estruturas complexas.
Conceito matemático de força
A força é uma grandeza vetorial (representada por um vetor) e, por isso, apresenta as seguintes
características: módulo (ou intensidade), direção (linha de ação da força) e sentido.
Associada a esses atributos, segue-se uma unidade que pode ser kgf (quilograma-força), N (newton), dyn
(dina) etc. A imagem 6 mostra a representação de uma força e seus atributos.
 
Imagem 7 – Representação de uma força (carga)
concentrada. 
Imagem 8 – Representação de uma força (carga)
distribuída.
Imagem 6 - Representação de uma grandeza vetorial (força) e seus atributos. 
Curiosidade
No Sistema Internacional de Unidades (S.I.), a força é apresentada em newtons (N), em homenagem aos
brilhantes trabalhos do físico Isaac Newton (1642-1727) na Mecânica Clássica. 
Forças (cargas) concentrada e distribuída
Na engenharia, é importante salientar a diferença entre os conceitos de força concentrada e força distribuída.
No caso da força concentrada, existe um único
ponto de aplicação sobre a estrutura. Para
exemplificar, suponha uma pessoa de pé em um
apartamento. A força que ela faz sobre a laje é
considerada uma força concentrada. Observe a
imagem 7 que, de maneira esquemática,
apresenta a situação descrita.
A força ou carga distribuída apresenta atuação
ao longo de um comprimento. Um exemplo clássico na
engenharia de força distribuída é a parede de um
apartamento. Observe o esquema apresentado na imagem
8 em que a representação gráfica de uma carga distribuída
é mostrada.
Atenção
No S.I., a força concentrada é apresentada em N e a força (carga) distribuída, em N/m. 
Força escrita em função de suas componentes
retangulares
A força é uma grandeza vetorial e, por isso, pode ser representada por suas componentes
retangulares x, y e z.
Para uma compreensão gradual do tema, abordaremos uma força localizada no plano xy e, depois, a situação
em que a força se encontra no espaço xyz.
Força no plano escrita em função de suas componentes
retangulares
Suponha o plano xy do papel e considere um sistema submetido a uma força oblíqua , conforme a
representação da imagem 9.
Imagem 9 – Representação de uma força no plano xy atuando em um sistema.
Tomando-se como referência o par de eixos cartesianos x e y, qualquer vetor no plano pode ser escrito a
partir de suas componentes retangulares e , que representam seus módulos nas direções e ,
respectivamente. Além disso, são utilizados os vetores unitários e . No caso do vetor que
representa a força , pode-se escrevê-lo da seguinte forma :
A imagem 10 mostra a representação geométrica da decomposição da força em suas componentes
retangulares Fx e Fy.
Figura 10 – Decomposição de uma força no plano xy.
A partir das relações trigonométricas no triângulo retângulo, é possível escrever as equações matemáticas 2 e
3 para as componentes retangulares da força e sua direção θ :
Equação 1
A partir das equações 1 e 2 e utilizando os vetores unitários i e j, é possível reescrever a força conforme a
equação 4.
Ainda utilizando as ferramentas matemáticas da geometria plana, é possível perceber, na imagem 10, um
triângulo retângulo cujos catetos são as componentes Fx e Fy e a hipotenusa F. A partir da relação matemática
conhecida como teorema de Pitágoras, é verdade a relação entre os módulos de Fx, Fy e F, mostrados na
equação 5.
Atividade
Seja a força apresentada na imagem e o par de eixos xy. O módulo da força é 100 N, e o ângulo θ que o vetor
força forma com o eixo x é tal que o seno vale 0,6 e o cosseno, 0,8. Escreva a força F em coordenadas
retangulares.
Chave de resposta
A partir da equação 2, é possível determinar as projeções da força sobre os eixos e y, ou seja:
Utilizando a equação 4, a força F pode ser escrita na forma retangular.
 e 
Equação 2
Equação 3
 
Equação 4
 
Equação 5
 
Força no espaço escrita em função de suas componentes
retangulares
Generalizando uma força como um vetor no R3, além dos eixos x e y, deve-se utilizar o eixo z para a
decomposição da força em coordenadas retangulares. Além disso, os vetores unitários serão i (1, 0, 0), j (0, 1,
0) e k (0, 0, 1) que representam, respectivamente, os sentidos dos eixos x, y e z.
 
A imagem 11 representa esquematicamente a força no espaço e os eixos x, y e z. Além disso, são
mostrados os ângulos θx,θy e θz que a força forma com os eixos. Ainda é possível perceber as projeções
da força nos eixos x, y e z, ou seja, Fx, Fy e Fz.
Imagem 11 – Representação da força \(\vec{F}\) no espaço e suas componentes
retangulares.
A partir da imagem 11, observando triângulos retângulos e utilizando a definição da função trigonométrica
cosseno, é possível escrever as relações matemáticas descritas nas equações 6, 7 e 8.
Equação 6
Equação 7
Onde são denominados cossenos diretores.
Atenção
É possível mostrar que . 
A partir das equações anteriores, é possível reescrever a força , em termos de suas coordenadas
retangulares, e os vetores unitários i, j e k, conforme a equação 9:
Atividade
Suponha que uma força de intensidade 10 kN atue de tal forma em uma estrutura que seus cossenos diretores
valham e . O engenheiro precisa escrever essa força em coordenadas retangulares e solicita que
seu estagiário resolva.
Chave de resposta
Inicialmente, o estagiário transformou a unidade e encontrou para o módulo da força o valor de 10.000 N. A
partir das equações 6, 7 e 8, ele determinou as componentes da força F nas direções dos eixos x, y e z.
Utilizandoa equação 9, conseguiu determinar a força F em coordenadas retangulares, ou seja:
Resultante de forças
Seja uma estrutura em que atue um conjunto com n forças. Por razões simplificadoras matemáticas, é possível
fazer a substituição desse conjunto de forças por uma única, denominada resultante das forças ou,
simplesmente, resultante. Essa substituição matemática não altera a consequência física. A imagem 12
apresenta uma estrutura em que agem quatro forças coplanares e a substituição delas pela força resultante.
Equação 8
Equação 9
Imagem 12 – Sistema de forças em uma estrutura e sua resultante.
A resultante das forças que agem sobre um corpo é a soma vetorial dessas forças. É possível fazer a
decomposição retangular das várias forças e agrupar os termos semelhantes (em i, em j e em k). A equação 10
mostra essa descrição.
Atenção
Para duas forças de módulos F1 e F2, é verdade que o módulo da resultante R entre elas está no
seguinte intervalo: 
Atividade
Suponha que um corpo esteja sob a ação de várias forças nas direções dos eixos ortogonais x, y e z,
conforme a imagem a seguir. Determine a resultante das forças.
Chave de resposta
 
Equação 10
Imagem 13 – Momento da força F em relação ao ponto
O. 
Inicialmente, deve-se observar os eixos desenhados e suas respectivas orientações positivas (setas). Após
identificar as resultantes em cada eixo, é possível aplicar a equação 10 para determinar a resultante no
corpo.
Substituindo na equação 10, tem-se:
Momento de uma força em relação a um ponto
Considere um sistema e uma força atuando
sobre ele no ponto A, conforme a imagem 13.
Suponha que no ponto O exista um vínculo de
segundo gênero. O vetor que liga os pontos O e
A é denominado vetor posição . Nas
condições anteriormente apresentadas, é
intuitivo imaginar que a força fará o corpo
girar. Essa rotação do corpo é o momento
provocado pela força em relação ao ponto O.
 
