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Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Unidade 1
Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos
Aula 1
Juros simples e Taxa Equivalente
Juros simples e taxa equivalente
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Ponto de Partida
Olá, estudante!
Nesta aula, você conhecerá alguns conceitos iniciais da Matemática Financeira como: juros
simples, taxa equivalente e montante, os quais podem ser encontrados em nosso dia a dia em
diversas situações, como cálculo de juros em um empréstimo ou na compra de um
eletrodoméstico, aplicação de taxas, entre outros.
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do Davi, que precisa comprar
alguns itens para seu escritório e a loja oferece a seguinte condição de pagamento: compras
com entrada de 25% do valor à vista e pagamento até 10 dias, sob taxa de juros simples de 2,7%
a.m.
Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar no prazo �nal? Se você
estivesse no lugar do Davi, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos dar início ao
nosso estudo!
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Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos Começar!
Juros simples
O conceito de juros simples pode ser aplicado em situações do nosso dia a dia, como cálculo em
multas, cheque especial, impostos, entre outros.
De acordo com Moreira (2010), o conceito de juros surgiu há muito tempo quando o homem
relacionou o tempo com ganho de dinheiro, com processos de acumulação de capital e a
desvalorização da moeda. Na Matemática Financeira, para aprofundarmos sobre o cálculo dos
juros, primeiramente precisamos conhecer a de�nição de alguns termos:
Taxa de juros (i): é a unidade de medida dos juros, correspondente à remuneração paga
pelo uso, durante determinado tempo, apresentada nas situações pela porcentagem.
Por exemplo: um empréstimo com taxa de 2% ao mês:
Tal que, 2% referem-se à taxa percentual e 0,02 à taxa unitária. Uma observação importante é que
o mercado �nanceiro trabalha com base na taxa de juros percentual, porém é necessário colocá-
la na forma unitária para realizar os cálculos �nanceiros. 
Tempo (n): prazo da operação �nanceira, o qual deve estar equivalente ao período da taxa. 
Capital (C): quantidade de recurso �nanceiro disponível ou exigido no ato de uma operação
�nanceira, compra ou aplicação. O capital também é denominado valor presente (VP) e
valor atual (VA).
Juros (J): é a remuneração do capital empregado, ou seja, se aplicarmos um determinado
valor durante um período de tempo, ao �m do prazo, obteremos um valor de juros. 
Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o resultado futuro de
operações �nanceiras realizadas com o capital.
O juro simples é calculado sempre sobre o valor do capital inicial. Os juros de cada período são
obtidos multiplicando a taxa de juros (i) pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela
seguinte fórmula:
Para melhor compreender, observe o exemplo:
Joana emprestou R$ 1500,00 de uma instituição bancária para pagar daqui 4 meses, com uma
taxa de 2% a.m. no regime de juros simples. Quanto Joana pagará de juros para instituição
bancária?
Temos que:
2% = 2
100 = 0,02
J = C. i.n
C = 1500
n = 4 meses
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Substituindo na fórmula:
Montante
Com intuito de aprofundar ainda mais sobre o regime de capitalização de juros simples, vamos
abordar o cálculo do montante. 
O montante também é conhecido como valor futuro e na língua inglesa, usa-se Future Value,
indicado nas calculadoras �nanceiras pela tecla FV. O cálculo do montante é a soma do capital
com os juros, ou seja, a partir da seguinte fórmula:
Observe um exemplo do cálculo do montante:
Marcos investiu R$ 10.500,00 a uma taxa simples de 12% a.a., quanto ele terá ao �nal de 12
meses?
Temos que o capital é:
O período é 
 
E a taxa que está ao ano deverá ser convertida ao mês, para que se torne equivalente ao período
da taxa, logo:
Agora, deve-se substituir na fórmula: 
i = 2% a.m =   2
100 = 0,02
J = C. i.n
J = 1500.0,02.4
J = 120,00
M = C(1 + i.n)
C = 10.500
n = 12 meses
i = 12% a. a = 1% a.m  1
100 = 0,01
M = C(1 + i.n)
M = 10 500(1 + 0,01.12)
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o montante será R$ 11 760,00.
Siga em Frente...
Taxa equivalente
Para que possamos compreender sobre taxa equivalente, primeiramente, vamos abordar sobre o
período comercial, qual é utilizado em transações �nanceiras:
1 mês = 30 dias
1 ano = 12 meses 
1 ano = 360 dias
Essas informações serão necessárias para toda nossa disciplina, pois antes de calcular qualquer
fórmula você deve se atentar se o período temporal da taxa de juros (i) e período (n) estão
equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano, o período (n) também deve estar ao ano. 
Se por acaso esses períodos temporais estiverem diferentes, faz-se necessário o cálculo da taxa
equivalente. No regime de capitalização do juros simples a taxa equivalente i_eq é calculada da
seguinte forma: quando a taxa for apresentada numa referência maior que a solicitada, deverá
dividir pela proporção da referência. Quando a taxa for apresentada numa referência menor que a
solicitada, deverá multiplicar pela proporção da referência menor. 
Por exemplo: Carmem emprestou um valor X de seu irmão comprometendo-se a pagar após 4
meses, com uma taxa de 15% a.a. no regime de juros simples. A taxa está equivalente com o
período? Como podemos deixá-la equivalente?
Observe que a taxa de juros está ao ano e o período de tempo está ao mês, logo, faz-se
necessário deixar a taxa equivalente. Para isso, como temos a taxa ao ano, um período de
referência maior que o período ao mês, vamos dividir a taxa por 12. 
Logo, a taxa equivalente será 
Vamos Exercitar?
M = 10 500(1 + 0,12)
M = 10 500(1,12)
M = 11 760
i = 15% a. a =  ieq =
15%
12 = 1,25%a.m
ieq = 1, 25%a.m.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação Davi, que precisa comprar
alguns itens para seu escritório e a loja oferece a seguinte condição de pagamento:
Compras com entrada de 25% do valor à vista e pagamento até 10 dias, sob taxa de juros
simples de 2,7% a.m.
Como Davi realizou uma compra de R$ 800,00, quanto ele irá pagar no prazo �nal? Se você
estivesse no lugar do Davi, como faria para resolver essa situação? Primeiramente, temos que
calcular o valor da entrada, ou seja, 25% de 800:
Como a entrada é R$ 200,00, subtraindo do valor da compra de R$ 800,00, temos que o capital é:
O período é 
E a taxa que está ao mês deverá ser convertida ao dia, para que se torne equivalente ao período
da taxa, logo:
Agora, deve-se substituir na fórmula:
Logo, João pagará no prazo �nal R$ 605,40.
Saiba mais
25% de 800 = 25
100 . 800 = 20000
100 = 200
C = 600
M = C(1 + i.n)
n = 10 dias.
ieq = 2,7% a.m =  
2,7%
30 dias = 0,09% a. d =  
0,09
100 = 0,0009
M = C(1 + i.n)
M = 600(1 + 0,0009.10)
M = 600(1 + 0,009)
M = 600(1,009)
M = 605,40
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para saber mais sobre o regime de capitalização de juros simples leia o artigo Uma breve
introdução à matemática �nanceira: juros simples de José Bonifácio de Araújo Júnior.
Referências
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista
Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
Aula 2
Séries de Juros Simples
Séries de juros simples
Este conteúdoa expansão de negócios lucrativos, �nanciamento de equipamentos, instalações, entre outros, o
que pode compensar no �nal das contas. 
Existem diferentes tipos de �nanciamento, mas o exemplo a ser estudado nesta seção é do
cálculo de parcelas iguais e periódicas no regime de capitação de juros compostos, ou seja, taxa
efetiva.
Cálculo de prestações
Para o cálculo de �nanciamentos com parcelas periódicas e iguais, podemos usar a fórmula do
valor presente:
Onde:
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
 
Tal fórmula apresenta uma vantagem em trabalhar com parcelamentos de número muito grande
de prestações iguais, como 60, 120, 180 parcelas. As parcelas sempre deverão ter vencimentos
periódicos, como mensais, bimestrais, semestrais, entre outros. Vejamos um exemplo:
Ana Alice comprou um aparelho celular em 10 parcelas mensais e iguais de R$ 150,00 sob taxa
efetiva de 2,5% a.m. Qual o valor à vista do aparelho celular?
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
Substituindo os valores na fórmula, temos:
V P = parc. [ 1−(1+i)−n
i ]
V P =?
parc = 150,00
n = 10 parcelas mensais e iguais.
i = 2,5% a.m = 0,025 a.m
VP = parc[ 1−(1+i)−n
i
]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor à vista do aparelho celular é de R$ 1.312,80.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo
valor à vista é R$ 38.000,00. Uma loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais
sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. Nesse cenário, qual é o  valor da parcela dessa proposta de
�nanciamento? 
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
n = 48 parcelas mensais e iguais.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Onde:
AV = V P = 150[ 1−(1+0,025)
−10
0,025 ]
AV = V P = 150[ 1−(1,025)−10
0,025 ]
AV = V P = 150[ 1−0,7812
0,025
]
AV = V P = 150[ 0,2188
0,025 ]
AV = V P = 150 ⋅ 8,752
AV = V P = 1 312,80
V P = AV = R$38.000,00
parc =?
i = 1,51% a.m = 0,0151 a.m
VP = parc[ 1−(1+i)−n
i
]
38.000 = parc[ 1−(1+0,0151)
−48
0,0151 ]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o �nanciamento proposto pelo vendedor resultará em 48 parcelas mensais e iguais a R$
1.118,74.
Saiba mais
Para saber mais sobre �nanciamentos, leia o artigo Matemática �nanceira: uma abordagem
sobre �nanciamentos de Nilo César Costa Fernandes.
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
FERNANDES, N. C. C. Matemática �nanceira: uma abordagem sobre �nanciamentos. Dissertação
(Mestrado em Matemática em Rede Nacional). Centro de Ciências, Universidade Federal do
Ceará, Fortaleza, 2014. 2014. Disponível em: https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso
em: 18 nov. 2023. 
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 2
Valor Presente - Financiamento com Entrada
Valor presente – �nanciamento com entrada
Este conteúdo é um vídeo!
38.000 = parc[ 1−0,4871
0,0151 ]
38.000 = parc[ 0,5129
0,0151
]
38.000 = parc ⋅ 33,9669
parc = 38.000
33,9669 = 1.118,74
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender
conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre �nanciamentos e empréstimos,
bem como o regime de capitalização de juros compostos com entrada. Tais conhecimentos são
aplicados em situações do nosso dia a dia, em �nanciamentos de habitação, móveis, entre
outros. 
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo
valor à vista é R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com
entrada de 20% do valor à vista.
Sendo assim, você deverá apresentar os valores da entrada e das parcelas dessa proposta de
�nanciamento. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Juros compostos no �nanciamento com entrada
Você já sonhou em comprar um carro novo ou casa própria? Muitas pessoas almejam realizar
tais sonhos, assim como outros, e para isso optam pelo �nanciamento para viabilizar as
compras. Porém, é necessário tomar algumas decisões importantes nesse processo de tomada
de decisão e uma delas é escolher entre fazer um �nanciamento com maior entrada ou mais
parcelas. 
Essas decisões, assim como a escolha da taxa de juros, são importantes porque in�uenciam o
valor �nal do �nanciamento. Dependendo do valor �nanciado, escolher entre uma maior entrada
ou mais parcelas pode economizar e muito seu dinheiro. 
Neste sentido, lembre-se que o �nanciamento faz uso, na maioria das vezes, do regime de
capitalização de juros compostos e a utilização do pagamento de uma entrada como parte do
valor �nanciado pode ajudar muito, diminuindo o valor dos juros a serem pagos no �nanciamento
como todo. 
Um exemplo pode ser o da compra de uma casa no valor de R$ 200.000,00, em que a pessoa
pode dar uma entrada de R$ 50.000,00 no ato da contratação, restando �nanciar somente R$
150.000,00 para incidência de juros. 
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a2_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Figura 1 | Financiamento de imóvel. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Financiamento com entrada
Agora que você já compreendeu sobre a importância do pagamento de uma entrada no ato da
contratação de um �nanciamento, vamos conhecer a fórmula que nos auxilia para o cálculo do
valor das parcelas, o valor a ser �nanciado, a taxa de juros e quantidade de parcelas. Para isso,
vamos utilizar a fórmula do valor presente. 
Substituindo “VP" por “AV-E" na equação passaremos a ter a equação que nos auxiliará a resolver
problemas de �nanciamento com entrada, como apresentado a seguir:
Em que:
V P = parc[ 1−(1+i)−n
i ]
AV − E = parc. [
1−(1+i)−n
i ]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
Um exemplo de utilização dessa fórmula pode ser para o cálculo das prestações de um
�nanciamento no valor X com taxa de 1,5% a.m. em 48 parcelas mensais e iguais. 
 
Parcelamento
Quando realizamos um �nanciamento para adquirir algum bem, estamos emprestando um
capital para pagar em parcelas, nesse caso especí�co, iguais e periódicas, com incidência de
juros no regime de capitalização composto. 
Observe um exemplo em que podemos utilizar a fórmula do valor presente com entrada para
cálculo de parcelamentos. 
Lucas vai comprar um computador cujo valor é R$ 5.400,00 em 10 parcelas mensais e iguais, sob
regime de juros compostos de 3,2% a.m. e entrada igual ao valor da parcela. Qual o valor da
entrada?
Extraindo as informações do problema, temos:
Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada, temos:
AV : R$5.400,00
E :?
parc : E
n : 10
i : 3,2 %  a.m = 0,032
AV − E = parc. [ 1−(1+i)−n
i
]
5.400 − E = E ⋅ [ 1−(1+0,032)
−10
0,032 ]
5.400 − E = E ⋅ [ 1−(1,032)
−10
0,032 ]
5.400 − E = E ⋅ [ 1−0,7298
0,032
]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor da entrada será de R$ 571,80.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você deseja �nanciar em 48 vezes
mensais e iguais sob ataxa efetiva de 1,51% a.m. um veículo cujo valor à vista é R$ 38.000,00,
com entrada de 20% do valor à vista.
Sendo assim, você deverá apresentar os valores da entrada e das parcelas dessa proposta de
�nanciamento.
Primeiramente, vamos calcular o valor da entrada:
20% do valor à vista:
Agora que temos o valor da entrada, vamos substituir os valores na fórmula do valor presente
com entrada:
5.400 − E = E ⋅ [ 0,2702
0,032 ]
5.400 − E = E ⋅ [8,4438]
5.400 − E = 8,4438E
5.400 = 8,4438E + E
5.400 = 9,4438E
5.400
9,4438
= E
E = 571,80
E = 20% ⋅ 38.000
E = 0,20 ⋅ 38.000
E = R$7.600,00
V P = R$38.000,00
E = R$7.600,00
parc =?
n = 48
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o �nanciamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas mensais e iguais a R$ 894,99.
Saiba mais
Para saber mais sobre parcelamento, leia a dissertação Matemática Financeira: um
conhecimento necessário e importante para as pessoas de Ido José Schneider.
Referências
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
SANTOS, J. C. Matemática �nanceira. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S/A, 2016,
216 p.
SCHNEIDER, I. J. Matemática �nanceira: um conhecimento importante e necessário para a vida
das pessoas. Dissertação. Mestrado em Educação. Universidade de Passo Fundo, 2008.
Aula 3
Valor Presente - Condições Especiais
i = 1,51 %  a.m = 0,0151 a.m
AV − E = parc[ 1−(1+i)−n
i ]
38.000 − 7.600 = parc[ 1−(1+0,0151)−48
0,0151
]
30.400 = parc[ 1−0,4871
0,0151 ]
30.400 = parc ⋅ 33,9669
parc = 30.400
33,9669 = 894,99
https://secure.upf.br/pdf/2008IdoJoseSchneider.pdf
https://secure.upf.br/pdf/2008IdoJoseSchneider.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Valor presente – condições especiais
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender
conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
Clique aqui para acessar os slides da sua videoaula.
Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais nosso estudo sobre �nanciamentos, mais
especi�camente, quando temos condições especiais, ou seja, período de carência. 
Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere que Joana pretende �nanciar
um veículo no valor de R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51%
a.m. com entrada de R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após 3 meses.
Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas que Joana pagará. Para isso,
vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Juros compostos no �nanciamento com condições especiais
Muitas pessoas acabam optando pelo �nanciamento para aquisição de algum bem, seja ele um
carro, uma casa ou apartamento, entre outros. Porém, a escolha do �nanciamento pode
in�uenciar muito no valor �nal pago. Depende do valor da taxa de juros, quantidade de parcelas e
em alguns casos até �nanciamentos com condições especiais. 
Um exemplo disso é o �nanciamento com período de carência, em que o início dos pagamentos
das parcelas ocorre após determinado tempo (k).
Os juros cobrados no período de carência ocorrem quando a pessoa não paga nenhuma parcela
durante um determinado tempo e depois tal valor é diluído nas demais parcelas. Observe o
esquema a seguir, em que temos o AV como valor à vista e ele é reajustado em função de k -1,
em que k é o período de carência. Após esse período, temos o VP que é o novo valor à vista
reajustado.
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a3_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Um exemplo disso é quando uma pessoa contrata um �nanciamento para pagar a primeira
parcela após 90 dias, ou seja, os juros cobrados nesses 3 meses serão diluídos nas próximas
parcelas mensais. 
Siga em Frente...
Parcelamento
Podemos ter �nanciamentos com período de carência também com valor de entrada no início da
sua contratação. Assim, além do pagamento da primeira parcela iniciar em um prazo maior,
também deve-se dar uma entrada. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
Em que,
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).
E: entrada.
Um exemplo dessa situação seria de uma pessoa que necessita fazer um empréstimo para
comprar uma motocicleta e dará um valor de entrada, mas pagará a primeira parcela mensal
somente após 2 meses, como período de carência. 
 
Período de carência
(AV − E)(1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n
i ]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um �nanciamento com período de
carência, ou seja, considerando juros compostos desde o ato da compra até a primeira parcela,
temos:
 
 
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).
 
Vejamos um exemplo: uma bicicleta no valor de R$ 3.000,00 foi �nanciada por Lucas em 5
parcelas mensais e iguais, sob taxa efetiva de 3% a.m., iniciando os pagamentos após 5 meses
do ato da compra. Sendo assim, qual o valor das parcelas do �nanciamento realizado pelo
Lucas?
Extraindo as informações do problema, temos:
Substituindo os valores na fórmula do �nanciamento com período de carência, temos:
AV (1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n
i ]
AV = R$3 000,00
k = 5 meses
n = 5 parcelas
i = 3 %  a.m = 0,03 a.m
AV (1 + i)k−1 = parc[ 1−(1+i)−n
i
]
3.000(1 + 0,03)5−1 = parc[ 1−(1+0,03)
−5
0,03 ]
3.000(1,03)5−1 = parc[ 1−(1,03)
−5
0,03 ]
3.000(1,03)4 = parc[ 1−(1,03)−5
0,03
]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor de cada parcela será R$ 737,23.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere que Joana pretende �nanciar um veículo
no valor de R$ 38.000,00 em 48 vezes mensais e iguais sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. com
entrada de R$ 7.600,00, pagando a primeira parcela somente após 3 meses.
Considerando tal situação, agora, você deve calcular as parcelas que Joana pagará. 
Extraindo as informações do problema, temos:
n= 48 parcelas
Substituindo na fórmula do valor presente com condições especiais:
3.000 ⋅ 1,1255 = parc[ 1−0,8626
0,03 ]
3.000 ⋅ 1,1255 = parc[ 0,1374
0,03
]
3.376,5 = parc ⋅ 4,58
parc = 3.376,5
4,58
parc = 737,23
AV = R$38.000,00
E = R$7.600,00
k = 3 meses
i = 1,51 %  a.m = 0,0151 a.m
(AV − E)(1 + i)k−1  = parc[ 1−(1+i)−n
i
]
(38.000 − 7.600)(1 + 0,0151)3−1 = parc[ 1−(1+0,0151)
−48
0,0151 ]
30.400 ⋅ 1,0304 = parc[ 1−0,4871
0,0151
]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, esse �nanciamento terá entrada de R$ 7.600,00 e 48 parcelas mensais e iguais de R$
922,20.
Saiba mais
Para saber mais sobre �nanciamentos, acesse o livro Matemática Financeira e Comercial de
Ulysses Sodré.  
Referências
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
PUCCINI, A. L. Matemática �nanceira. Projeto Universidade Aberta, p. 8, 2007.
SODRÉ, U. Matemática comercial e �nanceira. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.
Aula 4
Determinação da Taxa de Juros do Valor Presente
Determinação da taxa de juros do valor presente
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31.324,16 = parc ⋅ 33,9669
parc = 31.324,16
33,9669 = 922,20
http://uel.br/projetos/matessencial/superior/matfin/MatComFin.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprenderá como determinar a taxa de juros num �nanciamento no regime de
capitalização de juros compostos com parcelas iguais e periódicas, tanto pelo método de
Newton-Raphson como pelo uso da calculadora HP12C. 
Para melhor compreender sobre o assunto, suponha que você pretenda �nanciar um veículo com
a mesma taxa de juros que seu amigo usou para comprar um veículo no valor de R$ 30.000,00
em 48 vezes mensais e iguais de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa de juros compostos que foi
aplicada a esse �nanciamento? 
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Valor presente
Quando estamos trabalhando com �nanciamentos no regime de capitalização nos juros
compostos com uma quantidade maior de parcelas periódicas e iguais, fazemos uso da fórmula
do valor presente. Porém, pode haver situações em que temos que determinar a taxa de juros
imposta num �nanciamento. 
Para determinar a taxa de juros compostos de um �nanciamento, fazemos uso das séries
uniformes que têm como base os Métodos Numéricos, ou seja, Métodos Iterativos, pois obtemos
a resposta esperada a partir da repetição de cálculos algumas vezes. 
Um exemplo disso pode ser um �nanciamento em que se tem o valor �nanciado, o valor das
parcelas, quantidade das parcelas periódicas e iguais, mas não se sabe a taxa de juros imposta. 
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a4_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Figura 1 |  Financiamento de um imóvel. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Método para cálculo de taxa no �nanciamento
Um dos métodos numéricos que utilizamos para determinação da taxa num �nanciamento, que
apresentam o menor número de repetições, é o Método de Newton-Raphson. Para sua aplicação,
fazemos uso de uma série de funções, em que:
 
VP: Valor presente
parc: Valor da parcela periódica e igual
:Taxa de juros (chute)ij
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 
Função da taxa de juros compostos:
Função marginal da taxa de juros compostos: 
Função de Newton-Raphson:
A partir das funções acima, vamos conhecer o mecanismo do método:
1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo ( ).
2º passo: substituir i_j na função da taxa de juros compostos f ( ).
Se   então   é a taxa de juros compostos imposta no �nanciamento.
Se    então    não é a taxa de juros compostos imposta no
�nanciamento, vá para o 3º passo.
3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos 
, calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos 
.
4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos (
), da função da taxa de juros compostos f (
) e da função marginal da taxa de juros compostos 
, calcule a próxima taxa de juros compostos (
).
5º passo: com a nova taxa (
), determinada no passo anterior, volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa
fosse a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior.
f(ij) = V P
parc ij + (1 + ij)
−n − 1
f'(ij) = V P
parc
− n(1 + ij)
−n−1
ij+1 = ij −
f(ij)
f '(ij)
ij
ij
|f(ij)| ≤ 0,0001 ij
|f(ij)| > 0, 0001 ij
ij
f'(ij)
ij
ij
f'(ij)
ij+1
ij+1
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Os passos deverão ser repetidos até que 
 
Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa de �nanciamento
Além do método de Newton-Raphson, podemos calcular a taxa de um �nanciamento com
parcelas iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. 
Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento. 
Digita valor presente Tecla CHS e Tecla PV
Digita quantidade de parcelas Tecla n
Digita valor da parcela Tecla PMT
Tecla i
Vejamos um exemplo: um computador custa R$ 2.000,00 e foi parcelado em 12 vezes mensais e
iguais a R$ 260,00, sob taxa de juros compostos. Determine a taxa de juros compostos aplicada
nesse �nanciamento. 
Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:
Digita o valor presente 2000 Tecla CHS e Tecla PV
Digita quantidade de parcelas 12 Tecla n
Digita valor da parcela 260 Tecla PMT
Tecla i
Logo, teremos o valor da taxa igual a 7,6062% a.m.
ij
f'(ij)
ij
ij
f'(ij)
ij+1
ij+1
|f(ij)| ≤ 0,0001
https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, suponha que você pretenda �nanciar um veículo
com a mesma taxa de juros que seu amigo usou para comprar um veículo no valor de R$
30.000,00 em 48 vezes mensais e iguais de R$ 789,89. Sendo assim, qual a taxa de juros
compostos que foi aplicada ao �nanciamento de seu amigo considerando uma taxa para chute
inicial de 2% a.m.? 
Primeiramente, vamos utilizar o Método de Newton-Raphson, em que:
Substituindo na função taxa de juros, temos:
Agora, vamos considerar a função de Newton-Raphson a seguir:
Na sequência fazer as iterações até que tenhamos a condição de 
Bloco 1
  1º 2º 3º
Iterações
1ª 0,02 0,01461 19,7880
2ª 0,0126 0,0268 11,9914
3ª 0,0104 0,0039 9,0687
4ª 0,0100 0,0001 FIM  
Bloco 2
4º
V P = 30000,00
parc = 789,89
ij = 2%a.m = 0,02 a.m
f '(ij) =
V P
parc
− n(1 + ij)
−n−1
f(ij) = 37,98 − 48(1 + ij)
−49
ij+1 = ij −
f(ij)
f'(ij)
|f(ij)| ≤ 0,0001
ij
ij F(ij) F ′(ij)
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
0,0126
0,0104
0,0100
 
De acordo com o quadro, a taxa utilizada na 4ª iteração é aproximadamente 0,01, ou seja, 1%
a.m. 
Podemos também seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:
Digita o valor presente 30 000 Tecla CHS e Tecla PV
Digita quantidade de parcelas 48 Tecla n
Digita valor da parcela 789,89 Tecla PMT
Tecla i
Logo, teremos o valor aproximado da taxa igual a 1% a.m.
Saiba mais
Para saber mais sobre negociação, leia o artigo Utilização do método de Newton-Raphson para
análise de planos de �nanciamento no centro comercial de Abaetetuba-PA de Manuel Costa. 
Referências
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
COSTA, M.; LIMA, R. C.; COSTA, J. F. S. Utilização do método de Newton-Raphson para análise de
planos de �nanciamento no centro comercial de Abaetetuba-PA. Conjecturas, v. 21, n. 6, p. 99-
114, 2021.
GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática �nanceira. Curso de graduação em Administração a
Distância, v. 1, 2014.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 5
Análise de Financiamentos
ij+1
http://conjecturas.org/index.php/edicoes/article/view/291
http://conjecturas.org/index.php/edicoes/article/view/291
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Videoaula de Encerramento
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Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os diferentes tipos de
�nanciamento com o intuito de auxiliar na tomada de decisão que requer a escolha de um tipo de
�nanciamento é necessário abordar os seguintes conceitos:
O �nanciamento no regime de capitalização de juros compostos, com grande quantidade de
parcelas periódicas iguais, deve-se utilizar a seguinte fórmula do valor presente:
 
Onde:
VP: valorpresente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
Se substituirmos o “VP" por “AV-E" na equação, temos a fórmula para resolução de
�nanciamentos com entrada:
Podemos também ter �nanciamentos com período de carência, em que o pagamento da primeira
parcela iniciará em um prazo maior e os juros serão diluídos nas demais parcelas. Nesse caso,
temos a fórmula para cálculo com entrada: 
V P = parc. [ 1−(1+i)−n
i ]
AV − E = parc. [
1−(1+i)−n
i ]
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3enc_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Em que,
VP: valor presente, capital, valor à vista.
parc: parcela, prestações iguais.
n: número total de parcelas, prestações iguais e periódicas.
i: taxa de juros compostos, taxa efetiva.
k: período em que ocorrerá o início do pagamento do �nanciamento (período de carência).
E: entrada.
Para o cálculo de parcelas, valor à vista, taxa e período em um �nanciamento com período de
carência, temos a seguinte fórmula:
 
Continuando os estudos sobre �nanciamento também podemos ter situações que necessitam
do cálculo da taxa de juros. Nesse caso, um dos métodos numéricos que utilizamos, que
apresentam o menor número de repetições, é o Método de Newton-Raphson. 
 
Função da taxa de juros compostos:
Função marginal da taxa de juros compostos: 
Função de Newton-Raphson:
A partir das funções acima, deve-se seguir os passos do método até encontrar a taxa adequada
ao problema. 
Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um �nanciamento com
parcelas iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. Observe o passo a
passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento. 
Digita valor presente Tecla CHS e Tecla PV
(AV − E)(1 + i)k−1 = parc. [ 1−(1+i)−n
i ]
f(ij) = V P
parc
ij + (1 + ij)
−n − 1
f'(ij) = V P
parc − n(1 + ij)
−n−1
ij+1 = ij −
f(ij)
f '(ij)
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Digita quantidade de parcelas Tecla n
Digita valor da parcela Tecla PMT
Tecla i
Logo, nesta unidade abordamos sobre tipos de aplicações da fórmula do valor presente em
�nanciamentos, bem como suas principais características. 
É Hora de Praticar!
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Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!
Raquel e Luís estão reformando sua casa e realizaram uma compra de materiais de construção
que foi �nanciada em 12 parcelas mensais e iguais de R$ 370,50, com taxa de juros compostos
de 4,3% a.m. e entrada de R$ 300,00. Sendo assim, qual é o valor à vista da compra desse casal?
Após os estudos realizados, responda:
Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?
Você extrai as informações de forma correta dos problemas?
Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode
te ajudar?
 
Clique aqui e acesse os slides do Dê o play!
Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:
Substituindo os valores na fórmula do valor presente com entrada:
AV =?
E = 300,00
parc : 370,50
n : 12
i : 4,3 %  a.m = 0,043
AV − E = parc[ 1−(1+i)
−n
i ]
AV = parc[ 1−(1+i)−n
i ]+ E
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Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor à vista da compra foi de R$ 3.717,23.
Figura 1 | Mapa mental - análise de �nanciamentos
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9,
2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,
2020.
,
AV = 370,50[ 1−(1+0,043)
−12
0,043 ]+ 300
AV = 370,50[ 1−0,6034
0,043
]+ 300
AV = 370,50[ 0,3966
0,043 ]+ 300
AV = 370,50[ 0,3966
0,043 ]+ 300
AV = 370,50 ⋅ 9,2233 + 300
AV = 3.417,23 + 300
AV = 3.717,23
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Unidade 4
Investimento
Aula 1
Valor Futuro - Aplicações
Valor futuro e aplicações
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conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você se aprofundará nos estudos relacionados a investimentos, desde sua de�nição,
utilização e como podemos usar fórmulas matemáticas para calcular investimentos com
depósitos periódicos e iguais. 
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você fez uma aplicação para utilizar o
dinheiro em uma viagem. Sendo assim, qual foi resultado de uma aplicação mensal de R$
20.000,00, durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de 1,20% a.m.?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Investimentos
Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é um investimento, que é considerando
qualquer valor capaz de gerar um lucro, seja em um período de curto, médio ou longo prazo.
As pessoas optam por investir seu dinheiro para adquirir algo no futuro, seja uma viagem,
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Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
compra um imóvel ou móvel, para ter rendimentos, rendas, entre outros. Um investimento é toda
aplicação de dinheiro visando ganhos. Vejamos alguns exemplos de aplicação:
Caderneta de poupança.
Fundos.
Ações.
Antes de escolher um investimento, faz-se necessário planejar e estudar os demais tipos de
investimentos existentes no mercado. Para isso, alguns conceitos discutidos na Matemática
Financeira podem contribuir bastante. 
Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Cálculo do valor futuro
Ao trabalharmos com investimentos, podemos utilizar o cálculo do valor futuro, que está
embasado no resultado de uma aplicação com depósitos iguais e periódicos. Para determinar o
valor futuro, usamos a seguinte fórmula matemática:
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Em que:
VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.
dep: refere-se ao valor do depósito.
n: número total de depósitos periódicos e iguais.
i: taxa de juros compostos. 
Um exemplo disso pode ser uma pessoa que queira aplicar um determinado valor sempre no
mesmo dia, em uma aplicação que renda um valor x de taxa de juros compostos. Após um
determinado período de depósitos, se obtém o valor �nal, ou seja, o valor futuro. 
Resultado de aplicações
Para encontrarmos o resultado de uma aplicação, ou seja, o valor futuro, ou valor de depósitos
periódicos e iguais, ou período, fazemos uso da fórmula do valor futuro. Para melhor
compreender, observe um exemplo:
Em uma determinada instituição �nanceira, uma aplicação que paga uma taxa de juros
compostos de 1,2% a.m. após dois anos apresentou um valor futuro de R$ 8.839,27. Sendo
assim, qual o valor dos depósitos mensais e iguais que foram realizados nesse período?
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
n: 24 depósitos periódicos e iguais.
Substituindo na fórmula:
Temos, 
VF = dep. [ (1+i)n−1
i ]
V F :  R$ 8. 839, 27
dep :?
V F = dep[ (1+i)
n
−1
i ]
8 839,27 = dep[ (1+0,012)
24
−1
0,012 ]
8 839,27 = dep[ 0,3315
0,012
]
8 839,27 = dep ⋅ 27,6250
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor de cada depósito foi de R$ 319,97.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você fez uma aplicação para realização
de uma viagem. Sendo assim, qual foi resultadode uma aplicação mensal de R$ 20.000,00,
durante 3 anos sob regime de juros compostos e taxa de 1,20% a.m.?
Primeiramente, vamos extrair os valores do problema:
VF: Resultado �nal da aplicação.
dep: R$ 20.000,00 por mês.
n: 36 depósitos periódicos e iguais, pois trata-se de depósitos mensais durante três anos.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Temos,
Logo, o resultado da aplicação �nal é de R$ 894.000,00.
Saiba mais
Para saber mais sobre investimentos, leia o artigo Análise de investimentos de Luiz Henrique
Figueira Marquezan.
dep = 8 839,27
27,6250
= 319,97
V F = dep[ (1+i)n−1
i
]
i : 1,20% a.m
VF = 20.000[ (1+0,012)
36
−1
0,012 ]
V F = 20.000[ 1,5364−1
0,012 ]
V F = 20.000 ⋅ 44,70
V F = R$894.000,00
https://periodicos.ufsm.br/contabilidade/article/view/21
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Referências
ASSAF NETO, A.. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:
Editora Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MARQUEZAN, L. H. F.; BRONDANI, G. Análise de investimentos. Revista eletrônica de
contabilidade, v. 3, n. 1, p. 35-35, 2006.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 2
Determinação da Taxa de Juros do Valor Futuro
Determinação da taxa de juros do valor futuro
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender
conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais seu conhecimento sobre os investimentos, sejam eles
para compra de um veículo, um imóvel, entre outros. Você vai também compreender sobre como
calcular o valor da taxa de juros imposta em um rendimento e fazer uso da calculado HP – 12C
para seu cálculo. 
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que o dono de uma multinacional pretende
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4a2_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante seis meses. Sabendo
que essa mesma aplicação resultou, num período de quatro meses, no valor de R$ 48.763,64,
depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de juros dessa aplicação?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Taxa de juros no investimento
Quando estamos pensando em fazer um investimento, é necessário estar ciente da in�uência do
cenário econômico, assim como a taxa de juros também pode impactar diretamente a sua
estrutura. Além disso, a taxa de juros é bastante utilizada no mercado de crédito como um todo,
por esse motivo é importante estar atento às suas variações.
Compreender e conseguir determinar a taxa de juros pode contribuir para melhores resultados
nas aplicações �nanceiras, já que ela afeta de maneira direta a rentabilidade da maioria dos
investimentos disponibilizados no mercado. 
Um exemplo disso pode ser de duas �nanceiras oferecendo taxas de juros distintas; mesmo que
o valor da diferença entre ela seja pequeno, opte sempre pela menor e as melhores condições,
pois isso pode impactar o seu rendimento futuro. 
Figura 1 | Taxa de juros no investimento. Fonte: Freepik.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Siga em Frente...
Métodos para o cálculo de taxa
Muitas vezes necessitamos determinar a taxa imposta em investimentos. Nesse caso, podemos
fazer uso do Método de Newton-Raphson para valor futuro, o qual apresenta o menor número de
iterações. Para sua aplicação, fazemos uso de uma série de funções, em que:
VF: valor futuro
parc: valor do depósito periódico e igual
: taxa de juros (chute)
 
Função da taxa de juros compostos:
Função marginal da taxa de juros compostos:
Função de Newton-Raphson:
Mecanismo do método:
1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo 
Se 
ij
f(ij) = V F
dep ij − (1 + ij)
n
+ 1
f'(ij) = V F
dep − n(1 + ij)
n−1
ij+1 = ij −
f(ij)
f'(ij)
(ij)
ij
f(ij)
|f(ij)| ≤ 0,0001
ij
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Se 
3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos 
4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos 
5º passo: com a nova 
Os passos deverão ser repetidos até que:
Exemplo disso é quando pretende saber qual o valor dos depósitos periódicos e iguais, as
quantidades das parcelas e o resultado da aplicação.
 
Utilização da calculadora HP para cálculo da taxa de
investimento
Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com
depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. 
Observe o passo a passo na HP12C para cálculo da taxa de juros num �nanciamento.
|f(ij)| > 0,0001
ij
ij
f'(ij)
(ij)
f(ij)
f'(ij)
(ij+1)
(i(j+ 1))
|f(ij)| ≤ 0,0001
https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Digita valor futuro Tecla CHS e Tecla FV
Digita quantidade de depósitos Tecla n
Digita valor do depósito Tecla PMT
Tecla i
Observe um exemplo:
João Lucas depositou todos os meses, durante 15 meses, o valor de R$ 2.000,00 em um
investimento. Esse investimento resultou um montante �nal de R$ 34.586,83. Qual é a taxa de
juros compostos paga por essa aplicação?
Podemos seguir o passo a passo abaixo para resolver pela HP12C:
Digita o valor futuro 34 586,83 Tecla CHS e Tecla FV
Digita quantidade de depósitos 15 Tecla n
Digita valor do depósito 2 000 Tecla PMT
Tecla i
Logo, teremos o valor da taxa igual a 2% a.m.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que o dono de uma multinacional pretende
fazer uma reforma, mas para isso vai aplicar R$ 10.000,00 por mês, durante seis meses. Sabendo
que essa mesma aplicação resultou, em um período de quatro meses, o valor de R$ 48.763,64,
depositando R$ 12.000,00 por mês, qual é a taxa de juros dessa aplicação?
1ª Etapa: determinando a taxa de juros compostos da aplicação:
n: 4
dep: R$ 12.000,00/mês
Substituindo na função da taxa de juros compostos, temos?
V F : R$48.763,64
ij
f(ij) =
V F
dep
ij − (1 + ij)
n + 1
f(ij) =
48.763,64
12.000 ij − (1 + ij)
4 + 1
f(ij) = 4,0636ij − (1 + ij)
4
+ 1
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Substituindo na função da taxa de juros compostos
Substituindo na função da taxa de juros compostos
Observe na tabela como �ca as iterações:
 
Bloco 1
  1º 2º 3º
Iterações
1ª 0,02 -0,0012 -0,1812
2ª 0,0134 -0,0002 -0,0992
3ª 0,0114 -0,0001 FIM 9,0687
Bloco 2
4º
0,0134
0,0114
0,0100
Logo, a taxa imposta nesse investimento é de 1,14% a.m.
Saiba mais
Para saber mais sobre investimentos, leia a dissertação O efeito dos atributos dos mercados na
escolha de investimentos de Simone Hilário da Silva Brasileiro.
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo:
f'(ij) =
V F
dep
− n(1 + ij)
n−1
f'(ij) = 4,0636 − 4(1 + ij)
3
ij+1 = ij −
f(ij)
f'(ij)
ij F(ij) F ′(ij)
ij+1
http://ppggo.sistemasph.com.br/images/documentos/dissertacoes/2016/SIMONE_HILARIO_DA_SILVA_BRASILEIRO.pdf
http://ppggo.sistemasph.com.br/images/documentos/dissertacoes/2016/SIMONE_HILARIO_DA_SILVA_BRASILEIRO.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Editora Atlas, 2012.
BRASILEIRO, S. H. S. et al. O efeito dos atributos dos mercados na escolha de investimentos.
2018.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 3
Amortização
Amortização
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Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender
conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você conhecerá sobre os sistemas de amortização para �nanciamentos, seja de um
imóvel, um carro, entre outros. Abordaremos suas principais características, assim como vamos
aprender a realizar cálculos para o sistema SAC e PRICE.  
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você vai �nanciar uma obra em 4
parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que o sistema
de amortização é o SAC e o valor �nanciado é de R$ 306.000,00, qual valor das parcelas? 
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4a3_mat_finan_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos Começar!
Sistemas de amortização
É muito comum as pessoas optarem por �nanciamentos para compra da sua casa própria, carro,
para realizar uma viagem, algum item para sua casa, entre outros. Muito se discute sobre valores
abusivos de juros que podem ser cobrados em alguns �nanciamentos, por isso é necessário
conhecer e compreender os tipos de �nanciamentos para optar pelo melhor cenário. 
No Brasil, para �nanciamentos, de uma forma geral, podemos utilizar diversos métodos, mas em
especí�co, nesta aula, abordaremos sobre os dois métodos de amortização da dívida de
compra: 
SAC (Sistema de Amortização Constante).
PRICE (Sistema Francês de Amortização).
Um exemplo desses métodos pode ser o �nanciamento de uma casa pela SAC e um carro pelo
sistema PRICE.
Figura 1 | Financiamento de um automóvel. Fonte: Freepik.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Siga em Frente...
Sistema SAC
O SAC - Sistema de Amortização Constante tem como característica a diminuição do valor das
parcelas ao longo do tempo. Para o cálculo de suas parcelas temos que primeiramente calcular o
valor da amortização, pois a parcela será composta sempre pela mesma amortização, a�nal ela
é constante, mais o valor dos juros. 
 
Fórmula para cálculo da Amortização 
Em que,
Am: Amortização
VP: Valor presente
n: Quantidade parcelas
 
Fórmula para cálculo da Parcela 
Em que,
Am: amortização
: valor da parcela
: juros
 
Fórmula para cálculo dos Juros 
Em que,
i: taxa de juros
 
Am
Am = V P
n
Pk
Pk = Am+ Jk
Pk
Jk
Jk
Jk = Dk−1. i
Jk
Dk−1
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fórmula para cálculo da Dívida 
Em que,
: dívida atual
: dívida
Am: amortização
Um exemplo desse tipo de sistema é para �nanciamento de compra de imóveis.
 
Sistema PRICE
O PRICE – Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas serem iguais.
Tem maior aplicação em �nanciamentos de veículos.
Fórmula para cálculo da Parcela: 
Em que,
parc: valor da parcela
VP: valor presente
n: quantidade parcelas
i: taxa de juros
Fórmula para cálculo da Amortização 
Em que,
Amk: amortização
parc: valor da parcela
: valor dos juros
 
Dk
Dk+1 = Dk −Am
D(k+ 1)
Dk
parc =
V P .i.(1+i)n
(1+i)
n
−1
Am
Amk = parc− Jk
Jk
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fórmula para cálculo dos Juros 
Em que:
: juros
: dívida anterior
I: taxa de juros
Fórmula para cálculo da Dívida 
Em que,
: dívida anterior
: dívida
Amk: amortização
Um exemplo desse tipo de método são �nanciamentos de veículos, em que as parcelas são
constantes ao longo de todo �nanciamento.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você vai �nanciar uma obra em 4
parcelas trimestrais sob regime de juros compostos e taxa de 3,66% a.t. Sabendo que o sistema
de amortização é o SAC e o valor �nanciado é de R$ 306.000,00, qual valor das parcelas? 
Dívida ( ) Amortização
(Am)
Juros ( ) Parcela ( )
306 000,00 76 500,00    
229 500,00 76 500,00 11 199,60 87 699,60
153 000,00 76 500,00 8 399,70 84 899,70
76 500,00 76 500,00 5 599,80 82 099,80
0,00 76 500,00 2 799,90 79 288,90
  306 000,00   333 999,00
Jk
Jk = Dk−1. i
Jk
Dk−1
Dk
Dk = Dk−1 −Amk
Dk−1
Dk
Dk
Dk+1 = Dk −Am
Am = V P
n
Jk
Jk = Dk−1. i
Pk
Pk = Am+  Jk
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para melhor compreender a nossa tabela:
Observe que a nossa dívida inicial  =306 000.
Para calcularmos a amortização (coluna II), dividimos o valor do �nanciamento por R$
306.000,00 pela quantidade de parcelas (4).
Na terceira coluna, temos que o cálculo dos juros será a multiplicação da dívida anterior
pela taxa de juros. 
E, por �m, na quarta coluna, somamos a amortização e valor dos juros para determinação
do valor das parcelas. 
Sendo assim, o valor das parcelas será R$ 87.699,60; R$ 84.899,70; R$ 82.099,80; R$ 79.288,90;
R$ 333.999,00.
Saiba mais
Para saber mais sobre �nanciamentos, leia o artigo SAC ou PRICE? de Debora Borges Ferreira. 
Referências
ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
FERREIRA, D. B. Sac ou PRICE? Revista do Professor de Matemática, n. 85, p. 42-45, SBM, Rio de
Janeiro, 2014.
FERNANDES, N. C. C. Matemática �nanceira: uma abordagem sobre �nanciamentos. 2014.
Disponível em: https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588. Acesso em: 18 nov. 2023. 
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
 
Aula 4
Método Hamburguês
Método Hamburguês
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Dk
https://rpm.org.br/rpm/img/conteudo/files/85_SAC%20ou%20PRICE.pdf
https://repositorio.ufc.br/handle/riufc/9588
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprenderá sobre o cheque especial, bem como utilizar o método hamburguês
para calcular valor de juros do cheque especial. Para melhor compreender sobre o tema, imagine
que você controla todo �uxo de caixa de uma empresa. Observe o extrato bancário:
Data Histórico Movimento Saldo
01 Transporte   1.000,00 +
03 Clientes 400.000,00 +  
05 Fornecedores 150.000,00 -  
05 Funcionários 100.000,00 -  
10 Encargos �scais 170.000,00 -  
13 Clientes 50.000,00 +  
15 Pagamento de
reforma
17.541,51 -   
22 Pagamento de
manutenção
20.000,00 -  
28 Pagamento de
material de
construção
85.000,00 -  
30 Clientes 100.000,00 +  
30 Juros do cheque
especial
   
A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao dia. Qual
o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa
no último dia do mês?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
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Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos Começar!
Conta garantida
Muitas pessoas acabam tendo dúvidas sobre o que é uma conta garantida, pois trata-se de um
empréstimo rotativo destinado às empresas clientes da instituição �nanceira. O dinheiro �ca
disponível da conta bancária do cliente e a empresa, de acordo com o limite contratado, pode
fazer seu uso para suprir eventuais necessidades de �uxo de caixa.
Porém, quando o dinheiro é utilizado, são cobrados valores de juros que incidem somente sobre
os valores utilizados nos dias úteis, sendo debitados mensalmente da conta garantida e o limite
utilizado pode ser coberto a qualquer momento, por meio de créditos na conta garantida.
Podemos dizer que a conta garantida é quase a mesma coisa quecheque especial, com a
diferença que conta garantida é um produto especí�co para pessoas jurídicas. É comum
também, na pessoa jurídica, que a conta garantida seja separada da conta da pessoa física. 
Um exemplo de conta garantida é quando uma empresa faz uso do dinheiro disponibilizado pela
instituição bancária para pagamentos de salários e depois de alguns dias cobre esse dinheiro e
mais o adicional dos juros pelo período utilizado.
Figura 1 | Empréstimo bancário. Fonte: Freepik.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Siga em Frente...
Cheque especial
Hoje em dia, com tantos imprevistos, muitas vezes, o nosso dinheiro não é su�ciente para sanar
as despesas do mês, bem como podem aparecer alguns gastos de emergência. Diante desse
contexto, o cheque especial é um tipo de crédito que o banco disponibiliza em sua conta
corrente, como se fosse um empréstimo pré-aprovado que �ca ali disponível diretamente na
conta para usar a qualquer momento.  
Algumas instituições bancárias também oferecem um período no qual aquele limite disponível
pode ser utilizado sem a aplicação de juros, por até 10 dias sem incidência de juros. 
A partir do cheque especial, o limite �ca disponível para usar sempre que a pessoa precisar, fácil
e prático, mas é necessário cautela, pois muitas pessoas cometem o erro de usar o limite do
cheque especial como se fosse uma extensão da conta corrente, o que pode ocasionar num
endividamento fora do controle.
 
Cálculo dos juros do cheque especial
Com intuito de contribuir para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta
garantida, a serem cobrados ao �nal de um período de trinta dias para conta garantida ou cheque
especial, podemos utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:
Em que,
J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.
i: taxa de juros simples ao dia.
IOF: Imposto sobre Operações Financeiras ao dia.
SD: saldo devedor.
d: número de dias em que o saldo devedor (SD) não se altera.
 
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, imagine que você controla todo �uxo de caixa de
uma empresa. Observe o extrato bancário:
Data Histórico Movimento Saldo
01 Transporte   1.000,00 +
J = (i+ IOF)∑SD. d
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
03 Clientes 400.000,00 +  
05 Fornecedores 150.000,00 -  
05 Funcionários 100.000,00 -  
10 Encargos �scais 170.000,00 -  
13 Clientes 50.000,00 +  
15 Pagamento de
reforma
17.541,51 -   
22 Pagamento de
manutenção
20.000,00 -  
28 Pagamento de
material de
construção
85.000,00 -  
30 Clientes 100.000,00 +  
30 Juros do cheque
especial
   
A instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 0,47% a.d. e IOF de 0,07% ao dia. Qual
o valor dos juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa
no último dia do mês?
Ao analisar o extrato bancário, vamos adicionar os valores positivos, subtrair os valores
negativos e quando o saldo �car negativo multiplicar cada valor pela quantidade de dias que o
saldo se manteve negativo.
Sendo assim, temos que:
Substituindo os valores na fórmula:
Logo, os juros a serem cobrados serão de R$ 1.313,01.
∑SD. d = 279 364,08
i = 0,47% a. d = 0,0047 a. d
IOF = 0,07 %  a. d = 0,0007 a. d
J = (i + IOF)∑SD. d
J = (0,0047 + 0,0007 ). 279364,08
J = 0,0047.279364,08
J = R$1.313,01
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Saiba mais
Para saber mais sobre conta garantida e cheque especial, leia o artigo Gestão do capital de giro
de pequenas empresas de Valdineide Santos Araújo.
Referências
ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas. Revista
Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.
ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo: Editora Atlas, 2012.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 5
Investimento
Videoaula de Encerramento
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Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a
investimentos e os diferentes tipos sistemas de amortização a �m de aplicá-los na resolução de
problemas �nanceiros, é necessário abordar os seguintes conceitos:
https://periodicos.unifor.br/rca/article/view/259
https://periodicos.unifor.br/rca/article/view/259
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4enc_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Ao trabalharmos com investimentos com depósitos iguais e periódicos, podemos utilizar o
cálculo do valor futuro, a partir da seguinte fórmula matemática:
Em que:
VF: valor futuro; resultado da aplicação ou investimento.
dep: refere-se ao valor do depósito.
n: número total de depósitos periódicos e iguais.
i: taxa de juros compostos. 
 
Além dessa fórmula do valor futuro, às vezes precisamos determinar a taxa imposta em
investimentos. Nesse caso, podemos fazer uso do Método de Newton-Raphson:
VF: valor futuro.
parc: valor do depósito periódico e igual.
: taxa de juros (chute).
Função da taxa de juros compostos:
Função marginal da taxa de juros compostos:
Função de Newton-Raphson:
Mecanismo do método
1º passo: estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo  .
2º passo: substituir i_j  na função da taxa de juros compostos  .
Se  , então   é a taxa de juros compostos imposta na aplicação.
Se  , então   não é a taxa de juros compostos imposta na aplicação,
vá para o 3º passo.
3º passo: usando o valor da taxa de juros compostos 
VF = dep. [ (1+i)n−1
i ]
ij
f(ij) = V F
dep ij − (1 + ij)
n + 1
f'(ij) = V F
dep
− n(1 + ij)
n−1
ij+1 = ij −
f(ij)
f'(ij)
(ij)
f(ij)
|f(ij)| ≤ 0,0001 ij
|f(ij)| > 0,0001 ij
ij
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
, calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos 
.
4º passo: usando os valores da taxa de juros compostos 
, da função da taxa de juros compostos 
, e da função marginal da taxa de juros compostos 
, calcule a próxima taxa de juros compostos (i_(j+1) ), que deverá substituir a última taxa
que não deu certo.
5º passo: com a nova 
 determinada no passo anterior, volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse
a taxa inicial, esquecendo-se da taxa anterior. 
Os passos deverão ser repetidos até que: 
Além do método de Newton-Raphson podemos calcular a taxa de um investimento com
depósitos iguais e periódicas a partir da utilização da calculadora HP-12C. 
Agora, em nosso dia a dia, podemos optar por diversos tipos de �nanciamentos, dois deles são o
SAC e o PRICE. O SAC – Sistema de Amortização Constante tem como característica ter suas
parcelas num comportamento decrescente, ou seja, as parcelas diminuem ao longo do tempo. 
Já o PRICE – Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas serem
iguais. Tem maior aplicação em �nanciamentos de veículos.
E, por �m, para o cálculo dos juros do uso do cheque especial e da conta garantida, a serem
cobrados ao �nal de um período de trinta dias para conta garantida ou cheque especial, podemos
utilizar o método hamburguês a partir da seguinte fórmula:
f'(ij)
(ij)
f(ij)
f'(ij)
(i(j+ 1))
ij
f'(ij)
(ij)
f(ij)
f'(ij)
(i(j+ 1))
|f(ij)| ≤ 0,0001
https://www.vichinsky.com.br/hp12c/hp12c.php
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Em que,
J: juros a serem cobrados pelo uso da conta garantida ou cheque especial.
i: taxa de juros simples ao dia.
IOF: Imposto sobre operações �nanceiras ao dia.
SD: Saldo devedor.
d: número dedias em que o saldo devedor (SD) não se altera.
É Hora de Praticar!
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Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!
Carlos pretende realizar uma viagem cujo custo é de R$ 6.400,00. Ele tem R$ 450,00 para aplicar
mensalmente num investimento, que paga uma taxa de juros compostos de 1,07% a.m. Sendo
assim, quantos depósitos mensais deverão ser feitos para atingir o valor da viagem? 
Ao �nal dos estudos, responda:
Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em casa situação problema?
Você extrai as informações dos problemas de forma correta?
Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode
te ajudar?
Dê o Play!
Clique aqui para acessar os slides do Dê o play!
Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:
VF: R$ 6.400,00
dep: 400,00
n: ?
i: 1,07% a.m = 0,0107 a.m
Substituindo os valores na fórmula, temos:
J = (i+ IOF)∑SD. d
V F = dep[ (1+i)n−1
i ]
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u4_de_o_play_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para tombar expoente, vamos multiplicar por ln
Logo, serão necessários aproximadamente 13 meses de depósitos para atingir o valor
necessário para a viagem. 
Figura 1 | Mapa mental - investimentos
ARAÚJO, V. S.; MACHADO, M. A. V. Gestão do capital de giro de pequenas empresas. Revista
Ciências Administrativas, v. 13, n. 1, 2007.
ASSAF NETO, A. Matemática �nanceira e suas aplicações. 12 ed. São Paulo:
Editora Atlas, 2012.
6400 = 450[ (1+0,0107)n−1
0,0107 ]
6400
450
= [ (1,0107)n−1
0,0107
]
14,22.  0,0107 + 1 = (1,0107)n
1,1522 = (1,0107)n
ln1,1522 = ln(1,0107)
n
ln1,1522 = n. ln1,0107
0,1417 = n. 0,0106
n = 0,1417
0,0106
= 13,37
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MOREIRA, Fernando Ricardo et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Bioesfera, v. 6, n.
9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,
2020.é um vídeo!
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Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender
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Ponto de Partida
Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com relação ao regime de capitalização
de juros simples, desde fazer uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o
parcelamento e, por �m, compreender como calcular prestações em situações que envolvem os
juros simples com e sem entrada.  
Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros simples, considere a situação da
Ana, que para compra de uma máquina nova para sua empresa, parcelou em 3 vezes mensais
uma quantia de R$ 4.500,00 com taxa de juros simples de 5% a.m. Determine o valor de cada
https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/656
https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/656
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1a2_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
parcela que Ana vai pagar. 
Antes de resolver o problema da Ana, vamos realizar um estudo sobre parcelamento!
Vamos Começar!
Parcelamento
Muitas vezes, você, ao comprar um móvel, imóvel ou qualquer outra coisa �nanciada, precisa
calcular o valor das parcelas a serem pagas. Você já viu o seguinte tipo de anúncio: Taxa de juros
de 0,89%! Saberia veri�car se o valor da parcela pago pelo produto foi calculado exatamente com
essa taxa de juros? 
Para isso, vamos aprender o conceito de séries, que utilizamos em situações que envolvem
parcelamento e prestações. Essa fórmula das séries deve ser aplicada em problemas que
envolvam poucas parcelas. 
As séries de juros simples são compostas a partir da equação geral do montante de juros
simples, da seguinte forma:
Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos montantes (M) e o valor à vista de
uma compra é o capital, temos:
Logo,
Tal que:
Então:
Tal que,
M = C(1 + i.n)
C = M
(1+i.n) 
C1 = M1/(1 + i.n1)′′′′;C2 = M2
(1+i.n2) 
;… ;Cj =
Mj
(1+i.nj) 
C = C1 + C2 +…+ Cj
C = M1
(1+i.n1) 
+ M2
(1+i.n2) 
+…+
Mj
(1+i.nj) 
C = ∑j
j=1
Mj
(1+i.nj) 
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
C: capital
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
Siga em Frente...
Juros simples no parcelamento
Quando pretendemos trabalhar com parcelamento no regime de capitalização de juros simples,
deve-se utilizar a fórmula de série:
Tal que C refere-se ao capital, M é o resultado do montante (parcelas), i o valor da taxa de juros, n
o período de cada parcela. Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir: 
João pretende comprar uma televisão em 2 vezes mensais e iguais, tal que o preço à vista é R$
740,00. Se o parcelamento será realizado sob a taxa de juros simples de 4% a.m., qual o valor das
parcelas?
Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas iguais a M (Cada uma delas vale
M). Como são mensais, ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que
equivale ao capital (C) é igual a R$ 740,00.
A taxa de juros simples é igual a i = 4% a.m. Lembre-se que, conforme vimos na seção anterior,
temos que transformar a taxa percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.
Aplicando a equação da série de juros simples:
 
C = ∑j
j=1
Mj
(1+i.nj) 
C = ∑j
j=1
Mj
(1+i.nj) 
M
1+0,04∙1
+ M
1+0,04∙2
= 740
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos colocar o M em evidência,
Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.
Séries de juros simples
Utilizamos a série de juros simples em situações que necessitam do cálculo de prestações e
parcelamentos, em tal regime de capitalização. Agora, vamos continuar abordando este tema,
porém quando temos o pagamento de uma entrada, na seguinte fórmula: 
Tal que,
AV: valor à vista
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
E: valor da entrada
Observe um exemplo:
Uma impressora está em promoção com duas parcelas iguais a R$ 400,00, vencendo em dois
meses, com entrada de R$ 200,00. Sabendo que esses valores foram obtidos sob taxa de juros
simples de 60% a.a., determine o valor à vista da impressora.
( 1
1,04 + 1
1,08 )M = 740
(0,9615 + 0,9259)M = 740
1,8874M = 740
M = 740
1,8874 = 392,07
AV − E = ∑j
j=1
Mj
(1+i.nj) 
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Primeiramente, temos que deixar nossa taxa equivalente, uma vez que está ao ano e precisamos
passar para ao mês.
Na sequência, é preciso substituir os valores na fórmula da série de juros simples com entrada.
Portanto, o valor à vista da impressora é R$ 911,47.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da Ana, que parcelou em 3
vezes mensais uma quantia de R$ 4.500,00, com taxa de juros simples de 5% a.m., para compra
de uma máquina nova para sua empresa. Determine o valor de cada parcela que Ana vai pagar. 
Logo, Ana pagará R$ 1.647,69 em cada parcela. 
Saiba mais
Para saber mais sobre parcelamento e séries de juros simples, leia o artigo Sistema de
prestações constantes no regime de juros simples de Clovis de Faro e Gerson Lachtermacher.
Referências
ieq =
60%
12 = 5% a.m
AV − E = ∑j
j=1
Mj
(1+i.nj) 
AV − 200 = 400
1+0,0⋅2 + 400
1+0,05⋅3
AV = 400
1,1 + 400
1,15 + 200
AV = 363,64 + 347,83 + 200
AV = 911,47
C = ∑j
j=1
Mj
1+inj
4500 = M
1+0,05⋅1
+ M
1+0,05⋅2
+ M
1+0,05⋅3
https://repositorio.fgv.br/bitstreams/ce78d8b3-706c-41eb-af25-612cbcde4883/download
https://repositorio.fgv.br/bitstreams/ce78d8b3-706c-41eb-af25-612cbcde4883/download
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
FARO, C.; LACHTERMACHER, G. Sistema de prestações constantes no regime de juros simples.
Revista Estudos e Negócios Academics, v. 3, n. 5, p. 3-13, 2023.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
 
Aula 3
Juros compostos e Taxa Equivalente
Juros compostos e taxa equivalente
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conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você vai conhecer o regime de capitalização de juros compostos, que difere do
regime de capitalização de juros simples, pois considera o resgate dos juros a cada período. Os
juros são calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de juros varia
exponencialmente em função do tempo. 
Para colocar em prática o cálculo do montante dos juros compostos, considere a situação da
Alana que comprou um aparelho celular no valor de R$ 900,00 e irá pagá-lo no prazo de 2 meses,
a partir da seguinte condição de pagamento:
Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob taxa de juros compostos de
42,58% a.a.
Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no �nal dos 2 meses? Antes de resolver
essa situação, vamos abordar os conceitos relacionados ao regime de capitalização de juros
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1a3_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
compostos, desde cálculo do montante e taxa equivalente. 
Vamos Começar!
Juros compostos
O juro composto é calculado sobre o montante relativo ao período anterior, em que os juros são
incorporados, a cada período de capitalização, ao principal. Para seu cálculo também
utilizaremos as seguintes nomenclaturas:Capital (C): quantidade de recurso �nanceiro disponível ou exigido no ato de uma operação
�nanceira, compra ou aplicação. O capital também é denominado como valor presente (VP)
e valor atual (VA).
Montante (M): também denominado como valor futuro (VF), é o resultado futuro de
operações �nanceiras realizadas com o capital.
Juros (J): são as compensações �nanceiras nas operações realizadas, representando um
acréscimo.
Taxa (i): taxa de juros aplicadas sobre o capital (C).
Período (prazo) (n): período de tempo da incidência da taxa de juros sobre o capital (C).
Os juros compostos são bem mais utilizados que juros simples em nosso dia a dia,
especialmente em aplicações, investimentos, empréstimos, cálculos de prestações,
�nanciamentos, entre outros.
Geralmente, nas mais diversas situações, temos que considerar o prazo n de acordo com a
unidade de tempo da taxa, ou vice-versa, o que se faz necessário calcular as taxas equivalentes
para diferentes períodos.
Montante
Quando pretendemos trabalhar com cálculo do montante, o resultado futuro de operações
�nanceiras realizadas com o capital, no regime de capitalização de juros compostos, é calculado
por meio da fórmula do montante:
Em que: 
M: montante ou valor futuro
C: capital ou valor presente
i: taxa de juros
n: período de tempo ou prazo da operação �nanceira
M = C. (1 + i) n
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Observe o exemplo a seguir para melhor compreender o cálculo do montante para regime de
capitalização de juros compostos. 
Sonia emprestou R$ 1.000,00 de uma instituição bancária a uma taxa de juros compostos de 4%
a.m. (ao mês), para pagar após dois meses. Determine o valor que ela pagará no �nal para
instituição bancária. 
Substituindo os valores na fórmula do montante,
Siga em Frente...
Taxa equivalente
As taxas equivalentes são as taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes do
prazo da operação �nanceira, ou vice-versa. Quando estas são aplicadas a um mesmo principal
durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado, no regime de juros
compostos. Para isso, no período comercial, sempre devemos considerar o seguinte:
M = C(1 + i)n
M = 1000(1 + 0,04)2
M = 1000 ⋅ 1,04²
M = 1000 ⋅ 1,0816
M = 1 081,60
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1 ano = 6 bimestres
1 ano = 4 trimestres
1 ano = 3 quadrimestres
1 ano = 2 semestres
1 biênio = 2 anos 
1 triênio = 3 anos
Para o cálculo da taxa equivalente no regime de capitalização dos juros compostos, considere a
seguinte fórmula:
Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou desejado.
Vejamos um exemplo para melhor compreensão: 
Lucas emprestou um valor X para seu irmão a uma taxa de juros compostos de 14% a.a. para
pagar em 12 meses. 
Nesta situação, a taxa de juros está ao ano e o prazo da operação �nanceira está ao mês, logo,
faz-se necessário deixar as taxas equivalentes. Para isso, primeiramente, temos que calcular
com a menor unidade, ou seja, o mês.
A fórmula a ser utilizada será a de taxa equivalente para juros compostos:
Logo, a taxa equivalente a 14% a.a. ao mês será i = 1,1% a.m.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação da Alana que comprou um
aparelho celular no valor de R$ 900,00 e irá pagar no prazo de 2 meses, a partir da seguinte
condição de pagamento:
ieq = (1 + i)
p
a − 1
ieq = (1 + i)
p
a − 1
ieq = (1 + 0,14)1/12 − 1
ieq = (1,14)1/12 − 1
ieq = (1,14)
0,0833
− 1
ieq = 1,011 − 1
ieq = 0,011 a.m
ieq = 1,1 %  a.m
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Compras com pagamento entre 30 e 60 dias, sem entrada, sob taxa de juros compostos de
42,58% a.a.
Diante disso, quanto Alana pagará no aparelho celular no �nal dos 2 meses?
Considerando as informações extraídas do problema, antes de calcularmos o montante,
devemos deixar a taxa i = 42,58% a.a. equivalente ao mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de
taxa equivalente de juros compostos:
Em que, 
i = 42,58% a.a. = 0,4258 a.a.
a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.
p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
ieq = (1 + i) 
p
a − 1
ieq = (1 + i)p/a − 1
ieq = (1 + 0,4258)1/12 − 1
ieq = (1,4258)1/12 − 1
ieq = (1,4258)0,0833 − 1
ieq = 1,0300 − 1
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3% a.m., ou seja, i = 0,03 a.m. Substituindo os valores na
fórmula do montante:
Portanto, o valor a ser pago após 2 meses por Alana será de R$ 954,81.
Saiba mais
Para saber mais sobre o regime de capitalização dos juros compostos leia o artigo Sistema de
Juros Compostos de Wilson de Oliveira. 
Referências
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,
2020.
Aula 4
Séries de Juros Compostos
Série de juros compostos
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ieq = 0,0300 a.m
ieq = 3 %  a.m
M = C(1 + i)n
M = 900(1 + 0,03)2
M = 900 ⋅ 1,0609
M = R$954,81
https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/635
https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/635
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você vai aprofundar ainda mais seus estudos com relação ao regime de capitalização
de juros compostos, desde fazer uma discussão sobre empréstimos, os juros simples e o
parcelamento e, por �m, compreender como calcular prestações em situações que envolvem os
juros compostos com e sem entrada.  
Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros compostos, considere a condição
de pagamento da loja MM:
Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros compostos de 56% a.a.
Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo que vai pagar três parcelas
mensais de R$ 500,00? Vamos lá!
 
M=7401,8861=392,34Vamos Começar!
Parcelamento
Com os juros simples, para o cálculo de parcelamento em juros compostos também vamos
utilizar as séries. Em situações que envolvem parcelamento, prestações em pequenas
quantidades, vamos utilizar a fórmula das séries. Para cálculos com quantidades maiores de
parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual veremos mais adiante em nosso livro. 
Considerando que cada parcela ou prestação são pequenos montantes (M) e o valor à vista de
uma compra é o capital, temos:
M = C. (1 + i) n
C = M
(1+i) n
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Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo,
Tal que:
Então:
 
Tal que,
C: capital
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
Juros compostos no parcelamento
Conforme vimos na seção anterior, quando pretendemos trabalhar com parcelamento no regime
de capitalização de juros compostos deve-se utilizar a fórmula de série:
Tal que C refere-se ao capital, M é o resultando do montante (parcelas), i o valor da taxa de juros,
n o período de cada parcela. Para melhor compreender, observe o exemplo a seguir: 
Carla pretende comprar um equipamento eletrônico que custa R$ 740,00. Ela vai pagar em duas
parcelas mensais e iguais. Sabendo que o parcelamento será realizado sob a taxa de juros
compostos de 4% a.m., determine o valor das parcelas.
Neste caso, temos 2 vezes iguais e mensais, ou seja, 2 parcelas iguais a M (cada uma delas vale
M). Como são mensais, ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra e o valor à vista que
equivale ao capital (C)é igual a R$ 740,00.
A taxa de juro composto é igual a i = 4% a.m. Lembre-se, que conforme vimos na seção anterior,
temos que transformar a taxa percentual para unitária, ou seja, i = 0,04 a.m.
C1 = M1
(1+i) n1
;C2 = M2
(1+i) n2
;… ;Cj =
Mj
(1+i) nj
C = C1 + C2 +…+ Cj
C = M1
(1+i) n1
+ M2
(1+i) n2
+…+
Mj
(1+i) nj
C = ∑j
j=1
Mj
(1+i) 
nj
C = ∑j
j=1
Mj
(1+i) nj
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aplicando a equação da série de juros compostos:
 
Vamos colocar o M em evidência,
Portanto, serão duas parcelas mensais e iguais a R$ 392,07.
Siga em Frente...
Séries de juros compostos
Agora, vamos continuar abordando este tema, porém quando temos o pagamento de uma
entrada, na seguinte fórmula: 
C = ∑j
j=1
M
(1+i)
n
740 = M
(1+0,04)
1 + M
(1+0,04)
2
740 = M
(1,04)
1 + M
(1,04)
2
( 1
1,04 + 1
1,0816 )M = 740
(0,9615 + 0,9246)M = 740
1,8861M = 740
M = 740
1,8861 = 392,34
AV − E = ∑j
j=1
Mj
(1+i)nj
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
 
Tal que,
AV: valor à vista
M: montante (parcelas)
i: taxa de juros
n: período de cada parcela
E: valor da entrada
Observe um exemplo:
Raquel comprou um móvel que custa R$ 900,00 e terá que pagar 25% do valor à vista de entrada
e mais 2 parcelas iguais e mensais, sob taxa de juros compostos de 3,6% a.m. Qual valor de cada
parcela?
Temos que,
AV = R$ 900,00
E = 25% de 900 = 225
i = 3,6% a.m = 0,0360 a.m.
Substituindo os valores na fórmula da série de juros compostos com entrada, temos:
 
Colocando o M em evidência,
AV − E = ∑j
j=1
Mj
(1+i)nj
900 − 225 = M
(1+0,0360)1
+ M
(1+0,0360)2
675 = M
1,0360
+ M
1,0733
( 1
1,0360
+ 1
1,0733
)M = 675
(0,9653 + 0,9317)M = 675
1,8970M = 675
M = 675
1,8970
M = R$355,82
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Portanto, Raquel pagará uma entrada de R$ 225,00 e mais duas parcelas de R$ 355,82.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática o cálculo de parcelamento com juros compostos, considere a condição
de pagamento da loja MM:
Compras parceladas em até 6 vezes com taxa de juros compostos de 56% a.a.
Neste sentido, qual valor da compra realizada pela Melissa, sabendo que vai pagar três parcelas
mensais de R$ 500,00? Vamos lá!
Considerando as informações do problema, antes de calcularmos o valor da compra, devemos
deixar a taxa i = 56% a.a. equivalente ao mês. Para isso, vamos utilizar a fórmula de taxa
equivalente de juros compostos:
Em que, 
i = 56% a.a. = 0,56 a.a.
a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.
p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.
Substituindo,
 
Sendo assim, a taxa utilizada será i = 3,77% a.m., ou seja, i = 0,0377 a.m. Substituindo na fórmula
das séries dos juros compostos, temos:
ieq = (1 + i) 
p
a − 1
ieq = (1 + i)
p
a − 1
ieq = (1 + 0,56)
1
12 − 1
ieq = (1,56)0,0833 − 1
ieq = 1,0377 − 1
ieq = 0,0377
ieq = 3,77% a.m.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor da compra foi de R$ 1.393,64.
Saiba mais
Para saber mais sobre a série de juros compostos, leia o artigo Matemática �nanceira: juros
compostos de José Bonifácio de Araújo Júnior.
Referências
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Matemática �nanceira: juros compostos. Revista Processus
Multidisciplinar, v. 1, n. 2, p. 46-51, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,
2020.
Aula 5
Juros e Parcelamentos - Conceitos Básicos
Videoaula de Encerramento
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C = ∑j
j=1
M
(1+i)
n
C = 500
(1+0,0377)1
+ 500
(1+0,0377)2
+ 500
(1+0,0377)3
C = 500
(1,0377)1
+ 500
(1,0377)2
+ 500
(1,0377)3
C = 500
1,0377
+ 500
1,0768
+ 500
1,1174
C = 481,83 + 464,34 + 447,47
C = 1.393,64
https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/657
https://periodicos.processus.com.br/index.php/multi/article/view/657
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Ponto de Chegada
Olá, estudante!
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a
juros e parcelamento para aplicá-los na resolução de problemas �nanceiros, é preciso diferenciar
os regimes de capitalização de juros simples e compostos. 
Importante ressaltar que quando estamos nos referindo aos juros simples, estamos calculando
os juros sempre sobre o valor do capital inicial, ou seja, eles são obtidos multiplicando a taxa de
juros (i) pelo capital (C) e pelo tempo da aplicação (n), dado pela seguinte fórmula:
Além disso, devemos nos atentar para a taxa equivalente, em que o período temporal da taxa de
juros (i) e período (n) devem estar equivalentes, ou seja, se a taxa de juros (i) está ao ano o
período (n) também deve estar ao ano. 
Quando somamos o capital inicial ao juro aplicado encontramos o valor do montante, que nos
juros simples pode ser calculado a partir da seguinte fórmula:
Ainda no regime de capitalização dos juros simples, podemos calcular valores de prestações
considerando algumas situações de �nanciamento, em que cada parcela ou prestação
corresponde a pequenos montantes (M) e o valor à vista de uma compra é o capital, a partir da
fórmula das séries:
Assim como nos juros simples, também temos diversos pontos a nos atentar sobre os juros
compostos, pois estes são calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de
juros varia exponencialmente em função do tempo, ou seja, a taxa de juros é aplicada a cada
período. 
Para o cálculo do montante (M) nos juros compostos, faz-se uso da seguinte fórmula:
J = C. i.n
M = C(1 + i.n)
C = ∑j
j=1
Mj
(1+i.nj) 
M = C. (1 + i) n
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Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Também deve-se atentar para as taxas equivalentes, pois o período de tempo da taxa de juros
deve ser o mesmo do prazo da operação �nanceira, assim, utiliza-se a seguinte fórmula para o
regime de capitalização de juros compostos:
Em que (a) é o período apresentado e (p) é o período pedido ou desejado.
Por �m, podemos calcular valor de prestações em �nanciamentos com uso da fórmula da série
dos juros compostos, em que cada parcela ou prestação corresponde a pequenos montantes (M)
e o valor à vista de uma compra é o capital.
Essa fórmula deve ser utilizada para situações com pequenas quantidades de parcelas, pois ao
apresentar uma quantidade maior de parcelas faz-se uso da fórmula do valor presente, o qual
será visto mais adiante na disciplina. 
 
É Hora de Praticar!
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A loja de departamento disparou um pan�eto promocional contendo a seguinte informação:
ieq = (1 + i) 
p
a − 1
C = ∑j
j=1
Mj
(1+i) 
nj
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Sabendo que Mônica comprou um produto e vai pagar uma entrada de R$ 200,00 e mais duas
parcelas iguais de R$ 400,00, vencendo em dois meses. Qual o valor à vista deste produto?
Re�ita sobre as perguntas a seguir:
Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?
Você extrai as informações de forma correta dos problemas?
Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode
te ajudar?
 
Bons estudos!
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Primeiramente vamos extrair as informações do problema:
E (entrada) = 200,00M (2 parcelas) = 400,00
Vence em dois meses, então (n) começa em 2 meses. 
AV (valor a vista) = ?
i = 60% a.a. = 0,60 a.a
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u1_de_o_play_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
a = 12; pois a taxa apresentada é ao ano e 1 ano é igual a 12 meses.
p = 1; pois a taxa pedida é ao mês, ou em um mês.
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Logo, temos que a taxa a ser utilizada será i = 3,99% a.m. Agora, vamos utilizar a fórmula das
séries de juros compostos com entrada:
 
 
Substituindo,
Portanto, o valor do produto era R$ 925,60. 
Figura 1 | Mapa mental dos juros e parcelamentos
ieq = (1 + i)p/a − 1
ieq = (1 + 0,6)1/12 − 1
ieq = 1,60,0833 − 1
ieq = 1,0399 − 1
ieq = 0,0399 a.m
ieq = 3,99% a.m
AV − E = ∑j
j=1
Mj
(1+i)
nj
AV − 200 = 400
(1+0,0399)
2 + 400
(1+0,0399)
3
AV = 400
1,0814 + 400
1,1245 + 200
AV = 369,89 + 355,71 + 200
AV = 925,60
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,
2020.
,
Unidade 2
Aplicações dos Conceitos Básicos
Aula 1
Capital de Giro - Desconto Bancário
Capital de giro - desconto bancário
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conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprenderá algumas aplicações de conceitos básicos da Matemática Financeira
como: capital de giro, desconto bancário e valor nominal, os quais podem ser encontrados em
aplicações do nosso cotidiano, como: antecipar recebimentos de títulos para garantir capital de
giro de uma empresa ou até mesmo antecipação de recebimento do 13º salário, entre outros. 
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do Lindolfo que trabalha numa
empresa de telefonia; faltam três dias para ele receber o 13º salário e ele vai solicitar
antecipação desse pagamento para quitar algumas dívidas. O salário de Lindolfo é R$ 1.800,00.
Diante deste contexto, sabendo que uma instituição �nanceira lhe cobrará uma taxa nominal de
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a1_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
0,7% a.d., qual será o valor resgatado por Lindolfo?
Se você estivesse no lugar do Lindolfo, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos
dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Capital de giro
No mercado de trabalho, muitas vezes, é o capital de giro que garante a saúde �nanceira das
empresas. De acordo com Padoveze (2004), o termo “giro” vem da ideia de movimentação
contínua dos principais elementos formadores das transações da empresa, em que ela
basicamente forma seus lucros. 
Em outras palavras, ainda para Pandoveze (2004), da movimentação dos capitais aplicados no
giro é que há a formação tradicional do lucro, ou seja, capital de giro é a terminologia utilizada
para designar os valores investidos no ativo circulante, conjunto de bens e direitos que podem
ser convertidos em dinheiro no considerado ano �scal da empresa.
Segundo Gonçalves (2007), a expressão giro refere-se aos recursos em curto prazo da empresa,
normalmente de�nidos como aqueles capazes de serem convertidos em dinheiro no prazo
máximo de um ano (ciclo operacional) e que o capital de giro demonstra, em sentido amplo, o
valor total dos recursos demandados pela empresa para �nanciar seu ciclo operacional, que
reúne as necessidades circulantes identi�cadas desde a aquisição da matéria-prima até o
recebimento das vendas.
Um exemplo de se obter o capital de giro e uma das formas de gerenciar esse capital é a partir
do desconto bancário, o qual refere-se à obtenção de capital por meio antecipação de títulos, que
podem ser boletos ou promissórias resultantes de vendas ou serviços prestados a clientes que
pagarão numa relação futura.
Desconto bancário
O desconto bancário refere-se à antecipação no período em dias do recebimento de um título,
seja por meio de promissória, boleto, entre outros, realizado por uma instituição �nanceira. Nos
dias atuais, trata-se de uma operação comum entre pessoas jurídicas, que são empresas de
grande, médio e pequeno porte, assim como também pessoas físicas. 
A pessoa jurídica, ou seja, instituição com responsabilidades jurídicas, empresas, associações,
companhias, entre outras, pode realizar antecipações de diversos títulos, veja alguns exemplos:
Promissórias;
Duplicatas;
Boletos;
Cheques;
Faturas de cartão de crédito.
A pessoa física, ou seja, todo indivíduo, homem ou mulher, identi�cado por um CPF (Cadastro de
Pessoa Física), também pode fazer uso dessa operação �nanceira, observe alguns exemplos:
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
13º salário – 1ª e 2ª parcela. 
Restituição de Imposto de Renda.
O recebimento antecipado de títulos não ocorre na sua totalidade, pois a instituição �nanceira
cobra uma taxa administrativa pela realização dessa operação. O desconto bancário refere-se ao
valor resultante da antecipação de um título, ou seja, é a quantia a ser abatida do valor nominal
(valor do título).
Figura 1 | Desconto bancário. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Valor nominal
O valor nominal (N) é denominado como valor do título que será antecipado, e as antecipações
de títulos ocorrem geralmente a poucos dias do vencimento dos títulos, isso para que o valor
resgatado (V_B ) seja o mais próximo do valor nominal (N), ou seja, do valor do título.
A taxa nominal é uma taxa de juros simples, então se necessitarmos convertê-la de mês para dia,
ou de ano para dia, devemos usar o conceito de taxa equivalente em juros simples.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou seja, o
desconto racional, é dado por:
Em que:
N é o valor nominal.
d corresponde a taxa de juros simples ao dia.
n é o período de antecipação.
Agora, para o cálculo do valor resgatado (V_B), que é o valor nominal menos o desconto racional,
fazemos uso da seguinte fórmula:
Para melhor compreender, observe um exemplo:
Ana, gerente de uma loja de roupas, necessita efetuar um pagamento e para isso antecipará o
recebimento de uma duplicada no valor de R$ 1.100,00 vencendo em 7 dias. A instituição
�nanceira que fará a antecipação da duplicata cobra uma taxa nominal administrativa de 17,1%
a.m. Qual valor Ana resgatará pela duplicata?
Primeiramente, temos que uma taxa nominal (d) de 17,1% a.m., mas trabalhamos com taxa
nominal ao dia. Logo, precisamos deixá-la equivalente, lembrando que a taxa nominal é taxa de
juros simples:
Assim, temos:
Substituindo na fórmula do valor resgatado:
D = N ⋅ d ⋅ n
VB = N(1 − dn)
ieq =
0,171
30
= 0,0057 a. d = 0,57% a. d
d = 0,57% a. d
N = R$ 1000,00
n = 7 dias
VB = N(1 − dn)
VB = 1100(1 − 0,0057.7)
VB = 1100(1 − 0,0399)
VB = 1100(0,9601)
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor a ser resgatado por Ana é de R$ 1056,11.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do Lindolfo que trabalha numa
empresa de telefonia e faltam três dias para receber o 13º salário. O salário de Lindolfo é R$
1.800,00 e ele vai antecipar o seu recebimento para pagar algumas dívidas. Diante deste
contexto, sabendo que a instituição �nanceira lhe cobrará uma taxa nominal de 0,7% a.d., qual
será o valor resgatado por Lindolfo? 
A segunda parcela do 13º salário, nesse caso, é título a ser antecipado, então:
N = R$ 1.800,00. 
A instituição cobrauma taxa nominal de 0,7% a.d. = d.
Lindolfo está a três dias de receber a segunda parcela do 13º salário e decide antecipar o seu
recebimento, então n = 3. Substituindo na fórmula do valor resgatado:
Portanto, pela antecipação do 13º salário em 3 dias, Lindolfo receberá R$ 1.762,20.
Saiba mais
Para saber mais sobre capital de giro, leia o artigo Necessidade de capital de giro e sua
aplicabilidade prática de José Bonifácio de Mateus Benatti. 
Referências
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista
Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível em: http://www.esacam.edu.br/jornal. Acesso em:
VB = 1 056,11
VB = N(1 − dn)
VB = 1800(1 − 0,007.3)
VB = 1800(1 − 0,021)
VB = 1800(0,979)
VB = 1762,20
https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/159054/000646253.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/159054/000646253.pdf?sequence=1&isAllowed=y
http://www.esacam.edu.br/jornal
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
04 abr. 2024. 
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 2
Desconto Bancário com IOF
Desconto bancário com IOF
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprofundará ainda mais seus estudos sobre as aplicações de conceitos básicos
da Matemática Financeira como: antecipações de títulos, Imposto sobre Operações Financeiras
(IOF) e títulos de alto porte, os quais podem ser utilizados em antecipações de recebimentos de
clientes. 
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situação do gerente Paulo, que precisa
trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e para isso fará a
antecipação de um título de valore nominal:
Título: R$ 23.650,00
O título vencerá em 17 dias em uma instituição �nanceira que cobra pela transação uma taxa
nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por Paulo?
Se você estivesse no lugar do Paulo, como faria para resolver essa situação? Para isso, vamos
dar início ao nosso estudo!
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a2_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos Começar!
Antecipação de títulos
Nos dias atuais, a antecipação de títulos pode ser uma ferramenta útil para os gestores de
empresas dos mais diversos setores, uma vez que os desa�os na gestão de uma empresa são
inúmeros, sejam eles, fatores internos ou externos, de modo que o planejamento �nanceiro não
ocorre da forma esperada.
A antecipação de títulos consiste em receber de forma antecipada valores de títulos de crédito
como duplicatas, notas promissórias, cheques, entre outros, com vencimentos futuros, para que
a empresa possa ter esse dinheiro em caixa para movimentações �nanceiras. 
Em outras palavras, a antecipação de títulos permite que um valor a ser creditado no futuro seja
realocado para o presente. No caso de um negócio que realiza vendas a prazo, a antecipação de
títulos possibilita acesso aos recursos de maneira imediata, sem ser necessário esperar o
vencimento desses títulos.
Uma observação importante é que as antecipações de títulos ocorrem geralmente a poucos dias
do pagamento dos clientes, isso para que o valor resgatado seja o mais próximo do valor
nominal, ou seja, do valor do título.
Veja um exemplo: João vai receber a primeira parcela do seu 13º salário no dia 30 de novembro,
mas irá antecipar esse recebimento para o dia 10 de novembro, logo ele terá um desconto do
valor nominal devido aos 20 dias de antecipação.
IOF
O Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) foi criado pela Lei nº 5.143, de 1966, com intuito de
substituir o imposto sobre transferência para o exterior. O IOF envolve operações de câmbio,
crédito, seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários.Quando estamos trabalhando com
desconto bancário, antecipação de títulos, promissórias e duplicatas, o IOF se apresenta
conforme a fórmula a seguir:
Em que:
VB: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.
N: valor nominal, valor do título antecipado.
d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.
n: período de antecipação do título, geralmente em dias.
IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.
O Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) foi criado pela Lei nº 5.143, de 1966, com intuito de
substituir o imposto sobre transferência para o exterior. O IOF envolve operações de câmbio,
crédito, seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários.Quando estamos trabalhando com
VB = N [1 − (d+ IOF)n]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
desconto bancário, antecipação de títulos, promissórias e duplicatas, o IOF se apresenta
conforme a fórmula a seguir:
Siga em Frente...
Títulos de alto porte
Os títulos que têm incidência do IOF são denominados como alto porte, identicamente à taxa de
desconto, este percentual é calculado sobre o valor nominal do título juntamente com uma taxa
nominal cobrada no ato da liberação dos recursos, de forma antecipada (SANTOS, 2016).
De acordo com Santos (2016), as operações de desconto praticadas pelas instituições
�nanceiras costumam apresentar encargos �nanceiros, os quais são geralmente cobrados sobre
o valor nominal do título (valor de resgate) e pagos à vista (descontados no momento da
liberação dos recursos).
Vejamos um exemplo de como podemos aplicar o conceito de antecipação em títulos de alto
porte. 
Marina pretende antecipar um título de alto porte no valor de R$ 17.500,00 em 15 dias e
consultou que o valor do resgate seria de R$ 12.000,00. Sabendo que o IOF cobrado foi de 0,05%
a.d., qual a taxa nominal cobrada nessa antecipação?
Primeiramente, vamos utilizar a fórmula da antecipação de títulos com IOF.
Na sequência, vamos extrair as informações do problema:
Depois, vamos substituir os seguintes valores:
VB = N [1 − (d+ IOF)n]
Vb = 12000
N = 17500
d =?
n = 15 dias
IOF = 0, 05% = 0, 0005 a. d.
VB = N [1 − (d+ IOF)n]
12. 000 = 17. 500[1 − (d+ 0, 0005)15]
12.000
17.500 = [1 − (d+ 0, 0005)15]
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Portanto, a taxa nominal cobrada nessa antecipação foi de 1,95% a.d.
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação do gerente Paulo, que precisa
trocar os equipamentos do setor da linha de produção de uma metalúrgica e para isso fará a
antecipação de um título de valor nominal R$ 23.650,00.
O título vencerá em 17 dias em uma instituição �nanceira que cobra pela transação uma taxa
nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Qual será o valor resgatado por Paulo?
Primeiramente, vamos extrair as informações do problema:
Substituindo os valores na fórmula:
0, 7 = [1 − (d+ 0, 0005)15]
0, 7 = [1 − (15d+ 0, 0075)]
0, 7 = [1 − 15d− 0, 0075]
0, 7 = 0, 9925 − 15d
15d = 0, 9925 − 0, 7
15d = 0, 2925
15d = 0, 2925
d = 0,2925
15
d = 0, 0195 a. d
d = 1, 95% a. d
Vb =?
N = 23650
d = 0, 12% a. d = 0, 0012 a. d
n = 17 dias
IOF = 0, 017% = 0, 00017 a. d.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Logo, o valor resgatado será de R$ 23.099,19. 
Saiba mais
Para saber mais sobre IOF, leia o artigo Imposto sobre operações �nanceiras, câmbio e a
novíssima Lei Nº 14.286 de 2021  de Luiz Henrique Nicolau. 
Referências
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista
Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B.S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
GONÇALVES, D. C. Capital de Giro. Disponível em: http://www.esacam.edu.br/jornal. Acesso em:
04 abr. 2024.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4. ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
SANTOS, J. C. Matemática �nanceira. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S/A, 2016,
216 p. 
Aula 3
Taxa Efetiva e Nominal
VB = N [1 − (d+ IOF)n]
VB = 23. 650[1 − (0, 0012 + 0, 00017)17]
VB = 23. 650[1 − (0, 00137)17]
VB = 23. 650[1 − 0, 02329]
VB = 23. 650. 0, 9767
VB = 23099, 19
https://rtrib.abdt.org.br/index.php/rtfp/article/view/581
https://rtrib.abdt.org.br/index.php/rtfp/article/view/581
http://www.esacam.edu.br/jornal
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Taxa efetiva e taxa nominal
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Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo
computador ou pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo
para assistir mesmo sem conexão à internet.
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para você. Nela, você irá aprender
conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você compreenderá sobre a importância da utilização de forma adequada das taxas
equivalentes nos regimes de capitalização de juros simples e juros compostos, ou seja, a taxa
efetiva e taxa nominal. 
Com intuito de aprofundar e aplicar os conceitos vistos, considere a situação de Lilian, que
precisa �nanciar a compra de um equipamento da linha de produção de uma empresa e terá a
seguinte condição de pagamento:
Pagar uma entrada e �nanciar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal
de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.
Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de juros da
proposta de pagamento da Lilian. Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Taxa equivalente
A taxa equivalente, seja no regime de capitalização de juros simples ou compostos, tem como
função adequar a taxa à relação temporal de trabalho.Para uma melhor compreensão, observe
um exemplo:
Se temos uma situação em que as parcelas são mensais, a taxa de juros também precisa estar
ao mês (a.m.). O mesmo ocorre se as parcelas estiverem ao ano (a.a.), logo, é necessário
converter a taxa de juros também ao ano, utilizando os conceitos de taxas equivalentes para
cada regime de capitalização.
Importante relembrar que no período comercial, temos o seguinte:
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a3_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1 mês = 30 dias
1 ano = 12 meses 
1 ano = 360 dias
1 bimestre = 2 meses
1 trimestre = 3 meses
semestre = 6 meses
Sendo assim, a taxa equivalente só altera a relação temporal, pois quando temos alteração de
regime de capitalização de juros simples para compostos, ou vice-versa, trabalhamos com taxa
efetiva ou nominal.
Figura 1 | Cálculo de taxas. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Taxa efetiva
A taxa efetiva refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de tempo do
período de capitalização especí�co para o regime de juros compostos. Para converter uma taxa
nominal em efetiva usa-se a seguinte fórmula:
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias.
d: taxa nominal.
Observe um exemplo:
José vai realizar um �nanciamento em regime de juros compostos, o qual apresentou taxa
nominal de 32% a.a. Qual é a taxa de trabalho desse �nanciamento ao ano?
Como se trata de um �nanciamento em juros compostos, a taxa de trabalho não pode ser a taxa
nominal, pois ela é taxa de juros simples; então deveremos trabalhar com taxa efetiva. Extraindo
informações da situação, temos:
n = 360 dias.
f = 360 dias.
d = 32% = 0,32
Substituindo na fórmula:
Logo, a taxa efetiva para o �nanciamento é 38,24% a.a.
Taxa nominal
A taxa nominal refere-se a uma taxa em que a unidade de tempo é igual à unidade de tempo do
período de capitalização dos juros simples. Para converter uma taxa efetiva em nominal usa-se a
seguinte fórmula:
ief = ( d
n
+ 1)
f
− 1
ief = ( d
n + 1)
f
− 1
ief = ( 0,32
360 + 1)
360
− 1
ief = (0,0009 + 1)360 − 1
ief = 1,3824 − 1
ief = 0,3824 a. a = 38,24% a. a
d = [(ief + 1)
1
f − 1]n
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias.
d: taxa nominal.
: taxa efetiva.
Para melhor compreender, observe um exemplo: 
Alana vai realizar um �nanciamento em regime de juros simples, mas como o parcelamento é a
curto prazo, apresentou taxa efetiva de 27% a.a. Qual é a taxa de trabalho desse �nanciamento
ao ano?
Como se trata de um �nanciamento em juros simples, a taxa de trabalho não pode ser a taxa
efetiva, pois ela é taxa de juros compostos; então deveremos trabalhar com taxa nominal.
n =  360 dias
f = 360 dias
Substituindo na fórmula, temos:
 
Portanto, a taxa de trabalho, que é a taxa nominal é de 25,2% a.a.
ief
  ief = 27% = 0,27
d = [(ief + 1)
1
f − 1]n
d = [(0,27 + 1)
1
360 − 1]360
d = [(1,27)0,0028 − 1]360
d = [1,0007 − 1]360
d = [1,0007 − 1]360
d = 0,0007.360
d = 0,252 a. a
d = 25,2% a. a
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Lilian, que precisa �nanciar
a compra de um equipamento da linha de produção de uma empresa e terá a seguinte condição
de pagamento:
Pagar uma entrada e �nanciar o restante em parcelas mensais e iguais, sob a taxa nominal
de 13,2% a.a. em regime de juros compostos.
Considerando tal situação, agora, você deve apresentar de forma adequada a taxa de juros da
proposta de pagamento da Lilian.
Como a proposta trata de um �nanciamento em parcelas mensais e iguais em regime de juros
compostos, não calcularemos as parcelas com a taxa nominal, pois ela é uma taxa de juros
simples, por isso vamos converter a taxa dada em taxa efetiva ao mês.
n = 360 dias
f = 30 dias
d = 13,2% = 0,132
Substituindo na fórmula, temos: 
Portanto, a taxa de que iremos usar para calcular as parcelas mensais e iguais da proposta, que
é a taxa efetiva, será de 1,21% a.m.
Saiba mais
Para saber mais sobre taxas, acesse o livro Matemática �nanceira de Ernesto Coutinho Puccini.
ief = ( d
n
+ 1)
f
− 1
ief = ( 0,132
360 + 1)
30
− 1
ief = ( 0,132
360 + 1)
30
− 1
ief = (0,0004 + 1)30 − 1
ief = 1,0121 − 1
ief = 0,0121 a.m = 1,21% a.m
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/643232/2/Matem%C3%A1tica%20Financeira%20e%20An%C3%A1lise%20de%20Investimentos.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Referências
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista
Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
PUCCINI, A. L. Matemática �nanceira. Projeto universidade aberta, 2007.
Aula 4
Negociação com Juros Simples e Compostos
Negociação de juros simples e compostos
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conteúdos importantes para a sua formação pro�ssional. Vamos assisti-la? Bons estudos!
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Ponto de Partida
Nesta aula, você aprenderá sobre negociação em regime de juros simples e compostos, bem
como analisar propostas e contrapropostas, aplicando conceitos de séries de ambos os regimes
de capitalização. 
Para melhor compreender sobre o assunto, considere a situaçãode Kátia, que pretende comprar
um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$ 25.670,40 a uma
taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e iguais. A loja fez uma
contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com vencimento a cada 10 dias, sob a
taxa de juros simples de 4% a.d. Considerando isso, qual é o valor de cada parcela da proposta
de Kátia?
Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2a4_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Vamos Começar!
Negociação em juros simples
O ato de negociar faz parte de nossas vidas, pois a partir disso é que adquirimos bens de
consumo dentro de nossas reais possibilidades, sem depreciar o valor real do bem. A
negociação tem como princípio um fundamento básico: o capital numa situação A deve ser o
mesmo numa situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o mesmo do proposto,
independentemente da forma de pagamento e regime de juros.
 = capital numa situação “A”
 = capital numa situação “B”
Podemos ter situações que envolvem o pagamento de entrada, daí temos a seguinte situação:
Observe um exemplo: uma loja de departamento masculina está anunciando um terno por duas
parcelas iguais de R$ 300,00 a cada sete dias, sob regime e taxa de juros simples de 0,035% a.d.
Ricardo tem muito interesse pelo terno e apresentou uma proposta de pagar em três parcelas
iguais, vencendo a cada dez dias, sob a mesma taxa e o mesmo regime imposto pela loja. Qual é
o valor das parcelas propostas pelo Ricardo?
Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta: 
Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 200,67.
CA = CB
CA
CB
AVA = AVB
AVA
AVB
AV Anunciado = AV Proposto
∑j
j=1
MjAnunciada
1+iAnunciadanjAnunciado
= ∑j
j=1
MjProposta
1+iPropostanjProposta
300
(1+0,00035.7)
+ 300
(1+0,00035.14)
= M
(1+0,00035.10)
+ M
(1+0,00035.20)
+ M
(1+0,00035.30)
597,81 = 2,9791M
597,81
2,9791 = M
M = 200,67
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Siga em Frente...
Negociação em juros compostos
Assim como vimos na negociação de juros simples, podemos utilizar os mesmos conceitos para
os juros compostos, com a diferença da utilização da série de juros compostos. 
Exemplo: um aparelho celular está sendo anunciado por duas parcelas mensais e iguais a R$
600,00, sob o regime de juros compostos de 1,8% a.m. Carlos pretende comprar o aparelho
celular, mas ofereceu a seguinte condição: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5 meses, sob
taxa e regime de juros compostos de 2,0% a.m. Qual é o valor das parcelas propostas por Carlos?
Vamos substituir na fórmula a condição anunciada e a condição proposta. 
Logo, o valor de cada parcela proposta por Carlos é R$ 415,91.
 
Negociação em juros simples e compostos
Podemos ter também numa mesma negociação ambos os regimes de capitalização, juros
simples e juros compostos. Veja o exemplo:
Renata está vendendo um aparelho eletrônico por duas parcelas de R$ 150,00 a cada 12 dias,
sob regime e taxa de juros simples de 0,043% a.d. Joana quer pagar em duas parcelas mensais e
AV Anunciado = AV Proposto
∑j
j=1
MjProposta
(1+iProposta)
njProposta = ∑j
j=1
MjProposta
(1+iProposta)
njProposta
600
(1+0,018)
1 + 600
(1+0,018)
2 = M
(1+0,02)
2 + M
(1+0,02)
3 + M
(1+0,02)
5
600
1,018
+ 600
1,0363
= M
1,0404
+ M
1,0612
+ M
1,1041
589,39 + 578,98 = ( 1
1,0404
+ 1
1,0612
+ 1
1,1041
)M
1168,37 = (0,9612 + 0,9423 + 0,9057)M
1168,37 = 2,8092M
1168,37
2,8092 = M
M = 415,91
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
iguais sob regime e taxa de juros compostos de 1,32% a.m. Qual é o valor das parcelas que
Joana está disposta a pagar?
Portanto, o valor das parcelas propostas por Joana é de R$ 151,80. 
Vamos Exercitar?
Para colocar em prática os conceitos vistos, considere a situação de Kátia, que pretende comprar
um carro e ofereceu a seguinte proposta de pagamento: uma entrada de R$ 25.670,40 a uma
taxa de juros efetiva de 1,21% a.m., mais três parcelas mensais e iguais. Mas a loja fez uma
contraproposta de três parcelas iguais a R$ 22.000,00 com vencimento a cada 10 dias, sob a
taxa de juros simples de 0,4% a.d. Considerando isso, qual valor de cada parcela da proposta de
Kátia?
Primeiramente, temos o valor anunciado e valor proposto:
AV Anunciado = AV Proposto
∑j
j=1
MjAnunciada
1+iAnunciadanjAnunciado
= ∑j
j=1
MjProposta
(1+iProposta)
njProposta
150
1+0,00043⋅12
+ 150
1+0,00043⋅24
= M
(1+0,0132)1
+ M
(1+0,0132)2
 297,70 = 1,9611M
M = 297,70
1,9611
M = R$151,80
AV Anunciado = AV Proposto
∑j
j=1
MjAnunciada
1+iAnunciadanjAnunciado
= EProposta +∑j
j=1
MjProposta
(1+iProposta)
njProposta
22.000
1+0,0004⋅10 + 22.000
1+0,0004⋅20 + 22.000
1+0,0004⋅30 =
= 25.670,40 + M
(1+0,0121)1
+ M
(1+0,0121)2
+ M
(1+0,0121)3
65.476,88 = 25.670,40 +M( 1
1,0121 + 1
1,0243 + 1
1,0367 )
65.476,88 − 25.670,40 = M(0,9880 + 0,9763 + 0,9646)
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Portanto, o valor das parcelas propostas é de R$ 13.590,93. 
Saiba mais
Para saber mais sobre negociação, leia o livro Matemática �nanceira de Fernando Guerra e Inder
Jeet Taneja.
Referências
ARAÚJO JÚNIOR, J. B. Uma breve introdução à matemática �nanceira: juros simples. Revista
Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 29-38, 2020.
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
GUERRA, F.; TANEJA, I. J. Matemática Financeira. Curso de graduação em Administração a
Distância, v. 1, 2014.
PADOVEZE, C. L. Contabilidade gerencial: um enfoque em sistema de informação contábil. 4 ed.
São Paulo: Atlas, 2004.
Aula 5
Aplicações dos Conceitos Básicos
Videoaula de Encerramento
39.806,48 = 2,9289M
M = 39.806,48
2,9289
M = R$13.590,93
https://cesad.ufs.br/ORBI/public/uploadCatalago/17372616022012Matematica_Financeira_Aula_1.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender os conceitos relacionados a
descontos e à taxa efetiva e nominal a �m de utilizá-los na resolução de problemas que
envolvam negociações �nanceiras, é necessário elencar os conhecimentos a seguir.
Quando trabalhamos com desconto bancário, nos referimos à antecipação do recebimento de
títulos no período em dias, seja por meio de promissória, boleto, entre outros, realizado por uma
instituição �nanceira.
Para calcularmos o valor do desconto que será aplicado na antecipação de um título, ou seja, o
desconto racional, utilizamos a seguinte fórmula:
Em que:
N: valor nominal.
d: corresponde a taxa de juros simples ao dia.
n: período de antecipação.
Agora, para o cálculo do valor resgatado (
Também podemos trabalhar com desconto bancário de títulos de alto porte, ou seja, com IOF, a
partir da seguinte fórmula:
Em que:
D = N ⋅ d ⋅ n
VB
VB = N(1 − dn)
VB = N [1 − (d+ IOF)n]
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2enc_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
: valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.
N: valor nominal, valor do título antecipado.
d: taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.
n: período de antecipação do título, geralmente em dias.
IOF: Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.
Outro tema importante para área refere-se às conversões das taxas equivalentes, em que a taxa
de juros e o período precisam estar na mesma unidade tempo. Para o regime de juros compostos
utilizamos a taxa efetiva e para sua conversãousa-se a seguinte fórmula:
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias
d: taxa nominal
A taxa nominal refere-se a uma taxa no regime de capitalização dos juros simples. Para
converter uma taxa efetiva em nominal usa-se a seguinte fórmula:
Em que:
n: período da taxa nominal, em dias.
f: período da taxa efetiva, em dias
d: taxa nominal 
: taxa efetiva
Por �m, temos que a negociação tem como princípio um fundamento básico: o capital numa
situação A deve ser o mesmo numa situação B, ou seja, o capital do anúncio tem que ser o
mesmo do proposto, independentemente da forma de pagamento e regime de juros.
Para negociação com anúncio e proposta em juros simples usa-se a fórmula:
Para negociação com anúncio e proposta em juros compostos usa-se a fórmula:
VB
ief = ( d
n
+ 1)
f
− 1
d = [(ief + 1)
1
f − 1]n
ief
AV Anunciado = AV Proposto
∑j
j=1
MjAnunciada
1+iAnunciadanjAnunciado
= ∑j
j=1
MjProposta
1+iPropostanjProposta
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Para negociação com anúncio em juros simples e proposta em juros compostos usa-se a
fórmula:
Importante ressaltar que podemos ter anúncio em juros compostos e proposta em juros simples
também. Tais conceitos vistos nesta unidade além de contribuir para o avanço dos conteúdos da
disciplina também visam contribuir para resolução de problemas do nosso dia a dia.
É Hora de Praticar!
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Agora, você colocará em prática os conceitos vistos nesta unidade. Vamos lá!
Dona Maria alugou um forno para sua padaria e vai pagar duas parcelas mensais e iguais a R$
650,00 sob regime de juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m. Senhor José, dono da padaria
ao lado, também tem interesse em alugar a mesma máquina, mas tem condição para pagar em
três vezes mensais e iguais sob regime de juros compostos e taxa efetiva de 4% a.m. 
Sendo assim, qual o valor de cada parcela Seu José vai pagar?
Após o estudo, re�ita sobre as seguintes perguntas:
Você consegue identi�car qual fórmula utilizar em cada situação-problema?
Você extrai as informações de forma correta dos problemas?
Você consegue identi�car situações do seu dia a dia em nossa disciplina e como ela pode
te ajudar?
 
Dê o Play!
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Primeiramente temos que: 
∑j
j=1
MjProposta
(1+iProposta)
njProposta = ∑j
j=1
MjProposta
(1+iProposta)
njProposta
∑j
j=1
MjAnunciada
1+iAnunciadanjAnunciado
= ∑j
j=1
MjProposta
(1+iProposta)
njProposta
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u2_de_o_play_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Situação A (Anúncio): duas parcelas mensais e iguais a R$ 650,00 sob regime de juros
compostos e taxa efetiva de 4% a.m.
Situação B (Proposta): três vezes mensais e iguais sob regime de juros compostos e taxa
efetiva de 4% a.m. 
Observe que não será necessário converter as taxas, pois temos taxa efetiva no regime de juros
compostos. Neste caso, temos tanto o anúncio quanto a proposta em regime de juros
compostos, então vamos utilizar a seguinte fórmula:
Substituindo os valores, temos:
Logo, o valor de cada parcela da proposta do sr. José é R$ 441,77.
∑j
j=1
MjA
(1+iA)
njA
= ∑j
j=1
MjB
(1+iB)
njB
650
(1+0,04)1
+ 650
(1+0,04)2
= M
(1+0,04)1
+ M
(1+0,04)2
+ M
(1+0,04)3
650
1,04
+ 650
1,0816
= M
1,04
+ M
1,0816
+ M
1,1249
625 + 600,96 = M( 1
1,04
+ 1
1,0816
+ 1
1,1249
)
1.225,96 = M(0,9615 + 0,9246 + 0,8890)
1.225,96 = 2,7751M
M = 1.225,96
2,7751
M = 441,77
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Figura 1 | Mapa mental dos cálculos de juros e parcelamentos (desconto bancário e
taxa efetiva)
CARVALHO, L. C. S.; ELIA, B. S.; DECOTELLI, C. A. Matemática �nanceira aplicada. Rio de Janeiro:
FGV, 2009.
MOREIRA, F. R. et al. Juros: conceitos e aplicações. Enciclopédia Biosfera, v. 6, n. 9, 2010.
OLIVEIRA, W. Sistema de juros compostos. Revista Processus Multidisciplinar, v. 1, n. 1, p. 11-22,
2020.
,
Unidade 3
Análise de Financiamentos
Aula 1
Valor Presente - Financiamento
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Valor presente – �nanciamento
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Ponto de Partida
Nesta aula, você fará uma análise sobre �nanciamentos, sejam eles de um veículo, um imóvel,
entre outros, além de compreender sobre características de um �nanciamento e a utilização da
fórmula do valor presente para seu cálculo. 
Para melhor compreender sobre o assunto, imagine que você deseja �nanciar um veículo cujo
valor à vista é R$ 38.000,00. Uma loja apresentou uma proposta de 48 vezes mensais e iguais
sob a taxa efetiva de 1,51% a.m. 
Qual será o valor da parcela dessa proposta de �nanciamento e como você faria para resolver
essa situação? Para isso, vamos dar início ao nosso estudo!
Vamos Começar!
Juros compostos no �nanciamento com mais parcelas
Em nosso dia a dia, muitas vezes, somos colocados em situações nas quais são oferecidas
diversas formas de pagar alguma compra, como parcelar em valores mensais e iguais uma
geladeira, uma casa, um carro, entre outros. Mas, a�nal, como são realizados os cálculos em
diferentes �nanciamentos?
O �nanciamento tem como base de cálculo a série de juros compostos, que também pode ser
chamado de valor presente. Utilizamos a série de juros compostos quando estamos fazendo
cálculos de parcelas e prestações, mas com quantidades pequenas de parcelas, que não
precisam ser periódicas e nem iguais. 
Já no caso de �nanciamento em juros compostos, com grande quantidade de parcelas
periódicas iguais, fazemos uso da fórmula do valor presente, um caso particular de séries de
https://cm-kls-content.s3.amazonaws.com/202401/ALEXANDRIA/MATEMATICA_FINANCEIRA/PPT/u3a1_mat_fin_1p.pdf
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
juros compostos. O valor presente refere-se ao �nanciamento em juros compostos e por se tratar
de uma relação �nanceira a longo prazo, geralmente, suas parcelas ocorrem em relação mensal.
No cálculo do valor presente, ou seja, no �nanciamento, faz-se uso da taxa de juros compostos, o
que consequentemente nos leva ao uso da taxa efetiva. Por isso, importante ressaltar que a taxa
nominal deve ser convertida para efetiva quando necessário fazer esse tipo de cálculo. 
Um exemplo para compreender sobre o valor presente pode ser situação de um �nanciamento
imobiliário com 300 parcelas iguais e mensais sob uma taxa efetiva de 7,8% a.a. Neste caso,
temos uma quantidade grande de parcelas periódicas e iguais, além de trabalharmos com uma
taxa efetiva.
Figura 1 | Juros. Fonte: Freepik.
Siga em Frente...
Financiamentos
Em nosso cotidiano é comum usar �nanciamentos para aquisição de bens. Um �nanciamento é
quando alguém empresta uma determinada quantia em dinheiro a uma pessoa ou a uma
empresa. Quando acontece um empréstimo de dinheiro, por exemplo, quem empresta cobra uma
porcentagem de juros sobre o valor emprestado, o que exige conhecimento para escolha da
melhor taxa de juros para cada situação. 
É muito comum fazer uso de empréstimos de instituições bancárias, com um período pré-
determinado para sua liquidação e nessas situações o valor dos juros é calculado de acordo com
o valor do empréstimo, bem como conforme a taxa percentual aplicada pelo banco.
Disciplina
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Muito se fala na aquisição de bens sem a necessidade de �nanciamentos, no entanto, tudo
depende do cenário e contexto de cada um, pois muitas vezes se realiza um �nanciamento para