Tema 3 - Vigas biapoiadas

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DESCRIÇÃO
Estudo das vigas biapoiadas sob carregamento, descrição da geometria das vigas e dos carregamentos
possíveis, conceitos dos efeitos internos, esforço cortante V e momento fletor M, modelagem
computacional das vigas biapoiadas.
PROPÓSITO
Compreender, por meio das equações de equilíbrio da estática, as reações nos dois apoios da viga
isostática, bem como os efeitos da flexão e do cisalhamento.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora científica ou a de
seu smartphone/computador, além de um software para auxiliar a traçar os diagramas de esforço cortante
e de momento fletor.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a geometria e os carregamentos de uma viga biapoiada isostática
MÓDULO 2
Calcular os efeitos internos de flexão e cisalhamento numa viga biapoiada isostática
MÓDULO 3
Esquematizar os diagramas de estado de vigas biapoiadas isostáticas
MÓDULO 4
Compreender a modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas
BEM-VINDO AO ESTUDO SOBRE A IMPORTÂNCIA DAS VIGAS NAS ESTRUTURAS
MÓDULO 1
 Identificar a geometria e os carregamentos de uma viga biapoiada isostática
INTRODUÇÃO
Uma viga é um elemento estrutural prismático de uma grande estrutura que suporta carregamentos
externos.
Em função do tipo de carregamento sobre a viga, vários são os efeitos internos possíveis:
O esforço cortante ou cisalhante.
A flexão.
A torção.
O esforço normal.
As vigas podem estar vinculadas de diversas maneiras. Algumas dessas possibilidades estão mostradas
na figura.
 
Fonte: Produção interna.
Vigas vinculadas de formas distintas. Fonte: o autor.
Neste tema, serão estudadas particularmente as vigas biapoiadas isostáticas.
São vigas que se encontram vinculadas a dois apoios sendo um do primeiro gênero e o outro de segundo
gênero. Elas podem estar ou não em balanço, conforme ilustra a figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Vigas biapoiadas isostáticas. Fonte: O autor.
Nesta fase introdutória do tema, será feita uma abordagem bastante simples a respeito da estaticidade das
vigas biapoiadas. Elas podem ser:
HIPOSTÁTICAS (SEM ESTABILIDADE)
As vigas hipostáticas (apoiadas sobre dois roletes, por exemplo), sob determinada condição de
carregamento, podem não manter o equilíbrio.
ISOSTÁTICAS (ESTATICAMENTE DETERMINADA)
As isostáticas estão vinculadas de tal forma que três são as reações de apoio que podem ser
determinadas utilizando apenas as três equações do equilíbrio estático
HIPERESTÁTICAS (ESTATICAMENTE INDETERMINADA)
As hiperestáticas apresentam mais que três reações de apoio, necessitando, portanto, de equações
auxiliares (de deformação, por exemplo).
Na figura, a seguir, são apresentadas algumas dessas vigas.
 
Fonte: Produção interna.
Vigas hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. Fonte: O autor.
GEOMETRIA E OS CARREGAMENTOS DE UMA
VIGA BIAPOIADA
No item anterior, a viga foi descrita como um elemento estrutural prismático.
(∑Fx = 0;  ∑Fy = 0  e ∑Mz = 0).
De maneira bem coloquial, as vigas são elementos de grande comprimento, vinculadas a apoios, que
resistem a carregamentos externos.
 
Fonte: Por Carmen Hauser / Shutterstock.
Há uma gama de possibilidades para as seções retas das vigas. Podem ser constantes ou variáveis ao
longo do comprimento L da barra (viga).
Seções comuns na Engenharia são as retangulares (quadradas), em forma de I, em forma de T, em forma
de C, circulares etc.
Ademais, o tipo de material também apresenta um grande espectro. Podem ser de metais, de madeira, de
concreto etc.
 COMENTÁRIO
A escolha da forma geométrica e do material da viga será estudada em disciplinas posteriores.
A figura seguinte apresenta algumas possibilidades citadas, em que a_a’ e b_b’ são os cortes.
 
Fonte: Produção interna.
Seções retas de vigas: retangular e “em I”. Fonte: O autor.
Em relação ao carregamento que as vigas biapoiadas podem estar submetidas, existem dois grandes
grupos: concentrado e distribuído. Cada um deles pode ser associado à força (carga) ou carga momento.
Devemos ter em mente que as várias partes de uma grande estrutura se vinculam de alguma forma.
 EXEMPLO
Uma viga de um prédio pode estar sendo o apoio transversal de outras duas ou três vigas.
Anteriormente, já foi feita uma abordagem em que se mostrou a diferença entre os conceitos de força
concentrada e de força distribuída.
FORÇA 
CONCENTRADA
No caso da força concentrada, o ponto de sua aplicação é único, mas a linha de ação pode ser qualquer
uma. Linha de ação vertical à viga é bastante comum. Perceba, porém, que na primeira figura do módulo,
existe uma situação em que a força concentrada tem linha de ação oblíqua em relação à viga.
Além de alguns exemplos já mostrados em figuras anteriores, é possível supor algumas pessoas em pé
num apartamento, numa reunião familiar. A força que cada pessoa faz sobre a laje é considerada uma
força concentrada.
Observe no croqui da figura, a seguir, a situação descrita para uma dessas pessoas.
 
Fonte: O autor.
Representação de uma força (carga) concentrada. Fonte: O autor.
Ainda dentro da ideia de carga concentrada, é possível pensar em uma carga momento aplicada sobre
uma viga.
Observe o esquema da figura a seguir, em que uma carga momento no sentido horário é aplicada à viga
no ponto destacado. Lembrando que o momento é um vetor; em nosso estudo das vigas biapoiadas,
perpendicular ao plano da viga, podendo estar “entrando” ou “saindo” deste (regra da mão direita).
No exemplo da figura, o momento é um vetor com direção perpendicular ao plano e “entrando” neste.
 
Fonte: O autor.
Representação de uma carga momento sobre uma viga.
CARGA 
DISTRIBUÍDA
No grupo das cargas distribuídas, é importante ressaltar que elas podem ser apresentadas em termos de
distribuição ao longo de uma área, contudo, o estudo deste tema limita-se a vigas biapoiadas e, portanto, a
carga será distribuída ao longo de um comprimento.
Suponha uma viga homogênea de comprimento 4m e peso 2.000N. A ideia é distribuir esse peso ao longo
do comprimento da viga.
Pelo fato de a viga ser homogênea, há 2.000 N divididos por 4 m equivalendo a q = 500 N/m.
Outro exemplo comum na engenharia civil, a respeito de cargas distribuídas ao longo de um comprimento,
é a parede de um apartamento onde os tijolos estão assentados sobre uma base.
A figura seguinte representa a situação real da parede e sua representação gráfica, ou seja, a de uma
carga distribuída.
 
Fonte: Produção interna.
Esquema de força distribuída ao longo de um comprimento. Fonte: O autor.
SUBSTITUIÇÃO DE UMA CARGA DISTRIBUÍDA
POR UMA CONCENTRADA
Em muitas situações, para o cálculo de reações em vigas biapoiadas, será importante fazer a substituição
da carga distribuída pela concentrada equivalente.
Essa troca significa conhecer que vetor único (intensidade, direção, sentido e ponto de aplicação)
representando uma carga concentrada é capaz de substituir a carga distribuída provocando os mesmos
efeitos físicos no sistema.
A figura, a seguir, apresenta uma situação genérica de substituição de uma carga distribuída q(x) pela sua
carga equivalente concentrada F.
 
Fonte: Produção interna.
Figura 8 – Substituição de uma carga distribuída por uma concentrada. Fonte: O autor.
Para se determinar a intensidade da força concentrada F, é necessária a determinação da área sob a
curva da carga distribuída, ou seja, e do ponto de aplicação (centroide da área sob a
curva da carga distribuída).
Dois casos de carregamentos distribuídos são apresentados na figura a seguir (uniformemente e
linearmente distribuídos).
A determinação da intensidade e localização (centroide) são bem simples.
Nos dois casos, a intensidade da carga concentrada equivalente será numericamente igual à área do
retângulo (base x altura) ou à área do triângulo retângulo (base x altura/2).
• Em relação ao centroide, o do retângulo localiza-se no encontro das diagonais, ou seja, a vertical passa
pelo ponto médio da base.

•Quando a carga distribuída for de acordo com um triângulo retângulo, o centroide localiza-se, em relação
ao ângulo reto, a 1/3 da base e a 1/3 da altura.
 
Fonte: Produção interna.
F = ∫ b
a
q(x) ⋅ dx
Cargas distribuídas particulares. Fonte: O autor.
 EXEMPLO
Suponha que uma viga biapoiada isostática esteja sob um carregamento distribuído linear, conforme a
figura. Considere a viga com comprimento 6 m e peso desprezível. Faça a substituição do carregamento
por um equivalente concentrado.
 
