Funções Polinomiais de Variável Real

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DE VARIÁVEL 
REAL
CAPÍTULO 1 - REALIDADE E SEUS MODELOS 
ABSTRATOS: COMO A TEORIA DE FUNÇÕES 
PODE AJUDAR A MODELAR A REALIDADE?
Denise Fabiana Figueiredo Lopes
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Introdução
Você já se deu conta de que quando observamos um gráfico em um jornal estamos usando funções? Um gráfico
sobre a evolução de lucros ou prejuízos de uma empresa, por exemplo, representa uma relação entre duas
grandezas e, se tivermos dados suficientes, podemos até compor a expressão algébrica representativa dessa
função.
Neste capítulo, vamos aprender a localizar pontos no plano cartesiano, que é o passo inicial para conseguir
construir um gráfico. Também vamos trabalhar com as funções na forma algébrica com objetivo de gerar os
pontos que vão ser colocados no gráfico e as curvas que apresentam comportamentos específicos.
Os gráficos são ferramentas de grande importância informativa para representar um conjunto de dados, pois
para o leitor é mais fácil observar uma imagem e tirar conclusões sobre o crescimento ou decrescimento, ao
invés de analisar um grande conjunto numérico.
Será que podemos utilizar os conceitos matemáticos de funções para fazer o planejamento financeiro de uma
empresa e com isso obter o máximo lucro? Hoje em dia o mercado de trabalho está altamente competitivo, as
empresas precisam ter um controle eficiente de todas as suas finanças, analisar dados sobre aceitação do
produto, planejar os custos de produção, a faixa de preço mais adequada e as metas de vendas necessárias para
não falir. Em todos esses âmbitos, o conceito de função é uma ferramenta valiosa que possibilita a tomada de
decisões de maneira sólida, o planejamento de custos e a definição de objetivos para obter sucesso financeiro.
Então, vamos começar nosso estudo? Acompanhe a leitura!
1.1 Realidade e modelos abstratos
A Matemática está presente em muitas situações concretas do nosso dia a dia, mesmo que não a percebamos de
modo tão evidente; o desenvolvimento matemático é responsável pelas tecnologias disponíveis hoje, como a
internet, computador, aparelho de celular, sistemas bancários etc.
Essa evolução tecnológica foi possível com a representação de fenômenos da realidade por modelos
matemáticos. Os modelos abstratos permitem, por meio de cálculos, fazer estimativas, testes, analisar
características, solucionar problemas, fazer previsões e até mesmo desenvolver novas técnicas e,
posteriormente, utilizá-las de maneira concreta.
Nesta disciplina, vamos abordar os modelos abstratos representados por funções polinomiais de uma variável
real. Para isso, serão apresentadas, a seguir, situações do cotidiano nas quais utilizamos a ideia intuitiva de
função. Vamos fazer uma abordagem tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico, representando no
plano cartesiano os pontos gerados por determinadas condições.
1.1.1 Ideia intuitiva de funções
As funções estão presentes no nosso dia a dia, às vezes vivenciamos situações nas quais usamos a ideia intuitiva
de função, mas não nos damos conta, pois não houve formalização escrita ou gráfica do problema.
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Quando deixamos o carro em um estacionamento, por exemplo, observamos como será feito o pagamento na
hora da saída. De modo geral, esse valor depende do tempo de permanência no local: quanto mais tempo ficar,
maior será o valor a pagar. Nesse caso, temos uma dependência entre duas grandezas, em que o valor a ser pago
é a variável dependente e o tempo é a variável independente.
Para iniciar a compreensão do conceito de função, vamos analisar um exemplo baseado em Bonafini (2012) para
o qual a função está representada por uma “máquina”. Essa máquina tem uma entrada e uma saída e dentro dela
acontece um processo que transforma o número que entrou e nos fornece o resultado.
Considere o conjunto de entrada . Quando o número é inserido na máquina, o valor de saída é , pois
ela dobrou esse valor, podemos escrever esse processo formalmente como . Quando inserimos o número 
, obtemos e quando inserimos o , obtemos , também podemos escrever como e ,
respectivamente. Nesse caso, o conjunto de saída pode ser representado por .
VOCÊ SABIA?
Por que utilizamos o termo função para representar uma relação entre duas grandezas? A
palavra função foi introduzida na Matemática por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em
1694, quando ele usou a palavra em suas correspondências com Johann Bernoullii (1667-
1748) para expressar qualquer quantidade associada a uma curva. Bernoulli, por sua vez,
utilizou a palavra função para formalizar esse conceito em um de seus artigos.
VOCÊ QUER VER?
O filme (MOORE, 2014) é baseado em fatos e conta a história do matemáticoO jogo da imitação
Alan Turing (1912-1954), chamado de “pai” da Computação, pois foi ele quem construiu o que
consideramos o primeiro computador. Turing teve uma participação importante na Segunda
Guerra Mundial, ao trabalhar com uma equipe de gênios de várias áreas para decifrar as
mensagens mandadas em códigos pelo exército nazista. O filme também mostra os
preconceitos e as repressões sofridas por Turing em relação a sua opção sexual, considerada
crime na época.
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Figura 1 - A máquina representa uma função que faz o processo de dobrar os números de entrada e fornecer o 
resultado de saída.
Fonte: BONAFINI, 2012, p. 57.
Os números do conjunto de entrada determinam o domínio da função e são representados por e os elementos
do conjunto de saída determinam a imagem da função e são representados por ou por .
Agora vamos inserir na máquina, ao invés de um número, a variável . Como o processo feito por ela dobra o
valor de entrada, obtemos como saída . Com esse pensamento podemos escrever a função como 
(lemos de igual a duas vezes ). Dizemos que essa é a representação algébrica de uma função.
