Aula 4 - Projeto de compensador avanco, cascata com LGR

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COMPENSADOR DE AVANÇO
USANDO LGR
PROJETO DE 
COMPENSADORES NO 
DOMÍNIO DO TEMPO
1. Efeito da adição de polos/zeros à FTMA
2. Tipos de compensadores 
3. Compensador em avanço
• Passos de projeto
• Exemplo
4. Compensador em cascata
• Exemplo 
5. Exercícios 
Sumário
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Efeitos de adicionar polos/zeros
à FTMA
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Efeitos de adicionar polos à FTMA
( )
( )
K
G s
s s a
=
+
{ }2,0 2máx =
2 0 2N = − =
ADIÇÃO DE POLOS
(a 0)
. .
2
C G
+
=
FTMA
Construção do LGR
( )
0
180 2 0 1
90º
2
o
ϕ
⋅ +
= = ±
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
( )
( )( )
K
G s
s s a s b
=
+ +
{ }3,0 3máx =
3 0 3N = − =
( )
0
180 2 0 1
60ºe180º
3
o
ϕ
⋅ +
= = ±
(a b 0)
. .
3
C G
+ +
=
Efeitos de adicionar polos à FTMA
ADIÇÃO DE 1 POLO
Construção do LGR
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
( )
( )( )( )
,
K
G s
s s a s b s c
=
+ + +
( )
0
180 2 0 1
45ºe 135º
4
o
ϕ
⋅ +
= = ± ±
{ }4,0 4máx =
4 0 4N = − =
(a b c)
. .
4
C G
+ +
=
Efeitos de adicionar polos à FTMA
ADIÇÃO DE 2 POLO
Construção do LGR
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Item Orig +1 +2 +3 +4
m 0 0 0 0 0
n 2 3 4 5 6
No. Ramos 2 3 4 5 6
No. Assíntotas 2 3 4 5 6
Ângulos Ass.
+-90 +-60,
180
+-45
+-135
+-36
+-108,180
+-30
+-90,+-150
C.G. -a/2 -(a+b)/3 -(a+b+c)/4 -(a+b+c+d)/5 -(a+b+c+d+e)/6
Efeitos de adicionar polos à FTMA
• Número de ramos e assíntotas aumenta
• Os ângulos diminuem
• O C.G. diminui 
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
( )
( )( )
K
G s
s s a s b
=
+ +
( )
( )( )( )
K
G s
s s a s b s c
=
+ + +
Efeitos de adicionar polos à FTMA
ADIÇÃO DE 1 POLO
TESTE
ADIÇÃO DE 2 POLOS
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
( )
( )( )( )( )
K
G s
s s a s b s c s d
=
+ + + +
( )
( )( ) ( )
K
G s
s s a s b s e
=
+ + +⋯
Efeitos de adicionar polos à FTMA
TESTE
ADIÇÃO DE 3 POLOS
ADIÇÃO DE n POLOS
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
( )
( )
( )
K s b
G s
s s a
+
=
+
{ }2,1 2máx =
2 1 2N = − =
( )
0
180 2 0 1
60ºe180º
2
o
ϕ
⋅ +
= = ±
(a 0) b
. .
2
C G
+ −
=
Efeitos de adicionar zeros à FTMA
ADIÇÃO DE 1 ZEROS
FTMA
Construção do LGR
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
( )
( )
( )( )( )
K s b
G s
s s a s c jd s c jd
+
=
+ + + + −
Adicionar Par de zeros complexos
{ }4,1 4máx =
4 1 3N = − =
( )
0
180 2 0 1
60ºe180º
2
o
ϕ
⋅ +
= = ±
{ }(a 2 )
. .
3
c b
C G
+ ℜ −
=
Efeitos de adicionar zeros à FTMA
FTMA
Construção do LGR
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Efeitos de adicionar zeros à FTMA
ADIÇÃO DE 1 ZERO
TESTE
( )
( )
( )
K s b
G s
s s a
+
=
+
ADIÇÃO DE 2 ZEROS
( )
( )( )
( )
K s b s c
G s
s s a
+ +
=
+
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Efeitos de adicionar zeros à FTMA
ADIÇÃO DE 3 ZEROS
TESTE
ADIÇÃO ZEROS 
COMPLEXOS
( )
( )
( ) ( ) ( )
K s b
G s
s s a s c jd s c jd
+
=
+ + + + −
( )
( )( )( )
( )
K s b s c s d
G s
s s a
+ + +
=
+
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Maior valor do polo
desloca mais para 
a esquerda
Efeitos de mover um polo da FTMA
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Maior valor do zero
desloca mais para 
a direita
Efeitos de adicionar ZEROS à FTMA
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Efeitos de adicionar polos/zeros
à FTMA
• Tem o efeito de mover o LGR à direita
• Diminui a estabilidade relativa 
