11 - PROJEÇÕES ESTEREOGRÁFICAS

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Projeções estereográficas
Apresentação
A projeção estereográfica representa um gráfico do hemisfério inferior para o qual uma variedade 
de dados geológicos pode ser plotada. As projeções estereográficas são usadas em muitos ramos 
diferentes de geologia e podem ser usadas de várias maneiras, além daquelas que serão discutidas 
aqui.
A projeção envolve plotar dados 3D (planares ou linear) em uma superfície 2D (estereografa), onde 
podem ser manipulados e interpretados. Imagine uma esfera com linhas de latitude e longitude 
marcadas nela. Um estereograma é o plano de projeção da metade inferior dessa esfera, ou seja, é 
um gráfico do hemisfério inferior.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá conceituar o que são projeções estereográficas e 
aprenderá como é possível construí-las, além de aplicar essas ferramentas para caracterizar 
formações rochosas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Conceituar projeções estereográficas.•
Construir projeções estereográficas.•
Aplicar projeções estereográficas para caracterizar formações rochosas.•
Desafio
Os problemas geológicos que podem ser resolvidos usando a rede estereográfica são muito 
variados. É possível representar graficamente as orientações de qualquer plano ou linha estrutural e 
as suas relações podem ser obtidas como interseção de planos, planos bissetoriais, ângulos entre 
planos, ângulos entre linhas, ângulos entre linhas e planos, rotação de planos, rotação de linhas, 
etc. Com base no contexto apresentado, deve-se considerar a seguinte situação:
Buscando entender a distribuição tridimensional da estrutura, defina em um estereograma a 
marcação dessa estrutura, bem como o polo dela.
Infográfico
A projeção estereográfica é comparável a outras projeções utilizadas para a construção de mapas 
(projeções cartográficas), nas quais os atributos ou as características geológicas e/ou topográficas 
da superfície da Terra são representados no plano da simbologia convencional.
A projeção estereográfica também é uma projeção de azimute, ou seja, qualquer ponto na 
superfície de uma esfera é projetado em um plano a partir de um ponto fixo.
Neste Infográfico, você vai compreender um pouco mais sobre o conceito das projeções 
estereográficas.
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Conteúdo do livro
A projeção estereográfica significa representar recursos lineares e planares em um diagrama 
bidimensional. A orientação de um plano é representada pela imaginação do plano que passa 
através do centro de uma esfera. A linha de interseção entre o plano e a esfera representará um 
círculo, e este é formalmente conhecido como um grande círculo.
As relações entre planos e linhas estruturais podem ser analisadas aplicando métodos baseados na 
geometria descritiva. No entanto, uma maneira alternativa é usar a projeção estereográfica, por 
meio da qual é possível representar orientações tridimensionais em duas dimensões, dezenas ou 
centenas de orientações de planos, linhas ou planos e linhas.
No capítulo Projeções estereográficas, da obra Geologia estrutural, você conceituará as projeções 
estereográficas, aprenderá como podem construí-las, bem como irá aplicá-las no reconhecimento 
das principais estruturas das formações rochosas. 
Boa leitura.
GEOLOGIA 
ESTRUTURAL 
Márcio Fernandes Leão 
Projeções estereográficas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir projeções estereográficas.
  Desenvolver projeções estereográficas.
  Aplicar projeções estereográficas para caracterizar formações rochosas.
Introdução
A projeção estereográfica soluciona facilmente questões e proble-
mas por meio de relações angulares entre linhas e planos no espaço, 
usando uma projeção de uma esfera sobre um plano, neste caso, em 
duas dimensões com as técnicas tradicionais (manuais), mas também 
em duas ou mesmo três dimensões, com sistemas computacionais 
(software de projeção 2D e 3D). A geologia e suas aplicações, como 
a geologia de engenharia, utilizam a projeção estereográfica como 
solução para estabilidade de taludes, mapeamento geológico super-
ficial e subsuperficial, mineração, entre outros. É aplicada na análise 
de descontinuidades planares (falhas, fraturas, dobras, etc.) e lineares 
(lineações, eixos de dobra, etc.).
Neste capítulo, você vai estudar sobre projeções estereográficas, 
lendo sobre sua construção e aplicação na caracterização de formações 
rochosas. 