Assim como na máquina, podemos inserir números nessa função algébrica, por exemplo, se quisermos utilizar o
número , escrevemos (lemos de cinco igual duas vezes cinco), resulta (lemos de cinco
igual a dez) e dizemos que é a imagem do valor pela função .
Como sabemos qual o processo numérico a nossa função faz com o número de entrada, podemos pensar no
processo inverso, por exemplo, se o número de saída fornecido é 22, qual o número que foi inserido? Se o
processo estabelecido dobra o valor, para fazer o contrário precisamos calcular a metade do valor de saída, logo,
se o número de saída é 22 o de entrada precisa ser 11. Esse exercício, ao fazer o inverso do processo da função,
vai ser definido neste capítulo mais a frente como o cálculo da inversa de uma função.
1.1.2 Sistema de coordenadas ortogonais
Você já jogou Batalha Naval? Esse jogo que, provavelmente, fez parte da sua infância usa o conceito de localizar
um ponto no tabuleiro por meio de duas coordenadas dadas. O vencedor é quem consegue acertar os pontos que
localizavam uma embarcação.
A forma de localizar pontos em um plano foi desenvolvida por René Descartes no século XVII. Esse método é
usado em muitas áreas como, por exemplo, na Cartografia, em que para localizar um ponto no mapa, precisamos
de duas coordenadas chamadas de latitude e longitude. O Sistema de Posicionamento Global, GPS, também
utiliza esse conceito.
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O sistema de coordenadas ortogonais é formado por duas retas perpendiculares entre si (formam ângulo de
900) que se cruzam na origem do plano cartesiano, normalmente representado pela letra O (BARRETO, 2013).
Essas retas são denominadas de eixos: horizontalmente temos o eixo das abscissas (Ox) e verticalmente o eixo
das ordenadas (Oy). Ambos dividem o plano em quatro regiões chamadas representadas pelosquadrantes, 
numerais romanos e indicadas, a partir do primeiro, em sentido anti-horário. Observe:
Figura 2 - Plano cartesiano em que os eixos e dividem o plano em quatro quadrantes.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Para localizar um ponto no plano cartesiano precisamos de duas coordenadas, uma para o eixo e outra para o .
Assim representamos um ponto como um par de coordenadas , chamado par ordenado (BARRETO,2013).VOCÊ O CONHECE?
René Descartes (1596 - 1650) foi um filósofo, físico e matemático francês. Autor da frase
"Penso, logo existo". Apesar do conceito de plano cartesiano já ser usado na Matemática, foi
Descartes que o formalizou em sua obra “La Géométrie” (A Geometria) publicada em 1637. A
palavra “cartesiano” decorre de seu sobrenome em latim e sua teoria foi de grandeCartesius
importância para o desenvolvimento da Matemática (LEITE; CASTANHEIRA, 2015).
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Figura 3 - Pontos representados no plano cartesiano.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Na Figura, observe a representação de pontos sobre o plano cartesiano. Podemos escrever esses pontos com as
coordenadas fornecidas no gráfico: , , , , e . A primeira
coordenada informa a posição do eixo e a segunda do eixo . Note que se posicionarmos um ponto exatamente
na origem do sistema cartesiano suas coordenadas serão .
O ponto A encontra-se no Quadrante I, o ponto D no Quadrante II, o ponto C no Quadrante III e o ponto B no
Quadrante IV. Os pontos F e E não estão posicionados em nenhum dos quadrantes, mas sim sobre os eixos, sendo
que E pertence ao eixo das ordenadas e F ao eixo das abscissas. Sempre que uma das coordenadas for 0, o ponto
estará localizado em um dos eixos coordenados. A origem do sistema, o ponto de coordenadas (0,0), pertence a
ambos os eixos.
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Saber fazer a localização de pontos no plano cartesiano é de grande importância para o estudo de funções, pois
quando representamos os pontos gerados por uma função no gráfico, conseguimos estudar várias de suas
características e saber como ela vai se comportar em todo o domínio.
1.1.3 Representação gráfica e representação algébrica
Neste tópico, vamos iniciar a formalização algébricas das funções polinomiais de variável real que serão
estudadas no capítulo. As funções polinomiais são aquelas que podem ser escritas como um polinômio, logo elas
devem ser contínuas e definidas para o conjunto de todos os números reais (DEMANA et al., 2013).
Existem outros tipos de funções como as exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, além de funções com mais
de uma variável e com domínios diferentes dos reais, como os números complexos, por exemplo. Nesta
disciplina, vamos focar no estudo das funções polinomiais de uma variável real.
Vamos considerar a seguinte definição: seja um número inteiro não negativo e 
números reais com . A função é uma função polinomial de
, onde são seus coeficientes e é o coeficiente principal ou dominante.grau 
A seguir, vamos analisar se as funções são polinomiais:
 é uma função polinomial com maior expoente valendo 5 e o coeficiente dominante 9;
 é uma função polinomial com maior expoente valendo 2 e o coeficiente dominante 15;
 não é uma função polinomial, pois não podemos simplificar e escrevê-la como um polinômio;
 é uma função polinomial, pois podemos escrevê-la como com expoente valendo zero e o
coeficiente independente ;
 não é uma função polinomial, pois os expoentes precisam ser inteiros e positivos.
Para interpretar uma situação real por meio de uma função é necessário saber fazer a sua formalização. Para
isso, vamos conhecer como é feita a representação algébrica e gráfica de uma função polinomial.
Considere a situação da máquina apresentada no tópico 1.1. Vamos mudar o processo que ela faz com os
números de entrada para o seguinte: triplicar o número de entrada e subtrair duas unidades. Representando a
função por e os números de entrada por , podemos escrever esse processo algebricamente como 
(lemos de igual a três vezes menos dois).
Utilizando o conjunto de entrada , vamos inserir, um a um, os números no lugar do para obter
pares ordenados, em que a primeira coordenada são os números de entrada e a segunda os de saída. A Tabela a
seguir organiza esse processo, observe:
VOCÊ SABIA?
