Teoria sobre Vigas

Prévia do material em texto

16/08/2015 Teoria sobre Vigas
http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html 1/7
Vigas
    Quando dispomos de um elemento estrutural projetado para suportar diversas cargas em sua
extensão, este elemento recebe o nome de viga. Estas vigas são normalmente sujeitas a cargas
dispostas verticalmente, o que resultará em esforços de cisalhamento e flexão. Quando cargas não
verticais são aplicadas a estrutura, surgirão  forças axiais, o que tornará mais complexa a análise
estrutural.
    Vigas normalmente são barras retas e prismáticas, o que ocasiona maior resistência ao cisalhamento
e flexão.
    Quando se efetua o dimensionamento de uma viga, seja ela de qualquer material como aço,
madeira, concreto, duas fases são definidas distintamente. A primeira fase é o cálculo dos esforços da
estrutura, ou seja, o cálculo de momentos fletores e forças cortantes, ao qual a viga esta submetida aos
vários tipos de carregamento. A segunda fase é o dimensionamento da peça propriamente dito, onde é
verificada qual as dimensões necessárias da peça estrutural, que irá resistir aos esforços solicitados. 
 
Tipos de Carregamento
    Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas distribuídas ou combinação de
ambas.  Quando se trabalha com cargas distruibuídas, pode­se substituí­la por uma carga concentrada,
e assim facilitar bastante os demais cálculos. 
 
­ Carga Concentrada
    Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga em um único ponto sobre a estrutura,
sendo geralmente representado em kilograma­força(kgf) ou Newton(N).
­ Carga Distribuída
    Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga por unidade de comprimento, geralmente
representado em kilograma força por metro (kgf/m) ou Newton por centímetro (N/cm).
    Quando a carga por unidade de comprimento possue valor constante, é atribuído o nome de carga
uniformemente distribuída.
16/08/2015 Teoria sobre Vigas
http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html 2/7
 
  Exemplo de Carga Uniformemente Distruibuída
Tipos de Vinculações
    Um vínculo é qualquer condição que restringe a possibilidade de deslocamento de um ponto do
elemento ligado ao vínculo. O deslocamento de um ponto do elemento é determinado através das
componentes segundo os eixos cartesianos ortogonais. As translações podem ser horizontais ou
verticais e a rotação ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano considerado. 
    As vinculações podem ser internos, também chamados de ligações internas, ou então externos,
também chamados de apoios. A seguir será apresentado alguns tipos principais de apoios, por ser de
fundamental importância para a  compreensão de esforços em vigas. As demais vinculações serão
vistas adiante.
Apoios (Vínculos Externos)
    Apoio Articulado Móvel (Apoio Simples)
Este tipo de apoio restringe apenas uma translação, e a reação tem direção perpendicular
ao plano de rolamento.
    Apoio Articulado Fixo (Articulação)
Este tipo de apoio impede as duas translações no plano, e a direção da reação R é
indeterminada, sendo comum a utilização de duas componentes, horizontal e vertical.
    Apoio Engastado(Apoio de Engastamento Perfeito)
Este tipo de apoio impede todos os movimentos no plano, surgindo então três reações de
apoio: a vertical (V), a horizontal (H) e momento (M).
16/08/2015 Teoria sobre Vigas
http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html 3/7
Tipos de Vigas
    Viga Bi­apoiada
        Consiste de uma viga apoiada em dois apoios articulados, sendo um fixo e o outro móvel.
 Viga em balanço
        Consiste de uma viga que possue um apoio engastado, não sendo livre a sua rotação
Viga com extremidade em balanço
        Consiste de uma viga com extremidade em balanço, sendo articulada em um apoio fixo e um
apoio móvel.
Convenção de Sinais
        Para o cálculo de esforços internos a uma determinada estrutura, como será visto adiante, é
necessário estabelecer uma convenção de sinais para cada parte da viga em análise
 
Positivo
16/08/2015 Teoria sobre Vigas
http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html 4/7
Cálculo de Momento Fletor e Força Cortante em uma viga submetida a uma carga
concentrada
        Como exemplo, usaremos uma viga bi­apoiada de comprimento L, submetida a uma carga
concentrada P, distante a e b dos apoios. Embora seja usada uma viga bi­apoiada, o entendimento
pode se extendido para qualquer tipo de viga, e qualquer quantidade de forças aplicadas.
 
 
Diagrama de Corpo Livre
        O primeiro passo é o cálculo das reações de apoio Ra e Rb, que são obtidos através do somatório
dos momentos iguais a zero(corpo em equilíbrio)  nos pontos A e B.
Ra = P. b / L
Rb = P. a / L
        Para determinarmos por exemplo as forças internas em um ponto genérico C, uma maneira
simples é primeiro desenharmos o diagrama de corpo livre da parte a ser estudada. 
 
Diagrama de Corpo Livre (Esquerda do ponto C)
 
Diagrama de Corpo Livre (Direita do ponto C)
16/08/2015 Teoria sobre Vigas
http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html 5/7
 
  
 
Cálculo da força cortante em C.
        Com as reações já calculadas e analisando a figura, podemos facilmente encontrar o valor da
força cortante no ponto C, através do somatório das forças verticais. 
        Como o ponto C, considerado para o cálculo dos esforços é exatamente o ponto de aplicação de
uma força concentrada, teremos dois valores diferentes de força cortante, um a esquerda carga, ou
seja, sem a plicação da carga P, e outra a direita, considerando a aplicação da carga P. Isto acontece
porque o diagrama de forças cortantes ao passar no ponto onde existe uma carga concentrada, sofre
uma descontinuidade, como será visto adiante, no diagrama. 
 
Qesq C = Ra
Qdir C = Ra ­ P
        Para o cálculo dos demais esforços cortantes ao longo da viga, procede­se com mesmo
raciocínio.
Cálculo do Momento Fletor em C
        Para o cálculo das forças cortantes em um determinado ponto, efetuou­se o somátorio das forças
verticais de um corpo. Para o cálculo do momento fletor, procede de maneira análogo, porém faz­se o
somatório dos momentos no ponto considerado, neste caso, o ponto C. 
 
MC = Ra  .  a
        Para o cálculo dos demais momentos ao longo da viga, procede­se com mesmo raciocínio. 
 
Diagrama de Momento Fletor e Força Cortante em uma viga submetida a uma carga
concentrada
        Se fosse calculados esforços de momento e força cortante em infinitas seções da viga em análise
e após isso fosse traçado diagramas com esses valores, teríamos então representados os diagramas de
momento fletor e força cortante da viga em análise. Na realidade não são efetuados infinitas seções, e
sim algumas seções em locais apropriados, que permitam representam  em sua totalidade  os
diagramas. 
       Para o traçado do diagrama, é usual, adotar­se para o diagrama de forças cortantes, positivo para
cima e negativo para baixo, e o diagrama de momentos, positivo para baixo e negativo para cima, de
maneira a salientar a tendência de flexão da viga.
16/08/2015 Teoria sobre Vigas
http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html 6/7
 
       
        Tendo como exemplo uma viga bi­apoiada de comprimento L, submetida a uma carga
concentrada, distanciada de a do apoio da esquerda, temos as seguintes equações para o traçado do
diagrama:
Força Cortante
1) Para x variando entre 0 e a
Q = Ra
2) Para x variando entre a e L
Q = Ra ­ P = Rb
Momento Fletor
1) Para x variando entre 0 e a
M = Ra . x
2) Para x variando entre a e L
M = Ra . x   ­   ( x ­ a) . P
Momento Fletor Máximo
    O  momento fletor máximo ocorre no ponto onde temos a carga concentrada, então:
     Mmáx = Ra . a ­ ( a ­ a ) . P =  Ra . a = (P . b /L) . a  =  P . a . b / L
Diagrama
16/08/2015 Teoria sobre Vigas
http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html 7/7
        Quando uma viga suporta muitas cargas, o método de se fazer várias seções ao longo da barra,
pode se tornar muito complicado. A construção do diagrama de força cortante e principalmente o de
momento fletor pode ser bastante simplificado se determinadas relações entre os diagramas de força
cortante e momento fletor forem considerados. 
        Através de algumas deduções matemáticas, podemos chegar a seguinte conclusão:
        A derivada do  momento fletor  em relação a  x  é igual ao esforço cortante. 
        Com isso, basta simplesmente determinar as equações de qualquer um dos dois esforços, e
através de simples derivação ou integração, podemos encontrar facilmente o outro esforço.