Biofísica do coração

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1
M Filomena Botelho
LÍQUIDOS 
REAIS
Objectivos
• Saber definir viscosidade de um líquido real
• Relacionar viscosidade com tensão de corte
• Diferenciar líquidos newtonianos e não newtonianos
• Caracterizar o regime laminar
• Compreender a Fórmula de Poiseuille e sua 
importância fisiológica 
• Compreender a potência hidrodinâmica e aplica-la a 
circuitos fisiológicos
• Compreender a resistência hidrodinâmica
• Saber o que é a resistência periférica total
2
Líquidos reais
Os líquidos reais, têm resistência ao movimento e 
à deformação, por terem
• Viscosidade ou atrito interno
Viscosidade ou atrito interno
Viscosidade ou atrito interno, é a resistência que os 
fluidos oferecem ao
• Ao movimento
• À deformação
Varia na razão directa da velocidade, anulando-se 
quando a velocidade se anula ?
? não interessa à estática de fluidos
Resulta das
- Forças de atracção de Van der Walls ?
? que se opõem aos movimentos relativos entre 
moléculas vizinhas (interacções moleculares)
Efeito semelhante, mas menos intenso, ocorre com os
gases em movimentos ?
? visto que as moléculas dos gases se movimentam 
muito mais livremente do que as dos líquidos
3
Se considerarmos uma massa de líquido em movimento, 
mas que se desloca com pequena velocidade, há resistência 
ao movimento devido às interacções moleculares
Neste caso, o líquido pode ser considerado como que 
constituído por:
? uma sobreposição de camadas líquidas planas
∆x
∆S
∆S
v1
v2
-
-
∆v = v1 – v2
∆f − ∆f⃗ ⃗
Força de fricção
Quando se trata de interacções entre as moléculas do fluido, 
interessa a:
- Viscosidade do fluido
Para se manter a velocidade relativa entre as duas superfícies, 
torna-se necessário exercer uma:
- força que equilibre a força de viscosidade ∆f, que se 
exerce entre elas
∆x
∆S
∆S
v1
v2
-
-
∆f − ∆f⃗ ⃗
Força de fricção
∆f α ∆S∆v∆x
Gradiente de velocidade
lim ∆v∆x∆x → 0
∆f = η ∆S ∆v∆x Equação de NewtonEquação de Newton
4
∆f = η ∆S ∆v∆x Equação de NewtonEquação de Newton
η - coeficiente de viscosidade 
ou viscosidade
Força de fricção em dines entre 2 
áreas unitárias (1 cm2) distanciadas 
de 1 cm que se deslocam com 
velocidade relativa de 1cm/s (isto é, 
quando o gradiente de velocidade é
unitário)
Independente do gradiente 
de velocidade
Líquidos 
newtonianos
Líquidos 
newtonianos
Relação linear entre:
• tensão de corte
• gradiente de velocidade (distância radial)
= η ∆v∆x
∆f
∆S = η
dvr
dr
∆f
∆S
∆v
∆r
∆f
∆S
soro fisiológicosoro fisiológico
plasmaplasma
sanguesangue
Líquidos não 
newtonianos
Líquidos não 
newtonianos
5
∆f = η ∆S ∆v∆xUnidades
Sistema c.g.s.
∆f = 1 dine
∆S = 1 cm2
∆v/∆x = 1 cm . s-1 . cm-1
η = 1 poise
Sistema S.I.