1 O que são projeções estereográficas?
As relações entre planos e linhas estruturais podem ser analisadas com a 
aplicação de métodos de geometria descritiva, mas uma alternativa é usar a 
projeção estereográfi ca. Por meio dessas projeções e de um único diagrama, 
é possível representar orientações tridimensionais em duas dimensões e 
dezenas ou centenas de orientações de plano, de linha ou de plano e linha 
(DAVIS, 1984).
A projeção estereográfica é comparável a outras projeções utilizadas para 
a construção de mapas (projeções cartográficas, por exemplo), nas quais os 
atributos ou as características geológicas e/ou topográficas da superfície da 
Terra são representados no plano da simbologia convencional.
Os problemas de geologia estrutural que podem ser resolvidos usando a 
rede estereográfica são muito variados, entre eles estão a representação gráfica 
das orientações de qualquer plano ou de linha estrutural e a obtenção de suas 
relações, como os seguintes:
  interseção de planos;
  interseção de planos bissetoriais;
  interseção de ângulos entre planos;
  interseção de ângulos entre linhas;
  interseção de ângulos entre linhas e planos;
  rotação de planos;
  rotação de linhas.
Em relação às dobras, por exemplo, com a projeção estereográfica é possível 
visualizar a direção e o mergulho dos flancos de um diagrama e obter como 
resultado a orientação média de cada flanco, a linha de charneira, o plano de 
charneira, o ângulo entre os flancos, a direção dos esforços que os originaram, 
entre outros; em relação às falhas, as orientações dos planos e as ranhuras de 
falhas podem ser representadas. As fraturas podem ser analisadas pelo gráfico 
de suas orientações com a rede estereográfica e podem ser obtidas informações 
da família ou das famílias predominantes. Além disso, essas projeções podem 
ser utilizadas para analisar as orientações de superfícies de foliação, de clastos 
imbricados contidos em superfícies de camadas, de linhas minerais, etc.
A importância da rede estereográfica não se limita ao estudo das relações 
geométricas entre planos ou linhas estruturais originadas pela deformação 
das rochas, mas também fornece elementos suficientes para identificar as 
características de orientação das tensões que as originaram (GHOSH, 1993).
Projeções estereográficas2
Para entender a projeção estereográfica, observe a Figura 1, que apresenta 
um bloco esquemático com um plano estrutural inclinado da posição Sul (S) 
30º Leste (E) com inclinação de 60º para Sudoeste (SW). 
Figura 1. Projeção de qualquer plano estrutural.
Fonte: Adaptada de Rubillar (1999). 
Se transferirmos o plano S30°E 60°SW para uma esfera, a interseção 
desse plano com a esfera formará um círculo, que pode ser projetado no plano 
horizontal (plano de projeção) por meio de seu traçado ciclográfico visto do 
zênite, como mostrado na Figura 2a, a seguir. Para representar a orientação 
e a inclinação desse plano em duas dimensões existem duas opções: usar o 
hemisfério superior ou o inferior. Nos dois casos, o plano inclinado pode ser 
projetado no plano de projeção, como mostra a Figura 2b, em que é observada 
a projeção no hemisfério inferior. Na geologia estrutural, é comumente usada 
a projeção de planos inclinados no hemisfério inferior, que é representada 
no plano horizontal ou no equatorial ou no plano de projeção estereográfica, 
como mostra a Figura 2c. A direção desenhada é a projeção estereográfica 
do plano S30°E 60°SW.
3Projeçõesestereográficas
Figura 2. (a) Projeção de qualquer plano estrutural. (b) Projeção de um plano inclinado. (c) 
Representação do plano no plano equatorial ou de projeção estereográfica.
Fonte: Adaptada de Rubilar (1999). 
A projeção estereográfica é uma das muitas formas de projeção utilizadas 
para representar a esfera sobre um plano. Para ajudar o entendimento e a 
visualização desse método e considerando as Figuras 2a e 2b, vamos imaginar 
as seguintes situações: uma esfera oca com um plano diametral horizontal 
transparente; um local para visualização no polo superior em um ponto 
localizado no zênite; um plano inclinado que passa pelo centro da esfera 
Projeções estereográficas4
com atitude Norte (N) 450 Oeste (W)/450SW. Esse plano irá seccionar a 
esfera segundo um círculo. Com o olho no zênite, o plano inclinado é visto 
interceptar duas superfícies, ou seja, o plano horizontal, cuja interseção é 
a direção do plano, e a superfície lateral da esfera, onde a interseção se faz 
segundo um grande círculo.
