Apostila de Raciocínio Lógico Para INSS-2015 - Professor Joselias - Grátis

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APOSTILA DE RACIOCÍNIO 
LÓGICO PARA O CONCURSO 
DO INSS 2015 
 
Cortesia do curso 
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
PARA O INSS 
 
1 - Conceitos básicos de raciocínio lógico: 
proposições; valores lógicos das proposi-
ções; sentenças abertas; número de linhas 
da tabela verdade; conectivos; proposi-
ções simples; proposições compostas. 
 
LÓGICA 
 
 Veremos nas próximas linhas a definição do que vem 
a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional 
antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as 
estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposi-
ções denominadas premissas ou conclusões. 
 
 LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
PROPOSIÇÃO 
 Chamaremos de proposição ou sentença todo con-
junto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento 
de sentido completo. Sendo assim, vejamos os exemplos. 
 
Exemplo: 
a) O Lula é o presidente do Brasil. 
b) O Rio de Janeiro fica na Europa. 
c) Elvis não morreu. 
 
 As proposições devem assumir os valores falsos ou 
verdadeiros, pois elas expressam a descrição de uma realida-
de, e uma proposição representa uma informação enunciada 
por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas 
orações, tais como: “O João é mais novo que o Pedro”, ou 
podemos expressar também por “O Pedro é mais velho que o 
João”. 
 Concluímos que as proposições estão associadas 
aos valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). 
 
Exemplo: 
Se a proposição p = “O Lula é o presidente do Brasil” é ver-
dadeira então representaremos o valor lógico da proposição p 
por VAL(p) = V. 
 
Se a proposição p = “O Lula não é o presidente do Brasil” é 
falsa então representaremos o valor lógico da proposição p 
por VAL(p) = F. 
 
Sendo assim a frase “Parabéns!” não é uma proposição, 
pois não admite o atributo verdadeiro ou falso. Portanto tam-
bém não serão proposições as seguintes expressões: 
 
Exclamações: “Oh!”, “Que susto!”. 
 
Interrogações: “Tudo bem?”, “Que dia é hoje?”, “Você é 
professor?”. 
 
Imperativos: “Seja um bom marido.”, “Estude para concur-
sos.” 
 
Paradoxos: “Esta sentença é falsa”. 
 
Teremos dois princípios no caso das proposições: 
PRINCÍPIO DO TERCEIRO-EXCLUÍDO 
 
 Uma proposição só pode ter dois valores lógicos, isto 
é, é verdadeira (V) ou falsa (F), não podendo ter outro valor. 
PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO 
 
 Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa 
simultaneamente. 
 
 Logo, voltando ao exemplo anterior temos: 
a) “O Lula é o presidente do Brasil.” é uma proposição verda-
deira. 
b) “O Rio de Janeiro fica na Europa.” é uma proposição falsa. 
c) “Elvis não morreu”, é uma proposição falsa. 
 
 As proposições serão representadas por letras do 
alfabeto: A, B, C, .... 
 
 As proposições simples (átomos) combinam-se com 
outras, ou são modificadas, através de operadores (conecti-
vos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas(ou 
compostas). 
 
CONECTIVOS 
 
 Os conectivos serão representados da seguinte 
forma: 
 
 corresponde a “não” (Alguns autores usam o símbolo “ 
~ ”, para representar a negação). 
 
corresponde a “e” (conjunção) 
 
corresponde a “ou” (disjunção) 
 
corresponde a “se ... então ...” (condicional) 
 
 corresponde a “...se e somente se...” (bi-condicional) 
 
⊻ corresponde a “... ou ..., ou ..., mas não ambos (disjun-
ção exclusiva) 
 
 Assim podemos ter: 
 
• Negações: ~ 𝒑 (lê-se: não p) 
 
Exemplo: 
Seja a proposição p = “Lógica é difícil”. 
A proposição “Lógica não é difícil” poderá ser representada 
por ~ 𝒑. 
 
• Conjunções: p q (lê-se: p e q) 
 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
 p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p q = “Trabalho e estudo” 
 
• Disjunções: p q (lê-se: p ou q) 
 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p q = “Trabalho ou estudo” 
 
 
 
 
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• Condicionais: p q (lê-se: Se p então q) 
 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p q = “Se trabalho então estudo” 
 
• Bi-condicionais: p  q (lê-se: p se e somente se q) 
 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p  q = “Trabalho se e somente se estudo” 
 
 
• Disjunção exclusiva: p ⊻ q ((lê-se: ou p, ou q, mas não 
ambos) 
 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições tal que: 
p = “Trabalho” 
q = “Estudo”, então temos que: 
p ⊻ q = “Ou trabalho, ou estudo, mas não ambos” 
 
PRIORIDADES DOS CONECTIVOS 
 
 Podemos usar parênteses para evitar ambiguidades, 
considerando a seguinte prioridade em ordem decrescente: 
 (A prioridade mais alta) 



 (A prioridade mais baixa) 
 
 
TABELA VERDADE 
 
 O valor lógico de cada proposição composta depen-
de dos conectivos contidos nela. Cada conectivo possui uma 
regra para formar o valor lógico da proposição composta, 
conforme a descrição abaixo. 
 
a) Tabela verdade da negação (p) 
(não p) 
 Se a proposição é verdadeira, sua negação será 
falsa. Se a proposição é falsa, sua negação será verdadeira. 
Assim teremos a seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
b) Tabela verdade da disjunção (pq) 
(p ou q) (ou p, ou q) 
 A disjunção será falsa quando todas as proposições 
simples forem falsas, caso contrário será verdadeira. Assim 
teremos a seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Tabela verdade da conjunção (pq) 
(p e q) 
 A conjunção será verdadeira quando todas as propo-
sições simples forem verdadeiras, caso contrário será falsa. 
Assim teremos a seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Tabela verdade da condicional (p q) 
(Se p, então q) 
 A condicional somente será falsa quando p for ver-
dadeira e q for falsa, caso contrário será verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Tabela verdade da bi-condicional (p q) 
(p se e somente se q) 
 
 A bi-condicional será verdadeira quando as proposi-
ções simples, p e q, tiverem o mesmo valor lógico, caso con-
trário será falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Tabela verdade da disjunção exclusiva (p ⊻ q) 
 
 A disjunção exclusiva será verdadeira quando as 
proposições simples, p e q, tiverem os valores lógicos diferen-
tes, caso contrário será falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p  p 
V F 
F V 
p q p q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
p q pq 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
p q p ⊻ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
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Assim teremos abaixo a tabela verdade para as proposições 
compostas pelas proposições simples p e q: 
 
TABELA VERDADE 
 
 
Exemplo: 
Sejam as proposições p e q, tal que: 
p = ”Corre” 
q = ”O bicho pega” 
Descrever as seguintes proposições abaixo: 
a) p 
b) p  q 
c) p  q 
d) p  q 
e) p  q 
f) p ⊻ q 
Solução: 
a) p = “Não corre” 
 
b) p  q = “Corre ou o bicho pega” 
 
c) p  q = “Corre e o bicho pega” 
 
d) p  q = “Se corre, então o bicho pega” 
 
e) p  q = “Corre se e somente se o bicho pega” 
 
f) p ⊻ q = “Ou corre, ou o bicho pega, mas não ambos” 
 
Exemplo: 
Sejam p e q proposições. Complete a tabela verdade abaixo 
 
 
Solução: 
p q p q pq p q p  q p  q 
V V F F V F F F 
V F F V V F F V 
F V V F V F F V 
F F V V F V V V 
 
Exemplo 
Determinar o valor verdade da proposição R  (P  Q), sa-
bendo-se que VAL (P) = F, VAL (Q) = F e VAL (R) = F. 
 
Solução 
 
 
Logo o VAL(R  (P  Q)) = V 
 
Exemplo: 
(STF-2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para 
meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. 
O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína 
do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de 
integridade. Tendo como referência as quatro frases aci-
ma, julgue o itens seguintes como certo(C) ou errado(E). 
 
a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas 
simples unidas pelo conectivo de conjunção. 
 
b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. 
 
c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. 
 
d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem 
dois conectivos lógicos. 
Solução 
 
a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas 
simples unidas pelo conectivo de conjunção. 
Errado. A sentença não é proposição. 
 
b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. 
Certo. A sentença “A resposta branda acalma o coração 
irado” é uma proposição simples. 
 
c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. 
Errado. Trata-se de uma oração com o sujeito composto, 
formando uma proposição simples. 
 
d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem 
dois conectivos lógicos. 
Errado. A sentença “Se o filho é honesto então o pai é exem-
plo de integridade” apresenta apenas o conetivo condicional. 
 
 
Exemplo: 
Sabendo que a proposição “se A, então B” é falsa, podemos 
concluir que: 
a) a proposição A é verdadeira e B é verdadeira. 
b) a proposição A é verdadeira e B é falsa. 
c) a proposição A é falsa e B é verdadeira. 
d) a proposição A é falsa e B é falsa. 
p q p pq pq p q p q p ⊻ q 
V V F V V V V F 
V F F V F F F V 
F V V V F V F V 
F F V F F V V F 
p q p q pq pq p q p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
P Q R P  Q R  (P  Q) 
V V V V V 
V V F V F 
V F V F F 
F V V F F 
V F F F V 
F V F F V 
F F V F F 
F F F F V 
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e) A proposição A é sempre falsa. 
Solução 
Teremos “se verdade, então falso”. Logo A é verdadeira e B é 
falsa. 
Resposta: B 
 
2 - TAUTOLOGIA 
 
 São as proposições compostas sempre verdadeiras, 
independentemente dos valores lógicos das proposições 
simples que as compõem. Para verificar se uma proposição é 
uma tautologia basta fazer a tabela verdade da proposição 
composta. 
 