• Aumenta o tempo de estabelecimento
Adicionar polos
Adicionar zeros
• Tem o efeito de mover o LGR à esquerda
• Aumenta a estabilidade relativa 
• Diminui o tempo de estabelecimento
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
COMPENSAÇÃO
• Projetar controladores pode ser visto como um problema 
de projetar filtros
• PD: filtro passa altas
• PI: filtro passa baixas
• PID: filtro passa banda
CONTROLADORES COMPENSADORES
Adicionam 1 ou 2 zeros 
e um polo na origem
Adicionam 1 zero e 1 polo 
fora da origem
Nenhum adiciona um 
polo fora da origem
Podem introduzir uma 
fase positiva/negativa no 
domínio da frequência 
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
COMPENSAÇÃO
CONTROLADORES COMPENSADORES
( ) 1
1
c c
s z
G s K
s p
+
=
+
1 1p z>Avanço:
1 1p z
passa altas 
(avanço de fase)
passa baixas
(atraso de fase)
Filtro
• Os nomes vem das suas características no domínio da frequência
• Projeto no domínio: tempo (LGR) ou frequência (BODE)
• Modifica o LGR adicionado polos/zeros à FT da planta
1 1p z
Compensador de avanço
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
• Se comporta como um filtro passa-altos
• Somente permite adicionar graus positivos
mω
( )c
G s
1 Tα1 T ω
( )c
G s
polozero
( )
1
sin
1
m
α
φ
α
−
=
+
1
m
T
ω
α
=
Compensador de avanço
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
• O máximo ângulo de fase que pode adicionar é:
( )
1
sin
1
m
α
φ
α
−
=
+
• Se apresenta na frequência:
1
m
T
ω
α
=
0.07o
• Valor mínimo:
90o
• Valor máximo:
mΦ
Compensador de avanço
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Projeto do compensador de avanço
Passos
1. Calcular os polos dominantes de MF que vão caracterizar 
a resposta desejada (polos dominantes desejados PDD):
Especificações
do projeto
( )
( ),, , ,
p r d s n
Mp f
t t t t f
ζ
ζ ω
=
=
Equação 
característica (E.C.)
2 22 0n ns sζω ω+ + =
2
1,2
1,2
1
n n
d
s
s j
ζω ω ζ
σ ω
= − ± −
= − ±
PDD
a) b) c)
d) Testar se o LGR passa pelo PDD
Sim: Parar
Não: Continuar
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
1. Calcular os polos dominantes de MF que vão caracterizar 
a resposta desejada (polos dominantes desejados PDD):
2
1,2 1
n n d
s jζω ω ζ σ ω= − ± − = − ±PDDc)
Projeto do compensadorde avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
2. Calcular a deficiência angular da planta com relação a 
um PDD:
( )
1
p
s s
G sγ
=
= 1s PDD no semi-plano superior
γ φ θ= − 
>>atand(X)
>>atan(X)
graus
radianos
Deficiência angular: ângulo que falta para cumprir com a 
condição de ângulo 
Projeto do compensador de avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
3. Calcular o ângulo que aportara o compensador :
Deve cumprir com as 
condições de ângulo e módulo
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c p p c p c p
G s G s G s G s G s G s G s G s⋅ =
( )
1
p
s s
G sγ
=
=( )m c
G sφ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )180 2 1
c p c p
G s G s G s G s q= + = ± ° +
m
φ
0
m
φ > °
( )180 2 1
m
qγ φ+ = ± ° +
Como escolher q? E o menor possível
Projeto do compensador de avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
s a jb= − ±
1
1 tan
b
a
β θ −  
= =  
 
a−
jb
1 Tα− 1 T−bissetriz
Polo Zero
Há muitas possibilidades
Este da o maior valor de alfa
PDD
Projeto do compensador de avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
( )
1
1 2
2 1
1 1
1
2 1 2
2
1
tan
2
2
90
2 2
m
m
a x
T
x bα
φ
α α
β
α σ
σ β
α σ σ
φβ
σ
− = − +
= ⋅
= −
= −
= − °
= −
= −
β
a−
jb
2
2 1
1
tan
2
m
a x
T
x b
α
φ
α
− = − −
 