O Sistema de Posicionamento Global (GPS) foi criado na década de 1960 pelo Departamento de
Defesa dos Estados Unidos com o objetivo de modernizar o sistema de navegação das Forças
Armadas Americanas. Esse sistema usa as coordenadas terrestres de latitude e longitude, mas
em coordenadas esféricas, pois também é considerado o nível de elevação em relação ao nível
do mar e os receptores posicionados no espaço geram órbitas esféricas. Esse sistema é muito
complexo e só em 1995 ele estava pronto para ser colocado em uso. É um exemplo da
importância de modelos abstratos, pois antes de colocar em prática os cálculos precisaram ser
precisos, além das correções de erros que surgiram posteriormente (SCANNAVINO, 2015).
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Tabela 1 - Representação algébrica de uma regra matemática que associa dois conjuntos de números.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
A partir desses cálculos, obtemos os pares ordenados gerados pela função, de maneira algébrica, mas podemos
também representar a relação graficamente. Para isso, usamos os pares ordenados obtidos na
Tabela anterior e marcamos os pontos no plano cartesiano.
Figura 4 - Representação gráfica de uma regra matemática que associa dois conjuntos de números.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
A representação gráfica é importante para observar o comportamento da relação entre os conjuntos. No gráfico
gerado, observamos um comportamento linear, ou seja, os pontos estão alinhados e poderiam ser ligados por
uma reta. Problemas como o valor a ser pago e o número de unidades compradas podem usar essa
representação.
Existem outros tipos de comportamentos que podem ser observados quando representamos os pontos gerados
no plano cartesiano, aqui nesta disciplina você conhecerá o estudo do linear, quadrático e modular. Saiba que
não são os únicos, outros tipos são importantes para representar fenômenos da realidade como, por exemplo, a
curva exponencial usada em crescimento de bactérias, vírus etc. e as trigonométricas que representam
movimentos ondulatórios como o movimento das marés e a frequência cardíaca.
As funções estão presentes em muitas situações do nosso dia a dia quando há uma relação entre duas ou mais
grandezas que pode ser representada por uma regra matemática. Vamos conhecê-las no tópico a seguir.
1.2 Função
Você já pensou que uma corrida de táxi pode ser representada por uma regra matemática? Ou que o valor a ser
pago por determinado alimento depende, por exemplo, de quantos quilos foram comprados?
Além dos casos cotidianos, outros campos da ciência utilizam as funções em seus estudos como as funções custo,
receita e lucro, a depreciação de um bem em relação ao tempo de uso, a valorização de imóveis, a distância
percorrida por um objeto com o passar do tempo, a vazão de água de uma torneira com relação ao tempo, entre
muitos outros.
Neste tópico, vamos formalizar o conceito de função polinomial por meio da relação entre conjuntos, apresentar
suas características e como determinar se uma relação dada pode ser considerada função.
1.2.1 A definição de função por meio de conjuntos
Como já mencionamos, as funções podem ser usadas quando há uma relação entre duas grandezas, ou seja, é
necessário que tenhamos um conjunto de números para determinar o domínio e quando fizermos o processo
estabelecido pela função, vamos obter um conjunto numérico com suas imagens. Vamos utilizar a representação
de conjuntos por diagrama de flechas, com base em Leite e Castanheira (2015), exemplificando cada caso
estudado.
Considere o conjunto e , vamos associar cada elemento pertencente a a um
único elemento pertencente a . Vamos usar um diagrama de flechas para representar essa relação:
VOCÊ QUER LER?
Quer conhecer mais exemplos de gráficos de funções? Então acesse o site: <
>. (SILVA,https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-grafica-funcoes.htm
2018a). Existem funções que são muito estudadas devido ao comportamento de seu gráfico,
pois ele vai determinar como o fenômeno está se comportando com o passar do tempo.
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/representacao-grafica-funcoes.htm
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Figura 5 - Diagrama de flechas mostra a relação entre oselementos dos conjuntos A e B.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
A partir desse diagrama, também podemos escrever os pares ordenados gerados pelas flechas, que são os
seguintes: Esses pares ordenados podem ser representados graficamente. Há
várias formas de representar as funções que são muito importantes para estudar fenômenos da realidade.
Note, ainda, que elemento de está ligado a um elemento de , essa propriedade caracteriza uma todo único
e podemos dizer que . Podemos, assim, definir função: função é uma função de em sejam e conjuntos
não vazios, uma relação é uma função se, e somente se, todo elemento de estiver relacionado, por meio
de , a um único elemento de .
Vamos usar a notação para representar a função que leva os elementos de em .
Vamos aos exemplos? Acompanhe.
 é função de em , pois todos os elementos de estão relacionados a um único elemento de (mesmo
sobrando elementos em ).
VOCÊ QUER LER?
Os diagramas de flechas são também conhecidos como Diagramas de Venn, em homenagem ao
estudioso britânico John Venn (1834-1923). Acesse o site <https://brasilescola.uol.com.br
>. Para ler mais sobre esse tema e conhecer a sua origem,/matematica/diagrama-de-venn.htm
as diversas áreas que são utilizadas os diagramas e ver exemplos sobre suas aplicações (SILVA,
2018b).
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diagrama-de-venn.htm
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Figura 6 - Diagrama de flechas relacionando dois conjuntos numéricos em que não representa uma função.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
 não é função de em , pois existem elementos de que estão relacionados a mais de um elemento de (o
número 5 está relacionado a dois elementos de B e o 8 do conjunto também, esses elementos têm duas
imagens em B).
Figura 7 - Diagrama de flechas relacionando dois conjuntos numéricos no qual não representa uma função.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
d) é função de em , pois todos os elementos de estão relacionados a um único elemento de (mesmo
sobrando elementos em ).
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Figura 8 - Elaborado pela autora, 2018.