Exemplos: 
a) A proposição (p  p) é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A proposição (p  p) é uma tautologia, pois é verdadeira 
para qualquer valor lógico da proposição p. 
 
p p  p 
V V 
F V 
 
 
c) A proposição (p)  p é uma tautologia, pois é sempre 
verdadeira para qualquer valor lógico da proposição p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois é 
sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposi-
ções p e q. 
 
 
 
e) A proposição (p  q)  (q  p) é uma tautologia, pois 
é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das propo-
sições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela 
tabela-verdade. 
A tautologia (p  q)  (q  p) é conhecida como contra-
positiva. 
 
 
f) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois 
é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das propo-
sições p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela 
tabela-verdade. 
A tautologia (p  q)  (p  q) é conhecida como tautolo-
gia de Morgan. 
 
 
g) A proposição (p  q)  (p  q) é uma tautologia, pois 
é sempre verdadeira para todos os valores lógicos das propo-
sições p e q. 
 Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabela-verdade. 
A tautologia (p  q)  (p  q) também é conhecida como 
tautologia de Morgan. 
 
 
h) A proposição  (pq)  (p  q) é uma tautologia, pois é 
sempre verdadeira para todos os valores lógicos das proposi-
ções p e q. Vamos deixar para o leitor a verificação pela tabe-
la-verdade. 
 
 
LISTA DE TAUTOLOGIAS MAIS COMUNS 
 
a) (p  p) 
b) (p  p) 
c) (p  p) (Identidade) 
d) (p  q)  (p  q) 
e) (p  q)  (q  p) (Contra-positiva) 
f) (p  q)  (p  q) (Morgan) 
g) (p  q)  (p  q) (Morgan) 
h) (p)  p (Negação dupla) 
i)  (p  q)  (p  q) 
 
CONTRADIÇÕES 
 
 São as proposições compostas sempre falsas, independen-
temente dos valores lógicos das proposições simples que as 
compõem. Para verificar se uma proposição é uma contradi-
ção basta fazer a tabela verdade da proposição composta. 
 
Exemplo: 
 A proposição (p  p) é uma contradição, pois é sempre 
falsa para qualquer valor lógico da proposição p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p p p  p 
V F V 
F V V 
p (p) (p) (p)  p 
V F V V 
F V F V 
p q pq p pq (pq)  (pq) 
V V V F V V 
V F F F F V 
F V V V V V 
F F V V V V 
p p p  p 
V F F 
F V F 
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CONTINGÊNCIA 
 
 São as proposições compostas em que os valores 
lógicos dependem dos valores das proposições simples. Para 
verificar se uma proposição é uma contingência basta fazer a 
tabela-verdade da proposição. Se na tabela-verdade alguns 
valores lógicos forem verdadeiros e outros falsos teremos 
uma contingência. 
 
Exemplo: 
A proposição (p  q) é uma contingência, pois a proposição 
pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores lógicos 
de p e q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) (p  p)  (p  p) é uma tautologia, pois a proposição 
composta é sempre verdadeira. 
b) (p  p)  (p  p) é uma contradição, pois a proposição 
composta é sempre falsa. 
 
Exemplo: 
 Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre 
verdadeira. Das alternativas abaixo, a única que é tautologia 
é: 
a) se filosofamos, então filosofamos. 
b) se não filosofamos, então filosofamos. 
c) Lógica é fácil, mas é difícil. 
d) ele é feio, mas para mim é bonito. 
e) eu sempre falo mentira. 
Solução 
A única proposição sempre verdadeira é “se filosofamos,então filosofamos”, pois é a tautologia (p  p). 
Resposta: A 
 
 
NÚMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE 
 
 O número de linhas da tabela verdade de uma pro-
posição composta com n proposições simples é 2n . 
 
Exemplo: 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta 
com uma proposições simples possui 21 = 2 linhas. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta 
com duas proposições simples possui 22 = 4 linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Observe que a tabela verdade de uma proposição composta 
com três proposições simples possui 23 = 8 linhas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) (2013-ESAF-Analista Técnico-Administrativo – MF) 
Conforme a teoria da lógica proposicional, a proposição ~ P Λ 
P é: 
 
a) uma tautologia. 
b) equivalente à proposição ~ P V P . 
c) uma contradição. 
d) uma contingência. 
e) uma disjunção. 
 
 
2) (2014 – IBFC - Qualquer Nível Médio – SEPLAG/SEDS-
MG) De acordo com os conectivos lógicos podemos afir-
mar que: 
 
a) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor 
lógico de uma proposição q for falso, então p conjunção q é 
verdade. 
b) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor 
lógico de uma proposição q for falso, então p disjunção q é 
verdade. 
c) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor 
lógico de uma proposição q for falso, então p condicional q é 
verdade. 
d) Se o valor lógico de uma proposição p for verdade e o valor 
lógico de uma proposição q for falso, então p bicondicional q 
é verdade. 
 
3) (ESAF – 2009 – EPPGG - MPOG) Entre as opções abaixo, 
a única com valor lógico verdadeiro é: 
 
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da Fran-
ça. 
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital 
da França. 
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França 
ou Paris é a capital da França. 
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França 
ou Paris é a capital da Inglaterra. 
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da 
Inglaterra. 
 
4) (2014 – IBFC - Analista e Pesquisador de Saúde e Tec-
nologia I - Administração – FUNED-MG) Com relação aos 
conectivos lógicos, a única alternativa incorreta é: 
 
a) o valor lógico da conjunção (e) entre duas proposições é 
falso se pelo menos um dos valores lógicos de uma das 
proposições for falso. 
b) o valor lógico da disjunção (ou) entre duas proposições é 
verdade se pelo menos um dos valores lógicos de uma das 
proposições for verdade. 
p q q (p  q) 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
p 
V 
F 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
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c) o valor lógico do condicional (se, então) entre duas propo-
sições é verdade se ambos os valores lógicos das proposi-
ções forem falsos. 
d) o valor lógico do bicondicional (se, e somente se) entre 
duas proposições é falso se ambos os valores lógicos das 
proposições forem falsos. 
 
 
5) (2009 – CESGRANRIO - Engenheiro Civil – CAPES) 
Chama-se tautologia à proposição composta que possui valor 
lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das 
proposições que a compõem. Sejam p e q proposições sim-
ples e ~p e ~q as suas respectivas negações. Em cada uma 
das alternativas abaixo, há uma proposição composta, forma-
da por p e q. Qual corresponde a uma tautologia? 
 
(A) p ˅ q 
(B) p ˄ ~q 
(C) (p ˅ q) → (~p ˄ q) 
(D) (p ˅ q) → (p ˄ q) 
(E) (p ˄ q) → (p ˅ q) 
 
 
6) (ESAF – 2009 – APOF - SEFAZ-SP) Assinale a opção 
verdadeira. 
 
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 
 
 
7) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa 
Grande-PB) Sejam as proposições p: 15% de 30% = 45% e 
q: a quarta parte de uma dúzia é igual a 3, e considerando os 
valores lógicos dessas proposições, podemos afirmar que o 
valor lógico da proposição composta (p→q)↔~p é: 
 
a) falso 
b) verdadeiro ou falso 
c) verdade 
d) inconclusivo 
 
 
8) (FGV) A proposição (p q)  (p q) representa um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
 
 
9) (FGV) A proposição (p q)  (p q) representa um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
10) (2014 – IBFC - Agente Administrativo - Pref. Alagoa 
Grande-PB) Dentre as afirmações, a única incorreta é: 
 
a) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então 
o valor lógico do condicional entre elas é falso. 
b) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico 
de outra proposição é verdade, então o valor lógico da con-
junção entre elas é falso. 
c) se os valores lógicos de duas proposições são falsos então 
o valor lógico da disjunção entre elas é falso 
d) se o valor lógico de uma proposição é falso e o valor lógico 
de outra proposição é verdade, então o valor lógico do bicon-
dicional entre elas é falso. 
11) A proposição (p q)  (p q) representa um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
 
 
12) (CESGRANRIO – Analista de Planejamento – Adm. 
Escolar - IBGE – 2013) Sejam 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑝4, 𝑝5 e c proposi-
ções verdadeiras. 
Assim, é FALSA 
 
(A) 𝑝1 ˄ 𝑝2 ˄ 𝑝3 ˄ 𝑝4 ˄ 𝑝5 → c 
(B) ¬c → ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5 
(C) ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5 ˄ c 
(D) ¬𝑝1 ˅ ¬𝑝2 ˅ ¬𝑝3 ˅ ¬𝑝4 ˅ ¬𝑝5 ˅ c 
(E) 𝑝1 ˅ 𝑝2 ˅ 𝑝3 ˅ 𝑝4 ˅ 𝑝5 ˅ ¬c 
 
 
 13) A proposição (p q)(q p) representa um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
 
 
14) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) O raci-
ocínio lógico trabalha com proposições, que é um conceito 
fundamental no estudo da lógica. Dadas as proposições abai-
xo: 
p: 16,5% de 200 = 32; 
q: a quarta parte de 300 é igual a 80 
É correto afirmar que: 
 
a) a disjunção de p e q ( p v q ) é verdadeira. 
b) a disjunção de p e q ( p v q ) é falsa. 
c) Não existe a disjunção das proposições dadas. 
d) O valor lógico de p é diferente do valor lógico de q. 
 