Fonte: Produção interna.
SOLUÇÃO:
Inicialmente, será determinada a intensidade da carga equivalente ao carregamento distribuído. O módulo
(intensidade) é determinado pela área do triângulo 
(b . h/2 = 10 . 6/2 = 30 kN).
No caso da carga triangular, a linha de ação da carga concentrada equivalente localiza-se a 1/3 do vértice
do ângulo reto. Nesse caso, a (1/3) . 6 = 2 m do apoio B.
Assim, a substituição fica de acordo com a figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE AS VIGAS I, II E III REPRESENTADAS NAS FIGURAS (FONTE: O
AUTOR) COM PESOS DESPREZÍVEIS. TODAS ELAS ESTÃO VINCULADAS
DUPLAMENTE E COM OS CARREGAMENTOS APRESENTADOS. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
QUANTO À ESTATICIDADE DAS VIGAS, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) I – hipostática; II – isostática e III – hiperestática.
B) I – hiperestática; II – isostática e III – hipostática.
C) I – hipostática; II – hiperestática e III – isostática.
D) I – isostática; II – hipostática e III – hiperestática.
E) I – hiperestática; II – hipostática e III – isostática.
2. (FCC ‒ 2014 ‒ METRÔ-SP ‒ TÉCNICO SISTEMAS METROVIÁRIOS ‒ CIVIL)
CONSIDERE A VIGA ISOSTÁTICA A SEGUIR: 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
PARA O EQUILÍBRIO EXTERNO, AS REAÇÕES NOS APOIOS A E B SÃO,
RESPECTIVAMENTE,
A) RVA, RVB e MB.
B) RHA, RVB e RHB.
C) RVA, RHA, RVB.
D) RVA, RVB e RHB.
E) RVA, RHA e MB.
3. CONSIDERE UMA VIGA BIAPOIADA COM UM CARREGAMENTO NO PLANO XY.
ESSA VIGA PODE SER CLASSIFICADA EM HIPOSTÁTICA, ISOSTÁTICA E
HIPERESTÁTICA. CONSIDERANDO A VIGA EM QUESTÃO COMO ISOSTÁTICA, É
POSSÍVEL AFIRMAR QUE OS APOIOS SÃO DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO
GÊNERO. A JUSTIFICATIVA PARA ESSA AFIRMAÇÃO ENCONTRA-SE NA OPÇÃO:
A) O número de incógnitas (reações) n é igual ao número de equações do equilíbrio (q), ou seja, 
n = q = 3.
B) O número de incógnitas (reações) n é maior que o número de equações do equilíbrio (q), ou seja, 
n = 4 e q = 3.
C) O número de incógnitas (reações) n é igual ao número de equações do equilíbrio (q), ou seja, 
n = q = 4.
D) O número de incógnitas (reações) n é menor que o número de equações do equilíbrio (q), ou seja, 
n = 3 e q = 4.
E) O número de incógnitas (reações) n é menor que o número de equações do equilíbrio (q), ou seja, n = 4
e q = 5.
4. CONSIDERE UMA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA COM O CARREGAMENTO
DISTRIBUÍDO DE 5 KN/M AO LONGO DO VÃO DA VIGA DE 4 M. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
CASO SEJA NECESSÁRIA A SUBSTITUIÇÃO DESSE CARREGAMENTO, AS SUAS
INTENSIDADE E LOCALIZAÇÃO SERÃO:
A) 20 kN e a 1 m do apoio A.
B) 20 kN e a 3 m do apoio A.
C) 20 kN e a 2 m do apoio A.
D) 10 kN e a 2 m do apoio A.
E) 10 kN e a 1 m do apoio A.
5. UMA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA NAS EXTREMIDADES APRESENTA SEÇÃO
RETA QUADRANGULAR DE LADO 120 MM. SOBRE TODA A EXTENSÃO DA VIGA,
EXISTE UM CARREGAMENTO Q(X), DADO EM KN/M, QUE VARIA COM O
COMPRIMENTO X DA VIGA DE ACORDO COM A FUNÇÃO Q(X) = X2.
CONSIDERANDO QUE O COMPRIMENTO X DA VIGA É DE 3 M, DETERMINE O
MÓDULO DA FORÇA CONCENTRADA EQUIVALENTE, EM KN.
A) 9
B) 16
C) 25
D) 27
E) 36
6. A FIGURA REPRESENTA UMA VIGA BIAPOIADA COM UM CARREGAMENTO
LINEARMENTE DISTRIBUÍDO. DESCONSIDERANDO O PESO DA VIGA E SENDO
SEU COMPRIMENTO IGUAL A 3 M, DETERMINE A FUNÇÃO DA CARGA
DISTRIBUÍDA SOBRE A VIGA Q(X), EM QUE X É A DISTÂNCIA HORIZONTAL A
PARTIR DO APOIO A. AS REAÇÕES NOS APOIOS A E B VALEM,
RESPECTIVAMENTE, 6 E 12 KN. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
A) q(x) = 3.x
B) q(x) = 4x
C) q(x) = 3x + 6
D) q(x) = - 4x + 6
E) q(x) = 3x + 12
GABARITO
1. Considere as vigas I, II e III representadas nas figuras (fonte: O autor) com pesos desprezíveis.
Todas elas estão vinculadas duplamente e com os carregamentos apresentados. 
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Quanto à estaticidade das vigas, é correto afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
2. (FCC ‒ 2014 ‒ METRÔ-SP ‒ Técnico Sistemas Metroviários ‒ Civil) Considere a viga isostática a
seguir: 
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Para o equilíbrio externo, as reações nos apoios A e B são, respectivamente,
A alternativa "D " está correta.
O apoio A é de primeiro gênero só impedindo translação na vertical. Logo, RVA. O apoio B é de segundo
gênero, impedindo translações na vertical e na horizontal. Assim, RVB e RHB.
3. Considere uma viga biapoiada com um carregamento no plano xy. Essa viga pode ser
classificada em hipostática, isostática e hiperestática. Considerando a viga em questão como
isostática, é possível afirmar que os apoios são de primeiro e de segundo gênero. A justificativa
para essa afirmação encontra-se na opção:
A alternativa "A " está correta.
No caso das vigas biapoiadas isostáticas com um apoio de primeiro gênero e um de segundo gênero, o
número de incógnitas (reações) é igual a 3, pois o apoio de primeiro gênero apresenta 1 reação e o de
segundo gênero 2 reações.
São três as equações do equilíbrio .
Dessa forma, um sistema linear 3 x 3 é escrito e a resolução leva à solução das reações.
4. Considere uma viga isostática biapoiada com o carregamento distribuído de 5 kN/m ao longo do
vão da viga de 4 m. 
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Caso seja necessária a substituição desse carregamento, as suas intensidade e localização serão:
A alternativa "C " está correta.
A intensidade é dada pela área do retângulo, ou seja, b . h = 5 . 4 = 20 kN e a linha de ação passa pelo
ponto médio da base do retângulo. Assim, 4/2 = 2 m de ambos os apoios A e B.
5. Uma viga isostática biapoiada nas extremidades apresenta seção reta quadrangular de lado 120
mm. Sobre toda a extensão da viga, existe um carregamento q(x), dado em kN/m, que varia com o
comprimento x da viga de acordo com a função q(x) = x2. Considerando que o comprimento x da
viga é de 3 m, determine o módulo da força concentrada equivalente, em kN.
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
(∑Fx = 0;∑Fy = 0 e ∑Mz = 0)
6. A figura representa uma viga biapoiada com um carregamento linearmente distribuído.
Desconsiderando o peso da viga e sendo seu comprimento igual a 3 m, determine a função da
carga distribuída sobre a viga q(x), em que x é a distância horizontal a partir do apoio A. As reações
nos apoios A e B valem, respectivamente, 6 e 12 kN. 
 
 
Fonte: Produção interna.
A alternativa "B " está correta.
Como a carga distribuída é linear, a função associada é do primeiro grau em relação à variável x.
Genericamente, q(x) = a.x + b. Observando-se a figura do enunciado, em A, ou ainda, para x = 0, q = 0.
Substituindo x e q na expressão (q(x) = a.x + b), tem-se 0 = a.0 + b. Logo, 0 = 0 + b e, portanto, b = 0.
Assim, a expressão q(x) = a.x + b reduz-se a q(x) = a.x. Na extremidade B, x = 3. Substituindo na
expressão q(x) = a.x, tem-se q = 3a.
Substituindo a carga distribuída por uma concentrada equivalente (área do triângulo), 
F = (bxh/2) = (3.a.3)/2 = 4,5.a. O DCL da figura é mostrado a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Observe que a força concentrada F atua a 1/3 de B, ou seja (1/3) x 3 = 1m de B e 2m de A.
Aplicando-se as equações de equilíbrio rotacional do corpo rígido:
 (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto A, tem-se 
RBY x 3 – F x 2 = 0 → 12.3 - 4,5.a. 2 = 0.
Logo, 36 - 9.a = 0 → 9a = 36 → a = 36/9 = 4.
Assim, a expressão para o carregamento será dada por q(x) = 4.x
∑Mz = 0
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vários ramos da Engenharia apresentam muitos exemplos emque são aplicadas as vigas, um dos
principais elementos estruturais para muitos autores.
Na Engenharia Civil, por exemplo, é fácil perceber a presença desses elementos na fase intermediária da
construção de um prédio, pois antes do fechamento das paredes, ficam evidentes as vigas, dentre outros
elementos estruturais.
Na Engenharia Mecânica também existem exemplos em grandes estruturas metálicas. O modelo prático,
que será apresentado, possui algumas simplificações em sua modelagem, mas é didático para a
percepção das vigas biapoiadas sob determinado carregamento.
Suponha um carro estacionado (equilíbrio estático) de massa aproximadamente 1.800 kg.
Devido à presença do motor na parte dianteira, o peso não é igualmente distribuído entre os eixos
dianteiro e traseiro. Suponha que 40% do peso seja suportado pelo eixo traseiro.
 
Fonte: Por merrymuuu/Shutterstock
Para simplificar a modelagem, será suposto um eixo contínuo de seção circular constante e comprimento
2,0 m. Além disso, será feito um estudo que envolve o modelo físico, sua representação esquemática por
meio do diagrama do corpo livre (DCL) e cálculos das reações nos apoios.
Inicialmente, será determinado o peso do carro e a fração desse suportada pelo eixo traseiro.
Considerando a aceleração da gravidade local igual a 10m/s2, o peso (P = m.g) será igual a 1800.10, ou
seja, 18.000 N (18 kN). Apenas 40% desse valor é suportado pelas rodas traseiras. Dessa forma, 40% x
18 kN é igual a 7,2 kN.
A seguir, há um esquema do eixo e as rodas traseiras vistos sob a óptica de um observador localizado na
parte posterior do carro.
 
Fonte: Por Yuri Schmidt/Shutterstock
O eixo é uma viga biapoiada em que as rodas são os vínculos.
Considerando que o valor de 7,2 kN seja distribuído uniformemente ao longo do comprimento do eixo, é
possível imaginar um modelo de uma carga distribuída sobre ele.
Dessa forma, a carga distribuída q será dada por 7,2 kN divididos por 2 m, ou seja:
q = 7,2 / 2 = 3,6 kN/m.
Na figura, a seguir, veja o DCL para a situação descrita.
 
Fonte: Produção interna.
A partir das equações do equilíbrio estático (equilíbrio translacional) e 
(equilíbrio rotacional) é possível determinar os valores de RV1 e RV2.
No caso apresentado, pela simetria da configuração geométrica e do carregamento, é imediata a
determinação das reações, uma vez que elas serão iguais.
A carga distribuída equivale a uma força concentrada de intensidade igual à área do retângulo, b . h = 3,6 .
2 = 7,2 kN que atua no ponto médio do eixo.
Na equação do equilíbrio em y, tem-se:
∑Fx = 0;∑Fy = 0 ∑Mz = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as reações (RV1 e RV2) são iguais, RV1 + RV1 = 7,2 → 2.RV1 = 7,2 → RV1 = 7,2/2 = 3,6 kN.
Assista agora à análise de um caso real
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UMA VIGA METÁLICA CUJA SEÇÃO RETA SEJA UM “I”. SUPONHA
QUE A VIGA ESTEJA BIAPOIADA EM SUAS EXTREMIDADES DE TAL FORMA QUE
SEJA ISOSTÁTICA. 
 
SENDO SEU PESO IGUAL A 30 KN E O COMPRIMENTO DE 6 M, DETERMINE A
CARGA Q DISTRIBUÍDA AO LONGO DO COMPRIMENTO DA VIGA, SUPONDO-A
CONSTANTE:
A) 180 kN/m
B) 90 kN/m
C) 10 kN/m
D) 5 kN/m
E) 1 kN/m
2. SEJA UMA VIGA BIAPOIADA COM PESO DESPREZÍVEL E CARREGAMENTO E
DIMENSÕES MOSTRADOS NA FIGURA. 
 
∑Fy = 0 → RV 1 + RV 2 = 7, 2
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
FAZENDO A SUBSTITUIÇÃO DA CARGA DISTRIBUÍDA POR UMA CONCENTRADA,
SUA INTENSIDADE E LOCALIZAÇÃO SERÃO, RESPECTIVAMENTE:
A) 600 kN e a 3,5 m do apoio A.
B) 600 kN e a 2,5 m do apoio A
C) 300 kN e a 3,0 m do apoio A.
D) 300 kN e a 4,0 m do apoio A.
E) 300 kN e a 2,5 m do apoio A.
GABARITO
1. Considere uma viga metálica cuja seção reta seja um “I”. Suponha que a viga esteja biapoiada
em suas extremidades de tal forma que seja isostática. 
 
