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Sacha Friedli - Cálculo 1

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1=x
2
= exp(lim
x!0
ln(cosx)
x
2
). Como ln(cosx) e x
2
são ambas deriváveis na vizinhança de zero, e como
lim
x!0
(ln(cosx))
0
(x
2
)
0
= lim
x!0
� tanx
2x
= �
1
2
lim
x!0
senx
x
1
cosx
= �
1
2
;
temos
lim
x!0
(cosx)
1=x
2
= e
�
1
2
=
1
p
e
:
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CAPÍTULO 5. DERIVADA
Exercício 5.67. Calcule:
1. lim
x!0
+
(
p
1 + x)
1
x
2. lim
x!0
+
x
x
3. lim
x!0
(1 + sen(2x))
1
x
4. lim
x!0
(senx)
senx
5. lim
x!1
(lnx)
1
x
6. lim
x!0
+
(1 + x)
lnx
7. lim
x!1
(
�
2
� arctanx)
1
lnx
8. lim
x!0
+
x
x
x
9. lim
x!0
(1+x)
1
x
�e
x
Exercício 5.68. (Segunda prova, 27 de maio de 2011) Calcule os limites
lim
z!1
�
z + 9
z � 9
�
z
; lim
x!1
x
lnx
e
�x
; lim
x!1
p
2x+ 1
p
x� 1000
:
5.12.1 Sobre o crescimento das funções no 1
Usaremos agora a regra de Bernoulli-l'Hôpital para estabelecer uma hierarquia a re-
speito do comportamento das funções elementares (polinômios, exponenciais e logarit-
mos) quando x!1.
Para começar, já vimos no Exemplo 5.46, e no item (14) do Exercício 5.66 que
lim
x!1
lnx
x
= 0 ; lim
x!1
(lnx)
2
x
= 0 ;
e na verdade pode ser mostrado (veja exercício abaixo) que para qualquer p > 0 e
qualquer q > 0,
lim
x!1
(lnx)
p
x
q
= 0 : (5.30)
Interpretamos esse fato da seguinte maneira: quando x!1, (lnx)
p
e x
q
tendem ambos
a +1, mas (5.30) significa que x
q
tende ao infinito mais rápido do que (lnx)
p
. Como
x
q
pode também ser trocado por qualquer polinômio P (x) (supondo que o coeficiente
do seu termo de grau maior é positivo), esse fato costuma ser resumido da seguinte
maneira:
(lnx)
p
fi P (x) ; quando x!1 :
O símbolo �fi� é usado para significar: �é muito menor do que�.
Exercício 5.69. Mostre que para qualquer p > 0, e q > 0, lim
x!1
(lnx)
p
x
q
= 0.
Por outro lado, vimos no item (15) do Exercício 5.66 que
lim
x!1
x
e
x
= 0 :
Pode também ser mostrado que para qualquer p > 0,
lim
x!1
x
p
e
x
= 0 ; (5.31)
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CAPÍTULO 5. DERIVADA
o que resumimos da seguinte maneira: para qualquer polinômio P (x),
P (x)fi e
x
; quando x!1 :
Assim, quando x!1, a hierarquia entre logaritmo, polinômio e exponencial é
(lnx)
p
fi P (x)fi e
x
: (5.32)
Exercício 5.70. Mostre que para qualquer p > 0, lim
x!1
x
p
e
x
= 0.
Exercício 5.71. Estude os seguintes limites
1. lim
x!1
x
1000
+e
�x
x
100
+e
x
2. lim
x!1
e
(ln x)
2
2
x
3. lim
x!1
(x
3
� (lnx)
5
�
e
x
x
7
)
4. lim
x!1
x
lnx
e
�x=2
5. lim
x!1
e
p
ln x
p
x
6. lim
x!1
ln(ln(ln(x)))
ln(ln(x))
7. lim
x!1
fe
p
ln
2
x+1
� xg
5.13 Assíntotas oblíquas
A noção de assíntota permitiu obter informações a respeito do comportamento quali-
tativo de uma função longe da origem, em direções paralelas aos eixos de coordenadas:
ou horizontal, ou vertical.
Veremos nesta seção que existem funções cujo gráfico, longe da origem, se aproxima
de uma reta que não é nem vertical, nem horizontal, mas oblíqua, isto é de inclinação
finita e não nula
5
. Comecemos com um exemplo.