Fonte: Diagrama de flechas relacionando dois conjuntos numéricos no qual determina uma função.
Neste último diagrama, temos uma função de A em B, logo podemos definir o seu domínio, contradomínio e a sua
imagem. Domínio são os elementos do conjunto de entrada que escrevemos como ;
contradomínio são os elementos do conjunto de saída B escrito como ; e a imagem são os
elementos do conjunto que foram utilizados na relação e escrevemos como .
Os diagramas permitem compreender a definição formal de função e mostrar alguns casos que são funções ou
não. Porém, nem sempre teremos um conjunto pequeno de números para representar dessa maneira, a maioria
das funções é definida para o conjunto dos números reais, ou seja, um conjunto infinito. Nesse caso, a melhor
maneira de representar uma função é através de um gráfico. Vamos estudar isso mais adiante.
1.2.2 Relações binárias definidas por certas condições e por fórmulas
As relações binárias geram pares ordenados que podem ser representados em um plano cartesiano. Para
construir essas relações, precisamos estabelecer condições ou regras que relacionam os elementos dos
conjuntos. Segundo Munaretto (2018), pode ser uma regra escrita ou uma regra matemática. Vamos apresentar
esses conceitos neste tópico.
Chama-se de relação binária o conjunto de pares ordenados gerados por um produto cartesiano entre dois
conjuntos e . Escrevemos essa relação da seguinte maneira:
 (lemos a relação R é dada pelos pares ordenados pertencentes ao
produto cartesiano , tal que são gerados por uma determinada regra).
Exemplo 1:
Considere o conjunto e o conjunto . Vamos construir a seguinte relação binária: 
 (lemos a relação é dada pelos pares ordenados pertencentes ao produtoR
cartesiano , tal que é par). Primeiro, vamos escrever o produto cartesiano entre os conjuntos e . Paray
fazer isso, vamos escrever todos os pares ordenados possíveis com a primeira coordenada do conjunto e a
segunda do conjunto :
Os pares ordenados que estarão contidos na relação pertencem ao conjunto descrito acima, seguindo aR
regra de que a segunda coordenada pertencente ao conjunto deve ser par. Assim, escrevemos selecionandoy R
os pares ordenados cuja segunda coordenada é par
A relação binária também pode ter uma regra geradora algébrica, nesse caso é necessário fazer os cálculos
adequados para construir a relação.
Exemplo 2:
Considere o conjuntos conjunto e o conjunto . Vamos construir a relação
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Considere o conjuntos conjunto e o conjunto . Vamos construir a relação
definida por . Nesse caso, a coordenada y é determinada pelo dobro de acrescido de
quatro unidades; os pares de que satisfazem essa condição são . Note que o elemento
3 pertencente ao conjunto não pode ser usado para construir um par ordenado, pois aplicando a regra ao
número 3 obtemos o número 10, elemento que não pertence ao conjunto , então não podemos escrever esse
par ordenado.
Nem toda relação binária construída é uma função, já que para ser função é necessário que todo elemento de 
tenha um único correspondente em . No exemplo 2, isso não acontece, pois o elemento 3 do conjunto não tem
correspondente em , o que não atende a definição de função.
1.2.3 Representação algébrica e gráfica de uma função
Em problemas matemáticos, normalmente, as funções são apresentadas em sua forma algébrica para modelar o
fenômeno estudado e poder ser usada para efetuar cálculos de previsão, interpolação, estimativas etc. Além
disso, o conjunto de pontos que se deseja analisar por meio dessa função é composto por um intervalo de
números reais ou até mesmo por todos os números reais.
Como qualquer intervalo de números reais tem infinitos pontos, quando construímos o gráfico da função não
teremos mais pontos isolados, mas sim uma linha contínua que representará graficamente todos os infinitos
pontos utilizados.
Vamos considerar a relação entre o preço a ser pago por um produto vendido por quilo, por exemplo, o preço do
quilo do tomate, que em determinado supermercado é de . Nesse caso, podemos escrever uma função que
fornece o preço a ser pago dependendo da quantidade de quilos comprada. Denotando a quantidade a ser
adquirida, em kg, pela variável , e o valor a ser pago, em reais, por , podemos representar algebricamente a
situação por (lemos de igual a quatro vezes ).
Os valores do domínio possíveis para pertencem a um conjunto infinito de números reais, pois o peso pode ser
representado por qualquer número real positivo. Assim, definimos o conjunto de entrada ou domínio como 
 (lemos pertence aos números reais, tal que é maior ou igual a 0).
Seria impossível representar algebricamente todos os valores das imagens dessa função, por isso, para
compreender o seu comportamento em um intervalo infinito de valores, usamos a representação gráfica. Vamos
calcular alguns pontos na Tabela a seguir:
Tabela 2 - Cálculo de alguns pontos da função para a construção do gráfico.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Agora vamos representar esses pares ordenados no plano cartesiano, para observar como eles se comportam.
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Agora vamos representar esses pares ordenados no plano cartesiano, para observar como eles se comportam.
Figura 9 - Gráfico representando os pontos da função gerados a partir dos cálculos.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que os pontos nos gráficos ficam alinhados, então vamos construir mais alguns pontos para observar o
que acontece.
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Figura 10 - Ao construir mais pontos, é possível observar o comportamento do gráfico.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Agora vemos com mais clareza que a função se comporta de maneira linear, ou seja, os pontos estão alinhados e
se construirmos infinitos pontos nesse gráfico teremos uma reta (nesse caso uma semirreta, pois ela tem o ponto
de origem em (0,0)).
