Trabalho computacional

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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA MECÂNICA 
 
TRABALHO COMPUTACIONAL 1 – INTERPOLAÇÃO 
POLINOMIAL 
TRABALHO COMPUTACIONAL 2 – SOLUÇÃO DE 
EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
 
DOCENTE: SILVÉRIO MARQUES 
 
 
 
JOÃO PEDRO ESTEVES LOURENÇO – 38313 
 
22/04/2013 
 
Trabalho I – Interpolação polinomial 
 
Exercício 1) Através do sistema de Vandermond, calcular um valor aproximado de 
f(3.35) por interpolação quadrática. 
 
x 0 2 4 6 
y -2.2 0.3 5.7 0.53 
 
|0 – 3.35| = 3.35 
|2 – 3.35|= 1.35 
|4 – 3.35| = 0.65 
|6 – 3.35|= 2.65 
Como se quer uma interpolação quadrática e uma vez que dispomos de quatro pontos é 
necessário escolher apenas os três pontos com maior aproximação (são estes x=2, x=4 e x=6). 
Utilizando o Matlab: 
 
Conclui-se que: f(3.35)=5.0144 
 
 
 
 
 
Exercício 2) Dada a seguinte tabela: 
 
x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 
Y Sin(0.2) Sin(0.4) Sin(0.6) Sin(0.8) Sin(1.0) 
 
2. a) Construir as diferenças divididas de ordem 1 
Utilizando o Matlab: 
 
As diferenças divididas de ordem 1 são: 0.9537, 0.8761, 0.7636 e 0.6206. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2. b) Através do polinómio interpolador de Newton, calcular um valor 
aproximado de f(0.47) por interpolação cúbica: 
f(0.47)=? 
0.2 < 0.4 < 0.47 < 0.6 < 0.8 < 1.0 
 
Por interpolação cúbica precisa-se dos quatro pontos mais próximos de x=0.47. 
 
| 0.2 – 0.47| = 0.27 
 
|0.4 – 0.47| = 0.07 
 
| 0.6 – 0.47| = 0.13 
 
|0.8 – 0.47| = 0.33 
 
|1.0 – 0.47| = 0.53 
 
Temos então que 0 < 0.07 < 0.13 < 0.27 < 0.33 < 0.53 , então os valores que vão ser usados nos 
cálculos desta alínea são: 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8. 
 
Utilizando o Matlab: 
 
Conclui-se que f(0.47) = 0.4529 
 
Fim do Trabalho I – Interpolação polinomial 
Trabalho II – Solução de Equações não Lineares 
De acordo com o número de aluno considere o seguinte polinómio: 
p(x) = 0.307 x4 - 1.710 x3 + 0.596 x2 - 0.069 x - 0.012 
Após ter efectuado a separação gráfica de todas as raízes reais, com 
recurso às funções divulgadas no Moodle: bissecção, secante e newton 
para Matlab: 
Para executar a separação gráfica das raízes, faz-se: 
f(x) – g(x) = 0 
f(x) = g(x) 
0.307 x4 = 1.710 x3 - 0.596 x2 + 0.069 x + 0.012 
Fica-se com as raízes separadas: 
• f(x)= 0.307 x4 
• g(x)= 1.710 x3 - 0.596 x2 + 0.069 x + 0.012 
 
Utilizando o Matlab para determinarmos os parâmetros que vão ser usados para se 
obter o gráfico com as intersecções de f(x) e g(x), escolhendo-se o intervalo de 
 -0.02 <x < 6: 
 
Gráfico das funções f(x) a azul e g(x) a verde 
 
Através dos pontos de intersecção faz-se a seguinte estimativa para os intervalos dos zeros 
da função p(x): z1 ϵ ]- 0.09 , - 0.08[ ; z2 ϵ ]5 , 6[ 
i. Faça a aplicação do método da bissecção para calcular uma aproximação de 
cada uma das raízes reais com 3 casas decimais significativas. 
 
Utilizando o Matlab (iteração para calcular a aproximação de z1): 
 
z1 = - 0.080 
 
Utilizando o Matlab (iteração para calcular a aproximação de z2): 
 
z2 = 5.999 
 
 
ii. Para cada uma das raízes reais, com os valores dos extremos dos últimos 
intervalos obtidos na alínea anterior pelo método da bissecção, calcule uma 
melhor aproximação, com pelo menos 7 casas decimais significativas pelo 
método da secante. 
 
Utilizando o Matlab (para calcular a aproximação de z1): 
 
z1 = 0.7390851 
Utilizando o Matlab (para calcular a aproximação de z2): 
 
z2 = 0.7390851 
 
 
 
iii. Para cada uma das raízes, determine uma melhor aproximação, com pelo 
menos 7 casas decimais significativas, utilizando o método de Newton, 
utilizando como valor inicial os valores aproximados obtidos na alínea i), pelo 
método da bissecção. 
Utilizando o Matalab (para a primeira raiz, x): 
 
z1 = 0.7390851 
 
Utilizando o Matlab para a segunda raiz, x): 
 
z2 = 0.7390851 
 
 
 
Fim do Trabalho II – Solução de equações não lineares