Aula 8 - Margens de estabilidade, estabilidade relativa, introducao ao projeto com BODE

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RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
Margens de estabilidade
Projeto de compensadores 
usando BODE
1. Margens de estabilidade
2. Introdução ao projeto de compensadores 
no domínio da frequência
• Compensador em avanço
• Compensador em atraso
• Compensador em avanço-atraso
3. Exemplos
4. Exercícios
Sumário
Margens de estabilidade
Controle 2 - Resposta em frequência
Margens de estabilidade 
Indicam a estabilidade relativa do sistema (quanto estável é)
Margem de
de Fase
de Ganho 
São duas margens
1. Margem de ganho: 
• Indica quanto pode ser incrementado o ganho antes do 
sistema se tornar instável
2. Margem de fase: 
• Indica a quantidade de atraso de fase necessária para 
levar o sistema à instabilidade
g
M
f
M
Controle 2 - Resposta em frequência
Margens de estabilidade 
Cruzamento
Fase =
Ganho = 0dB 
-180o
Freq. onde a curva corta 
g
ω
f
ω
g
ω
f
ω
Definições prévias
Controle 2 - Resposta em frequência
Margens de estabilidade 
1. Margem de ganho: 
• Diferença entre a curva de magnitude e os 0 dB no ponto
de cruzamento de fase
2. Margem de fase: 
• Diferença entre a curva de fase e os -180o no ponto 
de cruzamento de ganho 
f
ω
g
ω
Controle 2 - Resposta em frequência
Margens de estabilidade 
Margens
Fase 
Ganho 
Sistema 
Positivas
> -180o
> 0 dB
Negativas
As duas margens são positivas Estável
Controle 2 - Resposta em frequência
Margens de estabilidade 
Estável Instável
Ex. 1:
Controle 2 - Resposta em frequência
Ex. 1:
Matlab
>> margin(10,conv(conv([1 0],[1 2]),[1 2 10]))
>> s = tf(‘s’);
>> Gp = 10/(s*(s+2)*(s^2+2*s+10));
>> margin(Gp)
Opção 1:
Opção 2:
Opção 3: >> margin(10,[1 4 14 20 0]))
( )
( )( )2
10
2 2 10
G s
s s s s
=
+ + +
11
Margens de estabilidade 
Trocar bode() por margin()
Controle 2 - Resposta em frequência
12Margens de estabilidade 
Ex. 1: ( )
( ) ( )2
10
2 2 10
G s
s s s s
=
+ + +
• Determinar as frequências de cruzamento, as margens, e a 
estabilidade relativa
Controle 2 - Resposta em frequência
13
>> margin(10,conv(conv([1 0],[1 2]),[1 2 10]))
Margens de estabilidade 
2.24
g
ω =
0.495
f
ω =
13.1
g
M =
70.3
f
M =
70.3
f
M =
Ex. 1:
g
M
g
ω
Controle 2 - Resposta em frequência
14Margens de estabilidade 
Ex. 2:
• Determinar as frequências de cruzamento, as margens, e a 
estabilidade relativa
( )
( ) ( )
2500
25
o
i
V s
V s s s
=
+
Controle 2 - Resposta em frequência
15
>> margin(2500,conv([1 0],[1 25]))
Margens de estabilidade 
Ex. 2:
47
g
ω =
f
ω = ∞ g
M = ∞ 28
f
M = Estável
Controle 2 - Resposta em frequência
16Margens de estabilidade 
Ex. 3: ( )
( )
1
1
p
G s
s
=
−
• Determinar as frequências de cruzamento, as margens, e a 
estabilidade relativa
( )
( )
1
0.1
p
G s
s
=
−
a) b)
( )
( )
1
0.1
p
G s
s
=
+
c) ( )
( )
1
1
p
G s
s
=
+
d)
Controle 2 - Resposta em frequência
17Margens de estabilidade 
Ex. 3: ( )
( )
1
1
p
G s
s
=
−
• Determinar as frequências de cruzamento, as margens, e a 
estabilidade relativa
( )
( )
1
0.1
p
G s
s
=
−
a) b)
( )
( )
1
0.1
p
G s
s
=
+
c) ( )
( )
1
1
p
G s
s
=
+
d)
Controle 2 - Resposta em frequência
18Margens de estabilidade 
Ex. 3a: >> margin(1,[1 -1])
0
g
ω =0
f
ω = 0
g
M = 0
f
M = Instável
Controle 2 - Resposta em frequência
19Margens de estabilidade 
Ex. 3b: >> margin(1,[1 -0.1])
0.99
g
ω =0
f
ω = 20
g
M = − 84.3
f
M = Instável
Controle 2 - Resposta em frequência
20Margens de estabilidade 
Ex. 3c: >> margin(1,[1 0.1])
47
g
ω =
f
ω = ∞ g
M = ∞ 28
f
M = Estável
Controle 2 - Resposta em frequência
21Margens de estabilidade 
Ex. 3d: >> margin(1,[1 1])
0
g
ω =
f
ω = ∞ g
M = ∞ 180
f
M = Estável
Controle 2 - Resposta em frequência
22Margens de estabilidade 
Exercícios de aula:
( ) 2
3
5 8
pG s
s s
=
+ +
( )
( )( )
4
2 3
pG s
s s s
=
+ +
1)
2)
Controle 2 - Resposta em frequência
23
>> margin(3,[1 5 8])
Margens de estabilidade 
Exc. 1:
g
ω = ∞
f
ω = ∞ g
M = ∞
f
M = ∞ Estável
roots([1 5 8])
-2.5000 + 1.3229i
-2.5000 - 1.3229i
Controle 2 - Resposta em frequência
24
>> margin(4, conv([1 0],conv([1 0],[1 25])) )
Margens de estabilidade 
Exc. 2:
0.4
g
ω =0
f
ω = g
M = −∞ 0.91
f
M = −
>> roots([ 1 25 0 0])
0, 0, -25
Instável
Controle 2 - Resposta em frequência
Margens de estabilidade 
Como modificar as margens de estabilidade ?
