Atividade contextualizada - AV1 - calculo vetorial e EDO

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADO – CÁLCULO VETORIAL E EDO 
 
José Mateus Silvestre Mesquita 
Matrícula: 01568224 
Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Cálculo Vetorial e EDO 
 
O tratamento térmico das peças do um guindaste é muito importante. Ele evita 
que ocorram desgastes, corrosões e até mesmo que a estrutura do guindaste 
quebre com o passar do tempo. 
O guindaste é um tipo de equipamento que fica exposto a condições climáticas 
variadas, como o sol, calor, vento, chuva etc. Essa rotina juntamente com o 
esforço que esse equipamento sofre, pode causar o desgaste em carcaça e 
peças. Por isso, o tratamento térmico das peças do guindaste é tão importante, 
ele melhora a resistência do aço ao desgaste, corte/quebra e corrosão. Um dos 
processos é o de Normalização. 
 A normalização consiste no aquecimento das peças seguido de resfriamento ao 
ar, o que resulta em uma granulação mais refinada e uniforme. 
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é 
proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura TA do 
ambiente. 
Mediante essas informações sobre a normalização e a segunda lei de Newton, 
resolva o seguinte problema: 
• Ao aquecer uma determinada peça de um guindaste se a temperatura do 
ambiente é de 20 °C e a temperatura do corpo cai em 20 minutos de 100 
°C a 60 °C, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 °C? 
 
R: A ABNT NBR 6591 rege o procedimento referente ao tratamento térmico, no 
qual é possível utilizar a lei de resfriamento de newton na etapa de normalização. 
Este procedimento é utilizado em várias situações, e uma delas é citado no 
exemplo que a questão expõe. De acordo com o cálculo realizado, utilizando a 
lei de resfriamento de Newton, chegaremos a um resultado de 60 minutos para 
que a peça chegue a 30 °C em um ambiente de 20 ºC. 
. 
• Apresente a Equação Diferencial ordinária, que descreve a lei de 
resfriamento de Newton; 
 
R: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘. (𝑇 − 𝑇𝑎) 
T = Temperatura do corpo no instante t 
t = Tempo 
Ta = Temperatura do ambiente 
T – Ta = variação de temperatura 
K = Constante de proporção que através do sinal conseguimos identificar se a 
temperatura do corpo está caindo ou subindo em relação a temperatura do 
ambiente. 
 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘. (𝑇 − 𝑇𝑎) 
𝑑𝑇
(𝑇 − 𝑇𝑎)
= −𝑘𝑑𝑡 
∫
𝑑𝑇
(𝑇 − 𝑇𝑎)
= ∫ −𝑘𝑑𝑡 
log𝑒|𝑇 − 𝑇𝑎| = −𝑘. 𝑡 + 𝑐 
|𝑇 − 𝑇𝑎| = 𝑒−𝑘.𝑡+𝑐 
𝑇 − 𝑇𝑎 =
+
−
𝑒−𝑘.𝑡. 𝑒𝑐 
𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝐴. 𝑒−𝑘.𝑡 
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + 𝐴. 𝑒−𝑘.𝑡 
 
• Apresente o desenvolvimento dos cálculos, para a determinação do 
tempo para que a temperatura decaia para 30 °C 
 
R: 
 
- Primeira parte: 
t = 0 
T = 100 
Ta = 20 
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + 𝐴. 𝑒−𝑘.𝑡 
100 = 20 + 𝐴. 𝑒−𝑘.0 
100 − 20 = 𝐴 
80 = 𝐴 
 
- Segunda parte 
t = 20 
T = 60 
A = 80 
Ta = 20 
𝑇(𝑡) = 𝑇𝑎 + 𝐴. 𝑒−𝑘.𝑡 
60 = 20 + 80. 𝑒−𝑘.20 
60 − 20 = 80. 𝑒−𝑘.20 
40 = 80. 𝑒−𝑘.20 
40
80
= 𝑒−𝑘.20 
1
2
= 𝑒−20𝑘 
log𝑛
1
2
= log𝑛 𝑒−20𝑘 
− log𝑛 2 = −20𝑘 
𝑘 =
1
20
log𝑛 2 𝑚𝑖𝑛−1 
 
- Terceira parte 
T = 30 
A = 80 
Ta = 20 
𝑘 =
1
20
log𝑛 2 𝑚𝑖𝑛−1 
t = ? 
30 = 20 + 80. 𝑒−
1
20
log𝑛 2.𝑡
 
30 − 20 = 80. 𝑒−
1
20
log𝑛 2.𝑡
 
10 = 80. 𝑒−
1
20
log𝑛 2.𝑡
 
10
80
= 𝑒−
1
20
log𝑛 2.𝑡
 
1
8
= 𝑒−
1
20
log𝑛 2.𝑡
 
log𝑛
1
8
= log𝑛 𝑒−
1
20
log𝑛 2.𝑡
 
− log𝑛 8 = −
1
20
log𝑛 2. 𝑡 
𝑡 =
− log𝑛 8
−
1
20 log𝑛 2
 
 
𝑡 = 3 log𝑛 2 .
20
log𝑛 2
 
 
𝑡 = 3.20 = 60 𝑚𝑖𝑛 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos Numéricos para 
Engenharia-7ª Ediçao. McGraw Hill Brasil, 2016. 
LEI do resfriamento de Newton. [S.l.:s.n.], 22 de set. de 2017 CÁLCULO 3 
(8,37 min). Publicado pelo canal Toda a Matemática. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=z7p1GaYpvr0. Acesso em 08/09/2023 
LEI do resfriamento de newton 🔴 introdução. [S.l.: s.n], 21 de set. de 2018 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (17,44 min). Publicado pelo canal Prof. 
MURAKAMI – MATEMÁTICA RAPIDOLA. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=PIbWUs8mpKI. Acesso em 08/09/2023 
 
https://www.youtube.com/playlist?list=PLbVzJTKmXUiYY0DH3X-4nNjHYAn7_dF_Y
https://www.youtube.com/watch?v=z7p1GaYpvr0
https://www.youtube.com/playlist?list=PLN0ZrxDaBfhgtmGfi60hd3jlwzxafQPnd
https://www.youtube.com/watch?v=PIbWUs8mpKI