Na rede estereográfica, um plano estrutural pode ser representado por meio de 
seu traçado ciclográfico ou de seu polo. Essa representação não é a projeção do 
plano, mas a projeção de uma linha perpendicular ao plano que passa pelo centro 
da esfera. A projeção polar é muito útil para lidar com dezenas ou centenas de dados 
(KULLBERG, 1995).
Na geologia estrutural, é possível usar vários tipos de estereodiagramas, 
mas os mais práticos são o estereográfico Sul de ângulo igual ou a rede de 
Wulff (Figura 3a), em que as relações angulares são mantidas iguais; e o 
estereodiagrama da mesma área ou da rede de Schmidt (Figura 3b), em que 
as áreas são mantidas inalteradas. Este último é muito prático para lidar com 
um grande número de polos planos ou de linha e requer contagem estatística, 
pois se houver dispersão, a avaliação e a interpretação se tornam muito difíceis. 
O método utilizado é o chamado diagrama de contorno, no qual a densidade 
estatística é determinada, ou seja, o número de pontos encontrados em uma 
determinada área por meio do falsificador de contagem Kalsbeek (Figura 3c). 
Com isso, é obtida a média de cada orientação da superfície estrutural es-
tudada, que pode ser analisada por meio de gráficos na rede de Wulff ou no 
estereodiagrama de Schmidt.
5Projeções estereográficas
Figura 3. (a) Rede de Wulff. (b) Rede de Schmidt. (c) Falsificador de Kalsbeek.
Fonte: Adaptada de Rubillar (1999).
Na rede de Wulff, as projeções das áreas dos setores definidos pelos círculos máximo 
e mínimo são fortemente deformadas nas bordas em relação ao centro. Quando 
a projeção é feita a partir de numerosos polos, essa distorção impede a fácil visu-
alização da distribuição dos polos e dificulta a contagem para a determinação da 
concentração. Já a rede de Schmidt-Lambert ou de igual área (a área é a mesma 
Projeções estereográficas6
2 Construção de projeções estereográficas
Visualize uma esfera e corte a metade superior. Se você olhar diretamente 
para o eixo vertical do hemisfério, ele parecerá bidimensional. Quando você 
faz isso, está basicamente projetando o hemisfério 3D em um círculo bidimen-
sional. Uma vez que essa projeção seja incorporada à sua mente, tudo o mais 
se encaixará. A projeção estereográfi ca tem relação com a representação de 
planos (planos de acamamento, foliação, falhas, feições cristalinas) e linhas 
(direções de mergulho e mergulho, eixos de dobras, lineações) no círculo 2D. 
Na geologia, sobrepomos a projeção 2D com uma grade de meridianos ou 
grandes círculos (análogos às longitudes), e paralelos ou pequenos círculos 
(análogos às latitudes). Assim, todos os pontos da bússola são representados 
em uma grade de ângulo igual, onde meridianos e paralelos se cruzam em 
ângulos retos.
Na Figura 4, é possível observar as duas condições extremas de projeção: 
a circunferência é realmente o grande círculo de um plano horizontal e o 
oposto é uma linha reta que passa pelo centro que é a projeção de um plano 
vertical de imersão. Assim, mergulhos rasos tendem para a circunferência. 
Tente visualizar isso imaginando a grande mudança de círculo à medida que 
o plano gira da vertical para a horizontal na vista 3D. Na prática, usamos 
uma sobreposição transparente presa ao centro do estereograma e giramos a 
sobreposição de acordo com a orientação de linhas e planos.
dentro de cada equilátero) consiste, basicamente, na projeção de metade do globo 
terrestre sobre um plano que passa pelo centro da esfera terrestre e contém os 
polos Norte e Sul. 
Os meridianos da longitude representam uma família de grandes círculos formados 
por uma série de planos separados de 2 em 20, cada um dos quais passando pelo centro 
e pelos dois polos, Norte e Sul. Os paralelos da latitude representam uma família de 
pequenos círculos, também separados de 2 em 20, formados pela interseção de planos 
paralelos ao plano do Equador e perpendiculares ao eixo Norte-Sul (NS), descrevendo 
semicírculos na semiesfera (LEYSHON; LISLE, 1996).
