Funções de Várias Variáveis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Funções de Duas Variáveis 
 
 Suponha que uma empresa compre mensalmente 30 unidades de um determinado 
produto e 40 de um segundo produto. Uma vez que o preço pode mudar de um mês para o outro 
representaremos por 𝑥 o preço unitário do primeiro e por 𝑦 o preço unitário do segundo. Dessa 
forma, os gastos mensais com estes produtos é dado por 
30𝑥 + 40𝑦. 
 Em diversas outras situações, fornecidos dois valores associamos a eles um único 
número real. O fato de estas relações serem amplamente utilizadas nos leva a fazer um estudo 
mais detalhado de suas características. 
 
Definição: Uma função 𝑓 de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de 
números reais (𝑥, 𝑦) de um conjunto 𝐷 um único valor real denotado por 𝑓(𝑥, 𝑦). O conjunto 𝐷 
é o domínio de 𝑓 e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de 𝑓, ou seja, 𝐼𝑚 𝑓 =
{𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}. 
 
 Uma função 𝑓 de duas variáveis, assim como as de uma variável, podem ser 
representadas através de expressões algébricas, tabelas, sentenças ou gráficos. 
 Da definição, faz-se importante observar que todos os elementos do conjunto 𝐷 
precisam ter um valor 𝑓(𝑥, 𝑦) associado. Portanto, para que um par ordenado esteja em 𝐷 ele 
precisa ser tal que a lei de formação da função seja aplicável. 
 Perceba que temos liberdade para escolher o par ordenado em 𝐷 e que 𝑓(𝑥, 𝑦) depende 
do par escolhido. Por este motivo dizemos que 𝑥 e 𝑦 são as variáveis independentes, enquanto 
𝑓(𝑥, 𝑦) é a dependente. É comum denotarmos 𝑓(𝑥, 𝑦) por 𝑧. No diagrama abaixo ressaltamos 
que o domínio de uma função de duas variáveis é um subconjunto do plano cartesiano ℝ2 e que 
a imagem é um subconjunto de ℝ . 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: No caso da empresa citada acima teríamos 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 30𝑥 + 40𝑦. 
Como o preço de um produto é sempre positivo e não costuma apresentar valor irracional, seu 
domínio é 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℚ2|𝑥, 𝑦 > 0}. 
∎ 
 
Exemplo 2: A tabela apresenta a função índice de sensação térmica que com base na 
velocidade do vento e na temperatura real indica quanto frio é aparentemente sentido. Observe 
que esta sensação térmica, que denotaremos por 𝑊, depende da velocidade 𝑣 e da temperatura 
𝑇. Assim podemos representá-la por 𝑊 = 𝑓(𝑣, 𝑇). Neste caso, 𝑣 e 𝑇 são as variáveis 
independentes e 𝑊 a dependente. 
 
 𝒗 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟓 𝟐𝟎 𝟐𝟓 𝟑𝟎 𝟒𝟎 
𝐓 
𝟓 4 3 2 1 1 0 −1 
𝟎 −2 −3 −4 −5 −6 −6 −7 
−𝟓 −7 −9 −11 −12 −12 −13 −14 
−𝟏𝟎 −13 −15 −17 −18 −19 −20 −21 
−𝟏𝟓 −19 −21 −23 −24 −25 −26 −27 
−𝟐𝟎 −24 −27 −29 −30 −32 −33 −34 
∎ 
 
Exemplo 3: Vamos estabelecer o domínio da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = √3𝑥2 + 𝑦2 − 3. Por se tratar de 
uma composição envolvendo uma raiz quadrada precisamos garantir que 3𝑥2 + 𝑦2 − 3 seja 
maior ou igual a zero. 
3𝑥2 + 𝑦2 − 3 ≥ 0 ⇔ 3𝑥2 + 𝑦2 ≥ 3 ⇔ 𝑥2 +
𝑦2
3
≥ 1. 
Portanto, para que satisfaça a lei de formação da função é 
necessário que os pontos estejam sobre ou na região externa da 
elipse com focos no eixo das ordenadas. 
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑥2 +
𝑦2
3
≥ 1} 
 
∎ 
 
Exemplo 4: Seja 𝑔(𝑥, 𝑦) =
8𝑥+2𝑦
2𝑥+4𝑦
. Note que não podemos utilizar pontos que zerem o divisor 
deste quociente. Veja que 
2𝑥 + 4𝑦 = 0 ⇔ 4𝑦 = −2𝑥 ⇔ 𝑦 = −
𝑥
2
 . 
Sendo assim, não podemos ter pontos sobre a reta 𝑦 = −
𝑥
2
 . 
𝐷𝑜𝑚 𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2| 𝑦 ≠ −
𝑥
2
}. 
∎ 
 