Sendo seu peso igual a 30 kN e o comprimento de 6 m, determine a carga q distribuída ao longo do
comprimento da viga, supondo-a constante:
A alternativa "D " está correta.
 
Como a viga é homogênea, o seu peso pode ser distribuído ao longo de seu comprimento de forma
constante.
Assim, q = 30 kN/6m = 5 kN/m
2. Seja uma viga biapoiada com peso desprezível e carregamento e dimensões mostrados na
figura. 
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Fazendo a substituição da carga distribuída por uma concentrada, sua intensidade e localização
serão, respectivamente:
A alternativa "C " está correta.
 
A intensidade da força concentrada equivalente à carga distribuída é numericamente igual à área do
triângulo, ou seja, b . h/2 = 200 . 3/2 = 300 kN. A localização para essa distribuição é a 1/3 do ângulo reto.
Portanto, 1/3 . (3) = 1m. Assim, 1 + 2 = 3 m do apoio A.
MÓDULO 2
 Calcular os efeitos internos de flexão e cisalhamento numa viga biapoiada isostática
INTRODUÇÃO
Considere uma viga sob um carregamento externo genérico.
Ao se estudar internamente as seções desse elemento estrutural, é possível perceber os efeitos
decorrentes das ações externas. Cada seção interna pode estar submetida aos seguintes efeitos: flexão,
torção e os esforços cortante e normal.
A abordagem desse tema particulariza a viga e o carregamento aplicado. A suposição é que a viga se
encontra biapoiada com um carregamento (força) no seu plano e momentos fletores perpendiculares a
esse plano. Serão avaliados apenas os efeitos interno de cisalhamento (esforço cortante) e de flexão
(momento fletor).
A figura a seguir mostra essa situação de maneira esquemática.
 
Fonte: Produção interna.
Viga biapoiada sob carregamento no plano.
EFEITOS INTERNOS DE FLEXÃO E DE
CISALHAMENTO
Ao se estudar os efeitos internos numa seção de uma viga sob um carregamento, é fundamental que o
aluno perceba que o corte feito para “expor” a seção interna de estudo é tão somente uma abstração. Não
ocorre, de fato, um rompimento físico da viga.
Ao se efetuar o corte (a_a’) na viga, duas “partes” dessa surgirão (à esquerda e à direita do plano de
corte).
Será possível, portanto, o estudo da seção interna a partir de uma dessas duas partes em que a viga se
dividiu (abstratamente).
Observe o corte da viga na figura:
 
Fonte: Produção interna.
Corte de uma viga e as seções “expostas”.
Com o corte da viga e a exposição da seção interna, os efeitos internos são indicados por M (momento
fletor) e V (esforço cortante). A figura, a seguir, apresenta estes dois vetores (M e V) na seção interna em
ambas as partes da viga.
 
Fonte: Produção interna.
Esforços internos – momento fletor e esforço cortante.
A figura anterior mostra o esforço cortante V (tangente à seção interna) e o momento fletor M
convencionados como positivos. Perceba a Terceira Lei de Newton (ação-reação) sendo aplicada.
O momento fletor na parte esquerda da viga tem sua reação na parte da direita, assim como o esforço
cortante.
 ATENÇÃO
Atente que os pares de M e V têm sentidos opostos, como prevê a Terceira Lei de Newton.
DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS INTERNOS DE
FLEXÃO E CISALHAMENTO EM UMA VIGA
Para a determinação dos efeitos internos (esforço cortante V e momento fletor M), em uma dada seção da
viga, serão utilizadas as equações do equilíbrio estático do corpo rígido bidimensional, ou seja:
 (equilíbrio translacional)
 (equilíbrio rotacional)
Em linhas gerais, inicialmente são determinadas as reações nos apoios da viga, considerando-a como um
corpo único. Conhecendo-se os valores das reações nos vínculos da viga, faz-se o corte na região da viga
que se deseja estudar e separa-se uma das duas partes.
Uma vez que a viga se encontra em equilíbrio, qualquer uma das partes escolhidas também estará em
equilíbrio. Assim, novamente as equações do equilíbrio são utilizadas e os valores de V e M são
determinados.
O exemplo a seguir mostra os passos descritos.
∑Fx = 0;   ∑Fy = 0
∑Mz = 0
 EXEMPLO
(FCC ‒ 2014 ‒ TRF - 3ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil). Considere a figura:
 
Fonte: Produção interna.
O momento fletor, distante 1m do apoio A, em kN.m, será igual a:
A) 36 
B) 18C) 27 
D) 72 
E) 9 
SOLUÇÃO:
1º passo: Determinação das reações nos apoios
Inicialmente, será feita a “troca” da carga distribuída pela carga concentrada equivalente e desenhado o
DCL da barra.
A intensidade da carga concentrada é dada pela área do retângulo, ou seja, 
b . h = 18 . 4 = 72 kN e seu ponto de aplicação no ponto médio da viga (4/2 = 2 m).
Os apoios A e B são, respectivamente, do primeiro e segundo gêneros. Em A existe uma reação vertical
(VA) e em B duas reações, uma vertical (VB) e outra horizontal (HB).
Segue o diagrama do corpo livre da viga.
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido:
 (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças em
relação ao ponto B, tem-se 72 . 2 – VA . 4 = 0. Logo, 144 - 4.VA = 0, ou ainda 4.VA = 144 → VA =
144/4 = 36 kN. Da equação (*), VA + VB = 72.
Substituindo VA = 36 kN, tem-se 36 + VB = 72 → VB = 72 – 36 = 36 kN.
 COMENTÁRIO
Nesse exemplo, em particular, o carregamento e a simetria do problema facilitam a determinação das
reações. Como não há carregamento horizontal, HB = 0 e, pela simetria do carregamento, VA = VB = 36
kN.
2º passo:
Determinação dos esforços internos na seção de estudo
Observe na figura do exemplo o plano de seccionamento distante 1 m do apoio A.
Fazendo o corte na viga e escolhendo-se a parte esquerda, tem-se:
 
Fonte: Produção interna.
∑Fx = 0 → HB = 0
∑Fy = 0 → VA + VB– 72 = 0 → VA + VB = 72(*)
∑Mz = 0
Perceba que na parte esquerda da viga, o carregamento distribuído atua apenas sobre o comprimento de
um metro (corte).
Na figura à direita, há o DCL com a representação da força concentrada equivalente (área do retângulo b .
h = 18 . 1) de 18 kN atuando a 0,5 m de A.
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido:
• (satisfeita)
• 
• (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto C (seção do corte), tem-se:
• M’ + F' . 0,5 – VA . 1 = 0.
• Logo, M’ + 18 . 0,5 – 36 . 1 = 0.
• Assim, M’ + 9 – 36 = 0 → M’ = 36 – 9 = 27 kN.m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. (IBFC - 2016 – EBSERH - ENGENHEIRO CIVIL (HUAP-UFF)) ASSINALE A
ALTERNATIVA CORRETA: UMA VIGA BIAPOIADA COM 6 M DE COMPRIMENTO E
UMA CARGA DISTRIBUÍDA DE 550 KN/M, POSSUI O MOMENTO NO MEIO DO VÃO:
A) 2.650 kN.m
B) 2.600 kN.m
C) 2.700 kN.m
D) 2.475 kN.m
E) 2.455 kN.m
2. SUPONHA UMA VIGA ISOSTÁTICA BIAPOIADA EM SUAS EXTREMIDADES EM
APOIOS DO PRIMEIRO E SEGUNDO GÊNEROS (A – À ESQUERDA E B – À
DIREITA), COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE 8 KN/M E
∑Fx = 0
∑Fy = 0 → VA–V ’–F = 0 → 36–V ’– 18 = 0 → V ’ = 36 − 18 → V ’ = 18 kN
∑Mz = 0
COMPRIMENTO DE 4 M. OS MOMENTOS FLETORES (EM KN.M) NAS
EXTREMIDADES A E B DA VIGA SÃO, RESPECTIVAMENTE, IGUAIS A:
A) 12 e 12
B) 24 e 0
C) 32 e 32
D) 0 e 0
E) 2 e 32
3. (VUNESP ‒ 2017 ‒ PREFEITURA DE ITANHAÉM ‒ SP ‒ ENGENHEIRO CIVIL) UMA
VIGA, SIMPLESMENTE APOIADA, DE 6 M DE COMPRIMENTO É SUBMETIDA A
APENAS UMA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA DE 4 KN/M
CORRESPONDENTE AO SEU PESO PRÓPRIO. O MOMENTO FLETOR E A FORÇA
CORTANTE NA SEÇÃO TRANSVERSAL NO MEIO DA VIGA (A 3 M DOS APOIOS),
EM KN.M E KN, SÃO, RESPECTIVAMENTE:
A) 40 e 10
B) 36 e 12
C) 18 e zero
D) 18 e 12
E) 12 e 24
4. (FCC ‒ 2012 ‒ TRF ‒ 2ª REGIÃO ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA CIVIL)
A FIGURA REPRESENTA UMA VIGA BIAPOIADA COM EXTENSÃO (L) SENDO
SOLICITADA POR UM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO (Q). 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
ANALISANDO A VIGA, O ESFORÇO CORTANTE (Q), EM KN, E O MOMENTO
FLETOR (M), EM KN.M, NO CENTRO DA VIGA, SÃO IGUAIS, RESPECTIVAMENTE,
A:
A) Q = 0 e M = 0
B) 
C) 
D) 
E) 
5. (FCC ‒ 2014 ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA CIVIL)
PARA UMA VIGA ENGASTADA COM BALANÇO DE 3,0 M, O VALOR DO MOMENTO
MÁXIMO NO ENGASTE É IGUAL A 121,5 KN.M. PARA ESSE VALOR DE MOMENTO,
A CARGA DISTRIBUÍDA RETANGULAR POR METRO MÁXIMA EXISTENTE, EM
KN/M, É IGUAL A
A) 27
B) 40,5
C) 81
D) 13,5
E) 49,5
6. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ TECNOLOGISTA EM SAÚDE ‒ ENGENHARIA CIVIL)
EM UMA VIGA ENGASTADA E LIVRE, SUBMETIDA A UM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE INTENSIDADE Q, A EXPRESSÃO QUE
DEFINE, EM VALOR ABSOLUTO, O ESFORÇO CORTANTE A UMA DISTÂNCIA X DA
EXTREMIDADE LIVRE, É:
A) qx
B) qx/2
C) qx/4
D) qx2/2
E) E) qx2/8
Q = q ⋅ L  e  M =
q⋅L2
4
Q =   e  M =
q⋅L
4
q⋅L2
8
Q = 0  e  M =
q⋅L2
8
Q =   e  M = 0
q.L2
8
GABARITO
1. (IBFC - 2016 – EBSERH - Engenheiro Civil (HUAP-UFF)) Assinale a alternativa correta: Uma viga
biapoiada com 6 m de comprimento e uma carga distribuída de 550 kN/m, possui o momento no
meio do vão:
A alternativa "D " está correta.
Trocando-se a carga uniformemente distribuída pela concentrada equivalente (área do retângulo), tem-se 
F = b . h = 550 . 6 = 3.300 kN. Pela simetria, cada apoio terá reação vertical V1 = V2.
Como V1 + V2 = 3300, 2.V1 = 3300 → V1 = 3300/2 = 1650 kN. Fazendo o seccionamento da viga no ponto
médio (6/2 = 3 m) e desenhando seu DLC da parte à esquerda do corte, tem-se:
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se a equação de equilíbrio (rotação) do corpo rígido:
 (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças em relação ao
ponto C (seção do corte), tem-se M + F . 1,5 – V1 . 3 = 0. Logo, 
M + 1650 . 1,5 – 1650 . 3 = 0 → M + 2475 – 4950 = 0 → M = 4950 – 2475 = 2.475 kN.m.
2. Suponha uma viga isostática biapoiada em suas extremidades em apoios do primeiro e segundo
gêneros (A – à esquerda e B – à direita), com carregamento uniformemente distribuído de 8 kN/m e
comprimento de 4 m. Os momentos fletores (em kN.m) nas extremidades A e B da viga são,
respectivamente, iguais a:
A alternativa "D " está correta.
Como os apoios são de primeiro e segundo gênero, não oferecem reações de momento. Portanto, os
valores das reações de momento nos apoios são iguais a zero.
3. (VUNESP ‒ 2017 ‒ Prefeitura de Itanhaém ‒ SP ‒ Engenheiro Civil) Uma viga, simplesmente
apoiada, de 6 m de comprimento é submetida a apenas uma carga uniformemente distribuída de 4
kN/m correspondente ao seu peso próprio. O momento fletor e a força cortante na seção
transversal no meio da viga (a 3 m dos apoios), em kN.m e kN, são, respectivamente:
A alternativa "C " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
∑Mz = 0
4. (FCC ‒ 2012 ‒ TRF ‒ 2ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) A figura representa uma
viga biapoiada com extensão (L) sendo solicitada por um carregamento uniformemente distribuído
(q). 
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Analisando a viga, o esforço cortante (Q), em kN, e o momento fletor (M), em kN.m, no centro da
viga, são iguais, respectivamente, a:
A alternativa "D " está correta.
Fazendo a troca da carga uniformemente distribuída pela concentrada equivalente, tem-se F = b . h = q . L.
Pela simetria, as reações verticais nos apoios A e B serão iguais. Como VA + VB = q.L, 2.VA = q.L → VA =
q.L/2.
Fazendo o seccionamento da viga no ponto médio (L/2) e desenhando o DLC da parte esquerda da viga,
tem-se:
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
• (satisfeita)∑Fx = 0
• 
• (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças em relação
ao ponto da seção do corte, tem-se M + F . L/4 – VA . L/2 = 0.
• Logo, 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
No próximo módulo, estudaremos o diagrama do momento fletor (DMF) de uma viga biapoiada, com um
carregamento uniformemente distribuído, além de ser mostrado que o momento fletor máximo ocorre no
ponto médio da viga e tem valor dado pela expressão .
5. (FCC ‒ 2014 ‒ TRF ‒ 1ª REGIÃO ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) Para uma viga
engastada com balanço de 3,0 m, o valor do momento máximo no engaste é igual a 121,5 kN.m.
Para esse valor de momento, a carga distribuída retangularpor metro máxima existente, em kN/m,
é igual a
A alternativa "A " está correta.
Considere o desenho esquemático do que foi descrito no enunciado da questão, isto é, uma viga
engastada com um carregamento uniformemente distribuído:
 