 
15) A proposição (p  p) representa um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
 
 
16) A proposição (p  p) representa um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
 
 
17) (2013 – IBFC - Oficial Administrativo – SUCEN) Dentre 
as afirmações: 
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I. Se duas proposições compostas forem falsas então o con-
dicional entre elas é verdade. 
II. Se duas proposições compostas forem falsas então o bi-
condicional entre elas é falso. 
III. Para que uma disjunção entre duas proposições seja 
verdadeira é necessário que ambas proposições sejam ver-
dadeiras. 
IV. Para que uma conjunção entre duas proposições seja 
falsa é necessário que ambas proposições sejam falsas. 
Pode-se dizer que são verdadeiras: 
 
a) Todas 
b) Somente duas delas 
c) Somente uma delas 
d) Nenhuma 
 
18) A proposição  (p)prepresenta um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
 
 
19) A proposição  ( (p)) p representa um: 
 
a) Contradição 
b) Contingência 
c) Tautologia 
d) Paradoxo 
e) N.R.A 
 
 
20) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. 
p q ? 
V V F 
V F F 
F V V 
F F F 
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de 
interrogação é 
 
a) (p q) 
b) (~p ~q) 
c) (p ~q) 
d) (~p q) 
e) (p q) 
 
 
21) (2009 – CESGRANRIO - Agente Administrativo – FU-
NASA) Denomina-se contradição a proposição composta que 
é SEMPRE FALSA, independendo do valor lógico de cada 
uma das proposições simples que compõem a tal proposição 
composta. Sejam p e q duas proposições simples e ~p e ~q, 
respectivamente, suas negações. Assinale a alternativa que 
apresenta uma contradição. 
 
(A) p ˄ q 
(B) q ˅ ~q 
(C) p ˅ ~q 
 (D) ~p ˄ q 
(E) ~p ˄ p 
 
 
22) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de 
interrogação é 
 
a) (p q) 
b) (~p ~q) 
c) (p ~q) 
d) (~p q) 
e) (p q) 
 
Gabarito 
1 – C 2 – B 3 – C 4 – D 
5 – E 6 – C 7 – C 8 – C 
9 – C 10 – A 11 – C 12 – C 
13 – C 14 – B 15 – C 16 – A 
17 – D 18 – C 19 – C 20 – D 
21 – E 22 – B 
 
 
3 – Operações com conjuntos 
Conceitos 
 
Um conjunto é uma coleção de objetos bem definida. 
 Quando x é um dos objetos que constituem um determinado 
conjunto A, chamamos x de elemento do conjunto A, e dize-
mos que x pertence ao conjunto A, escrevendo da seguinte 
maneira x ∈ A. 
Se x não é um elemento do conjunto A, dizemos que x não 
pertence ao conjunto A, e escrevemos x  A. 
A relação entre um elemento e um conjunto é chamada de 
relação de pertinência. 
 Geralmente representamos os conjuntos por letras maiúscu-
las (A, B, C, ...), e os elementos por letras minúsculas (a, b, 
c,...). 
Os conjuntos, na maioria das vezes, são definidos através de 
uma regra com a qual podemos decidir se os objetos perten-
cem ou não ao conjunto. 
 
Exemplo 
 Seja A o conjunto das mulheres de olhos verdes. Notamos 
que o conjunto A está bem definido, pois o objeto x pertence 
ao conjunto A quando for uma mulher e além disso tiver olhos 
verdes. 
Por outro lado, se x não for uma mulher ou se x for uma mu-
lher que não tenha olhos verdes então x não pertence ao 
conjunto A. 
Usaremos a notação A = {a, b, c, d, ...} para representar o 
conjunto A cujos o elementos são os objetos a, b, c, d,... . 
O conjunto dos números naturais 0,1,2,3,... será representado 
pelo símbolo N. 
N = {0,1,2,3,4,...} 
 
O conjunto dos números inteiros será representado pela letra 
Z, logo, 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} 
 
O conjunto dos números racionais, que é formado pelas fra-
ções 
p
q
, onde p e q pertencem a Z, com q ≠ 0, é representado 
pela letra Q 
𝐐 = {
𝐩
𝐪
|𝐩 ∈ 𝐙 𝐞 𝐪 ∈ 𝐙 𝐞 𝐪 ≠ 𝟎} 
p q ? 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
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Lê-se: Q é o conjunto das frações 
p
q
 tal que p pertence a Z e q 
pertence a Z e q é diferente de zero. 
Um conjunto pode também ser representado por uma proprie-
dade P, comum a todos os seus elementos, neste caso es-
crevemos: 
A = {x | x possui propriedade P} 
 
Lê-se o símbolo “|” como “tal que”. 
Se, no entanto, a propriedade P se refere aos elementos de 
um determinado conjunto C, escrevemos: 
A= {x ∈ C | x possui a propriedade P} 
 
Exemplo 
Seja A o conjunto dos números inteiros maiores que zero. 
Então podemos escrever 
A = {x ∈ Z | x > 0} 
 
Lê-se: A é o conjunto dos x pertencentes ao conjunto dos 
números inteiros, tal que x é maior que zero. Isto é: A = {1, 2, 
3, 4, ...} 
 
Exemplo 
Seja B o conjunto dos números pares. 
Podemos representar B da seguinte forma: 
B = {x | x = 2K e K ∈ N} 
Isto é B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 
 
Exemplo 
Seja C = {x | x é ímpar e 5 < x < 20} 
Podemos representar por: 
C = {7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 
Pode ocorrer que não existam elementos que satisfaçam a 
propriedade P, neste caso dizemos que o conjunto é vazio e 
denotamos por ∅. 
Deste modo, definimos conjunto vazio, e denotamos por ∅, ao 
conjunto que não possui elementos. 
Exemplo 
{x ∈ N | 0 < x < 1} = ∅ 
 
Exemplo 
O conjunto dos dias da semana que começam com a letra A 
(no idioma português) é o conjunto vazio (∅). 
 
Exemplo 
O conjunto dos homens que já geraram um ser humano (con-
ceberam um parto), até hoje, é o conjunto vazio. 
Obs.: No cálculo de probabilidade o conjunto vazio é chama-
do de evento impossível. 
 
Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B 
quando todo elemento de A é também elemento de B. Escre-
vemos A ⊂ B (A é subconjunto de B). 
 
Observação: 
• Se A ⊂ B, dizemos que A está contido em B ou que A é 
parte de B. 
• A relação A ⊂ B chama-se relação inclusão. 
• O conjunto vazio (∅) está contido em qualquer conjunto (isto 
é, ∅ é subconjunto de qualquer conjunto). 
• Chamamos de conjunto dos números irracionais, e repre-
sentamos por I, ao conjunto dos números que não podem ser 
escritos na forma 
p
q
 tal que p ∈ Z e q ∈ Z e q ≠ 0. Um número 
não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo. 
Seja o conjunto A, chamamos de conjunto das partes de A, e 
denotamos por P(A), ao conjunto formado por todos os sub-
conjuntos de A. 
 
Exemplo 
Seja A= {1, 2, 3} 
Então todos os subconjuntos de A são: 
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3} 
Logo 
P (A) = { ∅ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1,3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 
 
Observação: 
• Se um conjunto A possui n elementos, então P(A) possui 2n 
elementos. 
• A ∈ P(A) e ∅ ∈ P(A) 
 
Exemplo 
Seja A = {a, b, c} 
Para a visualização dos conjuntos utilizamos o chamado dia-
grama de Venn. 
 
 
 
Exemplo 
 
 
Exemplo 
Dados os conjuntos 
A = {1, 2, 3, 4}; 
B = {3, 4, 5}; C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Faça o Diagrama de Venn e assinale Verdadeiro (V) ou Falso 
(F). 
a) ( ) A ⊂ B 
b) ( ) A ⊂ C 
c) ( ) B ⊂ C 
d) ( ) B ⊂ A 
e) ( ) {1, 4} ⊂ A 
f) ( ) ∅ ⊂ A 
 
Solução 
 
 
a) (F) pois A  B (A não está contido em B) como vemos 1  
B e 2  B. 
b) (V) evidente que A  C, pois todos os elementos de A são 
também elementos de C. 
c) (V) pois B  C, pois todos os elementos de B são também 
elementos de C 
d) (F) pois B  A (B não está contido em A), como vemos 5  
A. 
e) (V) evidente que o conjunto {1, 4}  A. 
f) (V) pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjun-
to.ABBA 
 
 
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União entre conjuntos 
 
A união dos conjuntos A e B, é o conjunto A  B, cujos os 
elementos são também elementos de A ou de B. Isto é, se x ∈ 
A  B então x ∈ A ou x ∈ B. 
A  B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} 
 
A  B 
 
 
 
Intersecção entre conjuntos 
 
A intersecção entre os conjuntos A e B é o conjunto A ∩ B, 
cujos elementos são simultaneamente elementos de A e de B. 
Isto é, se x ∈ A ∩ B então x ∈ A e x ∈ B. 
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} 
 
A ∩ B 
 
 
Complementar de um conjunto 
 
Seja um conjunto A. Chamamosde complementar de A, e 
denotamos por AC, ao conjunto dos elementos que não per-
tencem ao conjunto A. Isto é, AC = {x | x  A} 
 
 
Diferença entre os conjuntos A e B 
Chamamos de diferença entre os conjuntos A e B, e denota-
mos por (A – B), ao conjunto cujos elementos pertençam ao 
conjunto A, mas não pertençam ao conjunto B. Isto é, 
A–B = {x | x ∈ A e x  B} = A ∩ BC 
 
 
Observação 
• Quando B ⊂ A, a diferença A – B chama-se conjunto com-
plementar de B em relação a A e denotamos por 𝐶𝐴𝐵. 
Logo se B ⊂ A então A – B = 𝑪𝑨𝑩. 
 