= + ⋅ 
 
1 Tα− 1 T−
Op. 2:
Op. 1:
Projeto do compensador de avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
( )1 1 90 90
2 2 2
β β β
α σ β β= − = − − ° = − + °
( )2 1 1
2
90
2 2 2 2 2
90 90 90
2 2 2 2 2 2
m m m
m m m
φ φ φβ β
α α σ β
φ φ φβ β β
α β
   
= − = − − = − − − ° =   
   
   
= − − + ° = − °− = + − °   
   
1 90
2
β
α = °−
2
180
2
m
φ β
α
+ − °
=
1α
1σ
1σ
1
1
z
p
α =
Projeto do compensador de avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
5. Calcular Kc
( ) ( )
1
1c p s s
G s G s
=
= ( )
1
1
c c
Ts T
G s K
s Tα
+
=
+
( )
1
1
1
1
c p
s s
s T
K G s
s Tα
=
+
=
+ ( )
1
1 1
1
c
p s s
s T
K
s T G s
α
=
+
=
+
Projeto do compensador de avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
6. Obter o compensador
( )
1
1
c c
Ts T
G s K
s Tα
+
=
+
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )1 1
c p
f
c p
G s G sFTTD
G s
FTMA G s G s H s
= =
+ +
7. Obter a FTMF
( ) 1H s = ( )
( ) ( )
( ) ( )1 1
c p
f
c p
G s G sFTMA
G s
FTMA G s G s
= =
+ +
Conferir o resultado: 1)PDD passa pelo LGR? 2)A resposta transitória é a desejada
Projeto do compensador de avanço
Passos
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Ex. 1:
( )
( ) ( )
2500
25
o
i
V s
V s s s
=
+
Especificações de projeção
• Sobre-sinal máximo (Mp): 5%
• Tempo de estabelecimento 0.05st seg≤
Projeto do compensador de avanço
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
1. Calcular os polos dominantes desejados
5% 0.05
p
M = =
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
ln ln0.05
0.69
ln ln0.05
Mp
Mp
ζ
π π
= = =
+ +
0.05st =
a) Calcular os fatores
b) Calcular a E.C.
4
s
n
t
ζω
=
Erro 2% (98%)
4 4
115.92
0.69 0.05
n
s
t
ω
ζ
= = =
⋅
( )( ) ( )
22 2 22 2 0.69 115.94 115.94 0
n n
s s sζω ω+ + = + + =
Projeto do compensador de avanço
Ex. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
1. Calcular os polos dominantes desejados
b) Calcular a E.C.
( )( ) ( )
22 2 22 2 0.69 115.94 115.94 0
n n
s s s sζω ω+ + = + + =
2 160 13442.08 0s s= + + =
1,2 80 83.92s j= − ±
c) Obter os PDDs:
Construir o LGR e testar se estão os PDDs
Sim: parar
Não: continuar
d) PDD passa pelo LGR?
Projeto do compensador de avanço
Ex. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
2. Calcular a deficiência angular da planta com relação a um 
PDD:
( )
( )( )1
2500
103.11
80 83.92 80 83.92 25
p
s s
G s
j j
γ
=
′ = = = °
− + − + +
1 80 83.92s j= − +PDD no semi-plano superior
( ) ( )1 20 0 133.63 123.24 256.87γ φ θ θ θ= − = °− + = °− °+ ° = − ° 
1
1
1
2
80
tan 90 133.63
83.92
80 25
tan 90 123.24
83.92
θ
θ
−
−
 
= + ° = ° 
 
− 
= + ° = ° 
 
360γ γ ′= − °
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
3. Calcular o ângulo que aportara o compensador :
• Condições de ângulo ( ) ( ) ( )180 2 1c p mG s G s qγ φ= + = ± ° +
mφ
( )
( )
180 2 1
180 2 1
m
m
q
q
γ φ
φ γ
+ = ± ° +
= ± ° + −
256.87γ = − °
• o ângulo deve ser o menor possível
( )180 256.87 76,87
m
φ = − − − ° = °
• Qual valor de q usar?
0q =180− °Com e 
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
1 80
tan 90 133.63
83.92
β −  
= + ° = ° 
 
β
1
2
1 1
2 1
2 1 2
90 133.63 90 43.63
2 2 66.81 38.43 28.38
2 66.81 43.63 23.18
2 38.43 23.18 15.25
43.63 28.38 15.25
m
m
σ β
σ β φ
α β σ
α φ α
α σ σ
= − ° = − = °
= − = − = °
= − = − = °
= − = − = °
= − = − = °
2 66.81β = ° 2 38.43
m
φ = °
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
( )
2 1
2
2
tan
2
tan 38.43 23.18 83.92
155.33
mx b
x
x
φ
α
 
= + ⋅ 
 
= + ⋅
=
( )
( )
1 2
1
1
tan
tan 15.25 83.92
22.87
x b
x
x
α= ⋅
= ⋅
=
1 238.43, 23.18 , 15.25
2
m
φ
α α= = ° = °
1
1
80 80 27.87 57.12x
T
− = − + = − + = −
2
1
80 80 155.33 235.33x
Tα
− = − − = − − = −
1
57.12
T
=
1
235.33
Tα
=
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
21
1.75 10
57.12
T
−= = × ( )2
1
0.242
235.33 1.75 10
α = =
⋅ ×
5. Calcular Kc
( )
( )
11
251 1 235.33
1 57.12 2500
c
p s ss s
s ss T s
K
s T G s s
α
==
++ +
= =
+ +
( )( )80 83.92 80 83.92 2580 83.92 235.33
80 83.92 57.12 2500
c
j jj
K
j
− + − + +− + +
=
− + +
2500
c
A C D
K
B
⋅ ⋅
=
⋅
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
5. Calcular Kc
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
80 235.33 83.92 176.55
80 57.12 83.92 86.98
80 83.92 115.94
80 25 83.92 100.33
176.55 115.94 100.33
9.44
2500 86.98 2500
c
A
B
C
D
A C D
K
B
= − + + =
= − + + =
= − + =
= − + + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
⋅ ⋅
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
6. Obter o compensador ( )
57.12
9.44
235.33
c
s
G s
s
+
=
+
7. Obter a FTMA (G(s)) e FTMF Gf(s) com
( )
( ) ( )
57.12 2500 57.12 1
9.44 9.44 2500
235.33 25 235.33 25
s s
G s
s s s s s s
+ +
= = ⋅
+ + + +
( )
3 2
57.12
23600
260.33 5883.25
s
G s
s s s
+
=
+ +
( )
( )( ) ( )2 3 2 2
57.12 57.12
23600 23600
235.33 25 25 235.33 5883.25
s s
G s
s s s s s s s
+ +
= =
+ + + + +
( ) 1H s =
7.a. Obter a FTMA (G(s))
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
7.b. Obter a FTMF (Gf(s))
( )
( )3 2
57.12
23600
260.33 8383.25 142800
f
s
G s
s s s
+
=
+ + +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
57.12 2500
235.33 25
9.44
57.12 25001
1
235.33 25
c p
f
c p
s
G s G s s s s
G s
sG s G s
s s s
+
+ +
= =
++ +
+ +
( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )3 2
57.12
9.44 2500
235.33 25 57.12 2500
57.12
23600
260.33 5883.25 2500 142800
f
f
s
G s
s s s s
s
G s
s s s s
+
= ⋅
+ + + +
+
=
+ + + +
Projeto do compensador de avançoEx. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
LGR sem compensador
Projeto do compensador de avanço
Ex. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
1 80 83.92s j= − +
PDD
LGR com compensador
Projeto do compensador de avanço
Ex. 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Resposta sem e com compensador
0.2823
s
t =0.053
s
t′ =
44.22%
p
M =
21.17%
p
M ′ =
Projeto do compensador de avanço
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Projeto do compensador de avanço
Exercícios deaula 1:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Ex. 2:
( )
4
2
pG
s s
=
+
Especificações de projeção
• Dobrar o wn de MF sem modificar o fator de amortecimento
relativo
Projeto do compensador de avanço
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
1. Calcular os polos dominantes desejados
Projeto do compensador de avanço
Ex. 2:
2
4
2 4
fG
s s
=
+ +( )
4
2
pG
s s
=
+
2 4 4 2
n n
ω ω= → = =
2
2 2 0.5
2 2
nζω ζ= → = =
⋅
b) Calcular a E.C. desejada
( )( ) ( )
22 2 22 2 0.5 4 4 0
n n
s s sζω ω+ + = + + =
ˆ 2 2 4
n
ω = ⋅ = ˆ 0.5ζ =Parâmetros desejados
2 4 16 0s s+ + =
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
1. Calcular os polos dominantes desejados
b) Calcular a E.C.
1,2 2 3.46s j= − ±
c) Obter os PDDs:
Construir o LGR e testar se estão os PDDs
Sim: parar
Não: continuar
d) PDD passa pelo LGR?
Projeto do compensador de avanço
Ex. 2:
2 4 16 0s s+ + =
2
1,2 1
n n d
s j jζω ω ζ σ ω= − ± − = − ±
1,2 2 2 3s j= − ±
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
2. Calcular a deficiência angular da planta com relação a um 
PDD:
( ) ( )( )1
4 4
2 2 2 3 2 2 3 2s s
s s j j
γ
=
′ = = = °
+ − + − + +
PDD no semi-plano superior
( ) ( )1 20 0 133.63 123.24 210γ φ θ θ θ= − = °− + = °− °+ ° = − ° 
1
1,2
2
2 3
tan 90 120
2
90
θ
θ
−
 