Fonte: Produção interna.
Fazendo a substituição da carga distribuída pela concentrada equivalente, que atua no ponto médio da
viga, encontra-se para módulo F = b . h = 3.q, que é numericamente igual à área do retângulo.
A força F equivalente atua no ponto médio da barra (L/2). O equilíbrio rotacional é garantido quando, em
módulo, o momento no engaste for igual ao momento provocado por F, em relação ao engaste.
Em termos matemáticos, há:
M = F.(L/2)
Substituindo M, F e L, tem-se: 121,5 = 3q.(1,5) → 121,5 = 4,5.q → q = 121,5/4,5 = 27 kN/m
∑Fy = 0 → VA − V –F = 0 → q.L/2 − V – q.L/2 = 0 → V = 0
∑Mz = 0
M + ⋅ − ⋅ = 0 → M + − = 0 → M = − + → M =
q.L
2
L
4
q.L
2
L
2
q.L2
8
q.L2
4
q.L2
8
q.L2
4
q.L2
8
q.L2
8
6. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Tecnologista em Saúde ‒ Engenharia Civil) Em uma viga engastada e
livre, submetida a um carregamento uniformemente distribuído de intensidade q, a expressão que
define, em valor absoluto, o esforço cortante a uma distância x da extremidade livre, é:
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução desta questão no vídeo a seguir.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um projeto tem várias etapas que culminam na concepção do produto. Neste momento do tema, iniciamos
o estudo para o dimensionamento de um elemento estrutural muito presente em vários ramos da
Engenharia: a viga.
Em passos futuros, outros conceitos serão apresentados, mas que necessariamente carecerão dos
conceitos aprendidos na disciplina.
Suponha que um aluno esteja estagiando e auxiliando em um projeto cujo engenheiro responsável pediu
que o estagiário determinasse os esforços internos (cortante e momento fletor) em uma viga a 1 m da sua
extremidade esquerda.
O aluno lembrou de suas aulas de Mecânica dos Sólidos e, percebendo que precisava de mais
informações, falou com o engenheiro, que disse que a viga em questão tem comprimento 3 m e um
carregamento linear crescente, a partir da extremidade esquerda (0) até a extremidade direita (12 kN/m).
Ainda pensando sobre a questão, o aluno perguntou ao engenheiro como essa viga estava vinculada.
A resposta foi que era biapoiada, sendo os apoios de segundo e primeiro gêneros, à esquerda e à
direita da viga, respectivamente.
Com todas essas informações, o aluno criou o modelo mostrado na figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Inicialmente, o aluno determinou as reações nos apoios A e B. O primeiro passo foi fazer a substituição do
carregamento distribuído linearmente pela carga concentrada equivalente.
A intensidade da carga concentrada equivale à área do triângulo, ou seja, 
 
F = (b . h)/2 = (12 . 3)/2 = 18 kN.
O ponto de aplicação fica a 1/3 do ângulo reto, no caso descrito, o apoio B. Assim, F terá ponto de
aplicação a 1 m de B.
Na figura, seguinte, está o DCL da viga determinado pelo aluno.
 
Fonte: Produção interna.
O aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:
• 
• 
• (sentido anti-horário do momento positivo).
Momento das forças em relação a A, tem-se 
.
Da equação 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determinadas as reações, o aluno fez o corte (1_1’) mostrado na figura de seu modelo inicial e desenhou
o DCL da parte esquerda da viga. O modelo para esse corte é mostrado na figura a seguir.
∑Fx = 0 → RAX = 0
∑Fy = 0 → RAY + RBY – 18 = 0 → RAY + RBY = 18(*)
∑Mz = 0
−18  ⋅  2  +  RBY   ⋅  3  =  0  →   − 36  +  RBY   ⋅  3  =  0  → RBY   ⋅  3  =  36  →  RBY   =  36/3  =  12 kN
(*),  RAY   +  RBY   =  18  →  RAY   +  12  =  18  →  RAY   =  18 –  12  →  RAY   =  6 kN
 
Fonte: Produção interna.
O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do triângulo (4.1)/2
= 2 kN. O ponto de aplicação encontra-se a 1/3 m da seção de corte. O valor de q’ é proporcional à
distância ao ponto A. Para 3 m, o valor é de 12 kN/m, para 1 m (3 vezes menor), q’ será dado por 12/3 = 4
kN/m.
Novamente, o aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:
• (satisfeita)
• 
• (sentido anti-horário do momento positivo). Momento das forças em relação à seção de
corte, tem-se 
2 . (1/3) – 6 . 1 + M = 0 → 2/3 – 6 + M = 0 → M = 6 – 2/3 → M = 16/3 kN.m.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso real de determinação dos esforços internos em uma viga.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UMA VIGA BIAPOIADA ISOSTÁTICA COM UMA FORÇA
CONCENTRADA EM SEU PONTO MÉDIO, CONFORME A FIGURA. SENDO F = 20
KN E O VÃO IGUAL A 4 M, DETERMINE O ESFORÇO CORTANTE E O MOMENTO
∑Fx = 0
∑Fy = 0 → RAY –V –F ’ = 0 → 6–V – 2 = 0 →–V = −6 + 2 → V = 4 kN
∑Mz = 0
FLETOR NA SEÇÃO LOCALIZADA A 1 M DO APOIO A. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
A) 20 kN e 20 kN.m
B) 10 kN e 20 kN.m
C) 20 kN e 10 kN.m
D) 10 kN e 10 kN.m
E) 0 kN e 10 kN.m
2. CONSIDERE A VIGA BIAPOIADA ISOSTÁTICA COM 6 M DE VÃO E
CARREGAMENTO LINEARMENTE DISTRIBUÍDO, CONFORME A FIGURA A
SEGUIR. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
DETERMINE O ESFORÇO CORTANTE, EM MÓDULO, ATUANTE NA SEÇÃO
INTERNA LOCALIZADA A 2 M DE A.
A) 600 N
B) 800 N
C) 1000 N
D) 1800 N
E) 2000 N
GABARITO
1. Considere uma viga biapoiada isostática com uma força concentrada em seu ponto médio,
conforme a figura. Sendo F = 20 kN e o vão igual a 4 m, determine o esforço cortante e o momento
fletor na seção localizada a 1 m do apoio A. 
 
 
Fonte: Produção interna.
A alternativa "D " está correta.
 
Pela simetria, as reações verticais em A e B são iguais.
Como VA + VB = F → VA + VB = 20 → 2.VA = 20 → VA = 20/2 = 10 kN.
Fazendo a secção da viga no ponto localizado a um metro do apoio A, o DCL correspondente será o
apresentado na figura a seguir:
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
• 
• (sentido anti-horário do momento positivo).
• Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto da seção do corte, tem-se M – VA.1 = 0. Logo,
M – 10 = 0, M = 10 kN.m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere a viga biapoiada isostática com 6 m de vão e carregamento linearmente distribuído,
conforme a figura a seguir. 
 
∑Fy = 0 → VA − V = 0 → 10 − V = 0 → V = 10 kN
∑Mz = 0
 
Fonte: Produção interna. 
 
Determine o esforço cortante, em módulo, atuante na seção interna localizada a 2 m de A.
A alternativa "A " está correta.
 
A intensidade (ou módulo) da carga concentrada F equivalente à área sob a curva q(x). 
Assim, (1800 . 6)/2 = 5400 N. O ponto de aplicação fica a 1/3 do ponto A, ou seja, 6/3 = 2 m. 
Observe o DCL da viga.
 
Fonte: Produção interna.
DCL da barra:
 
Fonte: Produção interna.
A partir das equações de equilíbrio do corpo rígido, as reações nos apoios A e B podem ser determinadas:
• 
• 
• (sentido anti-horário do momento positivo).
Momento das forças em relação ao ponto A, tem-se:
∑Fx = 0 → AX = 0
∑Fy = 0 → AY + BY –F = 0 → AY + BY = 5400(*)
∑Mz = 0
• BY . 6 – 5400 . 2 = 0 → 6.BY – 10.800 = 0 → 6.BY = 10.800 → BY = 10.800/6 = 1800 N.
• Substituindo BY = 1800 N na equação (*), tem-se:
• AY + BY = 5400 → AY + 1800 = 5400 → AY = 5400 – 1800 = 3600 N.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seccionando-se a barra no ponto pedido no enunciado e pela proporção, o valor da carga distribuída a
partir dessa seção é:
(2/3) . 1800 = 1200 N/m.
A força concentrada equivalente é igual a (1200 . 4)/2 = 2400 N. Observe o DCL.
 
