Lista de Exercícios 2 - Cálculo 3

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TP e Lista de Exercícios para CÁLCULO III  Prof. Sérgio  2º semestre/2015 
 
 
1. Em um tanque, estão dispersos homogeneamente 40 kg de sal em 300 litros de água. Abrimos uma 
torneira para alimentar o tanque de água limpa a 10 L/min e drenamos o tanque, também a 10 L/min. 
a) Que função S(t) dá a quantidade de sal no tanque no instante t? (40e
t/30
) 
b) Quanto sal há no tanque após 30min? (14,7 kg) 
c) Com que velocidade o sal deixa o tanque no instante t = 30min? (0,5 kg/min) 
 
 
2. Uma cidade tem 5 bilhões de cédulas monetárias em papel-moeda em circulação. Trinta milhões 
delas são levadas diariamente aos bancos para depósitos e essa mesma quantidade é devolvida pelos 
bancos à comunidade. Em virtude de uma mudança de regime, o Governo decidiu emitir outro tipo 
de cédula, e assim, sempre que uma cédula velha chega aos bancos, ela é destruída e substituída pela 
cédula nova. Quanto tempo levará para que 90% do papel-moeda em circulação sejam substituídos? 
 (384 dias) 
 
3. Um corpo, inicialmente a 25 ºC, é colocado numa estufa com temperatura constante de 200 ºC e, 
após 20 min, o corpo aqueceu 55 ºC. 
a) Ache T(t) = temperatura do corpo após t minutos; (R: T(t) = 200175e0,0189.t) 
b) Qual a temperatura do corpo após 40 e 60 min? (R: 117,8 e 143,7 ºC) 
c) Quanto tempo leva para o corpo atingir 160 ºC? (R: 78 min) 
d) A que velocidade está subindo a temperatura do corpo após 1 hora? (R: 1,06 ºC/min) 
 
 
4. Problemas ambientais têm afetado determinada espécie de ave e elas vêm perecendo a uma taxa 
proporcional à sua própria população. Um pesquisador estimou 5000 aves no final de 2000, e após 
um ano, apenas 4500 delas. Calcule: 
a) A função Q(t) que dá a quantidade de aves, t anos após o final de 2000; (R.: Q = 5000e
0,1054.t
) 
b) A quantidade de aves prevista para o final de 2005. (R.: 2952 aves aprox) 
c) Ao final de 2005, com qual velocidade as aves estão perecendo? (R.: 311 aves/ano) 
 
 
5. Calcule: 
1. 
(3 2 )
D
x y dxdy
 onde 1 3
.
1 1
x
D
y x
 R.: 128/3 
2. 
2(6 1)
D
x y dxdy
 onde 0 1
1 3
x
D
y
 R.: 10 
 
3. 
2 2( )
D
x y x dxdy
 onde D é a porção do primeiro quadrante do interior da circunferência de 
centro (0,0) e raio 2. R.: 
8
3
2
 
4. 
( )
D
x yz dxdydz
, onde D é o sólido: 
0 1x
; 
0 y x
; 
0 10z xy
 . R.: 
39
14
 
5. 
2 2( 1)
D
x y zdxdydz
, onde D é o interior do cilindro (de altura 10, base centrada na origem 
e de raio 4) situado nos dois primeiros octantes. R. 
3600
 
 
6. 
 
O paralelepípedo da figura tem densidade volumétrica de 
carga elétrica em cada ponto (x,y,z) dada por 
2 2 2( , , )x y z x y z
 (em 
3/C mm
). Calcule a 
quantidade de carga elétrica neste paralelepípedo. (as 
dimensões estão em mm) 
 
 (R.: 3080
C
) 
 
 
 7. 
 
Calcule o centro de massa da placa plana abaixo com 
densidade superficial de massa 
( , )x y x y
. 
 
 
 (R.: 
11 9
28 4
( , )
) 
 
 
8. 
 
Calcule o centro de massa da placa D abaixo, com 
densidade superficial de massa constante. 
 
 
 R.: 
20 8
24 3 24 3
,
 
 
 
 
 
9. Considere a metade superior da esfera de centro na origem e raio 2, e admita que cada ponto seu 
tem densidade 
2 2 2( , , ) 1x y x x y z
 . Calcule seu centro de massa. R. 
39
50
(0,0, )
 
 
 
Caros Alunos, 
 
Espero não ter errado em nenhuma resposta! 
Este é o nosso TP para a P2. Resolva-a em papel sulfite ou almaço e o entregue no dia de nossa 
prova. Bons estudos! Sérgio. 
x 
z 
y 
5 
4 
6 
x 
y 
1 
3 
D 
x 
y 
1 
D 
1 
2