Construir infinitos pontos é impossível, por isso quando a função apresenta esse comportamentolinear apenas
alguns pontos são suficientes para traçar a reta que representará os infinitos pontos possíveis de serem
calculados nessa função. Veja o gráfico:
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Figura 11 - A reta laranja representando o gráfico da função é infinita, mas, no gráfico, aparece apenas 
um pedaço de seu todo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Vamos supor agora que um jogador de futebol chuta a bola para um companheiro de time, o movimento que a
bola faz ao subir até cair em um determinado ponto do campo é estudado matematicamente e pode ser
representado algebricamente por uma função. Considere a distância percorrida pela bola na horizontal e a
altura da bola em certo instante, o movimento descrito pela bola é representado pela seguinte função: 
.
Os valores de entrada são dados pela distância em metros, nesse caso teremos infinitos valores que poderemos
inserir na função, mas vamos utilizar alguns deles para analisar o seu comportamento.
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Tabela 3 - Cálculo de pares ordenados por meio da função estabelecida.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Com esses pontos podemos construir um gráfico para visualizar o comportamento da função. Observe:
Figura 12 - Gráfico representando os pontos da função gerados a partir dos cálculos dos pares ordenados.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Apenas esses pontos ainda não são suficientes para entendermos como a função está se comportando, por isso
vamos inserir mais pontos. Veja:
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Figura 13 - Ao construir mais pontos, o gráfico passa a ter um novo comportamento.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Agora podemos observar que os pontos estão se alinhando de maneira a formar uma curva simétrica, o que, em
Matemática, chamamos de parábola. Sabendo como os pontos estão se comportando podemos traçar o gráfico
que representa os infinitos pontos que podem ser inseridos no lugar de . Observe:
Figura 14 - Representação gráfica da função em um intervalo de infinitos pontos.
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Figura 14 - Representação gráfica da função em um intervalo de infinitos pontos.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Nesse gráfico, podemos observar que a curva em laranja descreve um modelo matemático aproximado do trajeto
que a bola, ao ser chutada pelo jogador de futebol, faz no ar, partindo do ponto (0, 0), subindo até uma altura
máxima e depois caindo novamente no chão. Existem outros fenômenos que também podem ser representados
por esse tipo de gráfico como: a curva de um jato de água de uma mangueira ou de chafariz, a superfície
espelhada refletora do farol de um carro ou de uma lanterna, as antenas parabólicas usadas para sinal de
televisão, telefone, radares, entre outros.
1.3 Zeros ou raízes, domínio e imagem de uma função
Os conceitos de domínio e imagem são fundamentais para o estudo de funções, pois além da expressão
matemática que relaciona os elementos, os conjuntos envolvidos precisam estar claros e bem definidos, no caso
desta disciplina, dentro do universo dos números reais.
Ainda, o estudo dos zeros ou raízes de uma função permite analisar o seu comportamento algébrico e gráfico,
bem como fazer cálculos para problemas específicos como, por exemplo, o valor em que uma empresa não tem
prejuízo em suas vendas, o alcance de um projétil lançado verticalmente, o instante em que um forno industrial
esfria completamente, o tempo gasto por um carro a partir de sua saída até o final do percurso, onde está parado,
entre outros.
1.3.1 Zeros de uma função
O lucro de uma empresa depende do número de unidades vendidas de seu produto, logo podemos expressar
uma relação matemática entre o número de unidades vendidas e o lucro obtido. Para se manter no mercado,L
mais importante do que ter lucro positivo é garantir que não haverá prejuízos.
Então, é possível determinar o valor exato de unidades que deverão ser vendidas para que a empresa não tenha
prejuízo? A resposta é o valor de para o qual o lucro é zero. Esse valor é chamado de zero da função.L
Considere a função , tal que . Vamos calcular o valor da função para e . Observe:
Note que nos dois casos, obtemos resultado 0, ou seja, para e a função se anula. Quando isso ocorre
chamamos e de . Assim, para calcular os zeros de uma função devemoszeros ou raízes da função 
fazer .
Exemplos:
Calcule os zeros das funções a seguir:
a) 
Para determinar os zeros da função , vamos substituir :
Portanto, essa função possuí apenas um zero: .
b)
Para determinar os zeros da função , vamos substituir :
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Portanto, essa função possuí dois zeros: e .
Os zeros da função são os pontos em que o gráfico corta o eixo e são importantes para ajudar a entender como
a função está se comportando graficamente, o que facilita a construção de gráficos complexos. Vamos construir
os gráficos dos dois exemplos anteriores para observarmos a posição dos zeros das funções.
Exemplos:
Para a função , obtemos que o seu zero é . Como o valor do zero é calculado para ,
podemos escrevê-lo como o par ordenado , em que a coordenada sempre será 0. Observe a posição desse
ponto no gráfico a seguir:
VOCÊ SABIA?
É possível encontrar os zeros de qualquer função polinomial de variável real? Não. Existem
funções definidas no conjunto dos números reais que não possuem zeros, por exemplo, 
 não tem solução nos quando substituímos . Veja:
, pois a raiz quadrada de números
negativos não está definida para os , logo não é possível determinar o zero dessa função para
esse domínio. Vale ressaltar que todo polinômio de grau , com , possui pelo menos um
zero (real ou complexo). Devemos observar se esse valor está contido no domínio estabelecido
para a função, como as funções polinomiais de uma variável real.
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Figura 15 - O ponto em laranja representa o zero da função, ponto de intersecção entre o eixo e o gráfico da 
função.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
b) Na função , temos dois zeros e , logo podemos escrevê-los como os pontos e 
. Observe suas posições no gráfico a seguir:
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Figura 16 - Os pontos em laranja são os zeros da função e representam a intersecção do eixo com o gráfico da 
função.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Em cada fenômeno estudado, os zeros da função têm um significado especifico. Se for a função que descreve o
lançamento de uma bola de futebol, os zeros da função são os momentos em que a bola toca o solo, que é o ponto
onde ela é chutada, e o ponto onde ela cai no gramado. Se estivermos nos referindo a uma função que determina
o lucro de uma empresa, o zero da função representa o ponto em que o lucro é nulo, ou seja, ainda não foi obtido
lucro com as vendas, mas todos os custos foram pagos.