Observando a imagem 13, é possível perceber
que o vetor momento é perpendicular ao
plano formado pela força e o vetor posição 
. Além disso, é possível observar que ele
apresenta um sentido de rotação.
O momento de uma força em relação a um ponto é dado por um produto vetorial, conforme mostra a equação
11.
Escrevendo os vetores posição (rx, ry e rz) e a força (Fx, Fy e Fz) em coordenadas retangulares, obtém-
se o vetor momento a partir do determinante a seguir.
Equação 11
 
Atenção
O vetor momento estará escrito em função das coordenadas retangulares. 
O que acontece quando a força e o vetor posição são
coplanares?
O módulo do momento aplicado por
essa força em relação a um ponto
pode ser determinado pelo produto da
força pela distância do ponto à linha
de ação da força (M = F . d). Observe o
esquema a seguir.
Na primeira figura, a força faz a barra girar em torno do ponto O no
sentido anti-horário, então o momento é positivo. Na segunda, o sentido
é horário, logo, o momento é negativo.
Atividade
Suponha que uma força F (10, 20, 30), em N, seja aplicada num ponto A de coordenadas (1, 2, 5). Determine o
momento dessa força em relação à origem O (0, 0, 0) dos eixos x, y e z.
Chave de resposta
O vetor posição
.
A força F já se encontra escrita com suas coordenadas. Assim, aplicando-se o produto vetorial 
 da equação 11, é possível determinar o vetor momento.
 
Equilíbrio estático de um corpo rígido
Suponha um corpo rígido tridimensional com carregamento genérico (várias forças concentradas/distribuídas
e momentos). Para garantir o equilíbrio estático de um corpo rígido, os movimentos de translação e rotação
não devem existir. Assim, estarão restritas as translações e as rotações concernentes aos três eixos
cartesianos x, y e z. A fim de garantir que a translação e a rotação de um sistema sejam nulas, a resultante
das forças e a resultante dos momentos devem ser iguais a zero. A equação 12 traduz o descrito de maneira
matemática.
Como foi visto nos itens anteriores, é possível escrever a resultante das forças, assim como o momento
resultante, em função de suas componentes retangulares. Para garantir o equilíbrio estático do sistema, basta
que cada uma das componentes retangulares seja igual a zero. Surgem, dessa maneira, seis equações para o
equilíbrio:
Portanto, as seis equações supracitadas são necessárias e suficientes para garantir o equilíbrio estático do
corpo rígido.
 
Quais equações de equilíbrio estático utilizar em diferentes situações?
Para garantir a não translação
 e 
Para garantir a não rotação
 e 
 
Equação 12
 
Quando o carregamento for no plano
 e 
Obs.: Para escrever uma força a partir de dois pontos A (xA, yA, zA) e B (xB, yB, zB) de sua linha de ação, deve-
se inicialmente escrever o vetor unitário e depois multiplicá-lo pelo módulo dessa força. Segue a sequência
desses passos:
Determinação do vetor unitário na direção 
 
onde,
 
 
Multiplicação do módulo de pelo vetor unitário.
Assim, 
Exemplo: Considere uma força F de intensidade 100N que passe pelos pontos A (1, 3, 5) e B (4, 3, 9),
tal que seu sentido seja do vetor . Determine a força em coordenadas retangulares.
Solução: Determinação do vetor unitário na direção do vetor .
Mas,
Assim,
 
Para determinar o vetor F, basta utilizar a equação a seguir:
Teoria na prática
Na engenharia, o equilíbrio das estruturas é muito presente. Não faltam exemplos práticos, como torres de
transmissão, estruturas treliçadas (Linha Vermelha no Rio de Janeiro, por exemplo), entre tantos outros. Em
linhas gerais, o equilíbrio translacional e o rotacional deve ser garantido nessas estruturas. Um exemplo
simplificado, mas que não deixa de auxiliar na aplicação das equações do equilíbrio em casos práticos, será
realizado. 
 
(FCM-PB – 2015) O guindaste (também chamado de grua e, nos navios, pau-de-carga) é um equipamento
utilizado para a elevação e a movimentação de cargas e materiais pesados, assim como a ponte rolante a
partir do princípio da física, segundo o qual uma ou mais máquinas simples criam vantagem mecânica para
mover cargas além da capacidade humana. São comumente empregados nas indústrias, terminais portuários
e aeroportuários, onde se exige grande mobilidade no manuseio de cargas e transporte de uma fonte primária
(embarcação, trem ou elemento de transporte primário ou mesmo avião) para uma fonte secundária (um
veículo de transporte ou depósitos locais). Podem descarregar e carregar contêineres, organizar material
pesado em grandes depósitos, efetuar a movimentação de cargas pesadas na construção civil. As conhecidas
pontes rolantes (ou guindastes móveis) são muito utilizadas nas indústrias de laminação e de motores
pesados.
Um aluno, de posse de um simulador, projeta a grua representada na imagem anterior com as seguintes
características: 
 
O braço maior da grua tem comprimento de 16 m. 
O braço menor tem 4 m. 
O contrapeso na extremidade do braço menor tem uma massa equivalente a 0,5 toneladas. 
O centro de massa coincide com a extremidade do braço menor. 
A barra horizontal possui massa de 200 kg, uniformemente distribuída. 
A barra vertical está rigidamente fixada. 
 