• Representamos 
n (A) - número de elementos do conjunto A 
n (B) - número de elementos do conjunto B 
n (A ∩ B) - número de elementos do conjunto A ∩ B 
n (A ∪ B) - número de elementos do conjunto A ∪ B 
 
Então 
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) 
 
Algumas propriedades importantes 
 
1. A ∪ ∅ = A 
2. A ∪ A = A 
3. A ∩ ∅ = ∅ 
4. A ∩ A = A 
5. A ∪ B = B ∪ A 
6. A ∩ B = B ∩ A 
7. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
8. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
9. (AC)C = A 
10. A  B se somente se A ∪ B = B 
11. A  B se somente se A ∩ B = A 
12. A  B se somente se BC  AC 
15. A ∩ AC =∅ 
 
Exemplo 
Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5} 
 
 A B 
 
 
Exemplo 
Seja A = {1, 2, 3, 4} e B= {3, 4, 5} 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} 
A ∩ B = {3, 4} 
B – A = {5} 
 
Exemplo 
Seja A = {1, 2, 3}; 
B = {2, 4, 5}, 
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Calcule: 
a) A ∩ B 
b) A ∪ B 
c) (A ∩ B) ∪ C 
d) (A ∪ B) ∩ C 
 
Solução 
a) A ∩ B = {2} 
b) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} 
c) (A ∩ B) ∪ C = {2} ∪{1, 2, 3, 4, 5, 6,} = 
{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
d) (A ∪ B) ∩ C = { 1, 2, 3, 4, 5} ∩{1, 2, 3, 4, 5, 6,} = { 1, 2, 3, 4, 
5} 
 
Exemplo 
Seja um conjunto A com 300 elementos, um conjunto B com 
500 elementos. Suponhamos que há 100 elementos comuns 
em A e B. Quantos elementos possui: 
a. somente o conjunto A 
b. somente o conjunto B 
c. o conjunto A ∪ B 
 
Solução 
 
 
a. 200 elementos 
b. 400 elementos 
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c. n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
 n (A ∪ B) = 300 + 500 - 100 
 n (A ∪ B) = 700 elementos. 
 
Exemplo 
(MACK-SP) Se A e B são dois conjuntos tais que A  B e A ≠ 
∅, então: 
a) sempre existe x ϵ A tal que x  B. 
b) sempre existe x ϵ B tal que x  A. 
c) se x ϵ B então x ϵ A 
d) se x  B então x  A 
e) A ∩ B = ∅ 
 
Solução 
Pelos dados do problema temos: 
A opção A é totalmente absurda pois A ⊂ B. 
A opção B, a palavra sempre força o caso de que A não pos-
sa ser igual a B. 
A opção C, desde que B ⊂ A. 
A opção D, é correta, basta ver a propriedade 12 (se A ⊂ B ⇒ 
BC ⊂ AC) 
A opção E, é absurda. 
Resposta: D 
 
Exemplo 
(MACK-SP) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então o 
complementar de B em relação a A é: 
a) ∅ 
b) {8} 
c) {8, 9, 10} 
d) {9, 10, 11, ...} 
e) {1, 5, 8} 
 
Solução 
Observe que B ⊂ A logo 
𝐶𝐴𝐵 = 𝐴 − 𝐵 = {1, 5, 8} 
Resposta: E 
 
Produto Cartesiano 
 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano 
de A por B o conjunto de pares ordenados (a, b), tal que a é 
um elemento de A e b é um elemento de B. Simbolicamente 
teremos. 
A×B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B} 
 
Exemplo 
Seja A = {0, 1, 2} e B= {1, 2, 3} 
A×B = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} 
 
Para o caso de três conjuntos A, B e C o produto cartesiano 
será definido analogamente. 
A×B×C= {(a,b,c) | a ∈ A e b ∈ B e c ∈ C} 
 
 
Conjunto dos Números Reais 
 
Chamamos de conjunto dos números reais a união entre o 
conjunto dos números racionais e o conjunto dos números 
irracionais. 
Isto é, 
R = Q ∪ I 
 
Observação: 
1. Podemos concluir que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R 
 
2. Podemos concluir que: I ∩ Q = ∅ 
 
3. Podemos fazer o seguinte diagrama de Venn 
 
R 
 
 
4. Sejam dois conjuntos A e B. 
Dizemos que A e B são disjuntos se e somente se A ∩ B = ∅ 
 
Exemplo 
A = {0, 1, 3, 4, 6} e B = {2, 5, 7} 
A ∩ B = ∅ logo A e B são conjuntos disjuntos. 
 
NÚMEROS NATURAIS 
Os números naturais surgiram quando as primeiras civiliza-
ções começaram a contar os seus rebanhos. Então, surgiram 
os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... 
À representação dos números chamamos de numeral, por 
exemplo: 19 é o numeral representado pelos algarismos 1 e 9. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ) 
Representaremos o conjunto de todos os números naturais 
por: 
 
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … } 
 
 
NÚMEROS PARES E NÚMEROS ÍMPARES 
Chamaremos de números pares aos números múltiplos de 2, 
isto é: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... 
 
Chamaremos de números ímpares aos números naturais que 
não são pares, isto é: 1, 3, 5, 7, 9,... 
 
NÚMEROS INTEIROS 
Estudamos no ensino fundamental que os números inteiros 
são: 
...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... 
 
 
PROPRIEDADES E OPERAÇÕES DOS 
NUMEROS INTEIROS 
 
Se a, b e c são números inteiros, então: 
 
I- a+b = b+a e ab = ba 
Dizemos então que a soma e o produto são operações comu-
tativas. 
 
II- a+(b+c) = (a+b)+c e a.(bc) = (ab).c 
Dizemos então que a soma e o produto são operações asso-
ciativas. 
 
III- a(b+c) = ab + ac 
Dizemos então que o produto é distributivo em relação à ope-
ração soma. 
 
IV- a+0 = a 
Dizemos que zero é o elemento neutro da operação soma. 
 
V- a.1 = a 
Dizemos que um é o elemento neutro da operação produto. 
 
VI- Para cada inteiro a, existe um inteiro x, tal que x+a = 0. 
Este valor de x será representado por –a, e será chamado de 
simétrico ou oposto do número a. 
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Exemplos: 
-2 é simétrico de 2 
-3 é simétrico de 3 
-2 é oposto de 2 
3 é simétrico de -3 
3 é oposto de -3 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
Representaremos o conjunto dos números inteiros por: 
 
ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … } 
 
Teremos então os seguintes conjuntos derivados do conjunto 
dos números inteiros: 
 
ℤ−= conjunto dos números inteiros não positivos: 
ℤ− = {… , −4, −3, −2, −1,0} 
 
ℤ+= conjunto dos números inteiros não negativos: 
ℤ+ = {0, 1,2,3,4, … } 
 
ℤ−
∗ = conjunto dos inteiros negativos: 
ℤ−
∗ = {… , −4, −3, −2, −1} 
 
ℤ+
∗ = conjunto dos números inteiros positivos: 
 ℤ+
∗ = {1, 2,3,4, … } 
 
NÚMEROS RACIONAIS E 
FRACIONÁRIOS, REPRESENTAÇÕES EM 
FORMA DECIMAL 
Dizemos que um número é racional se ele pode ser escrito na 
forma: 
p
q
 tal que 𝑝 ∈ ℤ e 𝑞 ∈ ℤ∗ 
Isto quer dizer que um número é racional se ele pó ser escrito 
como uma fração. Os números que não podem ser represen-
tados como uma fração serão chamados de Irracionais. 
Exemplos: 
a) 4
0,4444...
9

 é racional. 
b) 
12
0,121212...
99

 é racional. 
c) 
231
0, 231231...
999

 é racional. 
d) 2
7
 é racional. 
e) 
2
 é irracional 
f) 

 é irracional 
 
 
4 - Cálculos de Porcentagens 
 
TAXA PERCENTUAL E TAXA UNITÁRIA 
 
Taxa Percentual é a fração cujo denominador é igual a 100. 
Temos então que fração 
25
100
 é uma taxa percentual e será 
indicada por 25%, logo: 
 
%
100
x
x 
 
 
 
Quando efetuamos a divisão do numerador por 100, temos 
comoresultado a taxa unitária. 
 
Exemplo 
a) 
25
100
 = 25% (taxa percentual) 
b) 
25
100
 = 0,25 (taxa unitária) 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Calcular a porcentagem de um número significa multiplicar a 
fração percentual pelo número. 
Exemplo 
Calcular: 
a) 
2
5
 de 300 = 
2
5
 x 300 = 
600
5
 = 120 
b) 25% de 400 = 25% x 400 = 
25
100
 x 400 = 100 
 
Exemplo 
Um capital foi aplicado por um certo período a uma taxa de 
4% no período, tendo recebido no final do prazo R$ 600,00 de 
juro. Qual o valor do capital aplicado? 
Solução 
Sejam os dados: C = capital aplicado 
i = a taxa de juro 
J = o juro obtido no final do prazo. 
Então teremos: 
i = 4% no período aplicado J = R$ 600,00 
A taxa de juro será o valor do juro aplicado expresso co-
mo porcentagem do capital. 
600
4%
4 600
100
600 100
4
60000
$15.000,00
4
J
i
C
C
C
x
C
C R




 
 
Resposta: R$ 15.000,00 
 
 
 
COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS 
 
A fração 
a
b
 representa a porcentagem que o número a 
representa de um número b. 
 
Exemplo 
Que porcentagem o número 2 representa do número 5? 
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Solução 
Basta efetuar a fração: 2
0, 4 40%
5
 
 
Resposta: 40% 
 
Exemplo 
Numa classe com 80 alunos, 28 foram aprovados em mate-
mática. Qual a porcentagem de aprovados nessa matéria? 
Qual a porcentagem de reprovados? 
Solução 
Total de alunos na classe: 80 alunos 
Quantidade de alunos aprovados: 28 alunos 
Logo, a porcentagem de alunos aprovados é: 
28
0,35 35%
80
 
 
A porcentagem de alunos reprovados será: 100% - 35% 
= 65% 
Resposta: 35% e 65% 
 
 
LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA E 
LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO 
 
Suponha que um produto seja adquirido pelo valor PC, e 
seja vendido pelo valor PV. Isto é: 
 PC = “preço de custo do produto” 
 PV = “preço de venda do produto” 
 L = “lucro obtido com a venda do produto” 
Então temos que o lucro obtido com a venda do produto 
é: 
 
L = PV – PC 
 
Sendo assim temos: 
a) Lucro sobre o preço de custo: 
L PV PC
PC PC


. 
 
b) Lucro sobre o preço de venda: 
L PV PC
PV PV


. 
 
