DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - 11classe

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Professor: Chabane Assuate Ibraimo 
 
 
ESCOLA SECUNDÁRIA D´A POLITÉCNICA DE NACALA 
ESDP 
Aula Nº 4 
TEMAS: A distância entre dois pontos; o ponto medio; equação geral e reduzida da recta 
Disciplina: Matemática Data: 07 / 09 / 2020 
Classe: 11ª Semana: 07/ 09 á 11/ 09 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do 
segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo 𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎) e 𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏), aplicando 
Pitágoras temos: 
 
 
EXEMPLOS 
1. Sejam os ponto 𝐴(−3, 1) e 𝐵(4, 3). Calcule a distância entre eles. 
 
Resolução: 
Dados: 𝑥𝑎 = −3; 𝑥𝑏 = 4; 𝑦𝑎 = 1; 𝑦𝑏 = 3. 
yb - ya 
xb – xa 
xa xb 
ya 
yb 
A 
 
B 
 
dAB 
 
 
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𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2 ⟺ 𝑑𝐴𝐵 = √(4 − (−3))
2
+ (3 − 1)2 
⟺ 𝑑𝐴𝐵 = √(7)
2 + (2)2 ⟺ 𝑑𝐴𝐵 = √49 + 4 ⟺ 𝑑𝐴𝐵 = √53. 
 
2. A distância entre os pontos 𝐴(−2, 𝑚) e 𝐵(6, 7) é 10. Calcule o valor de m. 
Resolução: 
Dados: 𝑥𝑎 = −2; 𝑥𝑏 = 6; 𝑦𝑎 = 𝑚; 𝑦𝑏 = 7 𝑒 𝑑𝐴𝐵 = 10 
𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2 ⟺ 10 = √(6 − (−2))
2
+ (7 − 𝑚)2 
⟺ 10 = √(8)2 + (7 − 𝑚)2 ⟺ 10 = √64 + (7 − 𝑚)2. 
Elevando ambos os membros ao quadrado, e desenvolvendo o caso notável 
(7 − 𝑚)2 = 72 − 2 ∙ 7 ∙ 𝑚 + 𝑚2 = 49 − 14𝑚 + 𝑚2 , temos: 
⟺ 102 = (√64 + (7 − 𝑚)2)
2
⟺ 100 = 64 + (7 − 𝑚)2 ⟺ 100 = 64 + (49 − 14𝑚 + 𝑚2 ) 
⟺ 100 = 64 + 49 − 14𝑚 + 𝑚2 ⟺ 𝑚2 − 14𝑚 + 64 + 49 − 100 = 0 
⟺ 𝑚2 − 14𝑚 + 13 = 0. Resolvendo a equação, temos: 
𝑚2 − 14𝑚 + 13 = 0 ⟺ (𝑚 − 1)(𝑚 − 13) = 0 ⟺ 𝑚 − 1 = 0 𝑜𝑢 𝑚 − 13 = 0 
⟺ 𝑚 = 1 𝑜𝑢 𝑚 = 13. 𝑆 = (1; 13) 
 
PONTO MÉDIO 
Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos: 
 
 
 
EXEMPLOS: 
1. Sendo A (1, 3) e B (7, 13) as extremidades do segmento AB, seu ponto médio é: 
A 
M
 A 
B 
xA xM XB 
yA 
yM 
yB 
M é o ponto que divide o segmento AB ao meio. 
 
 
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Resolução: 
Dados: 𝑥𝑎 = 1; 𝑥𝑏 = 7; 𝑦𝑎 = 3; 𝑦𝑏 = 13 
𝑀 = (
𝑥𝑎+𝑥𝑏
2
;
𝑦𝑎+𝑦𝑏
2
) ⟺ 𝑀 = (
1+7
2
;
3+13
2
) ⟺ 𝑀 = (
8
2
;
16
2
) ⟺ 𝑀 = (4 ; 8) 
2. Sendo A (-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M (-2, 4) o seu ponto 
médio, calcule o ponto B. 
Resolução: 
Temos que A (-5, 2) e M (-2, 4), já que desconhecemos o ponto B, ele será (𝑥𝑏 , 𝑦𝑏). 
Primeiro vamos calcular o valor de 𝑥𝑏 (abcissa do ponto B), ou seja, o número do ponto B, para 
isso é só usar a média aritmética. 
𝑥𝑚 =
𝑥𝑎+𝑥𝑏
2
⟺ −2 =
−5+𝑥𝑏
2
⟺ −2 ∙ 2 = −5 + 𝑥𝑏 ⟺ −4 = −5 + 𝑥𝑏 ⟺ 𝑥𝑏 = −4 + 5 ⟺
𝑥𝑏 = 1 
Agora vamos calcular o valor de 𝑦𝑏 (ordenada do ponto B), assim: 
𝑦𝑚 =
𝑦𝑎+𝑦𝑏
2
⟺ 4 =
2+𝑦𝑏
2
⟺ 4 ∙ 2 = 2 + 𝑦𝑏 ⟺ 8 = 2 + 𝑦𝑏 ⟺ 𝑦𝑏 = 8 − 2 ⟺ 𝑦𝑏 = 6 
Então, temos que: 𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏) = 𝐵(1,6). 
 