De acordo com o projeto descrito, qual o peso máximo que essa grua poderá levantar sem tombar?
Chave de resposta
Equilíbrio rotacional de uma grua.
Conteúdo interativo
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Mão na massa
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Questão 1
Em muitas situações da engenharia, há a necessidade de se calcular a resultante de algumas
forças concentradas que atuam num sistema. Para simplificar, suponha que duas forças 
 = 500 N e = 600 N atuem em um ponto. Dos valores indicados a seguir, assinale o
único que não é possível para o módulo da resultante R entre e .
A
R = 100 N
B
R = 400 N
C
R = 800 N
D
R = 1.200 N
A alternativa D está correta.
A resultante das forças é a soma vetorial delas.
Dois vetores apresentam duas situações-limites caso somados vetorialmente: quando apresentam a
mesma direção e sentidos opostos e quando apresentam a mesma direção e o mesmo sentido.
Noprimeiro caso, a resultante é a diferença entre os módulos de . No segundo caso, a soma dos
módulos de . Sendo assim, é verdadeira a relação . No exercício, 
, ou ainda . Assim, o único valor fora desse intervalo
é 1.200 N.
Questão 2
Seja uma viga AB homogênea de massa linear de μ kg/m engastada a uma parede e presa a
um cabo de aço considerado ideal (inextensível e sem massa), conforme a imagem. O cabo de
aço forma um ângulo θ com a viga, disposta horizontalmente. Supondo o equilíbrio, determine
a tração (em N) no cabo de aço em termos de componentes retangulares, sendo o módulo da
tração 13 kN.
 
A
= -5.000 i + 12.000 j
B
= 12.000 i + 5.000 j
C
= -12.000 i - 5.000 j
D
= -12.000 i + 5.000 j
A alternativa D está correta.
Na imagem, tem-se um triângulo retângulo ABC de hipotenusa BC. Utilizando o teorema de Pitágoras, é
possível determinar que BC = 13 m. A partir das definições das funções trigonométricas seno e cosseno, é
possível escrever que .
O módulo da tração é 13 kN ou ainda 13.000 N. 
Assim, |T|= 13.000 N
- (sentido oposto ao de 
- T. (mesmo sentido de , logo 5.000)
Assim, 
Questão 3
Considere uma estrutura em equilíbrio estático. Uma das forças a agir na estrutura é dada por 
 = 200 i + 400 j - 500 k. Seja um ponto A da estrutura com coordenadas (1,0,1). Determine
o vetor do momento da força em relação à origem dos eixos (0, 0, 0).
A
 = 400 i + 700 j + 400 k 
B
 = 400 i - 700 j + 400 k 
C
= -400 i + 700 j + 400 k 
D
 = -400 i - 700 j + 400 k 
A alternativa C está correta.
Determinação do vetor momento de uma força.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
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Questão 4
Seja uma viga de 4 m que faz parte de uma estrutura maior em equilíbrio estático. Sendo a
viga de seção retangular homogênea, disposta horizontalmente, de peso 1.200 N e apoiada
sobre dois apoios (um do primeiro gênero e outro do segundo gênero). Supondo uma força 
de módulo 400 N, aplicada verticalmente, conforme a imagem, determine as reações nos
apoios A e B escritas em coordenadas retangulares.
A
B
C
D
A alternativa A está correta.
Equilíbrio de um corpo rígido: viga biapoiada. Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
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Questão 5
Seja uma antena de transmissão cujo peso é 3.000 N presa verticalmente no chão e ancorada
por quatro cabos de aço ideais, conforme a imagem. Suponha que em cada cabo atue uma
força de tração cujo módulo valha 1.000 N. Qual o valor da reação na base da antena?
A
= 4.500 j
B
= 5.400 j
C
= 2.400 j
D
= 5.000 j
A alternativa B está correta.
Determinação das forças de tração em cada um dos quatro cabos:
Cabo 1: 
Cabo 2: 
Cabo 3: 
Cabo 4: 
Determinação da força peso:
= -3.000 j
Considere a força que age na base da antena.
Equilíbrio translacional:
Substituindo os valores das trações e do peso na equação anterior, tem-se:
Equilíbrio rotacional:
Como todas as forças são concorrentes, o momento delas em relação a esse ponto é nulo. Assim, a soma
dos momentos é zero, garantindo o equilíbrio rotacional.
Questão 6
Considere a viga biapoiada em A e B, apoios de segundo e primeiro gêneros, respectivamente.
Determine os módulos das reações em A e B, considerando que o peso da viga seja
desprezível e ela esteja em equilíbrio estático.
A
600 N e 600 N
B
650 N e 550 N
C
900 N e 700 N
D
1.000 N e 200 N
A alternativa C está correta.
Inicialmente será feita a troca da carga distribuída (q = 600 N/m) pela concentrada equivalente F = 600 (N/
m) x (2 m) = 1.200 N atuando no ponto médio da base do retângulo. Em seguida, será desenhado o DCL do
corpo atentando para o fato de ele estar apoiado sobre A, apoio de segundo gênero, duas reações (vertical
e horizontal) e sobre o apoio B, apenas uma reação (vertical), pois trata-se de um apoio de primeiro gênero.
Equações para a condição de equilíbrio de um corpo no plano:
 e 
Resultante na direção x nula:
Resultante na direção y nula:
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero (sentido anti-horário positivo):
Como Ay + By = 1.600. Substituindo-se o valor de By na equação anterior, tem-se que Ay + By = 1.600, logo
Verificando o aprendizado
Questão 1
(VUNESP – 2015 – adaptada) Em uma academia de ginástica, há um equipamento de
musculação como o esquematizado na imagem.
Um peso P é atado à extremidade de um cabo flexível, inextensível e de peso desprezível, que
passa pelo sulco de uma roldana presa a uma base superior. A outra extremidade do cabo é
atada ao ponto B de uma alavanca rígida AC, de peso desprezível, articulada na extremidade
C; o ponto C é fixado em um suporte preso à base inferior do aparelho. A pessoa praticante
deve exercer uma força vertical aplicada em A. São dados os valores: P = 400 N, CB = 20 cm
e AB = 60 cm. A intensidade da força vertical aplicada pelo praticante em A para manter o
sistema em equilíbrio na posição mostrada deve ser de
A
100 N, dirigida para cima.
B
100 N, dirigida para baixo.
C
200 N, dirigida para cima.
D
200 N, dirigida para baixo.
A alternativa B está correta.
Desenhar o diagrama do corpo livre da barra, não esquecendo de nenhuma força (tração, forças no apoio e
força que o praticante exerce em A). Aplicar a condição para que a barra não gire, ou seja, a soma dos
momentos em relação ao ponto C é igual a zero. Observe o DCL da estrutura.
Equações do equilíbrio:
Soma dos momentos em relação ao ponto C igual a zero (sentido anti-horário positivo): 400 x 20 + F
x 80 = 0. Logo, 80 F = - 8.000 → F = - 8.000/80 → F = - 100 N. O sinal negativo indica que o sentido
da força é oposto ao adotado no DCL. Logo, F tem intensidade 100 N e é vertical para baixo.
Questão 2
(CESGRANRIO – Petrobras – 2017) A viga ABC, mostrada na imagem, está sob a ação de uma
força F, conforme indicado.
Pela ação da força F, a força reativa no apoio B tem o sentido do eixo y, enquanto as duas
componentes da força reativa no apoio A têm direções paralelas aos eixos x e y, sendo uma
no sentido do eixo
A
x positivo e outra no sentido do eixo y negativo.
B
x negativo e outra no sentido do eixo y negativo.
C
x positivo e outra no sentido do eixo y positivo.
D
y negativo e outra nula, relativa ao eixo x.
• 
A alternativa A está correta.
Desenhar o diagrama do corpo livre da barra, não esquecendo de projetar a força F (Fy vertical para baixo e
Fx horizontal para esquerda). Equilíbrio em x, Ax será oposta a Fx, ou seja, horizontal para a direita (x
positivo). Equilíbrio rotacional em relação ao ponto B. Para que a soma dos momentos de Fy e de Ay seja
nula, Ay deve ser vertical para baixo (y negativo). Observe o DCL da barra.
Fazendo a projeção da força F nos eixos x e y, tem-se:
Equilíbrio translacional em x: Ax = Fx (sentido positivo do eixo x)
Equilíbrio translacional em y: B = Ay + Fy
Equilíbrio rotacional: Momento em relação ao ponto B igual a zero. As forças Ax e Fx não exercem momento,
pois suas linhas de ação passam pelo ponto B. Assim, para que os módulos dos momentos das forças Fy e
Ay sejam iguais, Ay deve ser vertical para baixo (sentido negativo de y).
3. Diagrama do corpo livre (DCL)
Introdução
As estruturas bidimensionais ou tridimensionais em equilíbrio estático sempre estão presas a apoios (vínculos)
que restringem um ou mais tipos de movimentos (translação ou rotação). Para realizar o estudo do equilíbrio
do corpo rígido, há a necessidade de substituir os apoios pelas reações que eles provocam, além dos
carregamentos externos. Esse desenho representa o diagrama do corpo livre (DCL).
Sistema de corpos rígidos
No estudo da Mecânica Clássica, um sistema pode ser composto por um ou mais corpos rígidos que estão
unidos por meio de vínculos, transmissões, contato, campos etc. 
 