7Projeções estereográficas
Figura 4. Sequência de marcação de estruturas geológicas em um estereograma.
Fonte: Adaptada de Rubillar (1999).
Para facilitar o entendimento da técnica citada, é necessário definir alguns 
termos geométricos, os quais (PASSCHIER; TROUW, 1996):
  Direção do plano: é dada pela linha de interseção (LI) do plano in-
clinado em questão com o plano horizontal de referência. É tomada 
sempre em relação ao Norte, variando de zero a 90° para E ou para 
W. Se comparada com as coordenadas topográficas, a direção seria o 
rumo, tomado sempre a partir do Norte. É representado pelo ângulo 
beta (β) na Figura 5a.
  Inclinação (ou mergulho do plano): é dada pela reta de máxima incli-
nação (RMI) do plano em questão. É o valor do ângulo entre o plano 
horizontal de referência e a RMI do plano. A reta que define a máxima 
inclinação é perpendicular à direção do plano. O valor da inclinação de 
Projeções estereográficas8
um plano vai de zero a 90°, em que zero grau é o próprio plano horizontal 
e 90° o plano vertical. Na Figura 5a, é representada pelo ângulo alfa (α).
  Direção de inclinação: é dada pela projeção da reta de máximo declive 
do plano inclinado, no plano horizontal de referência. É o valor do 
ângulo formado entre o Norte e a projeção da reta de inclinação do 
plano. É medida sempre a partir do Norte no sentido horário, variando 
de zero a 360°. Se comparada com coordenadas topográficas, a direção 
de inclinação seria o azimute da inclinação, contado sempre do Norte, 
no sentido horário. A reta que define a direção de inclinação também 
é perpendicular à direção do plano. Na Figura 5a, é representada pelo 
ângulo gama (γ).
  Atitude de um plano: é o termo que descreve a orientação de um plano 
pertencente a um maciço terroso ou rochoso, usualmente referenciada 
à direção, à inclinação e à direção de inclinação.
A atitude de um plano tem duas nomenclaturas — a nomenclatura americana, que 
fornece a direção e a inclinação do plano, e a nomenclatura europeia, que fornece a 
inclinação do plano e a direção de inclinação.
Nomenclatura americana Nomenclatura europeia
a.1 — N60°E/30° Sudeste (SE) b.1 — 150°/30°
a.2 — N60°E/30° Noroeste (NW) b.2 — 330°/30°
a.3 — N80°W/52° Nordeste (NE) b.3 — 010°/52°
Nos exemplos a.1, a.2 e a.3, apresentados na Figura 5b e referentes à no-
menclatura americana, na inclinação do plano, deve-se indicar o quadrante 
em que o plano mergulha. No caso do plano com direção N60°E, tanto pode 
inclinar-se para o quadrante SE quanto para o quadrante NW. Isso já não ocorre 
na nomenclatura europeia, pois a projeção da direção de inclinação já indica 
o quadrante em que o plano mergulha. Como a nomenclatura da atitude de 
um plano é questão de preferência do usuário, é possível dizer, então, que um 
9Projeções estereográficas
mesmo plano pode ser representado pelas duas formas. Para isso, é necessário 
apenas transformar a terminologia. Na Figura 5b, pode-se verificar que os 
exemplosa.1 e b.1 referem-se a um mesmo plano; assim como os exemplos 
a.2 e b.2 e a.3 e b.3.
Figura 5. (a) Definição de termos geométricos. (b) Representação de planos segundo as 
nomenclaturas americana e europeia.
Fonte: Adaptada de Park (1997).
Projeções estereográficas10
A transformação de nomenclatura citada é muito fácil de ser executada, é necessário 
apenas que as definições de cada termo geométrico sejam conhecidas e que sejam 
seguidos alguns itens, que são:
  o valor da inclinação é o mesmo para qualquer nomenclatura, basta apenas indicar 
o quadrante de mergulho para a terminologia americana;
  a direção do plano é marcada diametralmente em linha cheia a partir do Norte, 
para Leste ou para Oeste, sempre de forma perpendicular à direção de inclinação;
  a direção de inclinação é marcada de forma pontilhada só no quadrante devido, 
contando a partir do Norte, no sentido horário. É sempre perpendicular à direção 
do plano, sendo traçada de maneira pontilhada no respectivo quadrante.
