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Sacha Friedli - Cálculo 1

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pode não se aproximar de nenhum valor finito quando x toma valores grandes. Por ex-
emplo, as funções trigonométricas, por serem periódicas, não possuem limites quando
x! �1.
Por outro lado, já vimos que várias funções não-limitadas, como x
2
, tomam valores
arbitrariamente grandes ao x se afastar da origem. Neste caso, apesar do limite não ser
finito, faz sentido escrever
lim
x!1
x
2
= +1 ; lim
x!�1
x
2
= +1 :
De modo geral, para potências com expoentes inteiros x
p
, se p > 0,
lim
x!1
x
p
= +1 ; lim
x!�1
x
p
=
8
<
:
+1 se p é par,
�1 se p é ímpar,
(4.8)
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CAPÍTULO 4. LIMITES
e se p < 0, então
lim
x!1
x
p
= lim
x!�1
x
p
= 0 : (4.9)
Exemplo 4.6. Estudemos
x
2
+2
x+1
quando x ! 1. Como lim
x!1
(x
2
+ 2) = 1 e
lim
x!1
(x+1) =1, estamos num caso de indeterminação do tipo �
1
1
�, e (4.6) não se
aplica. Mas pondo os termos de maior grau em evidência :
x
2
+ 2
x+ 1
=
x
2
(1 +
2
x
2
)
x(1 +
1
x
)
= x �
1 +
2
x
2
1 +
1
x
:
Observe agora que o primeiro fator, x, tende a +1, e que o segundo fator,
1+
2
x
2
1+
1
x
, tende
a 1. Logo, o produto dos dois tende a +1:
lim
x!1
x
2
+ 2
x+ 1
= +1 :
Vimos também que, dependendo da base, as funções exponenciais e logaritmos possuem
comportamentos diferentes no infinito:
lim
x!1
a
x
=
8
<
:
+1 se a > 1,
0 se a < 1.
lim
x!�1
a
x
=
8
<
:
0 se a > 1,
+1 se a < 1.
(4.10)
lim
x!1
log
a
x =
8
<
:
+1 se a > 1,
�1 se a < 1.
(4.11)
(Observe que �lim
x!�1
log
a
x� não faz sentido, já que o domínio de log
a
é (0;1)!)
Exercício 4.2. Calcule os limites abaixo, sem usar a definição formal. Abaixo,
x! �1 significa que são dois limites para calcular: x! +1 e x! �1.
1. lim
x!�1
(7� x)
2. lim
x!�1
f
1
x
+
1
x
2
+
1
x
3
g
3. lim
x!�1
x
2
�1
x
2
4. lim
x!�1
p
1� x
5. lim
x!�1
e
1
x
6. lim
x!�1
1�x
2
x
2
�1
7. lim
x!�1
2x
3
+x
2
+1
x
3
+x
8. lim
x!�1
2x
3
�2
x
4
+x
9. lim
x!1
1+x
4
x
2
+4
10. lim
x!�1
p
x+1
p
x
11. lim
x!�1
p
4x
2
+1
x
12. lim
x!1
3x+2
p
x
2
+3�4
13. lim
x!�1
q
x+
p
x+
p
x
p
x+1
14. lim
x!�1
jxj
x
2
+1
15. lim
x!�1
p
x
2
+ 1
16. lim
x!�1
1
2
x
17. lim
x!�1
e
x
+100
e
�x
�1
18. lim
x!�1
ln(1 +
x+1
x
2
)
19. lim
x!�1
ln(1+e
x
)
x
20. lim
x!�1
sen
2
x
21. lim
x!�1
x+ cosx
22. lim
x!�1
arctanx
23. lim
x!�1
senhx
24. lim
x!�1
coshx
25. lim
x!�1
tanhx
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CAPÍTULO 4. LIMITES
Exercício 4.3. Um tempo t depois de ter pulado do avião, a velocidade vertical de
um paraquedista em queda livre é dada por:
V (t) =
s
mg
k
tanh
�
s
gk
m
t
�
;
onde m é a massa do paraquedista, g = 9; 81m=s
2
, e k é um coeficiente de re-
sistência (atrito) do ar (em kg=m). Esboce t 7! V (t), e calcule o limite de veloci-
dade V
lim
(que ele nunca atingirá). Dê uma estimativa de V
lim
quando m = 80kg,
k = 0:1kg=m.
Vimos acima algumas técnicas para estudar o comportamento de uma função quando
x! �1. Consideremos agora outras técnicas.