1.3.2 Determinação do domínio de uma função
A determinação do domínio de uma função é importante para saber quais os valores podemos substituir pela
variável independe . Segundo Leite e Castanheira (2015), algumas funções já apresentam o seu domínio de
maneira explícita, mas outras necessitam que determinemos qual o subconjunto dos números reais satisfaz
determina regra matemática.
Considere a função . Vamos pensar na possibilidade de valores que a variável pode assumir. Para
determinar o domínio, temos que responder a seguinte pergunta: existe algum número real que quando
substituído por torna impossível a determinação da imagem?
Para a resposta, os casos mais importantes a serem considerados são , positivo e negativo. Nessa função,
qualquer número inserido permite a determinação de uma imagem , logo dizemos que o domínio são todos
os números reais e representamos da seguinte maneira: (lemos domínio de igual aos números reais}.
Agora, vamos considerar a seguinte função: . Nesse caso, temos uma fração algébrica em que a
variável aparece tanto no numerador quanto no denominador. Para determinar o domínio dessa função, vamos
analisar as expressões que compõem a fração algébrica isoladamente.
Como o numerador é não temos restrição para ele. Toda fração tem a restrição de que o denominador
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Como o numerador é não temos restrição para ele. Toda fração tem a restrição de que o denominadorprecisa ser diferente de zero, logo e (lemos diferente de quatro negativo). Então, o domínio da
função é:
 (lemos pertence aos números reais, tal que é diferente de quatro negativo).
Seja a função . Quando temos uma raiz quadrada devemos lembrar que, em , não existe raiz
quadrada de número negativo, logo o radicando, que é a expressão que está dentro dessa raiz, deve ser positivo
ou nulo e, portanto, maior ou igual a zero. Então temos que:
Portanto, o domínio da função pode ser escrito como (lemos pertence aos números
reais, tal que é maior ou igual a dois).
Para explicar o que é contradomínio e imagem de uma função, vamos utilizar o diagrama de flechas a seguir:
Figura 17 - Diagrama de flechas relacionando dois conjuntos numéricos.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Aprendemos que o conjunto de entrada é o domínio da função, certo? Assim, no diagrama anterior, o domínio é
dado por . O conjunto B é o conjunto de chegada e é chamado de contradomínio da função,
nesse caso . A imagem dessa função são os elementos do conjunto B que
estabeleceram relação com algum elemento de A, logo 
Do mesmo modo quando dizemos que uma função é definida como , o domínio é e o contradomínio é 
 A imagem dessa função é definida pelo conjunto de pontos gerados por ela que estão contidos no
contradomínio, ou seja, os valores de obtidos quando inserimos os valores do domínio definidos na função.
Uma maneira prática de determinar a imagem de uma função é construir o gráfico e observar o comportamento
VOCÊ QUER LER?
Caso tenha ficado com dúvidas nos cálculos do domínio algébrico de uma função, leia o tema
no livro “Pré-Cálculo” (DEMANA et al., 2009). No livro, você verá mais exemplos sobre a
determinação do domínio de uma função.
- -24
Uma maneira prática de determinar a imagem de uma função é construir o gráfico e observar o comportamento
dos pontos. Por exemplo, considere o gráfico a seguir:
Figura 18 - Gráfico de uma função em que a imagem está representada em cinza.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Como a imagem é dada pelos pontos de , no gráfico esses pontos são representados no eixo , logo devemos
observar os pontos de que foram utilizados para construir a função. Note que o primeiro ponto do eixo possui
coordenadas ; todos os demais encontram-se na direção crescente do eixo e possuem correspondentey
em . Dessa maneira, definimos o conjunto imagem como: } (lemos pertence aos números
reais, tal que é maior ou igual a três negativo).
Vamos a um exemplo. Um vendedor recebe um salário fixo mensal de R$1.400,00 mais uma comissão de 5% do
valor vendido mensalmente. No ano passado, no mês de maio, ele atingiu o seu menor valor de vendas,
R$2.000,00, e, em dezembro, o seu maior valor de vendas, R$8.000,00. Podemos construir uma função que
relacione o salário em função do total de vendas , da seguinte maneira: .
Note que se trata de uma função afim, cujo domínio é dado pelos valores possíveis para que varia entre 2000 e
8000 reais, assim o domínio é expresso por . Veja o gráfico dessa função.
- -25
Figura 19 - Gráfico representa a relação entre o salário final e o valor de vendas atingido.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Como a imagem da função são os valores obtidos para , podemos observar no gráfico que o conjunto imagem
é e concluir que o vendedor obteve, no ano passado, um salário
compreendido entre os valores de 1.450 e 1.800 reais.
De modo geral, nos gráficos que formam uma reta a imagem da função são todos os números reais, pois todo
ponto do eixo tem correspondente em e a reta é infinita nos seus dois sentidos, o que garantimos pelo gráfico
que tanto o domínio quanto a imagem são os números reais. A exceção se dá, naturalmente, quando esse gráfico
está atrelado a um contexto aplicado, com eou representando as variáveis que não podem assumir valoresx y
negativos, por exemplo.
1.3.3 Funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva
As funções podem ser classificadas de acordo com o comportamento da relação entre domínio e imagem e nesse
caso temos três classes de funções: injetiva, sobrejetiva e bijetiva (LEITE; CASTANHEIRA, 2015). Vamos
compreender cada uma delas neste tópico.
Uma função é quando elementos distintos de são relacionados por em elementosinjetiva
distintos de , ou seja, tomando em , obtemos ) em . Observe os exemplos a seguir
utilizando diagramas de flechas.
- -26
Figura 20 - Diagrama de flechas que representa a função que é injetiva.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Esse diagrama mostra uma função injetiva, pois elementos distintos de estão relacionados a elementos
distintos de ou, em outras palavras, não temos um elemento em que receba mais de uma flecha.