∆f = 1 N (105 dine)
∆S = 1 m2 (104 cm2)
∆v/∆x = 1 m . s-1 . m-1
η = 1 poiseuille
1 poiseuille = 10 poise
Diminui com o aumento da temperatura
Viscosidade
Febre
– diminui a viscosidade do sangue
Arrefecimento das extremidades
– aumenta a viscosidade do sangue
6
ViscosidadeViscosidade
∆f = η ∆S∆v∆x
= η ∆v∆x
∆f
∆S
Força por unidade de 
superfície a actuar 
tangencialmente à mesma
Força por unidade de 
superfície a actuar 
tangencialmente à mesma
Gradiente de velocidadeGradiente de velocidade
Tensão de corte
Se o fluido se desloca em regime laminar, dentro dum tubo de 
raio R, a velocidade varia com a:
- distância radial,
exercendo-se o atrito no líquido, entre superfícies cilíndricas
= η ∆vr∆r
∆f
∆S
Assim:
vr = (1 - )
∆P R2
4 η L
r2
R2
vr = (R2 - r2)∆P 4 η L
= η ∆vr∆r
∆f
∆S
Viscosidade
O coeficiente de proporcionalidade entre a:
• tensão de corte
• gradiente de velocidade
Nas mesmas condições de definição do coeficiente de viscosidade, 
isto é,
- regime laminar
- tubo cilíndrico,
mas supondo condições limites, quando ∆r tende para zero, o 
coeficiente: ∆vr
∆r , transforma-se na:→ derivada de vr em ordem a r
= η dvr
dr
∆f
∆S
7
dvr
dr
=
vr = (R2 - r2)∆P 4 η L
vr = K (R2 - r2)
d [K(R2 – r2)]
dr
= =
d K R2 – d K r2)]
dr
= = =
K 2 R dR –K 2 r dr
dr
= - = - K 2r
K 2 r dr
dr
∆P
4 η LK =
= - r =
∆P 2
4 η L
= - r
∆P
2 η L
dvr
dr
=
A derivada de vr em ordem a r, é o:
? gradiente de velocidade à distância r
dvr
dr
∆P
2 η L= - r
Então:
= - η∆f∆S
∆P
2 η L
8
A tensão de corte varia linearmente com a:
- distância radial
= - r
∆P
2 η L
dvr
dr
= η dvr
dr
∆f
∆S
= - r∆P
2 L
∆f
∆S
A tensão de corte varia 
linearmente com a:
- distância radial
= - r∆P
2 L
∆f
∆S
Quando r = 0 (camada coincidente com o eixo do tubo):
→ a tensão de corte é nula
Quando r = R (camada junto às paredes do tubo):
→ a tensão de corte atinge o valor máximo r
0•
-R R
r
r-R 0 R
-R 0 R
vr
dvr
dr
Velocidade máxima no eixo
Velocidade nula junto às paredes do tubo
Velocidade máxima no eixo
Velocidade nula junto às paredes do tubo
Tensão de corte nula no eixo
Tensão de corte máxima junto às paredes do tubo
Tensão de corte nula no eixo
Tensão de corte máxima junto às paredes do tubo
As paredes dos vasos estão muitas vezes 
sujeitas a tensões de corte elevadas
As paredes dos vasos estão muitas vezes 
sujeitas a tensões de corte elevadas
9
M Filomena Botelho
REGIME 
LAMINAR
Regime laminar
O paralelismo no deslocamento das camadas 
líquidas vizinhas que se movimentam em tubos 
cilíndricos e uniformes, quando a velocidade de 
deslocamento é pequeno, são características do 
• regime laminar
∆x
∆S
∆S
v1
v2
-
-
10
Características do regime laminar
• Não cruzamento das linhas de corrente do campo 
de velocidade das partículas do líquido
(linhas de corrente são paralelas)
o fluido pode ser considerado, no seu deslocamento, 
como constituído por um número infinito de lâminas 
líquidas muito finas, cilíndricas e concêntricas, deslizando 
umas sobre as outras
• Distribuição parabólica das velocidades
A equação que traduz a velocidade do deslocamento 
do líquido que se movimenta em regime laminar 
perfeitamente estabilizado, em tubos cilíndricos, 
horizontais e rectos, é:
vr = (1 - )
r2
R2
∆P R2
4 η L
vr = (R2 - r2)
∆P
4 η L
r – raio da camada
R – raio do tubo
∆P – diferença de pressão 
entre 2 pontos
η – viscosidade
L – comprimento do tubo
11
A variação da velocidade das partículas em função 
da distância radial (vr):
- tem a representação gráfica de uma parábola
vr = K (R2 - r2)?