A linha que define a direção do plano é o diâmetro horizontal do traço desse 
grande círculo que o divide em dois semicírculos simétricos, um no hemisfério 
superior e outro no hemisfério inferior. Em virtude dessa simetria, é necessá-
ria apenas uma semiesfera para a representação das feições estruturais. Em 
geologia de engenharia, convencionou-se a utilização da semiesfera inferior 
(PRICE; COSGROVE, 1990). A projeção da interseção do grande círculo do 
plano sobre o plano horizontal é o estereograma. A atitude de um plano também 
pode ser definida pelo polo do plano. A reta que passa pelo centro de forma 
perpendicular ao plano e intercepta a esfera em dois pontos diametralmente 
opostos é denominada polo do plano. Assim, o polo pertence a uma reta que 
é perpendicular è reta que define a inclinação do plano (Figura 6).
Figura 6. Definição do polo de um plano.
Fonte: Adaptada de Park (1997).
11Projeções estereográficas
O Quadro 1 apresenta os passos a serem seguidos para a construção do 
plano (β).
Nomenclatura americana Nomenclatura europeia
  Girar a folha transparente para 
o lado contrário do dado pela 
direção, no valor de sua direção.
  Procurar o quadrante do mergulho 
no diâmetro Leste/Oeste. 
  Traçar o meridiano correspondente 
de Norte a Sul e preencher o seu 
diâmetro Da borda para o centro 
conta o valor do mergulho. Voltar 
o papel transparente à posição 
original e definir o plano.
  Identificar, sobre a folha 
transparente, o valor da direção 
de inclinação do plano, contado a 
partir do Norte, no sentido horário 
(marcar esse ponto).
  Girar a folha transparente de modo 
a situar o ponto indicado do passo 
anterior sobre o eixo Leste/Oeste.
  Contar o valor da inclinação do 
plano sobre ele mesmo, da borda 
para o centro, determinando o 
meridiano.
  Traçar o meridiano correspondente 
de Norte a Sul e preencher o 
seu diâmetro, voltando o papel 
transparente à posição original, 
ficando definido o plano.
Quadro 1. Construção do plano (β) de acordo com as nomenclaturas americana e euro-
peia
3 Caracterização de maciços rochosos e 
aplicação das projeções estereográficas 
A representação de um plano em projeção estereográfi ca segundo o seu polo 
(Figura 7) é denominado diagrama π (pi). Toda a sequência descrita para 
o traçado do polo é executada sobre o papel transparente. Após seguir essa 
sequência, basta que, a partir desse ponto (meridiano), se determine outro 
ponto, também sobre o eixo Leste/Oeste, distanciado de 90°. Esse ponto é 
defi nido como polo do plano, pois se o polo por defi nição é pertencente à reta 
perpendicular ao plano que passa pelo centro da esfera, as projeções também 
o serão. As vantagens da utilização da representação dos planos segundo o 
diagrama π (pi), fundamentam-se principalmente na facilidade de sua deter-
minação, na não existência de muitos traços que criam confusão na plotagem 
Projeções estereográficas12
de muitos planos e, mais ainda, na análise estatística estrutural, feita também 
sobre os planos plotados (TWISS; MOORES, 1992).
Quando a inclinação de um plano é definida, sabe-se que ela se refere à 
inclinação verdadeira, que é a reta de máximo declive ou de máxima incli-
nação do plano. Essa RMI é, por definição, perpendicular à direção do plano 
(WILSON, 1982). Logo, só existe uma inclinação verdadeira; no entanto, 
existem várias inclinações aparentes ou não verdadeiras dadas por retas não 
perpendiculares à direção e, por sua vez, que formam ângulos menores do que 
a inclinação real do plano. Por meio de um simples procedimento, o processo 
de projeção estereográfica também permite a determinação de inclinações 
aparentes, segundo várias retas que formam vários ângulos com a direção 
do plano em questão. Os passos para a determinação da inclinação aparente 
são os seguintes:
1. Projetar o plano inclinado com base na nomenclatura em que foi conce-
bido, voltando, em seguida, com a folha transparente à posição inicial.
2. Traçar a reta que define a direção sobre a qual se pretende obter a 
inclinação aparente, de modo que o grande círculo do plano inclinado 
projetado seja interceptado.
3. Girar o papel transparente até colocar a interseção do item 2 sobre o 
eixo E/W.
4. Ler a posição dessa interseção sobre a linha E/W, contando da parte 
externa da rede para a parte interna.
Dois planos quaisquer que se interceptam em um maciço rochoso deter-
minam uma reta (linha) interseção que define a atitude da cunha formada 
pelos dois planos (Figura 7). Em formações rochosas, é possível determinar 
a inclinação verdadeira por meio de duas inclinações aparentes. A nomencla-
tura utilizada para a reta de interseção entre dois planos é apenas a europeia. 
Assim, na projeção de uma reta qualquer, ficam definidos o valor da direção 
de inclinação, a direção da reta em relação ao Norte, e o valor da inclinação, 
o ponto do eixo E/W, que localiza de forma gráfica a reta dada na rede de 
projeção. Para isso, os passos a serem seguidos são:
  Plotagem das retas na rede de projeção: marcar o valor da direção de 
inclinação sobre o contorno da rede e, depois, situar essa marca sobre o 
eixo E/W. De fora para dentro sobre o eixo E/W, o valor da inclinação 
é contado e um ponto é obtido.
13Projeções estereográficas
  Determinação da inclinação verdadeira do plano: girar o papel trans-
parente sobre a rede de projeção até que os dois pontos fiquem sobre o 
mesmo meridiano. Traçar esse arco e ler sobre o eixo E/W o valor da 
inclinação verdadeira. Ao voltar a folha transparente à posição original, 
é possível ler o valor da direção de inclinação verdadeira da reta de 
máxima inclinação.
Figura 7. Definição do polo de um plano.
Fonte: Adaptada de Park (1997).
Outro elemento que pode ser definido é a atitude da reta. Ela pode ser 
obtida de duas maneiras, as quais:
  Por meio da interseção: encontrar o ponto de interseção dos dois planos, 
em seguida, rotacionar da folha transparente até posicionar a interseção 
dos dois grandes círculos sobre a linha E/W da rede de projeção. Uma 
vez executada essa etapa, é necessário apenas medir a inclinação a partir 
da parte externa da rede para o centro. Para medir o valor da direção 
de inclinação da reta de interseção, gira-se o papel transparente para a 
posição inicial (polos coincidentes), dessa forma, é possível ler o valor 
do ângulo no sentido horário a partir do Norte.
  Por meio dos polos: girar o papel transparente que contém os dois 
polos até que ambos fiquem posicionados sobre o mesmo meridiano 
da rede de projeção. Esse grande círculo define um plano que contém 
os dois polos. Determina-se o polo, que é o ponto de interseção 
dos dois grandes círculos, desse plano que contém os dois polos, 
Projeções estereográficas14
medindo-se, em seguida, a inclinação do plano, que é o polo sobre 
a linha E/W da rede de projeção. Para medir o valor da direção de 
inclinação da reta de interseção, deve-se girar o papel transparente 
para a posição inicial, e, no sentidohorário, a partir do Norte, conta-
-se o valor do ângulo.
O ângulo diedro é a abertura da cunha formada pela interseção dos dois 
planos. Somado à atitude da reta interseção, esse ângulo define o volume de 
material que constitui a cunha. É medido entre as retas normais aos dois pla-
nos, as quais definem os respectivos polos dos planos. Logo, é preciso apenas 
determinar o ângulo formado entre os dois polos, seguindo os seguintes passos:
a) girar o papel transparente até que os dois polos sejam posicionados 
sobre um mesmo meridiano da rede de projeção;
b) contar as divisões dos paralelos existentes entre os dois polos para 
determinar o ângulo.
No exemplo apresentado na Figura 8, a orientação de um plano de acamamento de 
uma formação rochosa é plotado em uma sobreposição como um grande círculo. 
Com o grande círculo fixado em N, deve-se contar 90° ao longo do eixo W/E, passando 
pelo centro do estereograma: esse ponto é o polo.
Figura 8. Plotando o polo de um plano.
Fonte: Adaptada de Rubillar (1999) .
15Projeções estereográficas
Ainda é possível utilizar os estereogramas para avaliar o tipo de ruptura 
que uma dada formação rochosa possa vir a sofrer. Para isso, podemos usar 
diagramas de contorno dos polos que já aprendemos a plotar.