A análise matemática pode ser realizada considerando o conjunto ou parte dele. Portanto, não abordaremos a
parte dinâmica da mecânica, e sim apenas a parte estática, ou seja, os equilíbriostranslacional e rotacional.
Diagrama do corpo livre (DCL)
Na resolução dos problemas de mecânica (estática), dois aspectos igualmente importantes devem ser
utilizados:
Qualquer dúvida a respeito do desenho do DCL implicará equações incorretas e, consequentemente, erros na
solução de um problema. Sem hierarquizar a importância de um ou de outro aspecto, é fundamental
compreender perfeitamente o DCL para, depois, escrever as equações do equilíbrio e, por fim, resolver o
problema proposto.
Muitos autores denominam o diagrama do corpo livre como isolar o corpo do sistema.
Independentemente da nomenclatura, é importante que, ao desenhar o diagrama (ou isolar o
corpo), você consiga representar por meio de forças ou momentos os vínculos que são retirados
nesse isolamento do corpo.
Relações matemáticas do equilíbrio 
É necessário ter domínio sobre os aspectos
matemáticos para desenvolver o problema.
Desenho do diagrama do corpo livre 
Neste caso, os aspectos físicos são
fundamentais.
Imagem 15 - Sistema alavanca cabo.
Nesse ponto, é ratificada a importância do estudo inicial dos vínculos e das reações associadas. Mais um
aspecto relevante é a terceira lei de Newton, presente na separação dos corpos no sistema. Para que você
relembre o conceito da terceira lei de Newton, faremos a seguir uma rápida abordagem a respeito.
Terceira lei de Newton
A terceira lei de Newton, também conhecida como lei da ação e reação, afirma que, quando dois
corpos interagem, eles trocam forças. Essas forças apresentam a mesma direção, o mesmo
módulo (intensidade) e sentidos opostos. As forças de ação e de reação atuam em corpos
distintos; portanto, não se anulam.
A imagem 14 representa a descrição anterior.
Imagem 14 – Ação e reação: terceira lei de Newton. 
As forças e constituem um par ação e reação e, portanto, apresentam mesma direção, mesma
intensidade e sentidos opostos. A nomenclatura indica a força que o corpo A faz no corpo B.
Desenhando o DCL
Para entender como desenhar o diagrama do corpo livre é fundamental perceber como os corpos ligados ao
que será separado interagem com ele e de que maneira as forças reativas (dos vínculos) atuam sobre esse
corpo. Essa é a fase física do problema. Devemos ter extremo cuidado aqui, e talvez valha a pena gastar parte
do tempo nessa análise para que eventuais erros não se propaguem na fase matemática da solução. A
imagem 15 apresenta um sistema simples, mas que ajudará no início do entendimento do desenho do DCL.
A imagem 15 é um sistema composto por uma
alavanca homogênea de peso , um cabo de
aço suposto ideal (inextensível e sem massa) e
dois vínculos denominados B e O. O objetivo é
isolar a alavanca do sistema, ou seja, enxergá-
la isoladamente de forma abstrata. Em outras
palavras, desenhar seu diagrama do corpo livre.
Inicialmente, deve-se perceber que a barra está
interagindo com o cabo de aço e com o apoio
O, de segundo gênero. Além disso, existe a
força exercida pelo campo gravitacional da
Terra, o peso. Observe o diagrama do corpo
livre dessa alavanca na imagem 16.
Imagem 16 – DCL da alavanca do sistema da imagem 15.
Analisando o DCL da imagem 16 é possível perceber a presença de três forças:
A força peso ( ) exercida pelo campo gravitacional da Terra.
A força de tração exercida pelo cabo de aço.
A forca exercida pelo apoio de segundo gênero.
Atenção
A força pode ser decomposta em duas componentes, sendo uma vertical e a outra horizontal (restrições
de translações nesses eixos). E se um corpo está em equilíbrio sob a ação de três forças coplanares, ou
essas forças são concorrentes (imagem 16), ou são paralelas. 
Observe a imagem 17 em que um braço treliçado mantém em equilíbrio um corpo suspenso. Note que G é o
centro de massa do braço, e A e B os vínculos de primeiro e segundo gêneros, respectivamente.
Imagem 17 – Sistema composto por braço treliçado.
Analisando o DCL da imagem 17, é possível perceber a presença de algumas forças:
• 
• 
• 
A força peso do braço treliçado ( treliça) exercida pelo campo gravitacional da Terra.
A força de tração exercida pelo cabo de aço.
O peso ( ) e as reações nos apoios A e B.
Atenção
O braço treliçado está vinculado nos apoios A e B e sua extremidade C sustenta um corpo suspenso. 
Para facilitar a análise do DCL do braço, será feito simultaneamente o DCL do corpo suspenso. Observe a
imagem 18, em que são desenhados os DCLs do braço treliçado e do corpo suspenso.
Imagem 18 – DCLs do braço treliçado e do corpo suspenso.
Analisando a imagem 18, perceba que o corpo suspenso está sob a ação de duas forças indicadas:
Peso ()
Força 1
Tração 
Força 2
E em relação aos DCLs?
As duas forças em destaque constituem um par ação-reação.
O peso do braço treliçado treliça atua em seu centro de massa (G) e surgem as reações nos vínculos
A e B.
A força de tração atua na extremidade C do braço treliçado.
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Uma vez que o vínculo B é do segundo gênero, ele impõe duas restrições, representadas pelas forças
Bx e By.
O vínculo A, de primeiro gênero, só impõe uma restrição, por isso apenas a força Ax é indicada no DCL.
Quando você estiver dominando o desenho do diagrama do corpo livre, poderá avançar para a próxima etapa,
as equações do equilíbrio e, assim, determinar as incógnitas que aparecem no DCL. No último exemplo, são
elas: Ax, Bx e By.
Teoria na prática
Nos projetos de engenharia, várias são as fases até a concepção final de um produto. Veremos, então, uma
etapa importante em qualquer projeto de engenharia, do mais simples ao mais complexo: o diagrama do corpo
livre. Qualquer imperfeição no DCL acarretará equações de equilíbrio erradas, o que levará a resultados
diferentes dos reais.
 