Perfil parabólico da distribuição da velocidade das 
partículas quando se deslocam em regime laminar
Significa que à periferia dum tubo cilíndrico percorrido 
por um líquido real em regime laminar, existe:
- uma camada líquida infinitamente fina, para a qual 
a velocidade de deslocamento é nula
vr = 0
vr = (R2 - r2)
∆P
4 η L
a) R = r
12
vr = 0
Camada de velocidade nula ?
vr = (R2 - r2)
∆P
4 η La) R = r
- está aderente ao tubo
- produz efeito de retardamento sobre a camada adjacente, 
devido à viscosidade
- não ocorre atrito de líquido com as paredes dos tubos
- não há dispêndio de energia por parte das forças que 
correm entre as partículas do líquido e as paredes do tubo 
(pois não há movimento relativo entre elas)
- toda a energia mecânica transformada em calor no regime 
laminar resulta do trabalho das forças da viscosidade
Vemos assim que, a velocidade das partículas é máxima 
quando o raio da camada que se está a considerar 
coincide com o eixo do tubo
vr = (R2 - r2)∆P
4 η L
a) r = 0
vr =
∆P R2
4 η L(M)
Valor máximo que a 
equação pode ter
Velocidade máxima
v = 0
v máxima
Não ocorre atrito 
com as paredes 
dos tubos
Não ocorre atrito 
com as paredes 
dos tubos
13
Caudal constante num tubo horizontal
P1
v-
P2 P3 P4
Pi > Pi+1
Pi+1Pi
Líquido viscoso – perda de energia mecânica 
A perda de energia mecânica é à custa da energia potencial de pressão
Energias/
volume
Energias/
volume
Cinética ─── 1/2 ρ v2 - const
Pot. Gravitacional ─── ρ g h - const
Pot. pressão ─── P - variável
M Filomena Botelho
FÓRMULA DE 
POISEUILLE
14
Caudal em regime laminarCaudal em regime laminar
O caudal de um líquido real que se desloca num 
tubo cilíndrico, horizontal e recto, é regido pela: 
• Fórmula de Poiseuille
Fórmula de Poiseuille
Tubo cilíndrico
Secção constante
Horizontal
Líquido real em regime laminar
Sistema é estacionário ?
? caudal constante
O caudal através deste sistema é:
V = R4π8 η
∆P
L
.
P1
V
.
P2
1 2
R
V – caudal de um líquido real – cm3/s
η – viscosidade - poise
∆P – diferença de pressão entre os extremos do tubo – dines/cm2
L – comprimento do tubo - cm
R – raio do tubo - cm
.
15
Obtenção da fórmula de Poiseuille
r + dr
r
rc = r + dr - r
V = S . v
. -
Vc = Sc . vc
. -
? Sc = π(r + dr)2 – π r2
= π(r2 + 2rdr + d2r2)– π r2
= 2πrdr
? vc = (R2 - r2)∆P4 η L
Vc = 2πrdr (R2 - r2)∆P4 η L
.
VT = 2πrdr (R2 - r2)∆P4 η L
. ∫
0
R
Obtenção da fórmula de Poiseuille
VT = 2πrdr (R2 - r2)∆P4 η L
. ∫
0
R
= rdr (R2 - r2) = R2rdr – r3dr =
4 η L ∫
0
R
2π∆P
4 η L
2π∆P ∫
0
R
= rdr (R2 - r2) = R2rdr – r3dr =
R2 r dr – r3 dr = R2 r dr - r3 dr
= rdr (R2 - r2) = R2rdr – r3dr =
∫
0
R ∫
0
R ∫
0
R
∫
0
R
R2 r dr = R2 r dr =∫
0
R
= R2 = R2 =
2
r2[ ]
0
R
2
R2
∫
0
R
r3 dr =
2
R4
]
0
R
4
r3+1= =[ 4
R4
16
Obtenção da fórmula de Poiseuille
VT = 2πrdr (R2 - r2)∆P4 η L
. ∫
0
R
= rdr (R2 - r2) = R2rdr – r3dr =
4 η L ∫
0
R
2π∆P
4 η L
2π∆P ∫
0
R
= rdr (R2 - r2) = R2rdr – r3dr == rdr (R2 - r2) = R2rdr – r3dr = ( - ) =
∫
0
R
R2 r dr = R2 r dr =∫
0
R ∫
0
R
r3 dr =
= R2 = R2 =
2
r2[ ]
0
R
2
R2
2
R4
]
0
R
4
r3+1= =[ 4
R4
R2 r dr – r3 dr = R2 r dr - r3 dr∫
0
R ∫
0
R ∫
0
R
4 η L
2π∆P
2
R4
4
R4
=
8 η L
π ∆P R4
V = R4π8 η
∆P
L
.