Exemplo 
Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e 
vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de 
custo? 
Solução 
PC = R$ 400,00 
PV = R$ 500,00 
Lucro sobre o preço de custo: 
500 400 100 25
25%
400 400 100
PV PC
PC
 
   
 
Resposta: 25% 
 
Exemplo 
Um comerciante comprou um produto por R$ 400,00 e 
vendeu por R$ 500,00? Qual foi o lucro sobre o preço de 
venda? 
Solução 
 
PC = R$ 400,00 
PV = R$ 500,00 
Lucro sobre o preço de venda: 
500 400 100 20
20%
500 500 100
PV PC
PV
 
   
 
Resposta: 20% 
Exemplo 
Um produto é comprado por R$ 150,00 e é vendido por 
R$ 300,00. Qual foi o lucro sobre o preço de custo? Qual 
foi o lucro sobre o preço de venda? 
Solução 
PC = R$ 150,00 
PV = R$ 300,00 
Lucro sobre o preço de custo: 
300 150 150
1 100%
150 150
PV PC
PC
 
   
 
Lucro sobre o preço de venda: 
300 150 150 50
50%
300 300 100
PV PC
PV
 
   
 
Resposta: 100% e 50% 
 
 
Exemplo 
Um produto é vendido com um lucro de 20% sobre o pre-
ço de venda. Qual foi o lucro sobre o preço de custo? 
Solução 
 
Lucro sobre o preço de venda = 20% 
20%
PV PC
PV


 
PV – PC = 0,2 PV 
PV – 0,2 PV = PC 
0,8 PV = PC 
PC = 0,8 PV 
Lucro sobre o preço de custo: 
1 20% 0,2
0,25 25%
0,8 0,8 0,8 0,8
PV PC PV PC PV PC
PC PV PV
   
     
 
 
Resposta: 25% 
 
 
TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL 
 
 Chamamos de taxa de variação percentual a medida 
percentual de quanto a variável aumentou ou diminuiu. 
Sendo assim, temos: 
 Vant= Valor antigo da variável. 
 Vnovo = Valor novo da variável. 
 Δ = Taxa de variação percentual 
 
novo ant
ant
V V
V

 
 ou 
 
 
 
 
Exemplo 
O preço de um produto aumentou de R$ 500,00 para R$ 
525,00. Qual foi a taxa de variação percentual do preço? 
Solução 
Vant = R$ 500,00 
Vnovo = R$ 525,00 
525 500 25 5
5%
500 500 100
novo ant
ant
V V
V

 

    
 
Resposta: 5% 
 
1novo
ant
V
V
  
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Exemplo 
Um comerciante comprou um produto por R$ 1.500,00, e 
o revendeu um mês depois por R$ 1.725,00. Qual foi a 
taxa de variação percentual no mês? 
Solução 
Vant = R$ 1.500,00 
Vnovo = R$ 1.725,00 
1725 1500 225 15
15%
1500 1500 100
novo ant
ant
V V
V
 
     
 
 
FATOR(OU COEFICIENTE) DE ACUMULAÇÃO 
 
 Vimos no item anterior que a variação percentual é 
dada por: 
 
 
 1 1 1novo novo novo ant
ant ant
V V
V V
V V
       
 
 
e 
1
novo
ant
V
V 
 
 
 
O fator ou coeficiente de acumulação denotado por 1 + Δ, 
é o valor que multiplicado pelo valor antigo produz o valor 
novo. 
 
Notamos que para varias taxas de variação percentual 
consecutiva Δ1 , Δ2 , ... Δn aplicadas sucessivamente ob-
temos a fórmula: 
 
Vnovo = Vant (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) 
 
que será chamado de fator de acumulação total dos n pe-
ríodos consecutivos. Temos portanto que: 
 
Δ = (1+ Δ1)(1+ Δ2) ... (1+ Δn) – 1 
 
Será chamada de taxa de variação total dos n períodos 
consecutivos. 
 
Observação: Se Δ1 = Δ2 =.... = Δn = Δ a fórmula será 
Vnovo = Vant [1+ Δ]n 
 
Exemplo 
Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em 30%. 
Como a venda do produto caiu, o comerciante arrependido, pre-
tende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao 
valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anun-
ciar um desconto de, aproximadamente: 
a)15%; b) 19%; c) 23%; 
d) 28%; e) 30%. 
Solução 
Temos duas variações: 
A primeira de 30% . 
A segunda no valor ∆2 . 
A variação total será zero, pois o preço voltará ao anteri-
or. 
  
  
 
1 2
2
2
1 2
2
2 2
2
1 1 1
0 1 30% 1 1
1,3 1
1,3 3 1
1,3 0,3
0,3
0,23
1,3
23%
      
    
   
   
  

    
  
 
Resposta: C 
 
 Exemplo 
 (VUNESP) A diferença entre o preço de venda anunciado de 
uma mercadoria e o preço de custo é igual a R$ 2.000,00. Se 
essa mercadoria for vendida com um desconto de 10% sobre 
o preço anunciado, dará ainda um lucro de 20% ao comerci-
ante. Determine seu preço de custo. 
Solução 
PV – PC = 2000. Como a mercadoria foi vendida com um 
desconto de 10% e teve um lucro de 20%, temos: 
0,9
20%
0,9 0,2
9 12
PV PC
PC
PV PC PC
PV PC


 

 
Temos o sistema: 
2000
9 12
PV PC
PV PC
 


 
Multiplicando a 1ª equação por 9, temos: 
9PV – 9PC = 18000 
12PC – 9PC = 18000 
3PC = 18000 
PC = 6000 
Resposta: R$ 6.000,00 
 
Exemplo 
Em outubro de determinado ano, o Tribunal Regional do Trabalho 
concedeu a uma certa categoria profissional um aumento salarial 
de 80%,sobre o salário de abril, descontadas as antecipações. Se 
os trabalhadores receberam um aumento de 20% em setembro, 
qual o aumento percentual a ser recebido em outubro, conside-
rando o salário recebido em setembro? 
a) 66,67% 
b) 60% 
c) 50% 
d) 40% 
e) 36,66% 
Solução 
  
  
 
1 2
2
2
2
2
2 2 2
1 1 1
80% 1 20% 1 1
1,2 1 1,8
1,2 1, 2 1,8
1,2 0,6
0,6
0,5 50%
1,2
      
    
  
  
 
       
 
Resposta: C 
 
 
5 – Problemas Resolvidos 
 
Nesse tópico vamos resolver exercícios que envolvem racio-
cínios quantitativos, tais como aritméticos, geométricos, matri-
ciais, sequenciais etc. O leitor deve tentar resolver as próxi-
mas questões e procurar entender as soluções apresentadas 
aqui nos próximos exemplos. 
 
1) Em uma turma há 18 homens e 15 mulheres. Vinte e oito 
alunos dessa turma inscreveram-se para participar de um 
concurso. Quantas mulheres, no mínimo, estão inscritas para 
participar desse concurso? 
(A) 14 
(B) 13 
(C) 12 
(D) 11 
(E) 10 
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Solução 
Para ter a menor quantidade de mulheres precisamos que 
todos os 18 homens se inscrevam. Logo o número mínimo de 
mulheres inscritas será 28 – 18 = 10 mulheres. 
Resposta: E 
 
2) Uma prova com 240 questões diferentes foi distribuída a 
três estudantes, A, B e C, de modo que cada estudante rece-
beu um bloco com 80 questões distintas. A apresentou 80% 
de acertos nas suas respostas; B respondeu corretamente a 
90% do seu bloco e C errou 70% de suas questões. Desta 
forma, o número total de questões erradas, pelos três estu-
dantes, na prova é de: 
a) 24 
b) 48 
c) 56 
d) 80 
e) 192 
Solução 
Temos que: 
A  16 erradas 
B  8 erradas 
C  56 erradas 
 
Total: 80 erradas 
Resposta: D 
 
3) 12 homens estavam perdidos no deserto. Eles possuíam 
água para 30 dias, porém na noite do sexto dia encontraram 
um outro grupo de homens perdidos, que se juntaram a eles. 
Sabendo-se que a água durou apenas mais doze dias, a 
quantidade de homens no grupo encontrado foi 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
e) 16 
Solução 
Na noite do sexto dia possuíam água para mais 24 dias. Co-
mo a água só durou 12 dias (metade do que deveria), conclu-
ímos que o número de homens dobrou. Logo, no grupo en-
contrado havia 12 homens. 
Resposta: C 
 
4) Na reunião de um condomínio compareceram homens e 
mulheres. Após iniciada a sessão, um homem se retirou, e o 
número de mulheres presentes ficou sendo o dobro do núme-
ro de homens. Posteriormente, o homem que havia saído 
retomou. Em seguida, saíram seis mulheres, e o número de 
homens e mulheres presentes ficou igual. O número de pes-
soas presentes quando a reunião foi iniciada era 
(A) 14. 
(B) 16. 
(C) 18. 
(D) 20. 
(E) 22. 
Solução 
 
 Início Etapa 
1 
Etapa 
2 
Etapa 
3 
Homens x x - 1 x x 
Mulheres y y y y - 6 
 
2( 1)
6
y x
x y
 

 
 

 2( 1)
6
y x
y x
 

 
 
Logo: 
2(x-1) = x + 6 
2x – 2 = x + 6 
x = 8 
y = 14 
Logo o número de presentes na reunião foi 22 pessoas (8 
homens e 14 mulheres). 
Resposta: E 
 
5) Estou matriculado no curso de Administração de Empresas. 
Para trancar a matrícula em qualquer disciplina, tenho um 
prazo máximo de 90 dias a contar de hoje, que é terça-feira, 
vencendo o l.ª dia, portanto, amanhã, 4a feira. Então, esse 
prazo vencerá em uma 
(A) segunda-feira. 
(B) terça-feira. 
(C) quarta-feira. 
(D) quinta-feira. 
(E) sexta-feira. 
Solução 
90 dividido por 7 tem como quociente 12 e resto 6. Portanto 
os 90 dias vencem em uma segunda-feira. 
Resposta: A 
 