= + ° = °  
 
= °
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
1,2 2 2 3s j= − ±
2 3j
2− 0
PDD
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
3. Calcular o ângulo que aportara o compensador :
• Condições de ângulo ( ) ( ) ( )180 2 1c p mG s G s qγ φ= + = ± ° +
m
φ
( )
( )
180 2 1
180 2 1
m
m
q
q
γ φ
φ γ
+ = ± ° +
= ± ° + −
256.87γ = − °
• o ângulo deve ser o menor possível
( )180 210 30
m
φ = − − − ° = °
• Qual valor de q usar?
0q =180− °Com e 
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
1
2
90 2 30
2 2 90 15 60 90 15
m
α β
α φ β
= − = °
= + − = + − = °
2 60β = ° 2 15
m
φ = °
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
1 2 3
tan 90 120
2
β −
 
= + ° = °  
 
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
( )
2 1
2
2
tan
2
tan 30 15 3.46
3.46
mx b
x
x
φ
α
 
= + ⋅ 
 
= + ⋅
=
( )
( )
1 2
1
1
tan
tan 15 3.46
0.92
x b
x
x
α= ⋅
= − ⋅
= −
1 215, 30 , 15
2
m
φ
α α= = ° = − °
1
1
2 2 ( 0.92) 2.92x
T
− = − + = − + − = −
( )
2
1
2 2 3.46 5.46x
Tα
− = − − = − − = −
1
2.92
T
=
1
5.46
Tα
=
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
1
0.34
2.92
T = =
( )
1
0.53
5.46 0.34
α = =
⋅
5. Calcular Kc
( )
( )
11
21 1 5.46
1 2.92 4
c
p s ss s
s ss T s
K
s T G s s
α
==
++ +
= =
+ +
( )( )2 2 3 2 2 3 22 2 3 5.46
42 2 3 2.92
c
j jj
K
j
− + − + +− + +
=
− + +
4
c
A C D
K
B
⋅ ⋅
=
⋅
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
1,2 2 2 3s j= − ±
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
5. Calcular Kc
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
22
22
22
2 5.46 2 3 4.89
2 2.92 2 3 3.58
2 2 3 4
2 2 2 3 23.25
4.89 4 23.25
4.73
4 3.58 4
c
A
B
C
D
A C D
K
B
= − + + =
= − + + =
= − + =
= − + + =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
⋅ ⋅
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
6. Obter o compensador ( )
2.92
0.05
5.46
c
s
G s
s
+
=
+
7. Obter a FTMA (G(s)) e FTMF Gf(s) com ( ) 1H s =
7.a. Obter a FTMA (G(s))
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
7.b. Obter a FTMF (Gf(s))
( ) ( )
( ) ( )
3 2
 
