Derivadas-Integrais-Trigonometria

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Tabelas de Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas Métodos Numéricos
Sejam u = f(x), v = g(x), u′ = df(x)
dx
e v′ = dg(x)
dx
. Sejam também a, c e n constantes.
Derivadas
Regras Fundamentais
1. (au)′ = au′
2. (u + v)′ = u′ + v′
3. (uv)′ = u′v + uv′
4. (uv )
′ = u
′v−uv
v2
5. (u(v))′ = u′(v) v′ (Regra da Cadeia)
Funções Básicas
Função Derivada Restrições
a 0
ax a
xn n xn−1
1
x
− 1
x2
ax ax ln a (a > 0, a 6= 1)
ex ex
lnx 1
x
Funções Genéricas
Função Derivada Restrições
un nun−1u′
uv u′v + v′u
u
v
u′v−v′u
v2
au au ln a u′ (a > 0, a 6= 1)
eu euu′
loga u
u′
u
loga e =
u′
u
· 1
ln a
lnu 1
u
u′
uv vuv−1u′+ uv lnu v′
Funções Trigonométricas
Função Derivada
sinu u′ cosu
cosu −u′ sinu
tanu u′ sec2 u
cotu −u′ csc2 u
secu u′ secu · tanu
cscu −u′ cscu · cotu
Funções Trigonométricas Inver-
sas
Função Derivada Restrições
arcsinu u
′
√
1−u2
arccosu −u
′
√
1−u2
arctanu u
′
√
1+u2
arccotan u −u
′
√
1+u2
arcsec u
u′
|u|
√
u2−1
|u| > 1
arccsc u
−u′
|u|
√
u2−1
|u| > 1
Última revisão: 14/04/2019
http://www.inf.ufpr.br/nicolui/ci202/
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Integrais
Regras Fundamentais
1.
∫
au dx = a
∫
u dx
2.
∫
(u + v) dx =
∫
u dx +
∫
v dx
3.
∫
u′v dx = uv −
∫
uv′ dx
Funções Genéricas
Função Integral Restrições∫
du u + c∫
un du u
n+1
n+1
+ c n 6= −1∫ 1
u
du ln |u|+ c∫
au du a
u
ln a
+ c a > 0, a 6= 1∫
lnx dx x lnx− x + c∫
loga x dx
x loga x −
x
ln a
+ c∫
eu du eu + c
Funções Trigonométricas
Função Integral Restrições∫
sinu du − cosu + c∫
cosu du sinu + c∫
tanu du ln | secu|+ c∫
cotu du ln | sinu|+ c∫
secu du ln | secu + tanu|+ c∫
cscu du ln | cscu− cotu|+ c∫
secu · tanu du secu + c∫
cscu · cotu du − cscu + c∫
sin2 u du 1
2
(u− sinu cosu)+c∫
cos2 u du 1
2
(u+sinu cosu)+ c∫
sec2 u du tanu + c∫
csc2 u du − cotu + c
Funções Racionais
Função Integral Restrições∫ 1
u2+a2
du 1
a
arctan u
a
+ c∫ 1
u2−a2 du
1
2a
ln |u−a
u+a
|+ c u2 > a2∫ 1
a2−u2 du
1
2a
ln |a+u
a−u |+ c u
2 < a2
Funções Irracionais
Função Integral Restrições∫ 1√
u2+a2
du ln |u +
√
u2 + a2|+ c∫ 1√
u2−a2 du ln |u +
√
u2 − a2|+ c u2 > a2∫ 1√
a2−u2 du arcsin
u
a
+ c u
2 < a2∫ 1
u
√
u2−a2 du
1
a
arcsec |u
a
|+ c u2 > a2
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Definições e Identidades trigonométricas
1. tan (x) = sinx
cosx
2. sin (−x) = − sin (x)
3. cos (−x) = cos (x)
4. tan (−x) = − tan (x)
5. sinx = cos(π
2
− x)
6. cos x = sin(π
2
− x)
7. tan x = cot(π
2
− x)
8. cot x = tan(π
2
− x)
9. secx = csc(π
2
− x)
10. cscx = sec(π
2
− x)
11. secx = 1
cosx
12. cos x = 1
sinx
13. cot x = 1
tanx
14. sin2 x + cos2 x = 1
15. sec2 x− tan2 x = 1
16. csc2 x− cot2 x = 1
17. sin 2x = 2 sin x · cosx
18. cos 2x = cos2 x− sin2 x
19. tan 2x = 2 tanx
1−tan2 x
20. tan x
2
= 1−cosx
sinx
= sinx
1+cosx
21. sin (x± y) = sin (x) cos (y)± sin (y) cos (x)
22. cos (x± y) = cos (x) cos (y)∓ sin (x) sin (y)
23. tan (x + y) = tanx+tan y
1−tanx tan y
24. tan (x− y) = tanx−tan y
1+tanx tan y
25. cot (x± y) = cotx cot y ∓ 1
cot y ± cotx
26. 2 sinx cos y = sin(x− y) + sin(x + y)
27. 2 cosx sin y = sin(x + y)− sin(x− y)
28. 2 sinx sin y = cos(x− y)− cos(x + y)
29. 2 cosx cos y = cos(x− y) + cos(x + y)
30. 1 + cosx = 2 cos2 x
2
31. 1− cosx = 2 sin2 x
2
32. sinx + sin y = 2 sin (x+y
2
) cos (x−y
2
)
33. sinx− sin y = 2 cos (x+y
2
) sin (x−y
2
)
34. cos x + cos y = 2 cos (x+y
2
) cos (x−y
2
)
35. cos x− cos y = −2 sin (x+y
2
) sin (x−y
2
)
36. tan x + tan y = sin (x+y)
cosx cos y
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