Em qualquer situação na engenharia, as estruturas estarão sob ação de efeitos diversos que se resumirão a
dois entes físicos principais: forças e momentos. Para a determinação dessas forças e desses momentos, dois
importantes aspectos deverão ser considerados: o desenho do diagrama do corpo livre (DCL) e as equações
do equilíbrio bidimensional
 
 e 
 
ou tridimensional
 
 
Para efeito de simplicidade no entendimento inicial do tópico, utilizaremos uma estrutura bidimensional para a
análise de seu DLC. Considere o pórtico da figura a seguir que sustenta uma carga de peso P. Os pesos das
barras que constituem o pórtico serão desprezados, e os pontos A, B, C, D, e F apresentam pinos. Ratificando
o que já foi estudado anteriormente, perceba a presença de dois vínculos. Em A um apoio de segundo gênero
e, em D, um apoio de primeiro gênero.
• 
• 
Na análise inicial do DCL será considerado o pórtico integralmente. As forças que agem são a tração no cabo
ideal (em módulo, equivale ao peso do corpo suspenso) e as forças reativas nos apoios A e D.
 
No apoio de segundo gênero, as translações nos eixos x e y são impedidas (∆x= 0 e ∆y= 0), mas não a
rotação em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Dessa forma, as forças Ax e Ay são marcadas no DCL. No apoio de
primeiro gênero D, apenas a translação horizontal é impedida, sendo permitidas a translação em y e a rotação
em z. Matematicamente, ∆x = 0, ∆y ≠ 0 e ∆θz ≠ 0. Em termos de reações, apenas a força horizontal Dx
aparece no DCL.
No segundo momento, as hastes que compõem o pórtico são separadas e seus DCLs traçados. Os valores
associados não são o objetivo desta análise, apenas as forças de maneira genérica (os sentidos são
arbitrários nesse primeiro momento). Vale a pena ressaltar a presença da terceira lei de Newton (ação e
reação). Observe o ponto B, que é a união de duas barras. Em um dos DCLs (na barra vertical), as forças que
atuam são: uma vertical para cima e uma horizontal para a direita. De acordo com a terceira lei de Newton, na
barra oblíqua, as forças terão sentidos opostos (mantendo constantes os módulos e as direções). Essa mesma
análise pode ser observada em vários outros pontos de união das barras. Observe a imagem a seguir.
Chave de resposta
Diagrama do corpo livre em um pórtico e aplicação da terceira lei de Newton.Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Mão na massa
Questão 1
Considere um corpo rígido em equilíbrio estático sob a ação de apenas três forças coplanares.
Desenhando-se o DCL desse corpo, é possível afirmar que
A
Apresentam o mesmo módulo e formam, duas a duas, ângulos de 120°.
B
São forças concorrentes em que os módulos devem ser diferentes.
C
podem ser forças concorrentes com módulos de valores distintos ou não.
D
são forças paralelas em que os módulos de duas somados devem ser iguais ao módulo da terceira.
A alternativa C está correta.
Em um corpo rígido em equilíbrio sob a ação de apenas três forças coplanares, duas condições
geométricas são possíveis para essas forças: ou elas são concorrentes, ou paralelas (teorema). Observe a
imagem a seguir.
Questão 2
Considere uma torre viga treliçada apoiada em dois apoios A e B e com massa de 120 kg.
Suponha que o peso da torre se concentre no ponto G e a aceleração da gravidade local g =
10 m/s2. Além disso, o ponto G encontra-se na linha vertical que passa pelo ponto médio da
distância entre os apoios. Quanto aos apoios A e B, é correto afirmar que
A
ambos os apoios são de primeiro gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais e iguais a 600 N.
B
ambos os apoios são de segundo gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais e iguais a 600 N.
C
o apoio A é de primeiro gênero e o apoio B de segundo gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais
e iguais a 600 N.
D
o apoio A é de segundo gênero e o apoio B de primeiro gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais
e iguais a 600 N.
A alternativa C está correta.
Diagrama do corpo livre e equilíbrio do corpo bidimensional. Assista ao vídeo para conferir a solução da
questão.
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Questão 3
(CESGRANRIO – 2011 – Petrobras – adaptada) Uma chapa triangular plana, de peso
desprezível, é fixada a uma estrutura por meio de três pinos posicionados em P, Q e R,
conforme a imagem a seguir. 
Se as forças dos pinos P e Q sobre a chapa são, respectivamente, paralela a PQ e
perpendicular a QR, uma das condições que garantem o equilíbrio estático da chapa é o fato
de a força do pino R ter a direção
A
perpendicular ao segmento PR.
B
perpendicular ao segmento PQ.
C
paralela ao segmento PR.
D
paralela ao segmento QR.
A alternativa D está correta.
Aplicação do teorema das três forças coplanares em corpos em equilíbrio.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
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Questão 4
Considere uma viga homogênea de peso 1,2 kN engastada em uma parede. Seu comprimento
é de 4 m e em sua extremidade livre existe uma força vertical F de 300 N dirigida para baixo,
de maneira que a viga se encontra em equilíbrio estático. Observe a a seguir. A respeito das
reações que ocorrem no vínculo que prende a viga à parede, é correto afirmar que
A
existem duas reações que impedem a translação (forças) e uma que impede a rotação (momento). As forças
são horizontal e vertical e apresentam módulo igual a 1.500 N.
B
existe uma reação que impede a translação (força) e uma que impede a rotação (momento). A força é vertical
e apresenta módulo igual a 1.500 N.
C
existe uma reação que impede a translação (força) e uma que impede a rotação (momento). A força é
horizontal e apresenta módulo igual a 1.500 N.
D
existem duas reações que impedem a translação (forças) e uma que impede a rotação (momento). As forças
são horizontal e vertical e apresentam módulo igual a 750 N.
A alternativa B está correta.
A viga está engastada na parede, conforme a imagem da questão. Esse apoio (engaste) impede a
translação (representada por força) e a rotação (representada por momento). O DCL da viga apresenta-se
na imagem a seguir:
Equações para a condição de equilíbrio de um corpo no plano:
Resultante na direção x nula:
Resultante na direção y nula:
Soma dos momentos em relação ao engaste igual a zero (sentido anti-horário positivo):
Questão 5
Considere uma viga AC engastada em uma de suas extremidades (A) e com o carregamento