0.203
 
0.20335 (s+2.928)
 
(s+5.437) (s+1.972) (
3 0.5954
7.464 11.13 0.5954
s+0.05554)
c
f
c
f
s
s s
G s
s
G s
+
+
=
+
=
+
Projeto do compensador de avançoEx. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
LGR sem compensador
Projeto do compensador de avanço
Ex. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
1 2 3.46s j= − +
PDD
LGR com compensador
Projeto do compensador de avanço
Ex. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Resposta sem e com compensador
Projeto do compensador de avanço
Ex. 2:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
O que fazer se o ângulo que aportara o 
compensador for maior que 90°?
Projeto compensador de avanço
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Compensadores em cascata
• Se o ângulo que aportara o compensador for maior que 90°, 
então usar dos ou mais compensadores em cascata
90
m
φ > °
1 2 km m m mφ φ φ φ+ + + =⋯
( )
1c
G s ( )
2cG s ( )pG s
2 Compensadores do mesmo tipo
em cascata
Planta
1 2m m m
φ φ φ+ =
1 2
2
m m m
φ φ φ= =
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
165
m
φ = °Exemplo: 
1 2
82.5
2
m
m m
φ
φ φ= = = ° 1
2
90
75
m
m
φ
φ
= °
= °
ou
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
• Condições de ângulo
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
180 2 1
k kc c p m m
G s G s G s qφ φ γ= + + + = ± ° +… ⋯
Considerar no projeto o seguinte:
2. Para calcular 
m
φ
• Se forem k compensadores iguais
( )180 2 1
km
q
k
γ
φ
± ° + −
=
1 2 km m mφ φ φ= =⋯
( ) ( ) ( ) ( )180 2 1c c p m m mG s G s G s k qφ φ γ φ γ= + + + = + = ± ° +… ⋯
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
c
K
Considerar no projeto o seguinte:
• Condições de módulo ( ) ( ) ( )
1
1
1
kc c p
s s
G s G s G s
=
=⋯
2. Para calcular 
( ) ( )
1
1
1kc c c
Ts T
G s G s K
s Tα
+
= = =
+
⋯
( )
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
k
c p
s s
k
k
c pk
s s
s T
K G s
s T
s T
K G s
s T
α
α
=
=
 +
= 
+ 
 +
= 
 + 
• Se forem k compensadores iguais
( )
( ) ( )
1
1 1
1
k
k
c k
p
s s
s T
K
G ss T
α
=
+
=
+
( )
( ) ( )
1
1 1
1
k
kc k
p
s s
s T
K
G ss T
α
=
+
=
+
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
• Usar 2 compensador em cascata para a FTMA do exemplo 1:
( )
( )
2500
25
pG s
s s
=
+
Ex. 3:
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Passos 1 e 2: igual
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
180 2 1c c p m mG s G s G s qφ φ γ= + + = ± ° +
1 2
2m m mφ φ φ= =
1 2m m mφ φ φ+ = 76.87
m
φ = ° 2 38.43
m
φ = °
Passo 3:
Passo 4: de igual forma, mas usando: 38.43
m
φ′ = °
1
2
1 1
2 1 2
90 133.63 90 43.63
2 2 66.81 19.21 47.59
2 66.81 43.63 23.18
43.63 47.59 3.96
m
σ β
σ β φ
α β σ
α σ σ
= − ° = − = °
′= − = − = °
= − = − = °
= − = − = − °
2 19.21
m
φ′ = °
Ex. 3:
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
4. Calcular 1 Tα e 1 T
( )
2 1
2
2
tan
2
tan 19.21 23.18 83.92
76.63
mx b
x
x
φ
α
′ 
= + ⋅ 
 
