MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA UMA AMOSTRA

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL PARA UMA AMOSTRA
As medidas de tendência central, dão o valor do ponto em torno do qual os dados se distribuem. São medidas de tendência central: a média aritmética, a mediana e a moda.
4.1 Média Aritmética 
Para obter a média aritmética basta somar os valores de todos os dados e dividir o total pelo número deles. Observe a Tabela 4.1.
	Tabela 4.1: Peso, em gramas, de ratos machos da 
	raça Wistar com 30 dias de idade.
	
	50
	62
	70
	 
	 
	86
	60
	64
	
	
	66
	77
	58
	
	
	55
	82
	74
	 
	 
A média aritmética dos dados apresentados na Tabela 4.1 é:
	
A média aritmética indica o centro de gravidade do conjunto de dados. Para entender esta afirmativa, observe a Figura 4.1, que apresenta os dados da Tabela 4.1. Imagine que o eixo das abscissas sejam os braços de uma balança e que cada ponto tenha uma unidade de massa. Para haver equilíbrio, é preciso que o fulcro da balança esteja sob a média, isto é, no ponto em que está a flecha. Assim, a média aritmética é abscissa do centro de gravidade.
 
Figura 4.1: Distribuição de dados sobre o eixo e a respectiva média.
A média, que se indica por 
 (lê-se x- barra) é dada pela soma x1 + x2 + .....+ xn , dividida por n . Escreve-se: 
O símbolo 
 (lê-se somatório de xi , i de 1 a n) indica que todos os valores xi devem ser somados, desde o primeiro xi até o n-ésimo (xn). No exemplo dado na Tabela 4.1os valores seriam:
x1 = 50, x2 = 86, ......x12 = 74 e n = 12. Assim temos:
= 67
4.1 Propriedades da Média Aritmética
A média aritmética possui propriedades interessantes e úteis:
A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada;
Para um dado conjunto de números, a média é única.
A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica.
Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor desta constante. Assim, somando-se 4,5 a cada valor de um conjunto, a média ficará aumentada de 4,5. Analogamente, subtraindo-se de cada valor do conjunto uma constante, ou multiplicando-se ou dividindo-se por ela cada valor do conjunto, a média fica reduzida dessa constante, ou multiplicada ou dividida por ela.
Exemplos:
Tomemos o conjunto: 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12.
Somando 2 a cada um dos valores temos:
12, 16, 15, 17, 18, 20, 14
Verifica-se que a média também apresenta um acréscimo de 2.
Multiplicando por 3 cada um dos valores do conjunto anterior temos:
Verificamos que a média também ficou multiplicada por 3.
A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero:
Por exemplo, a média dos números 2,4 e 6 é:
Subtraindo-se 4 de cada um dos números. Temos:
4.2 Média Ponderada
Consideremos a situação em que um professor informe a sua classe que haverá dois exames, valendo cada um 30% do total de pontos e um exame final valendo 40 %. O cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais dos exames. A fórmula para o cálculo é:
 
 Assim, um estudante que obtém 8 no primeiro exame, 9 no segundo e 9,6 no exame final, terá como média final:
4.3 Média Aritmética em tabelas de distribuição de freqüências
Se os dados estão em uma tabela de distribuição de freqüências, o cálculo da média é feito de outra forma. Considere os dados apresentados na Tabela 4.2.
	
	
	
	Tabela 4.2: Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em quilogramas
	Classe
	Ponto Médio
	Freqüência
	1,5 I— 2,0
	1,75
	3
	2,0 I— 2,5
	2,25
	16
	2,5 I— 3,0
	2,75
	31
	3,0 I— 3,5
	3,25
	34
	3,5 I— 4,0
	3,75
	11
	4,0 I— 4,5
	4,25
	4
	4,5 I— 5,0
	4,75
	1
	 
	 
	 
O número de nascidos vivos nessa amostra é:
 n = 3+16+31+34+11+4+1 = 100
Para obter a média dos pesos ao nascer dos nascidos vivos da amostra, multiplica-se o ponto médio de cada classe pela respectiva freqüência, somam-se os produtos e divide-se a soma por n. Assim, temos:
Considere uma tabela de distribuição de freqüências com k classes. Sejam x1, x2, ....xn os valores dos pontos médios de classe e sejam f1, f2, ....fn as respectivas freqüências, como mostra a Tabela 4.3.
	Tabela 4.3: Uma tabela de distribuição de frequencias 
	 
	DADOS
	 
	FREQUENCIAS
	 
	 
	
	x1
	
	f1
	
	
	
	x2
	
	f2
	
	
	
	.
	