Figura 21 - Diagrama de flechas que representa a função que não é injetiva.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Já esse diagrama mostra o exemplo de uma função que não é injetiva, pois temos dois elementos distintos
pertencentes ao conjunto , (1 e 15) que possuem a mesma imagem em (30).
Uma função é quando todo elemento pertencente ao conjunto é imagem de umsobrejetiva
elemento pertencente ao conjunto . Observe os exemplos a seguir utilizando diagramas de flechas.
- -27
Figura 22 - Diagrama de flechas que representa a função que é sobrejetiva.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Nesse diagrama, se escolhermos qualquer elemento do conjunto , este será imagem de algum elemento do
conjunto , isto é, o contradomínio da função é igual a sua imagem, ou ainda, não sobram elementos sem flecha
no conjunto .
Figura 23 - Diagrama de flechas que representa a função que não é sobrejetiva.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Nesse caso, a função não é sobrejetiva, pois existem elementos do contradomínio (conjunto ) que não são
imagem de nenhum elemento do conjunto , 9 e 15.
Por fim, uma função é quando ela for injetiva e sobrejetiva, simultaneamente. Observe osbijetiva
exemplos a seguir utilizando diagramas de flechas.
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Figura 24 - Diagrama de flechas que representa a função que é bijetiva.
Esse diagrama representa uma função bijetiva, pois ela é injetiva, já que dois elementos distintos do domínio
possuem imagens distintas, e é sobrejetiva, já que o contradomínio é igual a imagem. Muito bem, seguindo com
nosso estudo, no próximo tópico vamos utilizar o conceito de função bijetiva para determinar a inversa de
funções.
1.4 Função composta e inversa
Neste tópico, vamos abordar a composição de funções, que é uma estratégia matemática que une duas funções
com o objetivo de relacionar as variáveis envolvidas em cada uma. A função composta leva os elementos do
domínio da primeira aos elementos da imagem da segunda e vamos aprender a representar matematicamente a
composta de duas ou mais funções.
Ainda, veremos que as funções inversas permitem criar novas expressões invertendo os conjuntos de domínio e
imagem. Apenas as funções com características bijetivas podem gerar uma inversa, uma vez que é necessário
que todo elemento na imagem tenha um único correspondente no domínio.
1.4.1 Função composta
Considere a seguinte situação: uma indústria produz parafusos por dia e fazem pacotes com 50 unidades cada
um. São utilizadas para o armazenamento caixas que comportam 20 pacotes em cada uma.
Vamos representar por a função que determina a quantidade de pacotes obtidos com a produção de unidades f
de parafusos. Como cada pacote contém 50 unidades, podemos escrever .
Agora vamos representar por a função que relaciona a quantidade de caixas utilizadas a partir do número deg
pacotes produzidos pela empresa. Chamando o número de pacotes, podemos escrever .
Existe uma maneira de calcular diretamente o número de caixas obtidas com a produção de parafusos por dia
sem necessitar calcular o número de pacotes? Sim, podemos fazer uma composição entre as duas funções,
calculando (lemos composta com ). Observe:
Assim, a função obtida relaciona o número de parafusos produzidos com o número de
caixas embaladas pela indústria.
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De acordo com Munaretto (2018), definimosa função composta como: tomando A, B e C conjuntos números e as
funções e , temos que a função , tal que , é chamada de função
composta de e .
Considere agora as funções e . Vamos calcular a composta de em . Observe:g f
Agora podemos calcular e , veja:
Também podemos observar a situação contrária, em que a função é dada e vamos determinar quais funções
foram usadas para tal composição. Por exemplo, a função é uma função composta e suas
componentes são: e . Essa técnica é usada para a derivada de funções compostas,
conhecida por regra da cadeia, que vamos estudar mais adiante em nossa disciplina.
CASO
Uma empresa de bicicletas tem o custo fixo mensal com água, luz, aluguel e funcionários no
valor de R$ 12.000,00. O custo variável por unidade é de R$ 600,00 e cada bicicleta é vendida
por R$ 1.300,00. O dono da empresa gostaria de estudar o comportamento dos lucros e
prejuízos dependendo da quantidade de bicicletas vendidas por mês. Um dos funcionários teve
a ideia de representar o lucro por meio de uma função para facilitar o estudo dos casos que o
dono da empresa solicitou. Depois de alguns dias o funcionário apresentou os seguintes
resultados.
Primeiramente, o lucro é definido pelo que sobra da venda das bicicletas, descontando os
gastos mensais e o valor de custo da bicicleta, ou seja, é a receita menos o custo: .L = R - C
Vamos chamar de o número de unidades de bicicletas vendidas, assim podemos escrever ax
função receita como ( ) = 1300 . A função custo pode ser escrita como ( ) = 600 + 12000,R x x C x x
então agora podemos montar a função lucro da seguinte maneira:
Com a função lucro definida, o funcionário respondeu as dúvidas do dono da empresa. Uma
delas era sobre quantas unidades ele precisaria vender para cobrir os seus custos, ou seja, não
ter lucro, mas também não ficar devendo nada. Essa pergunta é respondida calculando o zero
da função, fazendo ( ) = 0 da seguinte maneira:L x
Portanto, seria necessário vender aproximadamente 17 bicicletas para cobrir os custos da
empresa.
E para fazer uma reforma na loja que custaria R$ 8.000,00 quantas unidades precisam ser
vendidas para obter esse valor de lucro? Nesse caso:
Seria necessário vender, aproximadamente, 28 bicicletas para ter o lucro desejado.
Veja a importância da composição de funções para agilizar os cálculos e obter através de uma
única expressão a relação entre várias variáveis.
