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Geometria Analítica: Exercícios Resolvidos
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CA´LCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALI´TICA - 2010.1 1a LISTA DE EXERCI´CIOS - Algumas resoluc¸o˜es. 3. Dados da questa˜o: • ABC e´ triaˆngulo equila´tero, • M e´ ponto me´dio do lado AB, • N e´ ponto me´dio do lado BC e • P e´ ponto me´dio do lado CA. Para resolver esse exerc´ıcio, precisamos apenas provar que −−→ MN = 12 −→ AC,−−→ PN = 12 −−→ AB e −−→ MP = 12 −−→ BC. Mas ja´ fizemos isso na sala de aula! Note que essas igualdades valem para um triaˆngulo qualquer e portanto a resposta dos itens 1, 2 e 3 da lista sa˜o ideˆnticas. 4. Dados da questa˜o: • ABCD e´ um paralelogramo, • M e´ ponto me´dio do lado AB e • N e´ ponto me´dio do lado AD. Na figura abaixo, considere: 1 −−→ CM = −→ CA+ −−→ AM e −−→ CN = −→ CA+ −−→ AN e observe que −→ CA = −−→ CB + −−→ BA = −2−−→AN − 2−−→AM −→ CA = −2(−−→AM −−−→AN) logo −−→ CM + −−→ CN = −→ CA+ −−→ AM + −→ CA+ −−→ AN = 2 −→ CA+ −−→ AM + −−→ AN = 2 −→ CA− 12 −→ CA = 32 −→ CA 6. Dados da questa˜o: • ABC e´ um triaˆngulo, • M e´ ponto me´dio do lado AB, • N e´ ponto me´dio do lado BC, • P e´ ponto me´dio do lado CA e • Q um ponto no interior do triaˆngulo. Na figura abaixo, considere: −−→ QM = −→ QA+ −−→ AM , −−→ QN = −−→ QB + −−→ BN e −−→ QP = −−→ QC + −−→ CP e observe que −−→ AM + −−→ BN + −−→ CP = 12 −−→ AB + 12 −−→ BC + 12 −→ CA = 12 ( −−→ AB + −−→ BC + −→ CA) = −→ 0 2 logo −−→ QM + −−→ QN + −−→ QP = −→ QA+ −−→ AM + −−→ QB+ + −−→ BN + −−→ QC + −−→ CP = −→ QA+ −−→ QB + −−→ QC+ + −−→ AM + −−→ BN + −−→ CP = −→ QA+ −−→ QB + −−→ QC Fac¸a o item 5 utilizando-se de argumentos semelhantes aos desenvolvidos no item 6! 9. Observe a figura Baseados nela, prove que −−→ AD = 2 −→ AO −−→ AB + −→ AF = −→ AO −→ AC + −→ AE = 3 −→ AO. Somando tudo temos o resultado. 3
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