distribuído triangular que varia de 10 kN/m até 0, conforme mostrado na imagem. Suponha
que essa viga tenha peso desprezível e que AC = 6 m e BC = 4 m.
Viga engastada “em balanço”.
Ao se desenhar o diagrama de corpo livre dessa viga, é correto afirmar que
A
no ponto A, atuarão duas forças (uma vertical e outra horizontal). A carga distribuída será trocada por uma
força concentrada de módulo 60 kN no ponto médio da viga, ou seja, a 3 m do ponto A.
B
no ponto A, atuará apenas uma força (vertical). A carga distribuída será trocada por uma força concentrada de
módulo 60 kN localizada no ponto B, ou seja, a 2 m do ponto A.
C
no ponto A, atuarão uma força (vertical) e um momento. A carga distribuída será trocada por uma força
concentrada de módulo 30 kN no ponto médio da viga, ou seja, a 3 m do ponto A.
D
no ponto A, atuarão uma força (vertical) e um momento. A carga distribuída será trocada por uma força
concentrada de módulo 30 kN no ponto B da viga, ou seja, a 2 m do ponto A.
A alternativa D está correta.
No engaste (ponto A), podem surgir três reações associadas às restrições (duas forças e um momento).
Como o carregamento da barra é apenas vertical, não há tendência ao movimento na horizontal e, portanto,
a força associada é igual a zero.
No carregamento distribuído triangular, a carga concentrada equivalente corresponde à área do triângulo 
 e localiza-se a 1/3 do ângulo reto do triângulo, isto é, do ponto A.
Nesse caso, como a base tem 6 m de comprimento, a carga se localizará a 2 m do ponto A, ou seja, no
ponto B. Além disso, surge uma reação de momento no engaste A.
Questão 6
(CESGRANRIO – 2010 – Petrobras – adaptada) A imagem a seguir ilustra uma barra
homogênea articulada em A, que está mantida em equilíbrio, na horizontal, sustentada por um
cabo inextensível e de massa desprezível. 
Considere que a barra tenha peso 200 N e o ângulo θ valha 30o. Fazendo o desenho do corpo
livre, é possível afirmar que
A
as forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) são necessariamente concorrentes e
seus módulos são todos iguais a 200 N.
B
as forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) não são necessariamente
concorrentes e seus módulos são todos iguais a 200 N.
C
as forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) são necessariamente concorrentes e
os módulos de T e F somam 200 N.
D
as forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) não são necessariamente
concorrentes e os módulos de T e F somam 200 N.
A alternativa A está correta.
Diagrama do corpo livre da barra:
Como a barra está em equilíbrio sob a ação de três forças coplanares, estas são concorrentes ou paralelas.
Pelo DCL, é possível afirmar que elas são concorrentes.
O ângulo que as forças P e T formam vale 60o e, pela simetria do DCL, o triângulo acima é equilátero (todos
os lados são congruentes), ou seja, os módulos de T, F e P são iguais a 200 N.
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere uma semiesfera de raio R e centro O apoiada em um plano horizontal e uma barra
AB de comprimento La ação de três forças (seu próprio peso), elas devem ser concorrentes. Assim, a linha de ação da força
peso não passará pelo centro geométrico da barra, ou seja, ela não será homogênea.
Questão 2
Considere a figura abaixo em que o sistema é formado por uma barra AO, dois apoios O e B e
um cabo ideal. As projeções das forças que agem na barra, no ponto O, têm módulos 15N (na
horizontal) e 20N (na vertical).
Sistema alavanca-cabo.
A partir do DCL da barra, é verdade que no apoio O as forças que agem são:
A
Uma vertical para cima, de módulo 20N, e uma horizontal para a direita, de módulo 15N.
B
Uma vertical para baixo, de módulo 20N, e uma horizontal para a esquerda, de módulo 15N.
C
Apenas uma força vertical para cima, de módulo 20N.
D
Apenas uma força horizontal para a direita, de módulo 15N.
A alternativa A está correta.
Inicialmente, serão desenhados o DCL da barra e as projeções das forças nos apoios, conforme a figura.
A partir da terceira lei de Newton, se na extremidade O da barra agem duas forças: uma vertical para cima
e uma horizontal para a direita, no apoio O as forças apresentam direções e módulos iguais às que agem na
barra e sentidos opostos, isto é, uma vertical para baixo e uma horizontal para a esquerda. Segundo a
terceira lei de Newton, as forças do par ação e reação apresentam mesmo módulo. Dessa forma, os
módulos das forças que agem no apoio serão iguais a 15N (horizontal) e 20N (vertical).
4. Reações nos vínculos de uma estrutura bidimensional
Introdução
Anteriormente, os vínculos (apoios) foram apresentados gradativamente para que alguns conceitos
começassem a ser entendidos. A partir de agora, vamos nos aprofundar nessa questão. 
 
Lembre-se sempre de que desenhar o diagrama do corpo livre é uma etapa importante na resolução de
problemas e, para tanto, é necessário o perfeito conhecimento dos vínculos e das suas reações.
Vínculos
Quando se imagina uma estrutura em equilíbrio estático, deve-se fazer uma associação a vínculos que a
mantêm presa. De forma mais técnica, apoios restringem movimentos de um corpo rígido ou de um sistema de
corpos rígidos. São seis possibilidades, portanto. O impedimento de translações nas direções dos eixos
cartesianos x, y e z e o impedimento de rotações em torno desses mesmos eixos. A situação ora exposta é a
mais genérica possível e pode ocorrer para corpos com carregamentos tridimensionais. Uma abordagem mais
simples, porém não menos importante e muito frequente na engenharia, é o carregamento bidimensional.
Dessa forma, faremos a releitura de alguns tópicos já apresentados, mas acrescentando novos conceitos.
Relembrando
No estudo do equilíbrio estático de uma estrutura com carregamento no plano que vimos anteriormente,
é possível classificar os apoios em três classes. Antes de continuar o estudo, é importante relembrar
que, sendo o carregamento das forças no plano xy, os momentos gerados por elas serão vetores com a
direção do eixo z (perpendicular ao plano xy). A explicação surge da definição de momento de uma
força, que é o produto vetorial entre os vetores posição e força. 
Em resumo, para o carregamento bidimensional, as forças reativas estarão no plano xy (podendo ser
decompostas em suas projeções Fx e Fy) e os momentos estarão perpendiculares ao plano xy, podendo o
vetor estar entrando ou saindo desse plano.
 
A partir dos aspectos descritos, faremos uma classificação dos apoios em estruturas bidimensionais e
associação das reações (forças/momentos). A classificação é apenas uma ferramenta didática. O importante é
que você reconheça o tipo de vínculo e saiba substituí-lo pelas restrições que ele promove à estrutura.
Os vínculos e suas reações
Com as premissas impostas no estudo de estruturas com carregamento bidimensional, é fácil concluir que três
são os graus de liberdade dessa estrutura quando desconectada de um ou mais vínculos: translação no eixo x,
translação no eixo y e rotação em torno do eixo z.
Apoio de primeiro gênero
A ação da força é previamente conhecida. Contudo, o seu módulo é uma
incógnita a ser descoberta. Em sua obra, os autores Beer e Johnston
(1976) citam alguns exemplos desse tipo de apoio: roletes, balancins,
superfícies lisas, cabos curtos, bielas, cursores e pinos deslizantes.
A imagem 19 mostra alguns desses vínculos e a reação que determina a
restrição, com sua linha de ação. Como regra, o sentido da força reativa é
indefinido. Após o cálculo, valores positivos ratificam a escolha do
sentido desenhado no DLC e valores negativos informam que o sentido
arbitrado inicialmente é oposto ao real.
Observando a imagem 19, perceba a transição entre a estrutura e o
desenho do diagrama do corpo livre. Por exemplo, em uma estrutura que
possua um vínculo do tipo balancim, quando seu DCL for desenhado,
deverá ser feita a troca por uma força única perpendicular à superfície.
De maneira análoga, o procedimento é repetido para os demais vínculos.
Fica explícita a importância de identificar o vínculo por sua representação
geométrica e saber efetuar a troca pela reação correta no desenho do
diagrama do corpo livre.
Apoio de segundo gênero
Tanto a linha de ação da força como o seu módulo são desconhecidos.
São duas incógnitas a serem descobertas. Muitas vezes, faz-se a opção
de substituir essa força com linha de ação desconhecida por suas
projeções ortogonais. Em sua obra, os autores Beer e Johnston (1976)
citam alguns exemplos desse apoio: os pinos regulares em orifícios
ajustados, rótulas e superfícies rugosas.
A imagem 20 mostra esses vínculos e as reações que impõem à restrição.
O sentido das forças reativas é indefinido. Após o cálculo, valores
ratificam ou não a escolha do sentido desenhado no DLC. Valores
positivos confirmam a escolha inicial, e valores negativos informam que o
sentido arbitrado inicialmente é oposto ao real.
Apoio de terceiro gênero
As restrições impostas não são apenas de translação como nos dois
primeiros tipos de vínculos. Soma-se uma restrição: a rotação. Sendo
assim, a ação da força, seu módulo e o momento são desconhecidos. São
três incógnitas a ser descobertas. É comum utilizar as duas projeções
ortogonais da força reativa e o momento na troca do vínculo ao se
desenhar o diagrama do corpo livre. Os sentidos são inicialmente
arbitrados e depois ratificados ou não pelos valores positivo ou negativo
encontrados. O exemplo clássico desse apoio é o engaste, mostrado na
imagem 21. Observe o DCL e o número de restrições.
Teoria na prática
As estruturas em equilíbrio estático na engenharia apresentam-se vinculadas. Considerando um carregamento
bidimensional, vimos as possibilidades de apoios. Um exemplo que reflete uma tendência atual na engenharia
civil é o das pontes estaiadas, cuja beleza é incontestável. Vários são os exemplos pelo mundo. A de Millau, na
França, as das cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo etc.
 