Fonte: Produção interna.
Do equilíbrio na vertical, V + 1800 = 2400, Logo, V = 2400 – 1800 = 600 N.
MÓDULO 3
 Esquematizar os diagramas de estado de vigas biapoiadas isostáticas
INTRODUÇÃO
A apresentação deste tema baseia-se apenas no estudo e compreensão dos esforços internos cortantee
de flexão em uma viga.
• No módulo anterior, fizemos exemplos e exercícios para mostrar a metodologia de como determinar
esses esforços para uma seção particular da viga.

• Neste momento, apresentaremos uma análise geral.
Considerando o eixo da viga como o eixo x, por exemplo, e as extremidades com valores zero e L
(comprimento da viga), será possível determinar expressões para o esforço cortante e o momento fletor
como função de x, ou seja, V(x) e M(x).
A partir das expressões V(x) e M(x), vários aspectos podem ser abordados. É possível plotar os gráficos
do diagrama de esforço cortante (DEC) e do diagrama do momento fletor (DMF). Ademais, é possível a
determinação do valor do esforço cortante/ momento fletor em quaisquer pontos da viga diretamente a
partir das expressões V(x) e M(x).
 COMENTÁRIO
Outro aspecto é a determinação de valores específicos e a posição em que eles ocorrem, como o
momento fletor máximo em uma viga sob dado carregamento e a sua localização na viga.
Complementando o estudo do DEC e do DMF, serão apresentadas equações diferenciais que relacionam
o carregamento q(x), V(x) e M(x) e algumas propriedades geométricas dos diagramas que auxiliam na
elaboração deles.
ELABORAÇÃO DOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO
CORTANTE (DEC) E MOMENTO FLETOR (DMF)
DE VIGAS BIAPOIADA
Antes de efetivamente determinarmos o DEC e o DMF de uma viga, será adotada a convenção de que os
valores positivos de V e M estarão acima do eixo longitudinal da viga e os valores negativos, abaixo.
Na figura, a seguir, há um exemplo de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído e
o DEC e o DMF correspondentes com a convenção de sinais adotada.
 
Fonte: Produção interna.
DEC e DMF de uma viga biapoiada.
Em linhas gerais, a determinação das expressões V(x) e M(x) é feita iniciando-se pelo cálculo das reações
de apoios da viga.
Após, é feito um corte genérico a uma distância x da origem (extremidade esquerda da viga) e estuda-se a
parte esquerda da viga em termos de equilíbrio, ou seja, são aplicadas as equações:
 (equilíbrio translacional) e (equilíbrio rotacional).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, serão determinadas expressões para o esforço cortante e para o momento fletor em função
da variável x. Generalizando, por vezes são necessários cortes distintos em função do carregamento.
A fim de que essas ideias qualitativas da metodologia sejam entendidas de forma quantitativa, segue um
exemplo para a construção do DEC e do DMF de uma viga biapoiada.
Exemplo:
Suponha uma viga biapoiada de comprimento L e com uma carga concentrada F distante a unidades de
comprimento do apoio A e b unidades de comprimento do apoio B. Dessa forma, a + b = L.
Observe a figura a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
Determinação das reações nos apoios. Observe o diagrama do corpo livre da barra.
∑Fx = 0;∑Fy = 0 ∑Mz = 0
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido à viga, tem-se:
 (satisfeita)
 (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto de apoio A, tem-se:
- F . a + VB . (a + b) = 0. A soma dos valores de a e b vale o comprimento da barra (a + b = L).
Substituindo na equação 
Substituindo VB em (*), tem-se: 
Dois cortes serão feitos (mostrados na figura inicial do exemplo).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRIMEIRO CORTE
O primeiro corte (1_1’) levará a uma expressão válida no intervalo 0 até a, ou seja, à esquerda do ponto de
aplicação de F.
OUTRO CORTE
O outro corte levará a uma expressão que valerá no intervalo de a até L, ou seja, à direita do ponto de
aplicação de F. Observe o DCL na figura após o primeiro corte da viga.
∑Fx = 0
∑Fy = 0 → VA + VB–F = 0 → VA + VB = F(*)
∑Mz = 0
−F   ⋅  a + VB  ⋅  (a + b) = 0 → −F   ⋅  a + VB  ⋅  (L) = 0 → VB  ⋅  (L) = F   ⋅  a → VB = F .aL
VA + VB = F → VA + = F → VA = F − → VA =
F .a
L
F .a
L
F .b
L
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
 (sentido anti-horário do momento positivo). Aplicando-se o momento das forças em
relação ao ponto da seção do corte, tem-se M – VA.x = 0.
Substituindo 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe a figura, após o segundo corte (2_2’) da viga, após o ponto de aplicação da força concentrada F.
 
Fonte: Produção interna.
Aplicando-se as equações de equilíbrio translacional e rotacional do corpo rígido:
 (sentido anti-horário do momento positivo).
Aplicando-se o momento das forças em relação ao ponto da seção do corte, tem-se:
M + F.(x-a) – VA.x = 0.
∑Fy = 0 → VA − V = 0 → VA = V → V = F .bL
∑Mz = 0
VA,  M − ⋅  x = 0  → M = ⋅ x
F .b
L
F .b
L
∑Fy = 0 → VA − V − F = 0 → V = − F = = −F .bL
F .(b−L)
L
F .a
L
∑Mz = 0
Substituindo VA tem-se, 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir de agora, com as expressões encontradas para V e M, serão traçados os gráficos que
representam o esforço cortante e o momento fletor nas seções da viga ao longo de seu comprimento.
Diagrama do esforço cortante (DEC):
Parte à esquerda do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função constante .
Assim, uma reta paralela ao eixo x, acima do zero.
Parte à direita do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função constante .
Assim, uma reta paralela ao eixo x, abaixo do zero.
Dessa forma, a seguir, há o esboço do DEC.
 
Fonte: Produção interna.
 ATENÇÃO
Note que no DEC há uma descontinuidade no gráfico no ponto de aplicação da força concentrada F.
Perceba que esse “degrau” tem valor igual a F.
Diagrama do momento fletor (DMF):
Parte à esquerda do ponto de aplicação da força F tem M(x) dada pela função do 10 grau 
. Então, uma reta crescente de x = 0 (M =0) até .
Parte à direita do ponto de aplicação da força F tem M(x) dada pela função do 10 grau 
. Assim, uma reta decrescente de até x = L (M = 0).
M + F .(x − a) − .x = 0  →  M = .x −  F .(x − a)  → .(L − x).F .b
L
F .b
L
F .a
L
V = F .b
L
V = − F .a
L
M = ⋅ xF .b
L
x  =  a (M = )F ⋅a⋅b
L
M = ⋅ (L − x)F ⋅a
L
x  =  a (M = ) F ⋅a⋅b
L
Dessa forma, a seguir, há o esboço do DMF.
 
Fonte: Produção interna.
 ATENÇÃO
Note que o momento fletor máximo ocorre no ponto de aplicação da força F (descontinuidade do DEC) e
seu valor é dado por .
Relações matemáticas entre carregamento, esforço cortante e momento fletor e propriedades
geométricas do DEC e DMF
O procedimento descrito, anteriormente, é uma forma de encontrar as expressões do esforço cortante e do
momento fletor em função da posição x da seção interna da viga.

Contudo, para carregamento q(x) com expressões complexas não é o método mais adequado.
Por isso, é importante estudar uma metodologia que auxilie nessa situação. É possível demonstrar que as
seguintes relações são válidas entre q(x), V(x) e M(x).
• (Equação 1)
• (Equação 2)
• (Equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 1, é possível concluir que, em cada ponto ao longo do comprimento da viga, o
coeficiente angular da tangente ao DEC equivale a – q(x) aplicada no ponto.
F ⋅a⋅b
L
= −q(x)dV (x)
dx
= V (x)dM(x)
dx
= −q(x)d
2M(x)
dx2
Cuidados devem ser tomados para aplicação da equação 1 para cargas concentradas, pois levam a
descontinuidades no DEC.
A partir da equação 2, integrando-a, tem-se 
Assim, a variação do momento fletor em um dado trecho corresponde à área do DEC nesse trecho da
viga.
Para funções polinomiais, é verdade que se q(x) é de grau “n”, V(x) será de grau “n + 1” e M(x) de grau “’n
+ 2”.
A partir das expressões anteriores, será utilizado um exemplo para mostrar a aplicação na montagem dos
DEC e DMF.
Exemplo:
Barra biapoiada de comprimento L com carregamento uniformemente distribuído.Fonte: Produção interna.
A carga concentrada equivalente é igual à área do retângulo, ou seja, q.L. Pela simetria, as reações em A
e B serão iguais a qL/2.
O carregamento é uma função constante (polinômio de grau 0), logo V(x) será um polinômio de grau 1 e
M(x) um polinômio de grau 2.
O carregamento é dado por q(x) = q (constante).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que em x = 0, ponto A, o esforço cortante é igual a V(0) = VA = q.L/2.
Assim, substituindo na última equação, tem-se:
∫ b
a
M(x) = ∫ b
a
V (x) ⋅ dx
= −q(x)dV (x)
dx
= −q
dV (x)
dx
dV (x) = −q. dx
∫ x
0
dV (x) = ∫ x
0
−q ⋅ dx
V (x) − V (0) = −qx
V (x) − V (0) = −qx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que é uma função do primeiro grau (reta) com coeficiente angular negativo (decrescente).
Assim, substituindo na última equação, tem-se:
Para e para .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, o DEC terá o seguinte aspecto:
 
Fonte: Produção interna.
A partir da função encontrada é possível determinar em que ponto o esforço cortante
é nulo, pois .
Logo, em x = L/2, o esforço cortante é nulo.
Para a confecção do DMF, será utilizada a equação 2.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando, tem-se: 
Como os apoios da viga são de primeiro e segundo gêneros, não restringem a rotação, logo M(0) = M(L) =
0.
Substituindo na expressão anterior, tem-se 
Dessa forma, a expressão para o momento fletor M(x) será 
O aspecto do DMF é mostrado na figura a seguir.
V (x) − = −qxq.L
2
V (x) = − qxq.L
2
x  =  0,  V (0) = − q ⋅ 0 =  q.L
2
q.L
2
x  =  L,  V (L) = − q.L =   −q.L
2
q.L
2
V (x) = − qx q.L
2
0 = − qx → = qx  → x =     .  
q.L
2
q.L
2
L
2
= V (x)dM(x)
dx
= − qx  
dM(x)
dx
q.L
2
M(x) = C + −q⋅L⋅x
2
q⋅x2
2
M(0) = C + − → 0 = C.q⋅L⋅0
2
q⋅02
2
M(x) = −q⋅L⋅x
2
q⋅x2
2
 