6) Uma lanchonete oferece aos seus clientes as seguintes 
opções para montar um sanduíche: 2 tipos de patês, 3 tipos 
de queijos, 4 tipos de frios e 3 tipos de folhas de saladas. Se 
uma pessoa quiser montar um sanduíche com apenas um 
ingrediente de cada tipo, o número de maneiras diferentes 
que ela poderá montar esse sanduíche será 
(A) 80. 
(B) 72. 
(C) 63. 
(D) 50. 
(E) 44. 
Solução 
Temos: 
2 tipos de patês 
3 tipos de queijos 
4 tipos de frios 
3 tipos de folhas de salada 
Logo pelo princípio fundamental da contagem temos 2 

3 

4 

3 = 72 maneiras diferentes de montar o sanduíche. 
Resposta: B 
 
7) Para presentear amigos, uma pessoa irá montar caixas 
com bombons sortidos e, para isso, comprou 500 g de bom-
bons com licor, a R$ 36,00 o kg; 1,2 kg de bombons ao leite, a 
R$ 25,00 o kg, e 1,3 kg de bombons com recheio de frutas, a 
R$ 30,00 o kg. O preço médio de um kg de bombom compra-
do por essa pessoa saiu por 
(A) R$ 26,00. 
(B) R$ 27,00. 
(C) R$ 28,00. 
(D) R$ 29,00. 
(E) R$ 30,00. 
Solução 
Temos as seguinte quantidades: 
0,5kg de bombons com licor  R$ 18,00 
1,2kg de bombons ao leite  R$ 30,00 
1,3kg de bombons com recheio de frutas  R$ 39,00 
Logo: 
1 caixa com 3 kg custa R$ 87,00. 
Portanto o kg da caixa será: 
$87,00
$29,00
3
R
R
 
Resposta: D 
 
8) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) De mesada, Julia recebe 
mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. Se 
em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, então, de sua mãe ela 
recebe, por mês, 
(A) R$ 15,00. 
(B) R$ 20,00. 
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(C) R$ 25,00. 
(D) R$ 30,00. 
(E) R$ 35,00. 
Solução 
Pai Mãe 
10x + 5x = 375 
 15 x = 375 
 x = 
375
15
 ∴ x = 25 
Logo de sua mãe recebeu R$ 25,00 por mês. 
Resposta: C 
 
9) (Vunesp-AgEscVigPen-V1-2012) Valdomiro cronometrou 
as voltas que correu em uma pista de 400 m e anotou os 
tempos na tabela a seguir. 
 
Pode-se afirmar que o tempo médio dessas quatro voltas foi, 
em segundos, de 
(A) 80. 
(B) 82. 
(C) 84. 
(D) 86. 
(E) 88. 
Solução 
15 + 18 + 23 + 24
4
= 20 
1 min 20 seg = 80 segundos 
Resposta: A 
 
10) (Concurso Petrobras - 2011) João tem 100 moedas, 
umas de 10 centavos, e outras de 25 centavos, perfazendo 
um total de R$ 20,20. O número de moedas de 25 centavos 
que João possui é 
(A) 32 
(B) 56 
(C) 64 
(D) 68 
(E) 72 
Solução 
Seja x o número de moedas de 25 centavos, e (100 - x) o 
número de moedas de 10 centavos. 
Temos que 
25𝑥 + 10(100 − 𝑥) = 2020 
25𝑥 + 1000 − 10𝑥 = 2020 
15𝑥 = 1020 
𝑥 =
1020
15
 
𝒙 = 𝟔𝟖 𝒎𝒐𝒆𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝟐𝟓 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒗𝒐𝒔. 
Resposta: D 
 
11) (Concurso Petrobras - 2011) Conversando com os 45 
alunos da primeira série de um colégio, o professor de educa-
ção física verificou que 36 alunos jogam futebol, e 14 jogam 
vôlei, sendo que 4 alunos não jogam nem futebol nem vôlei. O 
número de alunos que jogam tanto futebol quanto vôlei é 
(A) 5 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 11 
(E) 13 
Solução 
Seja x o número de alunos que jogam tanto futebol quanto 
vôlei. 
 
36 − 𝑥 + 𝑥 + 14 − 𝑥 + 4 = 45 
54 − 𝑥 = 45 
𝑥 = 9 
Resposta: C 
 
12) Considere que, independentemente do tipo de demanda, 
o tempo gasto com o atendimento a cada cliente por um aten-
dente, em minutos, seja sempre o mesmo, q que, em 4 horas 
de trabalho, ele atenda 64 clientes. Nessa situação, o tempo 
utilizado por esse atendente, no atendimento a cada cliente, é 
a) inferiora 3 minutos. 
b) superior a 3 minutos e inferior a 4 minutos. 
c) superior a 4 minutos e inferior a 5 minutos. 
d) superior a 5 minutos e inferior a 6 minutos. 
e) superior a 6 minutos. 
Solução 
 240 min 64 
 48 min 3 min e 45 seg 
 × 60 
 2880 seg 
 320 
 00 
Resposta: B 
 
13) Em uma empresa, os empregados têm direito a descanso 
remunerado de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em de-
terminado ano, os dias trabalhados e os dias de descanso 
somaram 224 dias. 
Com base nessa situação, é correto afirmar que, 
nesse ano, a quantidade de dias de descanso desses empre-
gados foi 
a) superior a 12 e inferior a 16. 
b) superior a 16 e inferior a 20. 
c) superior a 20 e inferior a 24. 
d) superior a 24. 
e) inferior a 12. 
Solução 
224 16 
 64 14 
 00 
Resposta: A 
 
14) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Certo dia, Eurídice falou 
a Josué: 
- Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, 
sua idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a 
diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de 
serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos. 
Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice 
tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, 
com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número 
(A) divisível por 9. 
(B) menor que 100. 
(C) maior que 100. 
(D) quadrado perfeito. 
(E) múltiplo de 11. 
Solução 
Sejam ab e ba as idades. 
Logo temos: 
ab = 10a + b 
ba = 10b + a 
A soma das idades será: ab + ba = 11a + 11b = 11(a + b). 
(Múltiplo de 11) 
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Resposta: E 
 
15) (BANCO DO BRASIL – FCC – 2010) Em um banco, 
qualquer funcionário da carreira de Auditor é formado em pelo 
menos um dos cursos: Administração, Ciências Contábeis e 
Economia. Um levantamento forneceu as informações de que 
I. 50% dos Auditores são formados em Administração, 60% 
são formados em Ciências Contábeis e 48% são formados em 
Economia. 
II. 20% dos Auditores são formados em Administração e Ci-
ências Contábeis. 
III. 10% dos Auditores são formados em Administração e 
Economia. 
IV. 30% dos Auditores são formados em Ciências Contábeis e 
Economia. 
Escolhendo aleatoriamente um Auditor deste banco, a proba-
bilidade de ele ser formado em pelo menos dois daqueles 
cursos citados é 
(A) 58% 
(B) 56% 
(C) 54% 
(D) 52% 
(E) 48% 
Solução 
 
20% + x + 20% - x + x + 10% - x + 10% + x + 30% - x + 8% + 
x = 100% 
98% + x = 100% 
x = 2% 
Substituindo-se os valores temos: 
 
 
A probabilidade será: 18% + 2% + 8% + 28% = 56% 
Resposta: B 
 
16) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Certo dia, no início do 
expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas 
filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários - 
Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao público ex-
terno. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem 
com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguin-
tes procedimentos: 
– primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram 
deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de Domitila; 
– em seguida, da fila de Domitila para a de Casimiro, foram 
deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que 
haviam restado na fila de Casimiro. 
Se, após esses dois procedimentos, ambas as filas ficaram 
com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na 
fila de 
(A) Domitila era 15. 
(B) Casimiro era 24. 
(C) Casimiro era 18. 
(D) Domitila era 14. 
(E) Casimiro era 20. 
Solução 
Observe que no total são 32 pessoas, temos que: 
 Casimiro Domitila 
Inicialmente 
1ª Etapa 
2ª Etapa 16 16 
 
Observe que na 2ª etapa, da fila de Domitila para a de Casi-
miro, foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade 
das que haviam restado na fila de Casimiro. 
Logo na etapa anterior a fila de Casimiro possuía a metade de 
pessoas (8 pessoas) 
Casimiro Domitila 
Inicialmente 
1ª Etapa 8 24 
2ª Etapa 16 16 
Observe que na 1ª etapa, da fila de Casimiro para a de Domi-
tila, foram deslocadas tantas pessoas quantas havia na fila de 
Domitila, logo a fila de Domitila possuía na etapa anterior a 
metade de pessoas (12 pessoas). Daí temos: 
Casimiro Domitila 
Inicialmente 20 12 
1ª Etapa 8 24 
2ª Etapa 16 16 
 
Portanto inicialmente, o número de pessoas na fila de 
Casimiro era 20. 
Resposta: E 
 
17) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Um Técnico Judiciário 
iniciou a digitação de um texto quando eram decorridos 
4
9
 de 
certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 
61
96
 
do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele 
interrompeu seu trabalho apenas por 55 minutos, quando, 
então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal 
texto foi de 
(A) 2 horas e 30 minutos. 
(B) 2 horas e 45 minutos. 
(C) 3 horas e 20 minutos. 
(D) 3 horas e 40 minutos. 
(E) 3 horas e 45 minutos. 
Solução 
Início: 
4
9
 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎 = 
4
9
 𝑑𝑒 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =
96
9
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =
10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
 
Término: 
61
96
 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑎 = 
61
96
 𝑑𝑒 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 =
61
4
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
= 15 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
 
O tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de: 
𝟏𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟏𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 − 𝟏𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
− 𝟓𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐 = 
= 𝟑 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. 
Resposta: D 
 
18) (TRF 2ª REGIÃO – FCC – 2007) Pelo controle de entrada 
e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional 
Federal, verificou-se em certa semana que o número de visi-
tantes na segunda-feira correspondeu a 
3
4
do da terça-feira e 
este correspondeu a 
2
3
do da quarta-feira. Na quinta-feira e 
na sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um 
deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, 
de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o núme-
ro de visitantes na 
(A) segunda-feira foi 120. 
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(B) terça-feira foi 150. 
(C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. 
(D) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. 
(E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira. 
Solução 
Suponhamos que a quantidade de visitantes na quarta-feira 
foi x. Temos então que o número de visitantes na terça-feira 
corresponde a 
2
3
x. Sendo assim o número de visitantes na 
segunda-feira corresponde a 
3
4
 do número de visitantes da 
terça feira, isto é: 
3 2
4 3 2
x
x 
. 
Como o número de visitantes na quinta–feira foi igual ao nú-
mero de visitantes na sexta-feira, e igual ao dobro da segun-
da-feira, temos que na quinta-feira foi x. 
Logo temos: 
Segunda-feira  
2
x
 visitantes 
Terça-feira  
2
3
x
 visitantes 
Quarta-feira  x visitantes 
Quinta-feira  x visitantes 
Sexta-feira  x visitantes 
Logo o número de visitantes na quarta-feira foi igual ao 
da quinta-feira. 
Resposta: C 
 
19) (TRT 15ª REGIÃO – FCC 2010) Num dado momento, 
observou-se que o volume de água no interior da caixa d’água 
de um edifício ocupava 
1
3
 de sua capacidade e que, se lá fos-
sem colocadosmais 0,24m3 de água, o volume de água na 
caixa passaria a ocupar os 
2
5
 de sua capacidade. Conside-
rando que não foi colocada água no interior da caixa, então, 
no momento da observação, o número de litros de água que 
seriam necessários para enchê-la era 
(A) 1 800 
(B) 2 400 
(C) 2 500 
(D) 3 200 
(E) 3 600 
Solução 
Seja x a capacidade total. 
Então temos: 
2
5
𝑥 −
1
3
𝑥 = 0,24 
𝑥
15
= 0,24 
𝒙 = 𝟑, 𝟔 𝒎𝟑 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
Logo o número de litros de água que seriam necessários para 
enchê-la era: 
𝟐
𝟑
𝒅𝒆 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔. 
Resposta: B 
 
20) (TRF 2ª REGIÃO – FCC – 2007) Dos 343 funcionários de 
uma Unidade do Tribunal Regional Federal, sabe-se que o 
número de homens está para o de mulheres assim como 5 
está para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o 
número de homens e o de mulheres é 
(A) 245 
(B) 147 
(C) 125 
(D) 109 
(E) 98 
Solução 
Temos 343 funcionários. Seja x o número de homens e (343 – 
x) o número de mulheres. 
Logo:  
5
343 2
2 5 343
2 1715 5
7 1715
1715
7
x
x
x x
x x
x
x


 
 


 
x 
 245 homens. Temos 245 homens e 98 mulheres. 
A diferença entre homens e mulheres é 245 – 98 = 147. 
Resposta: B 
 
21) Uma pessoa faz um depósito de R$ 950,00 para abrir uma 
conta em um banco. Após alguns dias, retira R$ 500,00. Uma 
semana depois, surge um imprevisto e ela necessita retirar R$ 
475,00. Sabendo que ao final dessas transações serão retira-
dos da conta R$ 3,70 de CPMF (imposto obrigatório em mo-
vimentações financeiras), o saldo final dessa pessoa será de 
(A) R$ 28,70. 
(B) R$ 25,00. 
(C) – R$ 25,00. 
(D) – R$ 26,30. 
(E) – R$ 28,70. 
Solução 
 
Depósito inicial  R$ 950,00 
Retirada  (R$ 500,00) 
Retirada  (R$ 475,00) 
CPMF  (R$ 3,70) 
Saldo Final  (R$ 28,70) ...NEGATIVO 
Resposta: E 
 
22) Um funcionário recebeu, no mês de maio, R$ 1.170,00 de 
salário líquido (já com os descontos). Desse valor, 1/3 foi 
gasto para pagar o aluguel. Do restante, ¼ foi gasto em ali-
mentação e, do que sobrou, 1/5 foi utilizado em despesas 
extras. Assim, do salário líquido inicial, restaram apenas 
(A) R$ 702,00. 
(B) R$ 468,00. 
(C) R$ 375,00. 
(D) R$ 326,00. 
(E) R$ 289,00. 
Solução 
Salário inicial  R$ 1170,00 
Aluguel(1/3 do salário)  (R$ 390,00) 
Saldo  R$ 780,00 
Alimentação(1/4 do saldo)  (R$ 195,00) 
Saldo  R$ 585,00 
Despesas extras(1/5 do saldo)  (R$ 117,00) 
Saldo Final  R$ 468,00 
Resposta: B 
 
23) Para revestir o piso de um pátio, são utilizadas lajotas 
brancas e cinza. A razão entre a quantidade de lajotas cinza e 
lajotas brancas está indicada na tabela: 
 
Se forem colocadas 432 lajotas brancas, o total de lajotas 
utilizadas será de 
(A) 216. 
(B) 288. 
(C) 332. 
(D) 496. 
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(E) 576. 
Solução 
Seja c a quantidade de lajotas cinza. 
Seja b a quantidade de lajotas brancas. 
Observe que b = 3c. 
Como b = 432, temos: 
 
 
 
 
O total de lajotas utilizadas será 432+144 = 576 lajotas. 
Resposta: E 
 
24) Certa empresa, investindo na melhoria das condições de 
trabalho, adota o seguinte critério: para cada 1 hora de traba-
lho, o funcionário descansa 10 minutos. Porém, na hora ante-
rior ao almoço e na última hora de trabalho do dia, não há 10 
minutos para descanso. Se um funcionário começa a traba-
lhar às 7 h e 20 min e trabalha 8 horas por dia com 1 hora de 
almoço, seu horário de saída será às 
(A) 17 h e 20 min. 
(B) 17 h e 30 min. 
(C) 17 h e 40 min. 
(D) 17 h e 50 min. 
(E) 18 horas. 
Solução 
6 horas de trabalho + 60 minutos de descanso : 7 horas. 
2 horas de trabalho (antes do almoço e última hora): 2 horas. 
1 hora de almoço: 1 hora. 
Total de horas na empresa: 10 horas. 
Logo seu horário de saída será às 7h20min +10h = 17h e 
20 min. 
Resposta: A 
 
25) Numa prova de vinte questões, valendo cinco pontos cada 
uma, três questões erradas anulam uma certa. Podemos 
concluir que a nota de um aluno que errou nove questões em 
toda essa prova é: 
a) quarenta pontos. 
b) quarenta e cinco pontos. 
c) cinqüenta pontos. 
d) cinqüenta e cinco pontos. 
e) sessenta pontos. 
Solução 
Valor total da prova: 100 pontos. 
Errou 9 questões  perdeu 12 

 5 = 60 pontos. 
Nota final  40 pontos. 
Resposta: A 
 
26) Um concurso foi desenvolvido em três etapas sucessivas 
e eliminatórias. Do total de candidatos que participaram da 1ª 
etapa, 3/4 foram eliminados. Dos candidatos que participaram 
da 2ª etapa, 2/5 foram eliminados. Dos candidatos que foram 
para a 3ª etapa, 2/3 foram eliminados, e os 30 candidatos 
restantes foram aprovados. Sabendo-se que todos os candi-
datos aprovados em uma etapa participaram da etapa seguin-
te, pode-se afirmar que o número total de candidatos que 
participaram da 1ª etapa foi 
a) 600 
b) 550 
c) 450 
d) 400 
e) 300 
Solução 
Seja x o total de candidatos que participaram da primeira 
etapa. 
1ª Etapa  foram eliminados 
3
4
x
  restaram 
4
x
 
2ª Etapa  foram eliminados 
2
5 4
x
  restaram 
3 3
.
5 4 20
x x

 
3ª Etapa  foram eliminados 
2 3
.
3 20
x

  restaram 
1 3
30
3 20 20
x x
 
 
x = 20.30 
x = 600 candidatos. 
Resposta: A 
 
 
27) Somando-se 4% de 0,6 com 9% de 0,04, obtém-se: 
a) 0,0216 
b) 0,0256 
c) 0,0276 
d) 0,0286 
e) 0,1296 
Solução 
4% de 0,6 + 9% de 0,04 = 
4% 

 0,6 + 9% 

 0,04 = 
0,04 

 0,6 + 0,09 

 0,04 = 
0,024 + 0,0036 = 0,0276 
Resposta: C 
 
28) Calcule o valor da expressão: (√𝟎, 𝟒𝟒𝟒 …
𝟒 )𝟐 
a) 0,222... 
b) 0,333... 
c) 0,444... 
d) 0,666... 
e) 0,1212... 
Solução 
(√0,444 …
4 )
2
= √0,444 … . = √
4
9
=
2
3
= 0,666 … 
Resposta: D 
 
29) Sabendo-se que o algarismo 2 aparece 181 vezes na 
numeração de páginas iniciais e sucessivas de um livro, po-
demos afirmar que esse livro possui: 
a) 181 páginas. 
b) 200 páginas. 
c) 280 páginas. 
d) 392 páginas. 
e) 402 páginas. 
Solução 
De 1 até 99 ----- 20 vezes 
De 100 até 199  20 vezes 
De 200 até 299  120 vezes 
De 300 até 399  20 vezes 
No 402 ----------- 1 vez 
 
