Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial xdy_dx=2xe^x-y+6x² - Equação diferencial ordinária (EDO) exatas - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial .x = 2xe - y + 6x²
dy
dx
x
Resolução:
 
Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata, temos que colocar a EDO no formato gernérico;
 
M x, y dx + N x, y dy = 0( ) ( )
 
Assim, vamos manipular a EDO para colocá-la no formato acima:
 
x = 2xe - y + 6x² xdy = 2xe - y + 6x² dx xdy - 2xe - y + 6x² dx = 0 × -1
dy
dx
x
→
x
→
x ( )
2xe - y + 6x² dx - xdy = 0x
 
Com isso : M x, y = 2xe - y + 6x² e N x, y = - x( ) x ( )
 
Para a EDO ser exata devemos ter =→
𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( )
 
Vamos, então, encontrar as derivadas parciais;
 
= - 1 e = - 1, logo, = para a EDO em questão, 
𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( ) 𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( )
assim, temos uma EDO exata. Agora, podemos definir o deguinte sistema;
 
= M x, y = 2xe - y + 6x² 
𝜕F
𝜕x
( ) x
= N x, y = - x
𝜕F
𝜕y
( )
 
Vamos integrar pacialmente em relação a y a segunda equação e chegar em F x, y ;( )
 
F x, y = -x dy = - xdy = - xy +∅ x( ) ∫ ( ) ∫ ( )
 
 
Perceba que a constante resultante dessa integral está em função de x, com isso, devemos 
 
 
determiná - la para chegar a solução final da EDO, para isso, vamos derivar F x, y parcialmente( )
em relação a x;
 
= - y +∅' x
𝜕F x, y
𝜕x
( )
( )
 
A primeira condição dada pelo sistema acima foi : = M x, y = 2xe - y + 6x²
𝜕F
𝜕x
( ) x
 
Ou seja, = M x, y , com isso, temos a igualdade;
𝜕F x, y
𝜕x
( )
( )
 
2xe - y + 6x² = - y +∅' x , isolando ∅' x , fica;x ( ) ( )
 
-y +∅' x = 2xe - y + 6x² ∅' x = 2xe - y + 6x² + y ∅' x = 2xe + 6x²( ) x → ( ) x → ( ) x
 
Para achar ∅ x , basta integrar ∅' x ;( ) ( )
 
∅ x = ∅' x dx = 2xe + 6x² dx = 2xe dx + 6x²dx( ) ∫ ( ) ∫ x ∫ x ∫
 
Vamos resolver cada integral separadamente;
 
1 2xe dx = 2 xe dx, essa integral é resolvida com a técnica de integração por parte;)∫ x ∫ x
 
Resolvendo a integrla sem a constante xe dx, fazendo : u = x du = dx→∫ x →
 dv = e dx v = e dx v = ex → ∫ x → x
A integração por partes é dada por : udv = uv - vdu∫ ∫
 
Substituindo : xe dx = xe - e dx = xe - e∫ x x ∫ x x x
Multiplicando a constante, fica : 2xe dx = 2 xe - e∫ x x x
 
2 6x² dx = 6 x² dx = 6 = 2x)∫ ∫ x
3
3
3
 
Com isso, temos que;
 
 
 
∅ x = 2 xe - e + 2x( ) x x 3
 
Como a EDO é exata, então, necessáriamente : F x, y = c( )
 
Assim, temos que F x, y = - xy + 2 xe - e + 2x , logo :( ) x x 3
 
 - xy+ 2 xe - e + 2x = c x x 3
 
 
(Resposta - Solução geral da EDO)