= + ⋅
=
( )
( )
1 2
1
1
tan
tan 3.96 83.92
5.81
x b
x
x
α= ⋅
= − ⋅
= −
1 238.43, 23.18 , 3.96
2
m
φ
α α
′
= = ° = − °
( )1
1
80 80 5.81 85.82x
T
− = − + = − + − = −
2
1
80 80 76.63 156.63x
Tα
− = − − = − − = −
1
85.82
T
=
1
156.63
Tα
=
Signo=sentido
Compensadores em cascataEx. 3:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
( )
( )
( )
1
2
2
2
1
1
1
c p
s s
s T
K G s
s Tα
=
 +
= 
 + 
( )
( ) ( )
1
2
2
2
1 1
1
c
p
s s
s T
K
G ss T
α
=
+
=
+
( )
( )
( )
1
2
2
2
156.63 25
250085.82
c
s s
s s s
K
s
=
+ +
=
+
Passo 5:
( )
( )
( )( )
2
2
2
80 83.92 156.63 80 83.92 80 83.92 25
250080 83.92 85.82
c
j j j
K
j
− + + − + − + +
=
− + +
115.94
100.33
C
D
=
=
2
2
2 2500
c
A C D
K
B
⋅ ⋅
=
⋅
Compensadores em cascataEx. 3:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Passo 5:
( )
( )
2 2
2 2
80 156.63 83.92 113.64
80 85.82 83.92 84.12
A
B
= − + + =
= − + + =
( )
( )
( )( )
2
2
2
80 83.92 156.63 80 83.92 80 83.92 25
250080 83.92 85.82
c
j j j
K
j
− + + − + − + +
=
− + +
115.94; 100.33C D= =
2
2
2 2500
c
A C D
K
B
⋅ ⋅
=
⋅( )
( )
2
2
2
113.64 115.94 100.33
8.49
84.12 2500
c
K
⋅ ⋅
= =
⋅
8.49 2.91cK = =
Compensadores em cascataEx. 3:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
6. Obter o compensador 
( ) ( )
1 2
85.82
2.91
156.63
c c
s
G s G s
s
+
= =
+
7. Obter a FTMA e FTMF
( ) ( ) ( ) ( )
( )1 2
2
85.82 2500
2.91
156.63 25
c c p
s
G s G s G s G s
s s s
+ 
= =  
+ + 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
85.82 1
8.49 2500
25156.63
85.82
21225
156.63 25
s
G s
s ss
s
G s
s s s
+
= ⋅
++
+
=
+ +
( )
2
3 2
171.6 7365.07
21225
313.3 24530
s
G s
s s
+ +
=
+ +
( )
2
85.82
8.49
156.63
c
s
G s
s
+ 
=  
+ 
OU
Compensadores em cascataEx. 3:
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
7. Obter a FTMF
( )
( )
2
4 3 2
171.6 7365
21225
338.3 32360 613400 7365
f
s s
G s
s s s s
+ +
=
+ + + +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
2
2
85.82 2500
156.63 25
8.49
1 85.82 2500
1
156.63 25
c c p
f
c c p
s
G s G s G s s s s
G s
G s G s G s s
s s s
+ 
 
+ + 
= =
+ + 
+  
+ + 
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
85.82
8.49 2500
156.63 25 85.82 2500
f
s
G s
s s s s
+
= ⋅
+ + + +
( ) 1H s =
Ex. 3:
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
LGR com compensador em avanço
1 80 83.92s j= − +
PDD
Ex. 3:
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Resposta sem e com compensador em avanço
Ex. 3:
Compensadores em cascata
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Ex. 4:
( )
4
2
pG
s s
=
+
Especificações de projeção
• Dobrar o wn de MF sem modificar o fator de amortecimento
relativo
Projeto do compensador de avanço
Usar dois compensadores em cascata
Exercícios de aula
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
Projeto compensador de avanço
( )
( )
5
0.5 1
p
G s
s s
=
+
( )16.3%, 2 2%p sM t= = ±
( )
( )
1
1
pG s
s
=
+
Exercícios 
2. Conferir com Matlab ou SciLab
1. Projetar um compensador em avanço 
i) Usar 1 compensador
ii) Usar 2 compensadores em cascata
a)
4.32%, 3.14p pM t= =
Especificações
b)
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
PROJETO DO COMPENSADOR
EM AVANÇO
USANDO O LGR
CONTROLE 2 – Projeto do compensador em avanço com LGR
82
De aula
Enviar pelo Moodle uma foto com a resolução 
desses exercícios
Nota adicional na seção de tarefas 
Opcional: não obrigatório
Extra-aula
Exercícios