TRABALHO COMPUTACIONAL calculo numerico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
 Disciplina: Cálculo Numérico e Aplicações 2017-2 Prof.: Germán Suazo 
Terceiro Trabalho Computacional (dígito final 3 ou 8) 
1. Aproxime a solução do problema de valor inicial 





=
−=
,
4
5)0(
,e109'
y
yy t
 no intervalo ]2,0[∈t , pelo 
método de Euler, usando 01,0=h e 005,0=h . A solução exata deste problema é tty e
4
5)( = . 
Explique a diferença entre essas aproximações numéricas e o valor exato da solução. Diga por que 
a situação não melhora ao fazer h mais próximo de zero. 
2. Resolva pelo método de Runge Kutta 4, utilizando 2000=n , o sistema de equações diferenciais 






−++−=
+−−=
,1
,2 2
yxyx
dt
dy
xyx
dt
dx
 no intervalo ]1,0[∈t e grafique o retrato de fase deste sistema (o gráfico 
de x versus y ) para os cinco pares de condições iniciais 0)0( xx = , 0)0( yy = , com 
 
 
 
3. Na figura abaixo é mostrado um circuito RLC simples em 
que a resistência usual tem sido substituída por um 
elemento ativo (por exemplo, um tubo a vácuo ou um 
semicondutor) ao longo do qual a salto de voltagem é dado 
por uma função conhecida )(if da corrente, resultando em 
0)(' =++
C
QifiL . Por exemplo, se iRif ⋅=)( temos a 
equação diferencial familiar 01''' =+⋅+ i
C
iRiL . Em 1924, 
ao estudar os circuitos dos primeiros aparelhos de rádio, 
Balthasar van der Pol supôs que o salto de voltagem estava 
dado pela função iaibif −= 3)( , resultando, então a equação diferencial 
01')3('' 2 =+−+ i
C
iaibiL . Supondo valores 1=== aCL , 
3
1
=b , resolva numericamente, pelo 
método de Runge-Kutta 4, a equação diferencial para várias condições iniciais 1)0( =i , 
,2)0( =i ,3)0( =i 4)0( =i , 5)0( =i e grafique (num mesmo gráfico) os retratos de fase 
correspondentes ( i versus 'i ). 
4. Uma nave espacial está viajando com velocidade constante V , se aproximando de um planeta 
com massa M e raio R . Ao ser ativado, o sistema de desaceleração fornece um impulso 
constante T até o impacto com a superfície do planeta. Durante o período de desaceleração, a 
distância )(tx da nave até o centro do planeta satisfaz a equação diferencial 22
2
x
MGT
dt
xd ⋅
−= 
onde 211 /106726,6 kgNmG −⋅≈ , kgM 241097,5 ⋅= , mR 61038,6 ⋅= , hkmpV /104⋅= , 
2/)( smqgT += , sendo 2R
MGg ⋅= a aceleração gravitacional o planeta. Escolha 3=p e 
1+= pq . Utilizando métodos numéricos, determine a "altitude de ignição" )0(x com precisão de 
um metro e o "tempo de descida" 0t em que Rtx =)( 0 e 0)(' 0 =tx , com precisão de um décimo 
de segundo, para garantir um pouso "suave" da nave espacial. 
0x 0 0 0 0 0 
0y 0 1 2 3 4