Gráficos 
 
Definição: Se 𝑓 é uma função de duas variáveis com domínio 𝐷, então o gráfico de 𝑓 é o 
conjunto de todos os pontos (𝑥, 𝑦, 𝑧) em ℝ3 tal que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) e (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷. 
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = {(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) ∈ ℝ3|(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓} 
 
Exemplo 5: Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = −2𝑥 − 3𝑦 + 6. Uma vez que a expressão não 
apresenta restrições, seu domínio é o ℝ3. Note que se fizermos 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) então teremos 
𝑧 = −2𝑥 − 3𝑦 + 6 ⇔ 𝑧 + 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 
que sabemos ser a equação de um plano. Marcando os pontos de interseção com os eixos 
podemos ter uma noção de como este plano se apresenta no espaço. 
 
 Toda função que possui a forma 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 
tem um plano como gráfico. Elas são chamadas de funções lineares. 
∎ 
 
Exemplo 6: Tomemos a função 𝑔(𝑥, 𝑦) = √3𝑥2 + 𝑦2 − 3. O seu domínio já foi estudado 
no Exemplo 3. Fazendo 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) encontramos que 
𝑧 = √3𝑥2 + 𝑦2 − 3 ⇔ 𝑧2 = 3𝑥2 + 𝑦2 − 3 ⇔ 3𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 3 ⇔ 𝑥2 +
𝑦2
3
−
𝑧2
3
= 1. 
 Observe que esta equação tem a forma de um hiperbolóide de uma folha, a saber, 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1. 
Como 𝑧 representa uma raiz quadrada ele assume sempre valores não negativos. Abaixo 
podemos ver a representação geométrica do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
∎ 
 
Exemplo 7: A função 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 𝑦2 tem como domínio todo o plano cartesiano, pois 
em sua expressão 𝑥 e 𝑦 podem assumir quaisquer valores reais. Seu gráfico é dado por 
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑔 = {(𝑥, 𝑦, 4𝑥2 + 𝑦2) ∈ ℝ3|(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2}. 
Para esboça-lo é útil fazermos 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦). Com isso teremos 
𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 ⇔ 𝑥2 +
𝑦2
4
=
𝑧
4
, 
que é a equação de um paraboloide elíptico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
∎ 
 
Funções de três ou mais variáveis 
 
Definição: Uma função 𝑓 com 𝑛 variáveis é uma regra que associa a cada 𝑛-upla ordenada de 
números reais (𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛) de um conjunto 𝐷 ⊂ ℝ
𝑛 um único valor real denotado por 
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). O conjunto 𝐷 é o domínio de 𝑓 e sua imagem é o conjunto de valores possíveis 
de 𝑓, ou seja, 𝐼𝑚 𝑓 = {𝑓(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛)|(𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷}. 
 
 As mesmas observações feitas para as funções de duas variáveis em relação a seu 
domínio, variáveis independentes e variável dependente são válidas, com as devidas alterações, 
para as funções de três ou mais variáveis. 
 O gráfico de 𝑓 é definido de maneira análoga, mas como está em um espaço de 
dimensão maior ou igual a quatro não temos mais uma visualização geométrica deste conjunto 
de pontos. 
 
Definição: Se 𝑓 é uma função de 𝑛 variáveis com domínio 𝐷, então o gráfico de 𝑓 é o conjunto 
de todos os pontos (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛, 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛 )) em ℝ
𝑛+1 tal que (𝑥1, … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐷. 
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = {(𝑥1, … , 𝑥𝑛, 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛 )) ∈ ℝ
3|(𝑥1, … , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓} 
 
Exemplo 8: Seja 𝑓 a função definida por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √9 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2. Seu domínio será 
dado por todos os pontos tal que o radicando seja maior ou igual a zero. Façamos alguns 
cálculos. 
9 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 ≥ 0 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9 
 Note que isto nos diz que o domínio é o conjunto dos pontos sobre ou internos à esfera 
centrada na origem do espaço tridimensional e com raio 3. Nossas variáveis independentes são 
𝑥, 𝑦 e 𝑧. Não podemos visualizar seu geometricamente por ser um conjunto do ℝ4, contudo, é 
possível fazer um esboço do seu domínio e afirmar, uma vez que a função envolve uma raiz 
quadrada, que os valores por ela assumidos são sempre não negativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∎ 
 
 
Texto baseado em 
 STEWART, J., Cálculo, V.2. Ed. Thomson Pioneira, 2010.