Por serem estatísticas, essas análises de estabilidade não se prestam para projeto final 
de uma obra, mas sim, como análise preliminar, que vai indicar a necessidade ou não 
de estudos posteriores e os locais mais viáveis para a obra e aconselhar ou não estudos 
posteriores mais minuciosos de ensaios de laboratório e/ou de campo.
Sem abordar detalhes acerca dos processos de instabilização, vamos mostrar 
os principais tipos de ruptura de taludes (Figura 9) relacionados com os 
diagramas de contorno, que são os seguintes:
  Ruptura planar: ocorre em material com estrutura de ampla orientação, 
tal como nos argilitos, nas ardósias e nos filitos. Para que ocorra esse 
tipo de ruptura o plano de ruptura deve interceptar a face do talude, 
portanto, o seu mergulho deve ser menor do que o da face do talude 
(ΨP φ) e a direção do plano deve ter até mais ou 
menos 30°com a direção do talude (Figura 9a).
  Ruptura em cunha: é aquela cujo deslizamento se dá ao longo da LI. Essa 
ruptura é originada pela interseção de duas descontinuidades (Figura 9b). 
Para que essa ruptura ocorra a direção da LI deve ser aproximadamente 
perpendicular (± 30°) à direção do talude; ainclinação da LI deve ser 
menor do que a inclinação do talude; a inclinação da LI deve ser maior 
do que o ângulo de atrito.
  Ruptura por tombamento: ocorre em rochas duras que podem formar estru-
turas colunares, separadas por descontinuidades subverticais (Figura 9c). 
Para que ela ocorra, a direção do talude deve ter até mais ou menos 30° com 
a direção do plano de deslizamento e a inclinação do plano de fratura deve 
ser aproximadamente igual vertical ou mergulhada para dentro do talude.
  Ruptura circular: ocorre em solo superficial (de cobertura), em rocha 
alterada ou muito fraturada com padrão estrutural não identificável 
(Figura 9d). Não é possível fazer a análise dessa ruptura por intermédio 
de projeções estereográficas. 
Projeções estereográficas16
Figura 9. Rupturas em formações rochosas e representação no estereograma.
Fonte: Adaptada de Mattauer (1973) .
A projeção estereográfica é um método poderoso utilizado na resolução 
de problemas relativamente simples ou complicados — relacionados a 
mergulhos e direções de estruturas geológicas — e como uma ferramenta 
analítica para geologia estrutural mais complexa. Existem vários bons 
programas de software e aplicativos para automatizar projeções para 
17Projeções estereográficas
grandes conjuntos de dados. Entretanto, antes de mergulhar nessas fer-
ramentas digitais, tente primeiro uma sobreposição simples; não há nada 
como uma abordagem prática para ajudar a estimular o entendimento da 
metodologia básica.
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WILSON, G. Introduction to small-scale geological structures. Boston: Allen & Unwin, 1982.
Projeções estereográficas18
Dica do professor
Os dados de atitudes em cada flanco de uma dobra podem ser 
plotados como polos ao invés de grandes círculos nos estereogramas. Também podem ser 
localizados no mapa geológico os pontos de junta de cada camada. A linha que liga os pontos de 
charneira deve estar na superfície axial.
No entanto, como a visualização do mapa é horizontal, essa linha corresponde à projeção da 
superfície axial, outra informação importante. O que não se sabe sobre essa estrutura é a 
orientação 
do eixo da dobra e o mergulho do plano axial.
Nesta Dica do Professor, você aprenderá como representar as dobras nos estereogramas, bem 
como os tipos de dobras que se apresentam 
de forma distinta.
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Exercícios
1) Uma lineação de interseção de clivagem com uma foliação de 30/164 é observada em um 
plano de acamamento orientado em 080/30E. A mesma clivagem forma uma lineação de 
interseção 66/012 em uma superfície de junta vertical com tendência para 012.
Com base no contexto apresentado, a orientação da clivagem seria:
A) 170/80E.
B) 120/50E.
C) 110/10E.
D) 170/50E.
E) 1450/60E.