Equação da recta com dois pontos (Determinantes). 
Seja r a reta que passa pelos pontos A(xa , ya) e B(xb , yb). 
Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3 pontos , podemos 
escrever: 
 
⟺ 𝑥 ∙ 𝑦𝑎 + 𝑦 ∙ 𝑥𝑏 + 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏 − 𝑥𝑏 ∙ 𝑦𝑎 − 𝑥 ∙ 𝑦𝑏 − 𝑦 ∙ 𝑥𝑎 = 0 , multiplicando a equação por -1, 
temos: ⟺ −𝑥 ∙ 𝑦𝑎 − 𝑦 ∙ 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏 + 𝑥𝑏 ∙ 𝑦𝑎 + 𝑥 ∙ 𝑦𝑏 + 𝑦 ∙ 𝑥𝑎 = 0 
⟺ (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)𝑥 + (𝑥𝑎 − 𝑥𝑏)𝑦 + (𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏) = 0 
Fazendo, 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 = 𝑎, 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 = 𝑏 𝑒 𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏 = 𝑐, vem: 
𝒓: 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 ⟺ é equação geral da recta. 
Equação reduzida da recta no plano 
 
 
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Partindo da equação geral da recta e escrevendo y como função de x, teremos: 
⟺ 𝑥 ∙ 𝑦𝑎 + 𝑦 ∙ 𝑥𝑏 + 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏 − 𝑥𝑏 ∙ 𝑦𝑎 − 𝑥 ∙ 𝑦𝑏 − 𝑦 ∙ 𝑥𝑎 = 0 , multiplicando a equação por -1, 
temos: ⟺ −𝑥 ∙ 𝑦𝑎 − 𝑦 ∙ 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏 + 𝑥𝑏 ∙ 𝑦𝑎 + 𝑥 ∙ 𝑦𝑏 + 𝑦 ∙ 𝑥𝑎 = 0 
⟺ (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)𝑥 + (𝑥𝑎 − 𝑥𝑏)𝑦 + (𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏) = 0 
⟺ (𝑥𝑎 − 𝑥𝑏)𝑦 = −(𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)𝑥 − (𝑥𝑏𝑦𝑎 − 𝑥𝑎𝑦𝑏) ⟺ 𝑦 = −
(𝑦𝑏−𝑦𝑎)𝑥
𝑥𝑎−𝑥𝑏
−
(𝑥𝑏𝑦𝑎−𝑥𝑎𝑦𝑏)
𝑥𝑎−𝑥𝑏
 
⟺ 𝑦 =
−(𝑦𝑏−𝑦𝑎)
−(𝑥𝑏−𝑥𝑎)
𝑥 +
(𝑥𝑎𝑦𝑏−𝑥𝑏𝑦𝑎)
𝑥𝑎−𝑥𝑏
⟺ 𝑦 =
𝑦𝑏−𝑦𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎
𝑥 +
𝑥𝑎𝑦𝑏−𝑥𝑏𝑦𝑎
𝑥𝑎−𝑥𝑏
 
Fazendo, 
𝑦𝑏−𝑦𝑎
𝑥𝑏−𝑥𝑎
= 𝑎 𝑒 
𝑥𝑎𝑦𝑏−𝑥𝑏𝑦𝑎
𝑥𝑎−𝑥𝑏
= 𝑏, vem 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃. 
Onde 𝒂 é chamado de coeficiente angular ou declive da recta e b é chamado de coeficiente linear 
da recta. 
Observação: o coeficiente angular da recta também pode ser obtido ou calculado a partir do 
tangente trigonométrico do angulo 𝛼. 
𝒂 = 𝒕𝒈𝜶 = 
𝒚𝒃 − 𝒚𝒂
𝒙𝒃 − 𝒙𝒂
 
Exemplos: 
1. Determine a equação da recta que passa pelos pontos A (-1,3) e B (1,1) 
 
Para determinar a equação reduzida da recta, basta isolar y na equação geral, assim: 
x + y – 2 = 0 ⟺ y = −x + 2 ⟺, Equação reduzida da recta. 
 
2. Determine a equação da recta que passa pelos pontos A (-3,2) e B (2,-1) 
 
Para determinar a equação reduzida da recta, basta isolar y na equação geral, assim: 
3x + 5y – 1 = 0 ⟺ 5y = −3x + 1 ⟺ 𝐲 = −
𝟑
𝟓
𝒙 +
𝟏
𝟓
 , Equação reduzida da recta. 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Calcule a distância entre os pontos A (1, 3) e B (5, 6). 
2. Calcular a distância entre os pontos A(-3,1) e B(5,-14). 
3. Calcule a distância do ponto M(-12,9) à origem. 
4. Calcule m para que a distância entre o ponto P (-2,m) e o ponto Q (2,3) seja: 
a) 4 b) √41 
5. Para que valor de k o ponto P (k,5) dista 4 do ponto Q (3,1)? 
6. Determine as coordenadas do ponto medio em cada caso: 
a. 𝐴(1,7) 𝑒 𝐵(11,3) 
b. 𝑃(−2,5) 𝑒 𝑄(−4, −1) 
c. 𝑅(3, −1) 𝑒 𝑆(−2,1) 
d. 𝐶(
1
2
, 1) 𝑒 𝐷(
5
2
, −4). 
 
7. Num paralelogramo ABCD, dois vértices consecutivos são os pontos A (2,3) e B (6,4).Seja 
M (1,-2) o ponto de encontro das diagonais AC e BD do paralelogramo. Sabendo que as 
diagonais no paralelogramo cortam-se mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos 
vértices C e D desse paralelogramo. 
8. Uma das extremidades de um segmento AB é o ponto A (3,2).Sendo M (-1,3) o ponto 
médio desse segmento, determine as coordenadas da outra extremidade do segmento. 
9. Obter a equação geral e reduzida da recta que passa pelos pontos: 
a) 𝐴(3,1) 𝑒 𝐵(5,2) 
b) 𝐶(1,2) 𝑒 𝐷(7,6) 
c) 𝑅(−1,2) 𝑒 𝑆(3,0) 
d) 𝑃(−3,1) 𝑒 𝑄(−2,2). 
 
DATA DE ENTREGA: 11 DE SETEMBRO DE 2020.