Subtrair dois números grandes
Na propriedade (4.4), insistimos sobre o fato dos dois limites lim
x!1
f(x) e lim
x!1
g(x)
serem finitos para poder escrever
lim
x!1
ff(x) + g(x)g = lim
x!1
f(x) + lim
x!1
g(x) :
Consideremos primeiro um caso onde um deles é infinito e o outro é finito:
Exemplo 4.7. Considere x
2
�
1
x
. Como lim
x!1
x
2
= +1 e lim
x!1
1
x
é finito (e vale 0,
mas esse valor não importa), temos lim
x!1
fx
2
�
1
x
g = +1.
Quando os dois limites são infinitos, com o mesmo sinal, então o limite da soma pode
também ser calculado:
Exemplo 4.8. Considere x + x
3
. Como lim
x!1
x = +1 e lim
x!1
x
3
= +1 (aqui,
ambos são +), temos lim
x!1
fx+ x
3
g = +1.
Se ambos forem infinitos, mas de sinais diferentes, por exemplo lim
x!1
f(x) = +1,
lim
x!1
g(x) = �1, então este é um caso de indeterminação do tipo �1�1�, e um
exame mais detalhado é necessário para calcular o valor de lim
x!1
ff(x) + g(x)g. Por
exemplo,
Exemplo 4.9. Considere x
3
�x
2
. Como lim
x!1
x
3
= +1 e lim
x!1
x
2
= +1, tomemos
cuidado, escrevendo x
3
�x
2
= x
3
(1�
1
x
). Como x
3
!1 e 1�
1
x
! 1, o produto x
3
(1�
1
x
)
tende a +1: lim
x!1
fx
3
� x
2
g = +1. O que foi feito aqui se resume assim: x
3
e x
2
ambos tendem a +1, mas x
3
cresce mais rápido que x
2
, e isso implica que a diferença
x
3
� x
2
é regida (quando x é grande) pelo termo x
3
.
Exemplo 4.10. A diferença x
2
� x
4
no limite x ! 1 pode ser estudada da mesma
maneira: x
2
�x
4
= x
4
(
1
x
2
�1), e como x
4
!1, (
1
x
2
�1)! �1, temos que x
2
�x
4
! �1.
Aqui, é o termo �x
4
que rege o comportamento para x grande.
Exemplo 4.11. Considere
p
x+ 1�
p
x. Quando x!1, os dois termos
p
x+ 1 e
p
x
tendem a +1. Logo, este limite é um caso de indeterminação do tipo �1�1�. Então,
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CAPÍTULO 4. LIMITES
como calcular o limite dessa diferênça? O método usado aqui consiste em multiplicar
e dividir pelo conjugado, isto é, escrever �1� como
1 =
p
x+ 1 +
p
x
p
x+ 1 +
p
x
:
Lembrando que (a� b)(a+ b) = a
2
� b
2
,
p
x+ 1�
p
x = (
p
x+ 1�
p
x)
p
x+ 1 +
p
x
p
x+ 1 +
p
x
=
p
x+ 1
2
�
p
x
2
p
x+ 1 +
p
x
=
1
p
x+ 1 +
p
x
:
Mas como
p
x+ 1 +
p
x!1, temos
lim
x!1
f
p
x+ 1�
p
xg = lim
x!1
1
p
x+ 1 +
p
x
= 0 :
Exercício 4.4. Calcule os limites das seguintes diferenças, quando x!1:
1. 100x� x
2
2. x
7
� x
7
3. x
4
�
1
2
x
4
4. x�
p
x
5.
p
x
2
+ 1�
p
x
2
� x
6.
p
x
2
+ 1�
p
x
2
� 3x
7.
p
2x�
p
x+ 1
8. e
x
� e
2x
9. ln(x)� ln(2x)
10. ln(x)� ln(x+ 1)
O �sanduiche�
Exemplo 4.12. Considere o limite lim
x!1
senx
x
. Sabemos que o denominador tende a
+1, mas senx não possui limite quando x ! 1 (não dá para �colocar em evidência�,
pois senx não é um múltiplo de x). Apesar de tudo, sabemos que senx é uma função
limitada : para todo x, �1 � senx � +1. Portanto, quando x > 0,
�
1
x
�
senx
x
� +
1
x
:
Mas como a cota superior +
1
x
tende a zero, e que a cota inferior �
1
x
também tende a
zero, qualquer coisa entre �
1
x
e
1
x
também deve tender a zero:
+
1
x
�
1
x
senx
x
) lim
x!1
senx
x
= 0
Esse método vale em geral:
Teorema 4.1. Suponha que f , g e h seja três funções que satisfazem
g(x) � f(x) � h(x) ; para todo x suficientemente