Fonte: Produção interna.
Note que o valor máximo do momento fletor é e ocorre em x = L/2.
É fácil mostrar esses valores, pois basta derivar a função de M(x) em relação a x e igualar a zero, ou seja,
Substituindo x = L/2 em 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra maneira de desenhar o DMF é a partir da ideia que foi citada, anteriormente, de que a área sob o
DEC corresponde ao acréscimo/decréscimo do momento fletor.
 ATENÇÃO
Partindo do conceito de que os dois apoios não restringem rotação, os valores inicial e final do momento
fletor são nulos. Como o DEC é uma reta (grau 1), o DMF será uma parábola (grau 2).
No DEC, o primeiro triângulo tem área igual a .
Dessa forma, somando-se esse valor ao zero, chega-se ao valor do momento fletor em 
x = L/2.
O segundo triângulo no DEC tem área “negativa” igual a .
Adicionando-se esse valor a , encontra-se zero, ou seja, 
o valor do momento fletor em x = L.
MÃO NA MASSA
q.L2
8
= − qx = 0  →  x =
dM(x)
dx
q.L
2
L
2
M(x) = − = − → − =q⋅L⋅x
2
q⋅x2
2
q⋅L⋅L/
2
2
q⋅(L/2)
2
2
q⋅L2
4
q⋅L2
8
q⋅L2
8
= −
⋅
q⋅L
2
L
2
2
q⋅L2
8
= −
− ⋅
q⋅L
2
L
2
2
q⋅L2
8
q⋅L2
8
1. (CEPS-UFPA ‒ 2018 ‒ UFPA ‒ TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES) OBSERVE A FIGURA
A SEGUIR. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
SOBRE A VIGA BIAPOIADA DA FIGURA, É CORRETO AFIRMAR O SEGUINTE:
A) O momento fletor é máximo no meio do vão, o esforço cortante é máximo nas extremidades e o esforço
normal é nulo.
B) O momento fletor é máximo no meio do vão, o esforço cortante é nulo e o esforço normal é máximo no
meio do vão.
C) O momento fletor é nulo e os esforços cortante e normal são máximos no meio do vão.
D) O momento fletor é nulo, o esforço cortante é máximo nas extremidades e o esforço normal é nulo.
E) O momento fletor é máximo nas extremidades, o esforço cortante é máximo no meio do vão e o esforço
normal é nulo.
2. (COMPERVE ‒ 2017 ‒ MPE-RN ‒ ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO
ESTADUAL ‒ ENGENHARIA CIVIL) A FIGURA A SEGUIR REPRESENTA O
DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES DE UMA VIGA ISOSTÁTICA. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
COM BASE NESSE DIAGRAMA, É CORRETO AFIRMAR:
A) A tangente à curva da função do momento fletor é horizontal na seção B da viga.
B) A taxa de carregamento distribuído, no trecho AB, é o dobro dessa taxa no trecho BC.
C) A função do momento fletor é decrescente no trecho AB.
D) A variação do momento fletor, no trecho AB, é de 96 kN.m.
E) No ponto C da viga existe uma força concentrada de intensidade 48 kN.
3. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ ANALISTA DE GESTÃO ADMINISTRATIVA ‒
ENGENHARIA CIVIL) 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DA CARGA DISTRIBUÍDA
(Q) PARA A VIGA BIAPOIADA APRESENTADA NA FIGURA 1, CONSIDERANDO
QUE A VIGA MOSTRA O DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE REPRESENTADO
NA FIGURA 2.
A) 10 kN
B) 80 kN
C) 75 kN
D) 50 kN
E) 30 kN
4. (FCC ‒ 2011 ‒ TRE-AP ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA CIVIL)
CONSIDERE A FIGURA ABAIXO. 
 
 
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA. 
 
SE A VIGA SIMPLESMENTE APOIADA DA FIGURA ESTÁ SUBMETIDA A UMA
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA DE 
1 T/M, ENTÃO O MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO S, MEDIDO EM T.M, É IGUAL A
A) 4,0
B) 3,5
C) 3,0
D) 2,5
E) 2,0
5. (FDC - 2014 ‒ IF-SE ‒ ENGENHEIRO CIVIL ‒ ADAPTADA) A CARGA
CONCENTRADA P QUE, APLICADA NO MEIO DE UMA VIGA BIAPOIADA DE
COMPRIMENTO L, GERA NESTA VIGA UM MOMENTO FLETOR MÁXIMO IGUAL AO
DE UMA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA Q, TEM O VALOR DE:
A) qL
B) 2qL
C) qL/2
D) qL/4
E) q.L/8
6. (CESPE ‒ 2012 ‒ TJ-AL ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA)
CONSIDERANDO VIGA ISOSTÁTICA, BIAPOIADA E SUBMETIDA A
CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO UNIFORMEMENTE, ASSINALE A OPÇÃO
CORRETA.
A) O momento fletor é constante em toda a viga.
B) Nos apoios da viga, a reação tem o mesmo sentido do carregamento.
C) O momento fletor máximo ocorre no meio da viga.
D) A viga está sujeita a momentos torsores e esforços cortantes.
E) A viga possui momento fletor máximo próximo aos apoios.
GABARITO
1. (CEPS-UFPA ‒ 2018 ‒ UFPA ‒ Técnico em Edificações) Observe a figura a seguir. 
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Sobre a viga biapoiada da figura, é correto afirmar o seguinte:
A alternativa "A " está correta.
O único carregamento é vertical. Então, os esforços normais são nulos. Em uma viga biapoiada, com
carregamento uniformemente distribuído, o momento fletor máximo ocorre no ponto médio da viga (x =
L/2). Em módulo, o esforço cortante é máximo (q.L/2) nas extremidades e nulo no meio da viga.
2. (COMPERVE ‒ 2017 ‒ MPE-RN ‒ Analista do Ministério Público Estadual ‒ Engenharia Civil) A
figura a seguir representa o diagrama de esforços cortantes de uma viga isostática. 
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Com base nesse diagrama, é correto afirmar:
A alternativa "D " está correta.
No DEC, a área sob a curva representa a variação do momento fletor no trecho.
No trecho AB, a figura geométrica é um trapézio cuja área é dada por .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a variação do momento no trecho AB será de 96 kN.m.
3. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ Analista de Gestão Administrativa ‒ Engenharia Civil)
 
 
Fonte: Produção interna. 
 
Assinale a alternativa que apresenta o valor da carga distribuída (q) para a viga biapoiada
apresentada na figura 1, considerando que a viga mostra o diagrama de esforço cortante
representado na figura 2.
A alternativa "E " está correta.
4. (FCC ‒ 2011 ‒ TRE-AP ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) Considere a figura abaixo. 
 
 
Fonte: Produção interna. 
A = = = 96.  
(B+b)⋅h
2
(62+2)⋅3
2
 
Se a viga simplesmente apoiada da figura está submetida a uma carga uniformemente distribuída
de 
1 t/m, então o momento fletor na seção S, medido em t.m, é igual a
A alternativa "A " está correta.
A equação do momento fletor de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído é dada
por .
Substituindo q = 1 t/m, L = 6 m e x = 2 m, tem-se: 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em termos de unidades, a carga distribuída deveria ter sido apresentada em tf/m (tonelada-força por
metro) e o momento em tf.m. Porém, é usual a utilização apresentada na questão, não invalidando-a.
5. (FDC - 2014 ‒ IF-SE ‒ Engenheiro Civil ‒ adaptada) A carga concentrada P que, aplicada no meio
de uma viga biapoiada de comprimento L, gera nesta viga um momento fletor máximo igual ao de
uma carga uniformemente distribuída q, tem o valor de:
A alternativa "C " está correta.
6. (CESPE ‒ 2012 ‒ TJ-AL ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia) Considerando viga isostática,
biapoiada e submetida a carregamento distribuído uniformemente, assinale a opção correta.
A alternativa "C " está correta.
A equação do momento fletor de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído é dada
por .
Para se determinar o valor máximo do momento fletor, deve-se derivar a função M(x) em relação a x e
igualar a zero, ou seja, .
Então, no ponto médio do vão da viga ocorre o momento fletor máximo. Substituindo o valor de x = L/2 em
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
M(x) = −q⋅L⋅x
2
q⋅x2
2
M(2) = − → 6 − 2 = 4 t ⋅ m1⋅6⋅2
2
1⋅22
2
M(x) = −q⋅L⋅x
2
q⋅x2
2
= − qx = 0,x =
dM(x)
dx
q⋅L
2
L
2
M(x) = − = − =q⋅L⋅x
2
q⋅x2
2
q⋅L⋅L/
2
2
q⋅(L/2)
2
2
q⋅L2
8
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
No módulo anterior, o Teoria na prática apresentou um aluno estagiário de uma empresa auxiliando um
engenheiro na determinação do cálculo dos esforços internos cortante e fletor, numa dada seção da viga.
O estagiário conseguiu resolver o que lhe fora pedido e recebeu uma nova incumbência: determinar os
mesmos esforços internos em outra seção da mesma viga.
O aluno concluiu que uma adaptação na solução encontrada no primeiro caso levaria à solução desejada.
Porém, ele optou por determinar o esforço cortante e o momento fletor em uma região genérica qualquer
da viga.
Dessa forma, ao determinar as expressões para V(x) e M(x), poderia ter os valores em quaisquer seções e
ainda ratificar o resultado encontrado inicialmente.
Como a viga a ser estudada era a mesma, o modelo criado inicialmente não mudou, como apresenta a
figura.
 
Fonte: Produção interna.
Os valores encontrados para as reações em A e B também poderiam ser reutilizados.
Na figura seguinte está o DCL da viga com os valores previamente determinados pelo aluno.
 
Fonte: Produção interna.
Determinadas as reações, o aluno fez o corte genérico (1_1’) mostrado na figura de seu modelo inicial,
localizado a x m do apoio A, e desenhou o DCL da parte esquerda da viga. O modelo para esse corte é
apresentado a seguir.
 
Fonte: Produção interna.
O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do triângulo (4x .x
/2 = 2.x2). O ponto de aplicação encontra-se a x/3 m da seção de corte.
O valor de q’ é proporcional à distância ao ponto A. Assim, q’ = 4.x.
Novamente, o aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:
 (satisfeita)
 (x em m e V em kN)
 (sentido anti-horário do momento positivo). Momento das forças em relação à seção de
corte, tem-se 2.x2 (x/3) – 6 . x + M = 0. Logo, (x em metros e M em kN.m).
Aproveitando as expressões de V(x) e M(x), o aluno fez um teste para os valores pedidos pelo engenheiro
no caso descrito no módulo 2, ou seja, para x = 1 m. Substituindo esse valor em V(x) e M(x), encontrou:
 (confirmado)
 (confirmado)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo Determinação de expressões para o cálculo dos esforços internos em uma viga – caso
concreto.
∑Fx = 0
∑Fy = 0 → RAY –V –F ’ = 0 → 6–V – 2 ⋅ x2 = 0 → V (x) = 6 − 2. x2
∑Mz = 0
M(x) = 6x − 2.x3
3
V (x) = 6 − 2 ⋅ x2 → V (1) = 6 − 2 ⋅ 12 = 4 kN
M(x) = 6 ⋅ x − → M(1) = 6 ⋅ 1 − =  kN ⋅ m2⋅x
3
3
2⋅13
3
16
3
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ TECNOLOGISTA EM SAÚDE ‒ ENGENHARIA CIVIL ‒
ADAPTADA) NUM PONTO DE UMA VIGA DE 5 M DE COMPRIMENTO EM QUE O
DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES APRESENTA UMA DESCONTINUIDADE
DE MAGNITUDE P = 20 KN, PODE-SE AFIRMAR QUE:
A) Existe uma carga concentrada de intensidade P igual a 20 kN.
B) Existe uma carga uniformemente distribuída de intensidade q = 4 kN/m.
C) Existe uma rótula, que não restringe momento fletor.
D) Com essas informações apenas, não é possível chegar à conclusão sobre o carregamento.
E) Existe uma carga uniformemente distribuída de intensidade q = 100 kN/m.
2. UMA VIGA AB BIAPOIADA EM SUAS EXTREMIDADES ESTÁ SOB UM
CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO DE 3 KN/M. SENDO O
COMPRIMENTO DA VIGA IGUAL A 4 M, DETERMINE O ESFORÇO CORTANTE
NUMA SEÇÃO LOCALIZADA A 1 M DO APOIO DA EXTREMIDADE ESQUERDA.
A) 6,0 kN
B) 3,0 kN
C) 2,0 kN
D) 0,0 kN
E) 1,0 kN
GABARITO
1. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Tecnologista em Saúde ‒ Engenharia Civil ‒ adaptada) Num ponto de
uma viga de 5 m de comprimento em que o diagrama de esforços cortantes apresenta uma
descontinuidade de magnitude P = 20 kN, pode-se afirmar que:
A alternativa "A " está correta.
 