Exemplo 5.50. Considere a função f(x) =
x
3
+1
x
2
. É claro que esta função possui a reta
x = 0 como assíntota vertical, já que
lim
x!0
+
x
3
+ 1
x
2
= +1 ; lim
x!0
�
x
3
+ 1
x
2
= +1 :
Por outro lado, f não possui assíntotas horizontais, já que
lim
x!+1
x
3
+ 1
x
2
= +1 ; lim
x!�1
x
3
+ 1
x
2
= �1 :
x
5
Essa seção não é necessariamente ligada à noção de derivada. Colocamos ela aqui para ter uma
ferramenta a mais no estudo de funções, na próxima seção.
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CAPÍTULO 5. DERIVADA
Apesar de não possuir assíntota horizontal, vemos que longe da origem, o gráfico parece
se aproximar de uma reta de inclinação positiva. Como determinar essa reta?
Para começar, demos uma idéia do que está acontecendo. Observe primeiro que
x
3
+1
2x
2
=
x
2
+
1
2x
2
. Logo, quando x for grande, a contribuição do termo
1
2x
2
é desprezível em relação
a
x
2
, e f(x) é aproximada por
f(x) '
x
2
:
Ora, a função x 7!
x
2
é uma reta de inclinação
1
2
. De fato, esboçando o gráfico de f
junto com a reta y =
x
2
:
x
y =
x
2
Podemos agora verificar que de fato, quando x!1, a distância entre o gráfico de f
e a reta y =
x
2
tende a zero:
lim
x!1
�
�
�f(x)�
x
2
�
�
� = lim
x!1
�
�
�(
x
2
+
1
2x
2
)�
x
2
�
�
� = lim
x!1
1
2x
2
= 0 : (5.33)
Portanto, a reta y =
x
2
é chamada de assíntota oblíqua da função f .
O exemplo anterior leva naturalmente à seguinte definição:
Definição 5.7. A reta de equação y = mx + h é chamada de assíntota oblíqua
para f se pelo menos um dos limites abaixo existe e é nulo:
lim
x!+1
n
f(x)� (mx+ h)
o
; lim
x!�1
n
f(x)� (mx+ h)
o
:
(Obs: quando m = 0, essa definição coincide com a de assíntota horizontal.)
Como saber se uma função possui uma assíntota oblíqua? E se ela tiver uma, como
identificar os coeficientes m e h?
Para começar, observe que h pode ser obtido a partir de m, já que
lim
x!�1
n
f(x)� (mx+ h)
o
= lim
x!�1
n
(f(x)�mx)� h
o
é zero se e somente se
h = lim
x!�1
ff(x)�mxg : (5.34)
Para identificar m, podemos escrever
lim
x!�1
n
f(x)� (mx+ h)
o
= lim
x!�1
x �
n
f(x)
x
� (m+
h
x
)
o
;
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CAPÍTULO 5. DERIVADA
e observar que para este último limite existir e ser igual zero quando x ! �1, é
necessário que lim
x!�1
n
f(x)
x
� (m+
h
x
)
o
= 0. Como
h
x
! 0, isso implica que
m = lim
x!1
f(x)
x
: (5.35)
Assim, vemos que se f possuir uma assíntota oblíqua, então esta é da forma y = mx+h,
onde a inclinação é dada por (5.35), e a abcissa na origem dada por (5.34). Por outro
lado, é claro que se os dois limites em (5.35) e (5.34) existirem e forem ambos finitos,
então f possui uma assíntota oblíqua dada por y = mx + h. É claro que os limites
x! +1 precisam ser calculados separadamente, pois uma função pode possuir assín-
totas oblíquas diferentes em +1 e �1.
Voltando para o Exemplo 5.50, temos
m = lim
x!�1
f(x)
x
= lim
x!�1
x
3
+1
2x
2
x
= lim
x!�1
x
3
+ 1
2x
3
= lim
x!�1
n
1
2
+
1
2x
3
o
=
1
2
;
e, como já visto anteriormente,
lim
x!�1
ff(x)�
1
2
xg = lim
x!�1
1
2x
3
= 0 :
Logo, y =
1
2
x + 0 é assíntota oblíqua. Vejamos como usar o critério acima em outros
exemplos.
Exemplo 5.51. Considere f(x) =
p
x
2
+ 2x. Primeiro, tentaremos procurar uma in-
clinação. Pela presença da raiz quadrada, cuidamos de distinguir os limites x! �1 e
x! �1:
lim
x!+1
f(x)
x
= lim
x!+1
p
x
2
+ 2x
x
= lim
x!+1
x
q
1 +