BODE
Nyquist
Carta de Nichols
Projeto de compensadores
• Adicionando um compensador
• Projeto no domínio da frequência
Projeto de compensadores
usando BODE
Introdução
Controle 2 - Resposta em frequência
Projeto de compensadores
Modificar o comportamento do sistemas para atingir algumas
características alvo através da inclusão de compensadores
Transitório
Estacionário
Frequência
Características
alvo
Comp. Planta
• Modificar as margens de ganho e/ou fase
• Usando os diagramas de Bode ou Nyquist
Projeto no domínio da frequência
Controle 2 - Resposta em frequência
Projeto de comp. usando Bode
1. Avanço:
a. Adiciona uma fase positiva (modo de operação)
b. Aumenta a freq. de cruzamento de ganho ω
g
, portanto
maior BW:
• mais susceptível ao ruído de alta freq.
• Menor ts, resposta mais rápida
c. Requer um ganho do sistema maior
• Maior tamanho, peso, custo...
d. Incrementa a ordem do sistema em 1
e. Modifica consideravelmente o transitório e pouco a
precisão do Ess
f. Opera no transitório, usado quando se deseja uma
resposta rápida
Controle 2 - Resposta em frequência
Projeto de comp. usando Bode
2. Atraso:
a. Adiciona uma fase negativa (modo de operação)
b. Reduz a freq. de cruzamento de ganho ω
g
, portanto
menor BW:
• Atenuação das altas freqs.
• Menos susceptível ao ruído
• Maior ts, resposta mais lenta
c. Requer um ganho do sistema menor
• Menor tamanho, peso, custo...
d. Incrementa a ordem do sistema em 1
e. Aumenta o ganho em baixa freq., melhora a precisão do
Ess
f. Opera no estacionário, usado quando se deseja maior
precisão do Ess
Controle 2 - Resposta em frequência
Projeto de comp. usando Bode
3. Avanço-Atraso:
a. Combina as características dos dois
b. Incrementa:
• Ganho em baixa freq., melhora a precisão do Ess
• BW
• Margens de estabilidade
c. Incrementa a ordem do sistema em 2
d. Opera no transitório e no estacionário
Avanço
Compensadores
fase +
Age no
Atraso-avanço
Atraso
Transitório
Estacionário
g
ω
Aumenta
Diminui
Adiciona
fase -
Reuni as características dos dois
Ordem
+1
+1
+2
Controle 2 - Resposta em frequência
1. Plotar o diagrama de Bode usando Matlab e determinar as 
margens, as freq. de cruzamento e a estabilidade do sistema. 
Exercícios:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3 2
2
10 0.4 1
0.8 9
2 1
0.2 1
5
1
p
p
p
s s
G s
s s s
s s
G s
s s s
G s
s s s
+ +
=
+ +
+ +
=
+ + +
=
+ +
Resposta em frequência
a)
b)
c)
31
Controle 2 - Resposta em frequência
G s( )
( )
4
0.5
pG s
s s
=
−
( )
( ) ( )
10
2 8
p
G s
s s s
=
+ +
1. Plotar o diagrama de Bode usando Matlab e determinar 
a estabilidade relativa do sistema (interpretar as margens) 
Exercícios:
Resposta em frequência
a)
b)
c)
d)
( )
( )
4
0.5
pG s
s s
=
+
( )
( ) ( )
10
2 8
p
G s
s s s
=
− +
Resposta em frequência
33
Margens de estabilidade
Projeto de compensadores 
usando BODE
Controle 2 - Resposta em frequência
34
De aula
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desses exercícios
Nota adicional na seção de tarefas 
Opcional: não obrigatório
Extra-aula
Exercícios