Uma viga biapoiada com uma concentrada, apresenta DEC com uma descontinuidade (degrau) no ponto
de aplicação dessa força com intensidade igual à da força. No exemplo apresentado, a descontinuidade
equivale a uma carga concentrada de mesmo módulo, ou seja, 20 kN.
2. Uma viga AB biapoiada em suas extremidades está sob um carregamento uniformemente
distribuído de 3 kN/m. Sendo o comprimento da viga igual a 4 m, determine o esforço cortante
numa seção localizada a 1 m do apoio da extremidade esquerda.
A alternativa "B " está correta.
 
A equação do esforço cortante para uma viga biapoiada sob carregamento uniformemente distribuído é
dada pela expressão .
Substituindo os valores da carga q e de x, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Compreender a modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas
INTRODUÇÃO
De forma similar ao estudo feito para as treliças simples isostáticas, neste módulo faremos uma
abordagem inicial da modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas.
Existem muitas ferramentas computacionais acadêmicas/profissionais que auxiliam na determinação de,
por exemplo, esforços internos de uma viga.
Contudo, muitos aspectos são considerados nos modelos e que ainda não foram abordados nessa fase do
curso de Engenharia. Portanto, a abordagem apresentará um viés qualitativo, mas com possibilidade de
alcançar resultados para modelos ainda bem simplificados.
Na Engenharia, as situações reais devem ser entendidas fisicamente para que sejam modeladas
matematicamente e, por fim, determinar a solução (de maneira analítica ou computacional). Essas fases
são, de maneira genérica, executadas pelos seguintes passos:
1º PASSO
V (x) = − qxq⋅L
2
V (1) = − 3. 1 = 3 kN3.4
2
2º PASSO
3º PASSO
4º PASSO
1º PASSO:
Compreensão de todos os aspectos físicos teóricos associados à situação real para a elaboração de um
modelo físico que reproduza com a maior realidade a situação a ser estudada.
2º PASSO:
Tendo um modelo físico que reproduza a situação real e dependendo das condições impostas para o
projeto, algumas simplificações podem ser introduzidas no modelo inicial, porém de maneira criteriosa
para não comprometerem os resultados. Essas simplificações no modelo propiciam uma diminuição do
grau de complexidade matemática do passo seguinte.
3º PASSO:
A partir das simplificações adotadas no modelo físico inicial, decorre a modelagem matemática, isto é,
equacionar matematicamente os fenômenos físicos.
4º PASSO:
Uma vez que já estão definidas as equações matemáticas e as condições conhecidas (condições iniciais,
condições de contorno etc.) é o momento de resolver o problema. A escolha de uma solução analítica é
possível. Porém, por vezes, demandará tempo excessivo ou, até mesmo, a impossibilidade da solução.
Nesses casos, a escolha de umaferramenta computacional adequada já existente é conveniente. Por
vezes, uma solução computacional própria também pode ser utilizada, por exemplo, para situações novas
que ainda não foram amplamente estudadas a ponto de se desenvolver um software.
ANÁLISE FÍSICA DE UMA VIGA E SUA
MODELAGEM MATEMÁTICA
Em nosso estudo, a modelagem física de uma viga já será precedida de algumas simplificações:
A viga é isostática, ou seja, o número de equações do equilíbrio do corpo rígido é igual ao número
de incógnitas (reações nos apoios).
A viga encontra-se biapoiada.
A viga é rígida, ou seja, indeformável.
O carregamento ocorre no plano da viga.
A princípio, os pesos das vigas são desprezíveis quando comparados às forças externas.
 ATENÇÃO
Na eventualidade de se considerar os pesos das vigas, adotar-se-á que essa é homogênea e, portanto, o
seu peso é uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento.
Em linhas gerais, para a determinação das reações nos apoios, serão feitas substituições de cargas
distribuídas q(x) por cargas concentradas equivalentes F (intensidade e ponto de aplicação) e o diagrama
do corpo livre da viga.
Para determinar a intensidade de F é necessária a determinação da área sob a curva de carregamento, ou
seja, encontrar a integral definida dada por e, para determinar o ponto de aplicação é
necessário conhecer o centroide da área sob a curva da carga distribuída.
O ponto de aplicação tem linha de ação passando por esse centroide, atuando na viga. O centroide é
determinado pela integral .
O DCL é esquematizado a partir dos cálculos anteriores, as eventuais cargas concentradas e as reações
nos apoios (que dependem do gênero do apoio).
Primeira fase
Já nessa primeira fase da resolução, é possível perceber uma eventual dificuldade matemática: a
resolução das integrais. A resolução por métodos numéricos (ferramenta computacional) é uma opção.
Dependendo da necessidade de maior ou menor precisão, adota-se um método numérico ou outro.
F = ∫ b
a
q(x) ⋅ dx
x̄ =
∫ x⋅dA
A

Segunda fase
Na segunda fase, surgem as 3 equações do equilíbrio. Como no caso das treliças, um sistema de
equações lineares deve ser resolvido. A utilização de um método numérico também pode ser útil, como,
por exemplo, o método de Gauss Jordan. Mais uma vez o auxílio de ferramentas computacionais já
desenvolvidas pode diminuir o tempo de resolução.
Feita essa fase inicial de determinação das reações, um modelo será apresentado para que uma função
possa descrever os esforços internos com dependência da posição x da seção. Tendo essas funções, é
possível utilizar uma ferramenta computacional para desenhar os diagramas de esforço cortante e
momento fletor (DEC e DMF).
A Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ), por meio de um de seus professores, Luiz
Fernando Martha, desenvolveu um software (FTOOL) que determina, dentre outros valores, as reações
nos apoios de vigas, pórticos, quadros bidimensionais, os diagramas de esforço normal, de esforço
cortante e de momento fletor. Uma ferramenta acadêmica muito difundida e um ótimo software de
estruturas para modelos bidimensionais (na seção Explore + está o site que leva à versão mais nova do
FTOOL (4,0), que tem a versão acadêmica, gratuita, e a profissional, com licença.).
Será realizado um exemplo já resolvido (viga biapoiada de 3 m de comprimento com carga triangular).
Determinação dos esforços cortante e fletor em x = 1 m, para fins de comparação, a partir do FTOOL
versão 3.1.
Inicialmente, desenha-se a viga com o comprimento desejado.
Depois, os apoios são vinculados à estrutura. No input, deverão ser informadas as restrições do
apoio para que o software consiga identificá-los.
Por exemplo, um apoio de 2º gênero deverá apresentar as informações de restrições em x e y e rotação
livre.
Observe parte da tela do FTOOL na figura a seguir, em que informações para o apoio são apresentadas.
 
Fonte: Produção interna.
Apoios. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ.
Perceba a importância de se conhecer bem as restrições impostas pelos apoios. Nesse caso, as
translações em x e y são nulas e a rotação permitida, ou ainda, trata-se de um apoio de segundo gênero.
Após a montagem da barra e o carregamento desejado, a tela para o modelo proposto no problema terá o
aspecto mostrado na figura seguinte.
 
Fonte: Produção interna.
Carregamento viga biapoiada. Imagem baseada no FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da
PUC-RJ.
Numa terceira etapa de “alimentação” do software, são necessários parâmetros geométricos da seção reta
da viga (forma, dimensões etc.) e parâmetros do material que constitui a viga.
Cumprida essa etapa, os diagramas de esforço cortante e momento fletor podem ser apresentados, assim
como as reações nos apoios.
Observe na figura, a seguir, o DEC, as reações nos apoios e o esforço cortante para x = 1 m afastado do
apoio à esquerda.
 
Fonte: Produção interna.
DEC e esforço cortante em x = 1 m. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando
Martha, da PUC-RJ.
Na figura, a seguir, há o DMF para o exemplo proposto.
Observe o valor do momento fletor em x = 1 m. Cabe ressaltar que a convenção utilizada pelo FTOOL
para o DMF é oposta a que foi adotada nesse tema, ou seja, valores positivos do momento encontram-se
abaixo da viga e vice-versa.
 
Fonte: Produção interna.
DMF e momento fletor em x = 1m. Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha,
da PUC-RJ.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE QUE UM ALUNO DESEJE UTILIZAR A FERRAMENTA
COMPUTACIONAL FTOOL PARA DESENHAR O DEC E O DMF DE UMA VIGA
BIAPOIADA COM DADO CARREGAMENTO. VÁRIOS INPUTS DEVEM ALIMENTAR
O SOFTWARE. CONSIDERE OS INPUTS APRESENTADOS NAS AFIRMATIVAS
ABAIXO. 
 
I – OS TIPOS DE VÍNCULOS DA BARRA. 
II – AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA VIGA. 
III – O CARREGAMENTO A QUE ESTÁ SUBMETIDA A VIGA. 
IV – O PESO DA VIGA. 
 
DOS DADOS APRESENTADOS NAS AFIRMATIVAS, QUAL/QUAIS É/SÃO
NECESSÁRIO(S) INFORMAR, OBRIGATORIAMENTE, AO FTOOL?
A) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e II.
B) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e III.
C) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e IV.
D) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e III.
E) Apenas os dados presentes nas afirmativas II e III.
2. A MODELAGEM COMPUTACIONAL, EM LINHAS GERAIS, INICIA-SE COM O
MODELO FÍSICO DO PROBLEMA REAL, SUA MODELAGEM MATEMÁTICA E, POR
FIM, A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS COMPUTACIONAIS PARA A
DETERMINAÇÃO DO RESULTADO. NO CASO DE UMA VIGA, VÁRIAS
INFORMAÇÕES SÃO DESEJADAS PARA AUXILIAR NOS PROJETOS. NO USO DE
UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL, EXISTEM A ENTRADA DE DADOS (INPUT)
E A SAÍDA DOS RESULTADOS (OUTPUT). CONSIDERE AS INFORMAÇÕES
APRESENTADAS. 
 