- -30
1.4.2 Função inversa
Quando construímos uma função, ela relaciona dois conjuntos por meio de uma regra, por exemplo, se a regra
for dobrar o número de entrada podemos também fazer o inverso, pegar o número de saída e calcular sua
metade, isto é uma inversão de funções. Vamos estudar essa ideia mais a fundo neste tópico.
Vamos usar um exemplo de diagrama de flechas para introduzir a noção de função inversa. Considere 
representada a seguir:
Figura 25 - Diagrama de flechas representando a função .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Nesse caso, a função relaciona os seguintes pares ordenados: . Para construir a inversa
dessa função, precisamos relacionar os elementos do conjunto com os do conjunto , assim passamos a ter um
novo domínio e uma nova imagem. A função inversa é denominada por . O diagrama a seguir mostra a relação 
, observe:
- -31
Figura 26 - Diagrama de flechas representando a função .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
A função inversa leva os valores de em , então podemos escrever . Note que os
pares ordenados ficaram invertidos ou ainda que a inversa desfez a ação de . Não são todas as funções que
possuem inversa ou que são invertíveis. Para uma função ter inversa ela precisa ser bijetiva, pois a inversão leva
todos os elementos do contradomínio em um elemento no domínio e as bijetoras garantem que isso aconteça.
Vamos agora aprender uma técnica apresentada em Leite e Castanheira (2015) para a obtenção algébrica da
inversa de uma função. Seja a função , já vimos que , portanto, podemos escrevê-la da
seguinte forma: .
O primeiro passo é trocar por e por , veja: . Depois, vamos isolar a letra :
. Logo, a função inversa de pode ser escrita como: .
Agora, considere a função . Vamos calcular a sua inversa trocando as variáveis:
Vamos a um exemplo?
Uma concessionária de motocicletas anunciou uma promoção em sua linha em que todas estão com desconto de
8,5% no preço de tabela, mais um desconto adicional de R$1.000,00 para pagamento à vista. Supondo que você
tenha R$9.500 reais, é possível determinar a motocicleta mais cara que você consegue comprar com esse valor?
Primeiro, vamos construir uma função que relaciona o preço final, com desconto, com o valor de tabela . ComoP x
o desconto dado é de 8,5% , o valor da motocicleta é 91,5% do preço original de tabela, logo .
Para determinar o valor mais alto obtido nessa função, vamos determinar a sua inversa, trocando as variáveis de
posição:
Logo, a função inversa é .
Utilizando o valor disponível de R$9.500, vamos agora calcular o valor procurado utilizando a inversa:
Concluímos, então, que a motocicleta de maior valor que você poderá comprar será de R$11.474,41.
O cálculo da função inversa é usado em problemas em que é necessário construir uma nova função com as
mesmas variáveis, mas invertendo o conjunto de entrada com o de saída. O estudo de seu gráfico também ajuda
nesses casos, como veremos a seguir.
1.4.3 Gráfico de funções inversas
Vimos no tópico anterior que para determinar a inversa de uma função podemos trocar as letras por . Essa
técnica decorre da ideia de pares ordenados, logo também podemos representá-la no plano cartesiano. Vamos
considerar o ponto , assim ao inverter as coordenadas obtemos o ponto . Veja esses pontos no
- -32
considerar o ponto , assim ao inverter as coordenadas obtemos o ponto . Veja esses pontos no
gráfico:
Figura 27 - Representação gráfica do ponto e seu inverso.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Podemos observar que o inverso de um ponto fica a mesma distância da reta , que é a bissetriz dos
quadrantes , ou seja, os pontos ficam refletidos em relação a essa reta. Isso também acontece com os
gráficos das funções, sem que calculemos sua inversa.
Considere a função , como ela é classificada como bijetora, podemos fazer o cálculo da sua inversa.
Primeiro, escrevemos a função da seguinte maneira: . Depois trocamos por e por , veja: .
Agora vamos isolar : . Logo, podemos escrever a inversa como . Vamos
observar o comportamento gráfico de uma função e sua inversa:
- -33
Figura 28 - Representação gráfica de uma função e o comportamento de sua inversa.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Podemos observar que o comportamento do gráfico da função inversa tem uma simetria de reflexão em torno da
reta (MUNARETTO, 2018). Muitas vezes podemos construir o gráfico da função inversa para observar suas
características e resolver problemas sem conhecer, necessariamente, a sua forma algébrica, fazendo-o apenas
com recursos geométricos.
Síntese
Concluímos o capítulo introdutório da disciplina de Funções Polinomiais de Variável Real. Você conheceu
situações reais que podem ser representadas por meio de funções, quando identificar que uma relação é uma
função e sua importância para fazer previsões sobre o fenômeno estudado.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• explorar a ideia intuitiva de função que usamos no dia a dia;
• reconhecer a relação entre dois conjuntos numéricos e quando podemos dizer que esta é uma função;
• representar algebricamente uma função;
• representar graficamente uma função no plano cartesiano;
• identificar o domínio e a imagem de uma função;
• classificar as funções em injetiva, sobrejetiva e bijetiva;
• compreender o processo de composição de funções;
• determinar a inversa de uma função;
• identificar as características do gráfico da função inversa.
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Bibliografia
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	Introdução
	1.1 Realidade e modelos abstratos
	1.1.1 Ideia intuitiva de funções
	1.1.2 Sistema de coordenadas ortogonais
	1.1.3 Representação gráfica e representação algébrica
	1.2 Função
	1.2.1 A definição de função por meio de conjuntos
	1.2.2 Relações binárias definidas por certas condições e por fórmulas
	1.2.3 Representação algébrica e gráfica de uma função
	1.3 Zeros ou raízes, domínio e imagem de uma função
	1.3.1 Zeros de uma função
	1.3.2 Determinação do domínio de uma função
	1.3.3 Funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva
	1.4 Função composta e inversa
	1.4.1 Função composta
	1.4.2 Função inversa
	1.4.3 Gráfico de funções inversas
	Síntese
	Bibliografia