TOTAL ----------- 181 vezes 
Resposta: E 
 
30) Um julgamento envolveu três réus. Cada um dos três 
acusou um dos outros dois. Apenas um deles é culpado. O 
primeiro réu foi o único que disse a verdade. Se cada um 
deles (modificando sua acusação) tivesse acusado alguém 
diferente, mas não a si mesmo, o segundo réu teria sido o 
único a dizer a verdade. Conclui-se que: 
a) O primeiro réu é inocente e o segundo é culpado 
b) O primeiro réu é inocente e o terceiro é culpado 
c) O segundo réu é inocente e o primeiro é culpado 
d) O terceiro réu é inocente e o primeiro é culpado 
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e) O terceiro réu é inocente e o segundo é culpado 
Solução: 
No primeiro caso, como cada um acusou um dos outros dois, 
e o primeiro foi o único que disse a verdade, concluímos que 
o primeiro é inocente. 
No segundo caso, concluímos geralmente que o segundo 
réu é inocente. 
Logo, oculpado é o terceiro réu. 
Resposta: B 
 
31) Suponha que eu e você temos a mesma quantidade de 
dinheiro. Quanto tenho que te dar para que tenha R$ 10,00 a 
mais do que eu? 
A) R$ 5,00 
B) R$ 10,00 
C) R$ 15,00 
D) R$ 20,00 
E) R$ 25,00 
Solução: 
Questão fácil pois temos a mesma quantidade de dinheiro. 
Para que tenhas R$ 10,00 a mais do que eu basta dar-te R$ 
5,00. 
Resposta: A 
32) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas 
não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não 
praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, 
existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de 
alunos da classe é 
(A) 30. 
(B) 35. 
(C) 37. 
(D) 42. 
(E) 44. 
Solução: 
 
n = 20 + 7 + 8 + 9 
n = 44 
Resposta: E 
 
33) Continuando a sequência 4, 10, 28, 82, . . . , temos 
(A) 236. 
(B) 244. 
(C) 246. 
(D) 254. 
(E) 256. 
Solução: 
Observe que: 
3 x 4 – 2 = 10 
3 x 10 – 2 = 28 
3 x 28 – 2 = 82 
3 x 82 – 2 = 244 
Resposta: B 
 
34) Se, para numerar as páginas de um livro, um tipógrafo 
usou 747 algarismos, então o número de páginas desse livro 
é 
(A) 350 
(B) 315 
(C) 306 
(D) 298 
(E) 285 
Solução: 
Basta contar os algarismos: 
- da página 1 até a 9 temos 9 algarismos. 
- da página 10 até a 99 temos 90 x 2 = 180 algarismos. 
- da página 100 até a 199 temos 100 x 3 = 300 algarismos. 
Logo, até a página 199 contamos 489 algarismos. Para o 
tipógrafo escrever 747 faltam 258 algarismos, que represen-
tam 
258
86
3

 números. Portanto o número de páginas é 
199 + 86 = 285. Conforme opção E. 
Resposta: E 
 
35) Considerando-se que 10 vacas consomem 10 arrobas de 
ração em 10 dias, em quantos dias 1000 vacas irão consumir 
1000 arrobas de ração? 
A) 01 dia 
B) 10 dias 
C) 100 dias 
D) 1000 dias 
E) 10000 dias 
Solução: 
Se 10 vacas consomem 10 arrobas de ração em 10 dias, 
então 1 vaca consumirá 1 arroba de ração em 10 dias. Por-
tanto temos que 1000 vacas consumirão 1000 arrobas de 
ração durante os mesmos 10 dias. 
Resposta: B 
 
 
36) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel 
sulfite, disposto em 4. Se as quantidades de pacotes em cada 
prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então 
dos números seguintes, o que representa uma dessas quanti-
dades é o 
A) 8 
B) 12 
C) 18 
D) 22 
E) 24 
Solução: 
1ª Prateleira ==> 2x 
2ª Prateleira ==> 2x + 2 
3ª Prateleira ==> 2x + 4 
4ª Prateleira ==> 2x+6 
Total ======> 8x + 12 = 68 
8x = 68 - 12 
8x = 56, dividindo a expressão por 4 temos: 
2x = 14. Então temos: 
1ª Prateleira ==> 14 
2ª Prateleira ==> 16 
3ª Prateleira ==> 18 
4ª Prateleira ==> 20 
Resposta: C 
 
37) (TRE/AC-FCC-2010) Relativamente ao total de registros 
de candidaturas protocolados certo mês por três Técnicos 
Judiciários, sabe-se que: 
8
15
 foi protocolado por Alciléia, 
5
12
 por 
Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a quantidade 
protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total de 
registros protocolados nesse mês? 
(A) 5%. (B) 12,5%. (C) 15%. 
(D) 17,5%. (E) 20%. 
Solução 
Alcileia  
8
15
 dos registros 
Berenice  
5
12
 dos registros 
Otacílio  1 - 
8
15
 −
5
12
= 
30−32−25
60
=
3
60
=
1
20
 = 0,05 = 5% 
Resposta: A 
 
38) (TRE/AC-FCC-2010) Diariamente, no refeitório de uma 
empresa são preparados 40 litros de refresco e, para tal, são 
usados suco de frutas concentrado e água em quantidades 
que estão entre si assim como 3 está para 5, respectivamen-
te. Se, mantida a quantidade habitual de suco concentrado, a 
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proporção passasse a ser de 2 partes de suco para 3 partes 
de água, então poderiam ser preparados 
(A) 1,5 litros a mais de refresco. 
(B) 1,5 litros a menos de refresco. 
(C) 2,5 litros a mais de refresco. 
(D) 2,5 litros a menos de refresco. 
(E) 2,75 litros a mais de refresco. 
Solução 
𝐶
𝐴
=
3
5
 e C + A = 40 
𝐶
𝐶 + 𝐴
=
3
5
 ∴ 
𝐶
40
=
3
8
 ∴ 𝑪 = 𝟏𝟓 𝑨 = 𝟐𝟓 
Por outro lado, se 
𝐶
𝐴
=
2
3
 ⟹ 
15
𝐴
=
2
3
 ⟹ A = 22,5 L 
Então teríamos 2,5L a menos de refresco 
Resposta: D 
 
39) (TRE/AC-FCC-2010) Na última eleição, ao elaborar o 
relatório sobre o comparecimento dos eleitores inscritos numa 
Seção Eleitoral, o presidente da mesa de trabalhos observou 
que 40% do total de inscritos haviam votado pela manhã e 
75% do número restante no período da tarde. Considerando 
que foi constatada a ausência de 27 eleitores, o total de inscri-
tos nessa Seção era 
(A) 108. 
(B) 125. 
(C) 150. 
(D) 172. 
(E) 180. 
Solução 
X = total de leitores 
Manhã  40% x 
Tarde  75% (x – 40%x) = 75% . 60% = 45% x 
Votaram  40 x + 45% x = 85% x 
Não votaram  15% x = 27 
X = 
𝟐𝟕
𝟎,𝟏𝟓
  x = 180 eleitores 
Resposta: E 
 
40) (TRE/AC-FCC-2010) Considere que em 1990 uma Seção 
Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos − 
18 do sexo feminino e 34 do sexo masculino − e que, a partir 
de então, a cada ano subsequente o número de mulheres 
inscritas nessa Seção aumentou de 3 unidades, enquanto que 
o de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, 
o número de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao 
número dos eleitores do sexo masculino em 
(A) 2004. 
(B) 2005. 
(C) 2006. 
(D) 2007. 
(E) 2008. 
Solução 
52 𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 {
𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 → 18
ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 → 34
 
 
Após n anos temos: 18 + 3n = 34 + 2n 
3n – 2n = 34 – 18 
n = 16 anos 
Logo 1990 + 16 = 2006 
Resposta: C 
 
 
Exercícios propostos 
 
1) Um aluno estava fazendo esta prova, quando viu que seu 
relógio parou. Então acertou o relógio em 16h e 30min e foi 
até o banheiro. Chegando lá verificou que eram 16h e 20min, 
lavou o rosto e saiu de lá às 16h e 30min. Quando chegou na 
sala verificou que seu relógio marcava 16h e 45 min. Então 
resolveu acertar o seu relógio as: 
a) 16h e 32 min e 30 seg. 
b) 16h e 35 min e 60 seg. 
c) 16h e 40 min e 30 seg. 
d) 16h e 45 min e 60 seg. 
e) 17h e 45 min 
 
2) “Se você estudar, então será aprovado”. Assim sendo, 
a) o estudo é condição suficiente para ser aprovado. 
b) o estudo é condição necessária para ser aprovado. 
c) se você não estudar, então não será aprovado. 
d) você será aprovado só se estudar. 
e) mesmo que estude, você não será aprovado. 
 
3) (VUNESP-2013-PCSP-AgentePolicial) Observe a sequên-
cia numérica: 
𝟏
𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
,
𝟏
𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
,
𝟏
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎
,
𝟏
𝟏 𝟎𝟎𝟎
 
Sabendo-se que o 1º elemento dessa sequência é 
𝟏
𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
, o 
2.o elemento é 
𝟏
𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
, e assim sucessivamente, o primeiro 
número natural dessa sequência corresponderá ao 
(A) 8º elemento. (B) 7º elemento. C) 11º elemento. 
(D) 91º elemento. (E) 10º elemento. 
 
4) Quarta-feira, dezoito de setembro de mil novecentos e 
noventa e seis, oito horas e doze minutos, parado em um 
semáforo, faltavam apenas setecentos metros para o expres-
so “Barrinha”, vindo de Barra do Piraí com noventa trabalha-
dores a bordo, chegar à Estação de Japeri. Ao mesmo tempo, 
a quatro quilômetros de distância, um cargueiro desgovernado 
a cem quilômetros por hora vinha no sentido contrário, des-
cendo a Serra das Araras. O resultado foi a morte de dezes-
seis pessoas e mais de sessenta feridos às oito horas e de-
zesseis minutos. 
De acordo com o texto: