AV1 calculo edo-2

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Cálculo vetorial e EDO 
Johnny Magalhaes do Nascimento, 03097507 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus/AM 
2024 
 
 
Cálculo vetorial e EDO 
 
RELATÓRIO 
DATA: 
 
25/08/2024 
 
 
 
 
NOME: Johnny Magalhaes do Nascimento MATRÍCULA:03097507 
CURSO:Engenharia Mecânica POLO: UNINORTE MANAUS 
PROFESSOR(A) ORIENTADOR(A): Karla Adriana Barbosa 
 No momento da modelagem do fluxo de um fluido, uma abordagem é expressar a 
velocidade de cada partícula individual no fluido. Para fazer isso, podemos descrever 
esse movimento utilizando uma função que usa como entrada as coordenadas de uma 
partícula, e cuja saída seja o vetor velocidade dessa partícula. Uma das formas de 
representar esse processo seria: 
V ⃗, como vetor velocidade 
x e y, coordenadas de posição 
f , uma função com duas variáveis. 
Logo teríamos = f (x, y) 
Considera o fluxo de um fluído qualquer, que percorre uma tubulação localizada em 
um relevo que apresenta cotas diferenciadas ao longo de sua superfície. E que 
a função V ⃗= x² y³ - 4y, representa a velocidade de cada partícula em movimento. 
Considerando essas informações, calcule o que se pede, em cada situação proposta: 
1) Calcular o vetor Gradiente desse fluxo, no ponto (2, -1) 
V ⃗= x² y³ - 4y para calcular vetor gradiente, precisa derivar parcialmente em relação 
x e y no ponto (2,-1) 
GRAD V(x,y)= 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
, 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
 
Derivando em relação a X 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
= 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= 2𝑥𝑦3 aplicando no ponto (2,-1) 
𝐺𝑅𝐴𝐷 𝑉(2, −1) =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
= 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= 2(2)(−1)3=-4 
Derivando em relação a Y 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
= 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= 3𝑦2𝑥2 − 4 aplicando no ponto (2,-1) 
 
 
Cálculo vetorial e EDO 
 
RELATÓRIO 
DATA: 
 
25/08/2024 
 
𝐺𝑅𝐴𝐷 𝑉(2, −1) =
𝜕𝑉
𝜕𝑦
= 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= 3(−1)2(2)2 − 4=8 
Logo vetor GRADIENTE V(2,-1)= (-4,8) 
2) Calcular a derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, -1) 
Observem que o vetor v não é unitário. É necessário calcular o vetor na direção de v 
e que seja unitário. 
𝑢 =
𝑉
|𝑉|
 
|V|=√𝑉2 + 𝑉2 
|V|=√22 + 52=√29 
Logo vetor unitário e (
2
|√29|
i, 
5
|√29|
j) 
Derivada direcional em relação a vetor, e produto escalar do vetor gradiente verso 
vetor unitário (2, −1) = ∇f · v 
V(2,-1) = (-4,8)( 
2
|√29|
, 
5
|√29|
)= 
−4(2)
|√29|
+
8(5)
|√29|
) =
−8+40
√29
= 
32
√29
 
Logo derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, -1) é 
32
√29
. 
3) Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1) 
A Velocidade máxima alcançada na direção do vetor gradiente, e derivada direcional 
do vetor gradiente aplicando modulo do vetor gradiente 
 Derivando em relação a X Y 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
(2, −1)= 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= -4 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
(2,-1)= 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= 8 
Vetor gradiente (-4,8) 
|vetor gradiente|= √(−4)2 + (8)2= √16 + 64 = √80 
 
 
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RELATÓRIO 
DATA: 
 
25/08/2024 
 
Logo velocidade máxima no ponto (2,-1) é √80 
CONCLUÇÃO 
Para calcular vetor gradiente V ⃗= x² y³ - 4y , precisa derivar parcialmente em relação 
x e y no ponto (2,-1), Para que seja efetuado o cálculo de uma derivada parcial, é 
necessário que se identifique a variável que será o parâmetro da derivação e que será 
considerada uma variável e a variável que não será o parâmetro de derivação que 
será considerada constante. Primeiro aplicamos derivada parcial com relação a x, no 
ponto (2,-1) , o resultado foi -4, aplicando derivada relação a Y , o resultado foi 8, logo 
vetor GRADIENTE V(2,-1)= (-4,8). 
Para calcular a derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no ponto (2, -1) 
Precisa calcular produto escalar do vetor gradiente verso vetor unitário (2, −1) = ∇f · v 
percebeu que vetor (2,5) não e vetor unitário então foi preciso calcular o vetor na 
direção de V e que seja unitário, que é u=
𝑣
|𝑉|
 que vetor sobre modulo dele , Logo vetor 
unitário e (
2
|√29|
i, 
5
|√29|
j) , como conseguimos nosso vetor unitário aplicaremos 
produto escalar com vetor gradiente V(2,-1) = (-4,8)( 
2
|√29|
, 
5
|√29|
)= 
−4(2)
|√29|
+
8(5)
|√29|
) =
−8+40
√29
= 
32
√29
 , Logo derivada direcional em relação ao vetor t= 2i +5j, no 
ponto (2, -1) é 
32
√29
. 
Para Calcular a máxima velocidade no ponto (2, -1), precisa encontrar modulo do vetor 
gradiente , Derivando parcialmente em relação a X Y no ponto (2,-1) encontramos 
nosso vetor gradiente (-4,8) 
 
𝜕𝑉
𝜕𝑥
(2, −1)= 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= -4 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
(2,-1)= 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑥2𝑦3-4𝑦)= 8 
Aplicando o modulo do vetor Gradiente no ponto (2,-1) , |vetor gradiente|= 
√(−4)2 + (8)2= √16 + 64 = √80 
Logo velocidade máxima no ponto (2,-1) é √80. 
 
 
 
 
 
Cálculo vetorial e EDO 
 
RELATÓRIO 
DATA: 
 
25/08/2024 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA 
 
ANTON, H; BIVIENS, I; STEHPEN, D. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 
2014, v. 1. 
 
FLEMING, D. M; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2012. 
 
SCIENTIFIC SENTENCE. Calculus III: Double Integrals. 2010. Disponível em: 
. Acesso em: 25 jul. 2024. 
 
FLEMING, D. M; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson 2012 
 
Disponível:LINK Acesso em: 25/08/2024. 
 
STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron 
Books, 1987 
 
ANTON, H. Calculus: a new horizon. New Jersey: Wiley, 1998. Disponível em link ( 
https://www.youtube.com/watch?v=AUWRMEmq6jQ&t=254s ) Acesso dia 
26/08/2024 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=AUWRMEmq6jQ&t=254smat_apostila_ernesto.pdf%20(unesp.br)
https://www.youtube.com/watch?v=AUWRMEmq6jQ&t=254smat_apostila_ernesto.pdf%20(unesp.br)
https://www.youtube.com/watch?v=AUWRMEmq6jQ&t=254s