I – DIAGRAMA DOS ESFORÇOS CORTANTES (DEC). 
II – DIAGRAMA DOS MOMENTOS FLETORES (DMF). 
III – AS DIMENSÕES DOS APOIOS. 
IV – AS REAÇÕES NOS APOIOS. 
 
EM QUE AFIRMATIVAS SÃO APRESENTADAS OUTPUTS DA FERRAMENTA
COMPUTACIONAL FTOOL?
A) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e II.
B) Apenas os dados presentes nas afirmativas I e III.
C) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e IV.
D) Apenas os dados presentes nas afirmativas I, II e III.
E) Apenas os dados presentes nas afirmativas II e III.
3. QUANDO A OPÇÃO DE RESOLUÇÃO DE UMA VIGA BIAPOIADA ISOSTÁTICA (2
APOIOS, SENDO UM DE PRIMEIRO GÊNERO E OUTRO DO SEGUNDO GÊNERO) É
A ESCOLHIDA, EM MUITAS SITUAÇÕES HÁ CARREGAMENTOS DISTRIBUÍDOS
SOBRE UMA VIGA, HAVENDO NECESSIDADE DE EFETUAR A SUBSTITUIÇÃO
DESSES POR UMA CARGA CONCENTRADA EQUIVALENTE PARA QUE POSSA
SER DESENHADO O DLC E REALIZADA A MODELAGEM, A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO. DESSA FORMA, SURGIRÁ UM SISTEMA A
SER RESOLVIDO POR UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL. DOS SISTEMAS
ABAIXO, QUAL PODE SER O ORIUNDO PARA A VIGA DESCRITA?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. SUPONHA QUE UM DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DMF) DE
CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO, GERADO A PARTIR DE UMA
FERRAMENTA COMPUTACIONAL,NÃO MOSTRE A EQUAÇÃO ASSOCIADA, OU
SEJA, M(X). AS ÚNICAS INFORMAÇÕES DISPONÍVEIS SÃO O VALOR DO
MOMENTO FLETOR MÁXIMO (360KN.M), O COMPRIMENTO DA VIGA (6M) E QUE
OS APOIOS QUE ESTÃO NAS EXTREMIDADES DA VIGA SÃO DE PRIMEIRO E
SEGUNDO GÊNEROS, CONFORME A FIGURA. 
 
 
FONTE: IMAGEM GERADA PELO FTOOL, DE AUTORIA DO PROF. LUIZ FERNANDO
MARTHA, DA PUC-RJ. 
 
É POSSÍVEL DETERMINAR A EQUAÇÃO DO DMF?
⎡
⎢
⎣
1 0 1
1 1 1
2 2 2
⎤
⎥
⎦
⋅
⎡
⎢
⎣
R2AX
R2AY
R2BY
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
0
500
1000
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
RAX
RAY
RBY
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
0
150
500
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1 0 0
0 1 1
0 0 3
⎤
⎥
⎦
⋅
⎡
⎢
⎣
RAX
RAY
M
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
0
240
500
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1 0 0
0 1 1
0 0 4
⎤
⎥
⎦
⋅
⎡
⎢
⎣
RAX
RAY
RBY
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
100
300
800
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
2 0 0
0 −1 1
0 0 3
⎤
⎥
⎦
⋅
⎡
⎢
⎣
RAX
RAY
M
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
50
400
560
⎤
⎥
⎦
A) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, o DMF será uma função constante (M(x)
= a) que se relaciona apenas com os valores do momento fletor máximo e o carregamento.
B) Não, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do segundo grau
(M(x) = a.x2 + b.x + c) e existem apenas 2 informações matemáticas e 3 incógnitas (a, b e c).
C) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do segundo grau
(M(x) = a.x2 + b.x + c) e existem 3 informações disponíveis para determinar as 3 incógnitas a, b e c. O
momento máximo (ocorre no ponto médio da viga) e nos apoios de primeiro e segundo gêneros, a rotação
é permitida, logo, os momentos são nulos.
D) Sim, pois sendo um carregamento uniformemente distribuído, a função de M(x) é do primeiro grau (M(x)
= a.x + b) e existem mais de 2 informações matemáticas e apenas 2 incógnitas (a, b e c).
E) Não, pois não é possível saber qual o grau da função que representa o DMF e, assim, escrever uma
equação genérica para descobrir os coeficientes e determinar M(x).
5. UM ESTAGIÁRIO, ESTUDANDO UM ANTIGO PROJETO DE SUA EMPRESA,
OBSERVOU QUE A ANÁLISE DE UMA VIGA BIAPOIADA SOBRE DETERMINADO
CARREGAMENTO FOI REALIZADA UTILIZANDO A FERRAMENTA
COMPUTACIONAL FTOOL. EM UMA DAS PÁGINAS DO DOCUMENTO DO
PROJETO HAVIA O DESENHO DO DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE. COMO
NÃO HAVIA MAIS INFORMAÇÕES, FICOU CURIOSO E QUIS DETERMINAR, A
PARTIR DO DEC, INFORMAÇÕES DO CARREGAMENTO SOBRE A VIGA. 
 
 
FONTE: IMAGEM GERADA PELO FTOOL, DE AUTORIA DO PROF. LUIZ FERNANDO
MARTHA, DA PUC-RJ. 
 
A RESPEITO DO CARREGAMENTO, O DEC É TÍPICO PARA QUE
CARREGAMENTO?
A) Carga concentrada que atua no ponto médio da viga e tem intensidade 200 kN.
B) O ponto de aplicação da carga concentrada está na descontinuidade do DEC (degrau) e tem módulo
600 kN.
C) Carga distribuída uniformemente de 100 kN/m.
D) Carga distribuída linearmente a partir de 400 kN/m até – 200 kN/m.
E) Não é possível concluir a respeito do carregamento, apenas a partir do DEC.
6. UM ALUNO ENCONTROU O DEC DE UMA VIGA BIAPOIADA DESENHADO A
PARTIR DE UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL (FTOOL), MAS QUE NÃO
CONTINHA INFORMAÇÕES COMO O TIPO DE CARREGAMENTO E A EQUAÇÃO
DO DEC. A SEGUIR, ESTÁ O DEC PARA O CARREGAMENTO DESSA VIGA QUE
CONTÉM 10M DE COMPRIMENTO. 
 
 
FONTE: IMAGEM GERADA PELO FTOOL, DE AUTORIA DO PROF. LUIZ FERNANDO
MARTHA, DA PUC-RJ. 
 
UTILIZANDO SEU CONHECIMENTO DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS, O ALUNO
CONSEGUIU COMPLEMENTAR O ESTUDO DA VIGA CHEGANDO À EQUAÇÃO
PARA O ESFORÇO CORTANTE EM FUNÇÃO DE X (DISTÂNCIA A PARTIR DO
APOIO DA ESQUERDA) E AO TIPO DE CARREGAMENTO. ESSAS INFORMAÇÕES
ESTÃO CORRETAMENTE DESCRITAS NA OPÇÃO:
A) V(x) = -75.x + 250 / carregamento distribuído.
B) V(x) = 500 kN / carregamento concentrado.
C) V(x) = -75.x / carregamento distribuído.
D) V(x) = - 50.x + 250 / carregamento distribuído.
E) V(x) = - 5.x + 250 / carregamento distribuído.
GABARITO
1. Considere que um aluno deseje utilizar a ferramenta computacional FTOOL para desenhar o DEC
e o DMF de uma viga biapoiada com dado carregamento. Vários inputs devem alimentar o software.
Considere os inputs apresentados nas afirmativas abaixo. 
 
I – Os tipos de vínculos da barra. 
II – As propriedades geométricas da viga. 
III – O carregamento a que está submetida a viga. 
IV – O peso da viga. 
 
Dos dados apresentados nas afirmativas, qual/quais é/são necessário(s) informar,
obrigatoriamente, ao FTOOL?
A alternativa "D " está correta.
Não há necessidade de se informar o peso da barra, pois é considerado desprezível. Caso não seja, na
fase do carregamento, adiciona-se um carregamento uniformemente distribuído ao longo do comprimento
da viga (viga homogênea). Os demais dados são inputs da ferramenta computacional.
2. A modelagem computacional, em linhas gerais, inicia-se com o modelo físico do problema real,
sua modelagem matemática e, por fim, a utilização de ferramentas computacionais para a
determinação do resultado. No caso de uma viga, várias informações são desejadas para auxiliar
nos projetos. No uso de uma ferramenta computacional, existem a entrada de dados (input) e a
saída dos resultados (output). Considere as informações apresentadas. 
 
I – Diagrama dos esforços cortantes (DEC). 
II – Diagrama dos momentos fletores (DMF). 
III – As dimensões dos apoios. 
IV – As reações nos apoios. 
 
Em que afirmativas são apresentadas outputs da ferramenta computacional FTOOL?
A alternativa "C " está correta.
As principais informações no estudo estrutural de uma viga são os esforços internos (esforço normal,
esforço cortante e momento fletor) e os valores das reações nos apoios. A partir dessas informações, são
determinados o DEC e o DMF, por exemplo. Além disso, valores máximos dos esforços internos podem
ser definidos.
3. Quando a opção de resolução de uma viga biapoiada isostática (2 apoios, sendo um de primeiro
gênero e outro do segundo gênero) é a escolhida, em muitas situações há carregamentos
distribuídos sobre uma viga, havendo necessidade de efetuar a substituição desses por uma carga
concentrada equivalente para que possa ser desenhado o DLC e realizada a modelagem, a partir
das equações do equilíbrio estático. Dessa forma, surgirá um sistema a ser resolvido por uma
ferramenta computacional. Dos sistemas abaixo, qual pode ser o oriundo para a viga descrita?
A alternativa "D " está correta.
Ao se desenhar o DCL de uma viga biapoiada isostática com 2 apoios de primeiro e segundo gênero e um
carregamento genérico, 3 reações (incógnitas) devem ser calculadas.
Trocas de cargas distribuídas devem ser realizadas e projeções de cargas concentradas em x e y também.
Após a aplicação das 3 equações do equilíbrio do corpo rígido
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
três equações lineares serão formadas dando origem a um sistema linear 3 x 3. Assim, só a opção D
apresenta um sistema linear 3 x 3 e com as variáveis nos apoios.
4. Suponha que um diagrama de momento fletor (DMF) de carregamento uniformemente
distribuído, gerado a partir de uma ferramenta computacional, não mostre a equação associada, ou
seja, M(x). As únicas informações disponíveis são o valor do momento fletor máximo (360kN.m), o
comprimento da viga (6m) e que os apoios que estão nas extremidades da viga são de primeiro e
segundo gêneros, conforme a figura. 
 
 
Fonte: Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ. 
 
É possível determinar a equação do DMF?
A alternativa "C " está correta.
5. Um estagiário, estudando um antigo projeto de sua empresa, observou que a análise de uma
viga biapoiada sobre determinado carregamento foi realizada utilizando a ferramenta
computacional FTOOL. Em uma das páginas do documento do projeto havia o desenho do
diagrama do esforço cortante. Como não havia mais informações, ficou curioso e quis determinar,
a partir do DEC, informações do carregamento sobre a viga. 
 
(∑Fx = 0,∑Fy = 0  e  ∑Mz = 0),
 
Fonte: Imagem gerada pelo FTOOL, de autoria do prof. Luiz Fernando Martha, da PUC-RJ. 
 
A respeito do carregamento, o DEC