Esquematicamente, a imagem seguinte representa uma ponte estaiada e seus vários apoios, evidenciando
algumas reações nos vínculos. É possível perceber os três gêneros de apoios. Além disso, os cabos
apresentam papel estrutural na fixação dos tabuleiros das pontes estaiadas.
Esboço de uma ponte estaiada e as reações nos apoios. 
Na imagem, são colocadas de maneira genérica (os sentidos das forças e dos momentos são meramente
ilustrativos) as reações que podem surgir nos diversos apoios, todas em função do grau de liberdade que
cada apoio proporciona ou, ainda, das restrições impostas por eles. Genericamente, após o desenho do DCL,
devem ser aplicadas as equações do equilíbrio, ou seja, , para garantir que
não existe translação nem rotação da estrutura.
Chave de resposta
Assista ao vídeo sobre apresentação das reações dos vínculos em uma estrutura real – ponte estaiada.
Conteúdo interativo
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Mão na massa
Questão 1
Seja uma manivela AOB em forma de L com peso desprezível que se encontra vinculada a um
apoio de segundo gênero em O. No ponto B, é aplicada uma força vertical F de 150 N de
intensidade;no ponto A, existe um cabo de aço ideal, que atua com força de tração igual a
250 N, cuja projeção horizontal equivale a 200 N.
Ao se desenhar o DCL dessa manivela, que vetor representa a força exercida pelo apoio O na
barra e a intensidade de sua componente vertical?
A
400 N
B
350 N
C
300 N
D
300 N
A alternativa C está correta.
Desenhando o DCL da manivela já com as forças de tração T e as forças que atuam no apoio projetadas,
tem-se que:
Fonte: Autor
O apoio é de segundo gênero. A direção da força é a composição das forças Qx e Qy, ou seja, um vetor com
o seguinte aspecto: ↗
Para o equilíbrio na vertical, Qy = F + Ty , logo Qy = 150 + 150 = 300 N
Questão 2
Suponha o cilindro homogêneo mostrado na figura. A situação é de equilíbrio em que o cilindro
homogêneo de peso 300N está na iminência de subir o pequeno degrau, existindo atrito entre
essas superfícies (cilindro e degrau).
O canto A do degrau é um vínculo de que tipo? Que reação(ões) ele impõe? E qual o módulo
da projeção vertical no vínculo A?
A
Primeiro gênero / → / V = 150 N
B
Segundo gênero / ↗ / V = 300 N
C
Terceiro gênero / / V = 150 N
D
Não pode ser considerado um vínculo.
A alternativa B está correta.
Diagrama do corpo livre e determinação de uma das reações em um apoio. Assista ao vídeo para conferir a
solução da questão.
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Questão 3
A situação apresentada a seguir é a mesma da questão (2), ou seja, um cilindro homogêneo
de peso 300N, na iminência de subir o pequeno degrau de 0,4m, existindo atrito entre essas
superfícies.
No desenho do DCL do cilindro, o vínculo representado pelo canto A será substituído por uma
força reativa. Sobre essa força, é verdade que
A
uma força comprimindo o cilindro no ponto A tem sua linha de ação passando pelo ponto mais alto do cilindro,
cuja projeção vertical tem módulo 300 N.
B
uma força comprimindo o cilindro no ponto A tem sua linha de ação passando pelo centro O do cilindro, cuja
projeção vertical tem módulo 120 N.
C
uma força comprimindo o cilindro no ponto A tem sua linha de ação vertical, cuja projeção vertical tem módulo
300 N.
D
uma força comprimindo o cilindro no ponto A tem sua linha de ação horizontal, cuja projeção vertical tem
módulo 750 N.
A alternativa A está correta.
Determinação de reação em um apoio e utilização do teorema das forças coplanares em um corpo em
equilíbrio.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
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Questão 4
(CESGRANRIO – 2018 – Transpetro – adaptada) Considere o croqui de uma estrutura e os
dados a seguir para responder a questão.
Despreze o peso da estrutura e considere que os círculos representem tubos apoiados na
estrutura e sejam considerados cargas pontuais de 10 kN no eixo, aplicadas sobre sua geratriz
inferior que se apoia nas barras da estrutura. Observando a estrutura, existem dois apoios
denominados A e B. A respeito desses apoios, é correto afirmar que
A
ambos são do segundo gênero e, por isso, impedem as translações horizontal e vertical nos dois.
B
ambos são do primeiro gênero e, por isso, impedem apenas translações na vertical nos dois.
C
o apoio A é do segundo gênero e impede as translações horizontal e vertical, enquanto o apoio B é do
primeiro gênero, impedindo apenas a translação vertical.
D
o apoio B é do segundo gênero e impede as translações horizontal e vertical, enquanto o apoio A é do
primeiro gênero, impedindo apenas a translação vertical.
A alternativa D está correta.
As figuras geométricas dos apoios A e B são amplamente utilizadas para a representação de apoios de
primeiro e segundo gêneros, respectivamente. Observando o apoio A, a única restrição é a translação
vertical. Já o apoio B impede translações horizontal e vertical.
Questão 5
(CESPE – 2016 – POLÍCIA CIENTÍFICA – adaptada) Na formulação do equacionamento do
equilíbrio para a solução de problemas da estática de corpos rígidos, a utilização do diagrama
de corpo livre exige a determinação do número de reações decompostas nos eixos x, y e z, do
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com base nos tipos de apoio que
caracterizam os graus de liberdade. Nesse sentido, o número de reações que os apoios
articulado fixo e móvel apresentam nos eixos x e y são iguais, respectivamente, a
A
2 e 1
B
1 e 0
C
0 e 1
D
1 e 2
A alternativa A está correta.
Considerando um carregamento no plano xy, os apoios articulados fixo e móvel são também denominados,
respectivamente, apoios de segundo e primeiro gêneros. Das definições desses apoios, as restrições que
eles impõem são, respectivamente, duas translações e uma translação. No desenho de seu diagrama de
corpo livre, esses apoios devem ser substituídos por suas reações. Dessa forma, duas reações e uma
reação, como mostra a imagem, ou seja, o apoio fixo impede as translações em x e y (duas restrições) e o
apoio móvel apenas a translação em y (uma restrição).
Questão 6
Suponha os sistemas 1 e 2, ilustrados pelas imagens a seguir, formados por uma barra e um
cabo de aço preso a uma parede. No sistema 1, não existe atrito entre a barra e o chão (ponto
B), enquanto no segundo o atrito existe (ponto D).
Sistemas 1 e 2. 
Sobre os sistemas representados nas imagens 1 e 2, é correto afirmar que
A
os dois sistemas sempre estarão em equilíbrio.
B
o sistema 1 pode estar em equilíbrio.
C
o sistema 2 pode estar em equilíbrio.
D
os dois sistemas nunca estarão em equilíbrio.
A alternativa C está correta.
Considerando os diagramas de corpo livre para os dois sistemas, tem-se que: no caso da estrutura do
sistema 1, as forças que atuam são o peso próprio, a tração do cabo e a força normal (vertical). É fácil
perceber que a projeção da tração na direção do eixo x não tem outra força para garantir que a resultante
nessa direção seja nula, isto é, não ocorrerá o equilíbrio nessa direção. Já no caso da estrutura do sistema
2, a projeção da tração na direção do eixo x tem a força de atrito na base da barra que pode garantir que a
resultante nessa direção seja nula, isto é, o equilíbrio.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(FUNIVERSA – 2012 – adaptada) A imagem a seguir representa uma treliça metálica plana
submetida a dois carregamentos aplicados sobre o nó B.
Os encontros das barras são rotulados. As barras CH e GD não se interceptam; portanto, o
cruzamento dessas duas barras representado no desenho não constitui um nó. O mesmo
pode ser dito em relação aos pares de barras DI-EH e EJ-IF. Com relação à treliça metálica
apresentada, assinale a alternativa correta.
A
No apoio G, existem duas reações (vertical e horizontal) e o módulo da reação horizontal é 15 kN.
B
No apoio G, existem duas reações (vertical e horizontal) e o módulo da reação vertical é 20 kN.
C
No apoio J, existe apenas a reação vertical cujo módulo é 20 kN.
D
No apoio G, existe uma reação representada por um momento que equivale a 40.L kN.m.
A alternativa A está correta.
O apoio em J é do primeiro gênero, permitindo translação na horizontal e rotação. A única restrição é na
vertical, o que impõe o surgimento de reação apenas em y (Jy). O apoio G é do segundo gênero e existem
restrições à translação na horizontal e na vertical, ou seja, forças em x e y (Gx e Gy). Aplicando-se a
equação do equilíbrio na horizontal, tem-se que:
Questão 2
(IF – SP – 2011 – adaptada) Uma treliça é uma estrutura reticulada composta de elementos
unidos nas suas extremidades, de modo a formar uma estrutura rígida. Na figura, existem três
treliças distintas apoiadas sobre dois vínculos. As reações possíveis nesses apoios são:
 
A
Nas três treliças, podem surgir seis reações nos apoios, independentemente do carregamento.
B
Em todos os seis apoios (dois de cada treliça), sempre surgirão duas reações, independentemente do
carregamento.
C
Nas três treliças, podem surgir nove reações nos apoios (três reações de apoio em cada treliça), dependo do
carregamento.
D
Nos