As variações do caudal com todas as variáveis em causa 
são todas óbvias. Assim:
- aumenta com as
• diminuição da viscosidade
• diminuição do comprimento do tubo
• aumento da diferença de pressão entre a entrada e a saída
• aumento do raio
Varia directamente com a 4ª potência 
do raio
A variação com a 4ª potência do raio é a relação mais importante 
desta expressão, com enorme importância fisiológica:
? quando um vaso diminui o seu raio para metade, o 
caudal reduz-se de 1616 vezes
17
O caudal do sangue distribuído para as diferentes partes do 
corpo, é controlado sobretudo pela acção de músculos lisos 
existentes nas paredes dos vasos
- Como consequência de tal facto:
• uma pequena constrição produz uma alteração 
significativa do caudal, devido à:
– grande dependência do raio
A contracção destes músculos, resultante da acção do estímulo 
nervoso, ou acção de hormonas circulantes faz diminuir o raio 
interno do vaso
O controlo através do diâmetro 
tem que ser muito sensível
Queda de pressão ao longo de um tubo cilíndrico 
horizontal, percorrido por um fluido em regime laminar
P1
V
.
P2
R
L
η
A partir da fórmula de Poiseuille, pode saber-se a diferença 
de pressão nos extremos do tubo cilíndrico, de raio R, 
comprimento L, percorrido por um caudal V de um líquido 
de viscosidade η
.
∆P = V.8 η Lπ R4 ∆P = P1 – P2
18
Esta equação é aplicável ao regime 
laminar em tubos cilíndricos horizontais 
e rectos
Se o tubo for horizontal e com raio constante, a 
diferença de pressão entre a entrada e a saída (∆P) 
corresponde à:
- perda de energia potencial
isto é, corresponde ao:
- trabalho realizado por unidade de volume de 
líquido para vencer as forças de atrito 
interno do líquido
∆P = V.8 η Lπ R4
A queda de pressão nos extremos do tubo é:
∆P = K ρ V2.L
R5
No caso do regime turbulento
ρ – massa específica
K – constante
19
Velocidade média do líquido que circula em regime 
laminar num tubo cilíndrico horizontal
Como o líquido circula em regime laminar, a fórmula de Poiseuille 
verifica-se. Então
P1
V
.
P2
R
L
η
v-
πR2 v
-
V = S.v-
.
.
V = π R2 . v-
V = π ∆P R4
8 η L
.
Como as duas expressões se verificam, podemos igualá-las:
π R2 . v = π ∆P R4
8 η L-
2
v =- ∆P R2
8 η L
Como a velocidade máxima é:
A velocidade média é metade da velocidade máxima:
v =- ∆P R2
8 η L
vM =
∆P R2
4 η L
v =-
vM
2
20
Exemplo de aplicação
Qual o raio da camada líquida, que no regime laminar, circula 
com a velocidade igual à velocidade média
v =- ∆P R2
8 η L
vr = (1 - )
r2
R2
∆P R2
4 η L
∆P R2
8 η L = (1 - )
∆P R2
4 η L
r2
R2
r2
R2
= 1 -1
2
R2
2
r2 =
R
√2r =
M Filomena Botelho
POTÊNCIA 
HIDRODINÂMICA
21
PotênciaPotência
Quando temos um fluido real a deslocar-se num tubo 
horizontal cilíndrico, de raio constante, para que o caudal 
através dele se mantenha constante, é necessário 
fornecer energia.
P1
V
. P2
V
.
Pot = Wt
A energia que é necessário fornecer na unidade de tempo
(potência), tem que compensar:
- perda de energia potencial de pressão
já que as outras duas formas de energia mecânica (energia cinética 
e energia potencial gravitacional) se mantêm constantes, porque
- tubo horizontal - Wpg constante
- raio constante - Wc constante
que é transformada em calor, por unidade de tempo, ao longo do 
tubo
- a cedência de energia cinética
por unidade de tempo à massa de líquido, para que a velocidade 
seja mantida
P1
V
. P2
V
.
Pot = (P1 – P2) V + ρ v2 V
.. -1
2
22
A potência que é necessário fornecer para produzir um 
deslocamento laminar, num tubo horizontal, tem que
- vencer a viscosidade
- fornecer energia cinética
Pot = (P1 – P2) V + ρ v2 V
.. -1
2
Wpp/V Wc/V
ρ V ? massa de líquido que por 
segundo atravessa a 
secção do tubo
.
ρ π R2 . v = M-
No regime laminar não há perda de energia mecânica devido ao 
atrito com as paredes do tubo, uma vez que a velocidade do 
fluido real em tubos cilíndricos junto às paredes é:
- nula
M Filomena Botelho
RESISTÊNCIA 
HIDRODINÂMICA
23
Resistência hidrodinâmicaResistência hidrodinâmica
O caudal de fluido em regime laminar através de um 
tubo cilíndrico, horizontal e recto e com raio constante, 
pode ser comparado com a corrente eléctrica contínua
Existe uma analogia entre
- Lei de Poiseuille
- Lei de Ohm I = ∆VR
V = π R4 ∆P
8 η L
.
K
Diferença de 
potencial eléctrico
Diferença de 
potencial eléctrico
Resistência 
eléctrica
Resistência 
eléctrica
Corrente 
eléctrica 
constante
Corrente 
eléctrica 
constante
I R
• •
A B
Existe uma analogia entre
- Lei de Poiseuille
- Lei de Ohm I =
∆V
R
V = π R4 ∆P
8 η L
.
K
Diferença de 
potencial eléctrico
Diferença de 
potencial eléctrico
Resistência eléctricaResistência eléctricaCorrente eléctrica constante
Corrente eléctricaconstante
I R
• •
A B
Existe uma proporcionalidade directa entre:
→ caudal e diferença de pressão
→ corrente eléctrica e diferença de potencial
Analogias
V <> I
.
∆P <> ∆V
∆V = RI
∆P = π R4
8 η L .
V
π R4
8 η L
<> R
Resistência eléctricaResistência eléctrica
RHRH
∆P = RH . V∆P = RH . V
..
24
∆P = RH . V
. ∆V = RI
Intensidade da corrente eléctrica
→ carga eléctrica que por unidade de tempo (s) passa através 
de uma secção de um condutor
Caudal de líquido
→ volume de líquido que na unidade de tempo (s) passa 
através da secção recta de um circuito hidrodinâmico
Diferença de potencial eléctrico entre dois pontos de um condutor 
→ é a diferença de energia potencial eléctrica por unidade de 
carga nesses pontos
Diferença de pressão entre dois pontos
→ diferença de energia potencial de pressão por unidade de 
volume nesses mesmos pontos
∆P = RH . V
.
Do mesmo modo que as resistências eléctricas, também as 
resistências hidrodinâmicas se podem associar:
- em série 
- em paralelo
Associação de Resistências
Associação de Resistências hidrodinâmicas
1. Em série
2. Em paralelo
25
Associação de resistências hidrodinâmicas
1. Em série
∆P1 ∆P2 ∆P3
∆P
RH2
RH1 RH3
V
. V = constante
.
∆P = ∆P1 + ∆P2 + ∆P3
∆P = RH1 . V
.
∆P = RH2 . V
.
∆P = RH3 . V
.
∆P1 + ∆P2 + ∆P3 = V (RH1 + RH2 + RH3).
∆P = V (RH1 + RH2 + RH3)
.
∆P = V RHeq
. RH1 + RH2 + RH3 = RHeqRH1 + RH2 + RH3 = RHeq
Associação de resistências hidrodinâmicas
∆P1 ∆P2 ∆P3
∆P
RH2
RH1 RH3
V
. V = constante
.
∆P = ∆P1 + ∆P2 + ∆P3
∆P = V RHeq
.
RH1 + RH2 + RH3 = RHeqRH1 + RH2 + RH3 = RHeq
A resistência equivalente de uma associação em série de 
resistências hidrodinâmicas, é a :
→ soma das resistências em série
26
Associação de resistências hidrodinâmicas
2. Em paralelo
∆P
RH2
RH1
RH3
V
.
V3
.
V2
.
V1
.
V1 =
. ∆P
RH1
V2 =
. ∆P
RH2
V3 =
. ∆P
RH3
V1 + V2 + V3 = ∆P ( + + ). . . RH1
1
RH2
1
RH3
1
V = ∆P ( + + ).
RH1
1
RH2
1
RH3
1
V =
.
RHeq
∆P
+ + =+ + =RH1RH1
11
RH2RH2
11
RH3RH3
11
RHeqRHeq
11
Associação de resistências hidrodinâmicas
2. Em paralelo
∆P
RH2
RH1
RH3
V
.
V3
.
V2
.
V1
.
V =
.
RHeq
∆P
+ + =+ + =RH1RH1
11
RH2RH2
11
RH3RH3
11
RHeqRHeq
11
A inverso da resistência equivalente de uma associação em 
paralelo de resistências hidrodinâmicas, é a :
→ soma dos inversos das resistências individuais de cada 
componente do sistema
27
Associação de resistências hidrodinâmicas
As resistência hidrodinâmicas não são obrigatoriamente 
tubos cilíndricos
Podem ser quaisquer dispositivos associados (em 
série ou em paralelo), por onde se desloquem:
- líquidos
- gases
Desde que V se mantenha constante ao longo das 
diversas componentes (nas associações em série), 
isto é, que se verifique a equação da continuidade, 
as equações são válidas
.
Em qualquer território vascular, se forem conhecidos:
- pressão na: 
• artéria aferente
• veia eferente 
pode calcular-se a correspondente:
→ resistência hemodinâmica
Comparação:
- antes e
- depois da administração de fármacos vasoactivos
28
∆P = RH . V
.
Resistência que a rede vascular periférica oferece ao 
caudal sanguíneo
Resistência periférica total
- caudal de sangue através da aorta:
→ ≈ 5 L / min ? 83 mL/s
−∆P – pressão na aorta à saída do ventrículo esquerdo
(≈ 100 mmHg – valor médio) – a pressão na aurícula 
direita (≈ 8 cmH2O ≈ 5 mmHg)
RPT = = 1,1 URP
100 - 5
83 Unidade de 
resistência 
periférica
Exercício moderado – ↓ RPT (0,5 URP)
H.T.A. - ↑ RPT 
Devido a estreitamento dos vasos
Regime turbulento/laminarRegime turbulento/laminar
No regime laminar
→ as linhas de corrente nunca se intersetam, isto é:
→ nenhuma partícula do líquido poderá abandonar a 
linha de corrente em que se desloca, passando a 
outra linha de corrente
Quando, devido ao valor da:
• velocidade de deslocamento das partículas ou a outra 
causa,
a condição acima não se verifica, ocorrendo vórtexes com interseção
das linhas de corrente, o regime é turbulento
Não se verifica a 
equação de Poiseuille
29
A diferença de pressão entre 2 pontos de um circuito 
percorrido por um regime turbulento é:
∆P = K ρ V2.L
R5
Há perda de energia mecânica por interacção com as 
paredes
Objectivos
? Saber definir viscosidade de um líquido real
? Relacionar viscosidade com tensão de corte
? Diferenciar líquidos newtonianos e não newtonianos
? Caracterizar o regime laminar
? Compreender a Fórmula de Poiseuille e sua 
importância fisiológica 
? Compreender a potência hidrodinâmica e aplica-la a 
circuitos fisiológicos
? Compreender a resistência hidrodinâmica
? Saber o que é a resistência periférica total
30
Leitura adicional
Biofísica Médica. JJ Pedroso de Lima
Capítulo IV- pag. 412 a 427