	.
	
	
	
	.
	
	.
	
	
	
	.
	
	.
	
	
	 
	xk
	 
	fk
	 
	 
A média dos dados da Tabela 4.3 é dada pela soma x1f1 + x2f2 + .......+ xkfk dividida por n, isto é:
 onde 
4.4 Mediana da Amostra
Mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto dos dados ordenados.
A mediana divide a amostra em duas partes: uma com números menores ou iguais à mediana, outra com números maiores ou iguais à mediana. Quando o número de dados é impar, existe um único valor na posição central. Esse valor é a mediana. Por exemplo, o conjunto de dados,
{ 3; 5; 9}
tem mediana 5, porque 5 é o valor que está no centro do conjunto, quando os números são escritos em ordem crescente. Quando o número de dados é par, existem dois valores na posição central. A mediana é a média desses dois valores. Por exemplo, o conjunto, 
	{3; 5; 7; 9}
tem a mediana 6, porque 6 é a média de 5 e 7, que estão na posição central dos números ordenados.
Exercício
Calcule a média e a mediana dos dados 42, 3, 9, 5, 7, 9, 1, 9.
	
	Para obter a mediana, é preciso ordenar os dados:
	1, 3, 5, 7,9, 9, 9,42
Como o número de dados é par, a mediana é a média aritmética dos valores 7 e 9 que ocupam a posição central dos dados ordenados. Então a mediana é 8.
4.5 Moda da Amostra
Moda é o valor que ocorre com maior freqüência.
Exemplo:
Determine a moda dos dados 0, 0, 2, 5, 3, 7, 4, 7, 8, 7, 9, 6.
A moda é 7, pois é o valor que ocorre com a maior número de vezes.
Um conjunto de dados pode não ter moda porque nenhum valor se repete maior número de vezes, ou ter duas ou mais modas. Assim, o conjunto de dados
		0, 2, 4, 6, 8, 10
não tem moda e o conjunto
		1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7
tem duas modas: 2 e 4.
Quando uma tabela de distribuição de freqüência apresenta grande quantidade de dados, é importante destacar a classe de maior, freqüência, chamada de classe modal. Essa classe mostra a área em que os dados estão concentrados. Na Tabela 2.7 a classe modal é a classe 3,0 I— 3,5 pois é a classe com a maior freqüência (34).
	
	Tabela 2.7
	
	
	
	
	
	
	Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em quilogramas
	Classe
	Ponto Médio
	Freqüência
	
	
	
	
	
	1,5 I— 2,0
	1,75
	3
	
	
	
	
	
	2,0 I— 2,5
	2,25
	16
	
	
	
	
	
	2,5 I— 3,0
	2,75
	31
	
	
	
	
	
	3,0 I— 3,5
	3,25
	34
	
	
	
	
	
	3,5 I— 4,0
	3,75
	11
	
	
	
	
	
	4,0 I— 4,5
	4,25
	4
	
	
	
	
	
	4,5 I— 5,0
	4,75
	1
	
	
	
	
	
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
A moda também pode ser usada para descrever dados qualitativos. Nesse caso, a moda é a categoria que ocorre com maior freqüência. Observe os dados da Tabela 4.10.
Nesta amostra, o grupo sanguíneo O ocorreu com maior freqüência. Portanto, a moda nessa amostra é o sangue tipo O. 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
onde: wi é o peso da observação de ordem i.
� EMBED Equation.3 ���
_1318071568.unknown
_1318071572.unknown
_1331540350.unknown
_1332312197.unknown
_1333949915.unknown
_1331542157.unknown
_1331543348.unknown
_1331475271.unknown
_1331475683.unknown
_1331540214.unknown
_1331475357.unknown
_1318071573.unknown
_1318071570.unknown
_1318071571.unknown
_1318071569.unknown
_1318071566.unknown
_1318071567.unknown
_1318071565.unknown