2) Um geólogo mediu as seguintes leituras de acamamento e clivagem para uma sequência de 
rochas calcárias e margas. Ele plotou os polos indicados a seguir dos seguintes acamamentos 
e clivagem:
Acamamento: 
100/10N; 170/26E; 146/17NE; 026/34NW; 066/12NW; 170/32E; 038/20NW; 
052/15NW; 161/19E; 033/25NW
Clivagem: 
110/80N; 114/88N; 116/81N; 117/87NE
Com base no contexto apresentado, pode-se afirmar que o eixo da dobra é:
A) ~90/030.
B) ~10/010.
C) ~30/060.
D) ~10/040.
E) ~10/010.
Carlos Henrique
Realce
Carlos Henrique
Realce
3) Um geólogo mediu as seguintes leituras de acamamento e clivagem para uma sequência de 
rochas sedimentares, conforme a seguir:
Acamamento
168/32W; 116/20SW; 052/44SE; 002/48W.
Clivagem
024/82NW; 031/86SE; 026/90; 028/87SE.
A direção da lineação formada pela interseção entre o acamamento e a clivagem é:
A) ~50/308.
B) ~20/108.
C) ~60/108.
D) ~10/208.
E) ~20/208.
Os planos são medidos usando a direção de strike/dip e a de dip direction. Exemplos de planos são: 
acamamentos, falhas, clivagem, planos axiais de dobras, etc. O strike é a linha da horizontal em um 
plano medido em graus a partir do Norte. O mergulho máximo de um plano é medido em graus a 
partir da horizontal.
Essas estruturas podem ser representadas no estereograma, conforme o exemplo apresentado na 
figura:
4) 
Carlos Henrique
Realce
Com base no estereograma, podemos afirmar que esse corresponde ao plano:
A) 117/33E.
B) 127/43E.
C) 340/33E.
D) 187/23E.
E) 210/33E.
As lineações são medidas usando mergulho/azimute. Exemplos de lineações são: slickensides e 
slickenfibres em uma superfície de falha, eixos de dobra,lineação de alongamento mineral ou crista 
de ondulação. O mergulho de uma lineação é medido a partir da horizontal, variando entre 0-90°. 
Todavia, o azimute é a direção do mergulho, variando de 0-360°.
O estereograma apresentado na figura apresenta uma lineação cuja medida de mergulho/azimute 
é:
5) 
Carlos Henrique
Realce
A) 35/75.
B) 12/230.
C) 79/300.
D) 5/45.
E) 90/360.
Carlos Henrique
Realce
Na prática
A projeção estereográfica é usada na geologia para decifrar as complexidades das rochas 
deformadas, observando as relações entre planos e estruturas lineares, suas tendências e relações 
angulares uma com a outra. Os dados são plotados em um estereograma como grandes círculos e 
pontos (redes Wulff e Schmidt).
Um estereograma pode se tornar muito confuso onde há muitos dados, um verdadeiro labirinto 
aparentemente impenetrável de grandes círculos. É aqui que a representação dos polos dos planos 
ganha destaque.
Este Na Prática apresentará um exemplo de quando há uma estrutura e se deseja representá-la no 
estereograma. Ao invés de marcar o grande círculo, pode-se representar apenas o seu polo, ou seja, 
um único ponto. Essa técnica facilita muito quando há um grande número de estruturas a serem 
plotadas em um estereograma.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Encontrar reta no estereograma
Problemas de geologia estrutural que podem ser resolvidos usando a rede dos estereográficos são 
muito variados. Além disso, entre outras aplicações, eles podem ser analisados em orientações de 
superfícies de foliação, de clastos imbricados contidos em superfícies, estratificação, bandamentos 
minerais, etc. No vídeo a seguir, aprenda a definir, de maneira muito prática, uma reta no 
estereograma.
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Encontrar um plano no estereograma
É possível representar graficamente as orientações de qualquer plano ou linha estrutural, e suas 
relações podem ser obtidas como interseção de planos, planos bissetoriais, ângulos entre planos, 
ângulos entre linhas, ângulos entre linhas e planos, rotação do plano, rotação da linha, etc. Assim, 
no vídeo a seguir, você aprenderá a marcar qualquer tipo de plano geológico no estereograma.
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Uso de software de projeção estereográfica como recurso para a 
aprendizagem significativa em um curso de engenharia de 
petróleo e gás
Este artigo mostra um dos muitos programas que existem para a elaboração automática de 
estereogramas.
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https://periodicos.sbu.unicamp.br/ojs/index.php/td/article/view/8657549/21659